拉格朗日第二类方程

代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C1 C2 0
故：
3M
gt 2
(2P9Q)( Rr)2
20
[例]图示系统，物块C质量为m1 ，均质轮A、B质量均为m2， 半径均为R，A作纯滚动，求系统的运动微分方程。 解：系统具有一自由度，保守
系统。以物块C的平衡位置为
原点，取x为广义坐标：
AF q j
（4）不含约束力。
二、保守系统的拉格朗日方程
如果作用于质点系的力是有势力，则：
Qj
V q j
而拉氏方程为：
15
d dt
T q j
T q j
V q j
由于V=V（q1，q2，...，qk），不含广义速度，所以
V q j
0,
d dt
V q j
0
上式为：
d dt
T q j
T q j
d dt
V q j
V q j
或：d dt
(T V q j
)
(T V q j
)
0
令L=T-V——拉格朗日函数
d dt
(
L q j
)
L q j
0 ( j1,2,,k )
保守系统的拉格朗日第二类方程。
16
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度 f，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
Q
A
M
T
1 2P 6
9Q (R g
r ) 2
;
d T
dt
1 2P 9Q (R r)2
6
g
;
T 0
19
由拉氏方程：
d dt
T
T
Q
1 2P 9Q (R r)2 0 M
6g
(2P
6M 9Q ) ( R
r)
2
g
积分，得：
3M (2 P 9Q )(R r ) 2
gt 2
C1t C2
保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循 环积分。 一、能量积分
设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L = T - V 中不显含t ，即L L(q j ,q j ) ， 则
27
dL
dt
k j 1
(
L q j
q
j
L q j
qj )
由保守系统的拉氏方程可知：
L q j
d dt
(
L q j
mi ai
ri q j
d dt
(mi vi
vi q j
)
mi vi
vi q j
d dt
(
1 2
mi
vi2
)
q j
(
1 2
mi
vi2
q j
)
(l )
12
于是（e）式为
n
mi airi
i 1
k j 1
n i 1
(mi ai
ri q j
)q
j
k j 1
n [d i1 dt
(
1 2
mi vi2
ri
k j 1
ri q j
q
j
ri t
(6.1.2)
其中 ri / q j ,ri / t 都是qj和t的函数
系统的动能：
T
n i1
1 2
miri
ri
n i1
1 2
mi
ri
2
(6.1.3)
3
1 2
n i1
mi (
k j 1
ri q j
q
j
ri t
)
(
k 1
ri q
q
ri t
)
1 2
23
T
1 2
m1
x
2
1 2
m2
vB
2
1 2
m1
x
2
1 2
m2
(
x
2
l 2 2
2xl
cos )
1 2
(m1
m2
)x 2
1 2
m2l
2
2
m2 xl
cos
以弹簧原长为弹性势能零点
，滑块A所在平面为重力势能
零点，则：
V
1 kx2 2
m2 gl cos
L T V
1 2
(m1
m2
)x 2
1 2
m2l 2
2
m2 xl
式中T2、T1 、T0 分别是广义速度的二次、一次、零次齐次函数
5
对定常系统，ri 中不显含时间t，即 ri / t 0 ，于是
T1 =0，T0 =0
T
T2
1 2
k j 1
k
a jq jq
1
(6.1.6)
故定常系统的动能是广义速度的二次齐次函数（二次型）。
由于动能恒为正，故只有当系统所有质点全部静j
( ri ql
)q
j
( ri ) t ql
k j 1
2 ri q jql
q
j
2ri tql
( j)
比较（i）（j）得
vi d ( ri ) ql dt ql
11
将下标l换成j得：
d ( ri ) vi
(k)
dt q j q j
将（h）（k） 代入（f）得：
q j
)
(
1 2
mi vi2
q j
)
]q
j
k [d j1 dt
(
n i 1
12mi vi2
q j
)
(
n i 1
12mivi2 ) ]q
q j
j
k [d j1 dt
T q j
T q j
]q
j
(m)
13
将（d）（m）代入（c）得：
k
Q jq j
j 1
k
j 1
d dt
(
T q j
T q j
)
q
vi
dri dt
ri q1
q1
ri q2
q2
...
ri qk
qk
ri t
k
ri
j1 q j
q j
ri t
(g)
式中：q j — 广义速度
9
由（a）知 ri , ri 只是广义坐标和时间的函数，与广义速 q j t
度无关，故将上式对q j 求偏导：
ri q j
vi q j
(h)
②将（g）对任一广义坐标ql 求偏导：
4
令
a j
n i1
mi
ri q j
ri q
bj
n i1
mi
ri q j
ri t
c
n i1
mi
ri t
ri t
显然，aj、bj、c都是都是qj和t的函数
再令
T2
1 2
k j 1
k
a jq jq
1
k
T1 bjq j j 1
T0
1c 2
则系统的动能： T=T2+ T1 + T0
(6.1.5)
第三篇 完整系统动力学
自由度f = 广义坐标数k
1
第六章 拉格朗日第二类方程
应用动力学普遍方程求解复杂的非自由质点系的动力学问 题并不方便，由于约束的限制，各质点的坐标不独立，解题时 必须用约束方程消去多余的坐标变分。如果先考虑约束条件， 采用广义坐标表示动力学普遍方程，就可得到与广义坐标数目 相同的一组独立的微分方程，从而使复杂的动力学问题变得简 单，这就是著名的拉格朗日方程。
k j 1
n i 1
mi ai
ri q j
q j
(e)
8
d dt
(mi vi
ri ) q j
mi ai
ri q j
mi vi
d dt
ri q j
mi ai
ri q j
d dt
(mi
vi
ri q j
)
mi
vi
d ri dt q j
(f)
为简化上式 , 需要用到以下两个关系式：
①Mi点的速度： 由(a)式
st — 静止平衡时弹簧的伸长
静止平衡时有：k st 2m1g
L
T
V
1 16
(8m1
7m2 )x 2
1 2
k
(
st
x)2 2
m1gx
L x
1 8
(8m1
7m2
) x
d dt
L x
1 8
(8m1
7m2
)x
L x
k (
st
x) 2
1 2
m1 g
1 4
kx
代入到拉氏方程
d dt
L x
L x
0
得：(8m1 7m2 )x 2kx 0
vi
ql
k j 1
ql
( ri q j
)q
j
ql
(ri ) t
k j 1
2 ri ql q
j
q
j
2ri tql
(i)
将（a）式先对ql求偏导再对t求导：
10
d ( ri ) ( ri ) dq1 ( ri ) dq2 ... ( ri ) dt
dt ql q1 ql dt q2 ql dt
2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。
3. 计算广义力 Q j ( j 1,2,,k )，计算公式为：