拉格朗日方程漫谈(第二讲)

1 2 1 2 L lv gu 2 2 u
gu
dv l gu 0 dt d 2u l 2 gu 0 dt
沿着一个弯曲 的面滑动
小结

最小作用量原理；这个世界有个最基本的原则。“能量” 偷懒原则。机械能守恒、动量取极小值。
哈密顿原理：定义了作用量能量泛函，动能-势能 拉格朗日方程也是一个原理；也可以从哈密顿原理来。
L q, q, t 的时间积分以真实运动路线上的值为驻值。
Ldt 0;
t1
t2
t2
Ldt 0
t1
t2
T V dt 0;
t1
在各种能量泛函的取值中，取驻值的那个是真实的。 最小作用量原理： 能量守恒 L V dt 0; 的情况下，动能的全变分为零；



几个理论力学的例子，挺方便的，但不是我们的目标。
拉格朗日方程漫谈
第二讲
1、怎样理解最小作用量原理？ 2、哈密顿原理； 3、拉格朗日方程的推导 4、几个理论力学的例子
中国科学院力学研究所 研究员 中国科学院大学 岗位教授
李世海 博士
最小作用量原理:



最小作用量原理（principle of least action）是物理学中描述客 观事物规律的一种方法。 从功能角度去考察和比较客体一切可能的运动（经历），认为客体的 实际运动（经历）可以由作用量求极值得出，是其中作用量最小的那 个。 自然界总是通过最短的途径发生作用的。 最小作用量原理还可详述为：对于定常保守系统，在广义坐标
t2
ab ab ab
t2
Ldt
t1
t
d L d L L u u u dt 0 dt v u dt v t1
在两个时 间端点上 q 为零
2 2 L d L L u u u dt 0 v dt v u t1 t1
qi和时间t的联合空间(q1,q2,…,qN;t)里,对于机械能E保持不
变（即δE＝0)的各条路径中,如果路径的端点（包括始点和终 点）的全变分为零,则积分
Tdt 0
t1 t2
对于真实运动的路径和邻
近的旁路比较，真实路径的积分是驻值。
机械能最小 动能最小
哈密顿原理
在N+1维空间 ( q1 , q2 ....., qN 1 , t ) 中，任两点之间连线上动势
对速度变分： 动量； 对时间求导 得到惯性项。
1 2 1 2 L mv ku 2 2
dv m ku 0 dt d 2u m 2 ku 0 dt
泛函对位移的变分：力
ku
拉格朗日方程举例：自由落体
L T V
d L L 0 dt v u
u
h
1 2 L mv mg (h u ) 2
d mv mg 0 dt dv m mg dt
hu
mg
质量乘加速度
这是一个从高度h的质量块，在重力作用下运动的方程。
拉格朗日方程举例：一条绳子沿着桌边下落
L T V
d L L 0 dt v u
t
t2
d L L dt v u udt 0 t1
t2
dt 0 dt v u
t1
d L L
d L L 0 dt v u
认识拉格朗日方程
t2 t1
哈密顿原理：是动能与势能的差的全变分为零；
拉格朗日方程：表达的更具体些。
从哈密顿原理可以得到拉格朗日方程
L L u , v, t
Ldt Ldt 0t1 t1ຫໍສະໝຸດ t2t2L
dq d L L q q v u 因为： q dt dt v u L L d d L d L v u u u v v dt dt v dt v
从基本原理得到的方程
泛函对两个函数变分
L L u , v, t
泛函：
d L L 0 dt v u
力：能量相对 位移的变化 动量：能量相 对速度的变化
L T V
对动量求时 间的导数
拉格朗日方程举例：弹簧振子
泛函的构成
L T V
d L L 0 dt v u