动力学方程 拉格朗日方程
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第十七章 动力学普遍方程
(i 1, 2, , n)
系统的总虚功为 ( Fi FNi FIi ) δ ri 0 利用理想约束条件
得到
i Ii i i
F
i
Ni
δ ri 0
(i 1, 2, , n)
(F F )δ r 0
(i 1, 2, , n)
—— 达朗贝尔－拉格朗日方程
动力学普遍方程的直角坐标形式
(F
i
ix
mi xi ) δxi (Fiy mi yi ) δyi (Fiz mi zi ) δzi 0 i 1, 2, , n
动力学普遍方程的意义和应用
动力学普遍方程是将达朗伯原理和虚位移原理 而得到的，可用来求解质点系的动力学问题。
广义坐标和广义力
由n个质点所 组成的质点系 质点位置坐标 广义坐标 主 动 力
F1 , F2 , , Fn
x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , q1 , q2 , , qN
N 3n S
, xn , yn , zn ,
第i个质点的位矢 虚位移
ri ri (q1 , q2 , , qN )
三、拉格朗日方程
d T T Qk＝ ( )－ k dt q qk
对于主动力为有势力的情况，拉格朗日方程可改 写为：
d L L ( )－ ＝0 k dt q qk
式中：
L＝T－V
L称为拉格朗日函数，或动势。
本课件的部分动画来源于西工大的媒 体素材库，在此表示衷心的感谢。部分动 画与图片来源于互联网，版权不明，希望 版权所有人见到后与制作人员联系，我们 表示感谢。
第十七章 动力学普遍方程 和拉格朗日方程
一、动力学普遍方程 二、广义坐标和广义力 三、拉格朗日方程
系统的总虚功为 ( Fi FNi FIi ) δ ri 0 利用理想约束条件
得到
i Ii i i
F
i
Ni
δ ri 0
(i 1, 2, , n)
(F F )δ r 0
(i 1, 2, , n)
—— 达朗贝尔－拉格朗日方程
动力学普遍方程的直角坐标形式
(F
i
ix
mi xi ) δxi (Fiy mi yi ) δyi (Fiz mi zi ) δzi 0 i 1, 2, , n
动力学普遍方程的意义和应用
动力学普遍方程是将达朗伯原理和虚位移原理 而得到的，可用来求解质点系的动力学问题。
广义坐标和广义力
由n个质点所 组成的质点系 质点位置坐标 广义坐标 主 动 力
F1 , F2 , , Fn
x1 , y1 , z1 , x2 , y2 , z2 , q1 , q2 , , qN
N 3n S
, xn , yn , zn ,
第i个质点的位矢 虚位移
ri ri (q1 , q2 , , qN )
三、拉格朗日方程
d T T Qk＝ ( )－ k dt q qk
对于主动力为有势力的情况，拉格朗日方程可改 写为：
d L L ( )－ ＝0 k dt q qk
式中：
L＝T－V
L称为拉格朗日函数，或动势。
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第十七章 动力学普遍方程 和拉格朗日方程
一、动力学普遍方程 二、广义坐标和广义力 三、拉格朗日方程
理论力学 第3章 拉格朗日方程
记
3.1 拉格朗日方程
拉格朗日关系
3.1 拉格朗日方程
由拉格朗日关系
又
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
（1）动能的显式： 直角坐标 平面极坐标 柱坐标 球坐标
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2 T mi r i i 1 2
n
单个质点
x, y , z
r ,
, , z
3.1 拉格朗日方程
[思考2] 滑块作简谐运动
自由度 s 1 ，广义坐标为 ：
X x0 cos t l sin
X l cos
Y l cos Y l sin 约束力 T T sin i T cos j
约束力的虚功
3.2 运动积分 诺特定理
3.2 运动积分 诺特定理
讨论：质点在有心力场中的动能和势能
1 2 2 r 2 T m r 2
k 2m V r
2 1 k m 2 2 2 r L T V m r 2 r
广义坐标：r，
L 0
对应一个循环积分：
3.1 拉格朗日方程
（2）系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在 平面为重力势能零点）
1 2 V kx m2 gl cos 2
（3）拉格朗日函数：
L T V 1 1 1 2 2 2 2 m 2 l m 2 xl cos kx m 2 gl cos ( m1 m 2 ) x 2 2 2
r Fi i q
n
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
动力学普遍方程及拉格朗日方程
C
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
动力学-拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
不稳定平衡 12
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
不稳定平衡
13
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
随遇平衡 14
其中，令 qk 0, q j 0
则
WF Qkqk
( j 1, 2, , N, j k)
Qk
WF qk
3.
对于保守系统 处于平衡状态
Qk
V qk
0
(k 1,2,, N )
例题
第十六章 拉格朗日方程
例 题 16-1
两均质杆，均长2l，均重P，用铰链连接，跨过半径为r 的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置。
,
Fyi
V yi
,
Fzi
V zi
WF (Fxixi Fyiyi Fzizi )
V ( xi
xi
V yi
yi
V zi
zi )
V 0
V 0
在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是
系统势能在平衡位置处一阶变分为零
6
第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
改写为：l tan3 r tan2 r 0
由此解出θ。
例 题 16-1
18
例题
第十六章 拉格朗日方程
例 题 16-2
图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦， 求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数 f。
解：系统具有2自由度。 以sA、 sB为广义坐标 （1）当sA改变δsA而δsB=0（ B不动），此时δsC= δsA /2
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
不稳定平衡 12
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
不稳定平衡
13
第 十六章 拉格朗日方程
▪ 保守系统平衡的稳定性
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
随遇平衡 14
其中，令 qk 0, q j 0
则
WF Qkqk
( j 1, 2, , N, j k)
Qk
WF qk
3.
对于保守系统 处于平衡状态
Qk
V qk
0
(k 1,2,, N )
例题
第十六章 拉格朗日方程
例 题 16-1
两均质杆，均长2l，均重P，用铰链连接，跨过半径为r 的光滑圆柱体上，并位于同一铅直面内，求杆的平衡位置。
,
Fyi
V yi
,
Fzi
V zi
WF (Fxixi Fyiyi Fzizi )
V ( xi
xi
V yi
yi
V zi
zi )
V 0
V 0
在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是
系统势能在平衡位置处一阶变分为零
6
第 十六章 拉格朗日方程
§16-1 以广义坐标表示的 质点系平衡条件
改写为：l tan3 r tan2 r 0
由此解出θ。
例 题 16-1
18
例题
第十六章 拉格朗日方程
例 题 16-2
图示系统，A重2P，B重P。不计滑轮重及O、E处摩擦， 求平衡时C的重量W及A与水平面之间的摩擦系数 f。
解：系统具有2自由度。 以sA、 sB为广义坐标 （1）当sA改变δsA而δsB=0（ B不动），此时δsC= δsA /2
动力学方程 拉格朗日方程
dt
dt
dt
s
1
V q
q
dV dt
dT dV 0 dt dt
T＋V＝E＝恒量
这就是力学体系的能量积分。
可见拉格朗日方程具有能量积分的条件是：受稳定的理想约束的完整系 ，只受保守力而且T、V中不显含t，这时体系的能量守恒。
（3）对于完整的保守的力学体系，受不稳定约束而且T、V 中不显含t情况的分析。
d dt
n i 1
mi
ri
ri q
n i1
mi
ri
ri q
d dt
n i 1
q
1 2
mi
ri
2
n i 1
q
1 2
mi ri 2
令
T
n i 1
1 2
mi ri 2
显然 T 是体系的动能，则有
P
d dt
T
q
T q
即
d dt
T q
T q
Q ,
1, 2, , s
y
Fy
j'
rP
解 方法一：
o
从定义式计算。 将定义式用于极坐标，因 粒子数 n＝1，则
Qr
F
r r
r
Q F
F
i'
Fx
x
又因 x＝ r cos，y＝r sin
则
x cos , y sin
r
Qr
F
r r
r
Fx
x r
Fy
y r
y
Fy
j'
F
i'
r P Fx
o
Q＝ r F（是力矩）
F
r o
拉格朗日动力学方程
拉格朗日动力学方程
拉格朗日动力学(1agrangianDynamics)是一种以势能作为基础的动力学理论，由拉格朗日在18th世纪末提出。
它利用势能和动能，即动量及系统内部动量来描述物理系统的运动。
动力学方程中表达的是系统在特定时刻的状态，它是以物体的位置和速度为变量描述物理系统状态的。
拉格朗日动力学方程是物理系统总动量保守定理的衍生形式，它表示了系统动量的变化规律，是阐明动量守恒原理的有力证明。
它可以表达为:
d1∕dt=F o
其中，d1/dt表示系统的总动量，F表示系统的外力。
拉格朗日动力学方程是物理系统之间相互作用以及物体受到外力影响的动力学的表征。
它的推导不仅展示了动量的守恒，而且它的结构可以作为理解物理系统状态及物体运动的抽象框架。
动力学普遍方程及拉格朗日方程
动力学普遍方程的直角坐标形式
[(F
i
ix
mi xi ) δxi (Fiy mi yi ) δyi (Fiz mi zi ) δzi ] 0 i 1, 2, , N
动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统，也适用于 具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统，也适用于 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统，也适用于具有 无势力的系统。
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。
N N ri ri d d ri mi ri mi (ri ) mi ri ( ) q j i 1 dt q j dt q j i 1 i 1 N
N r ri d i r r ( ) mi ri d ri i mi i ri dt q q i 1 i 1 j j dt q q q N
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理，有
Fi FRi mi ai 0
理论力学-拉格朗日方程
d dt
(
L qr
)
L qr
0
24
积分得：
L qr
C
(常数)
(rk)
循环积分
因L = T - U，而U中不显含 qr ，故上式可写成
L qr
qr
(T
U
)
T qr
Pr
C
(常数)
Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一 次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
12 g
W ( ) M
Q
W (
)
M
T
1 6
2P
9Q g
(R r)2
;
d dt
T
1 6
2P
9Q g
(
R
r)
2
;
T
0
15
代入拉氏方程：
1 2P 9Q (R r)2 0 M
6g
6M
g
(2P 9Q)(R r)2
积分，得：
3M (2 P 9Q )(R r ) 2
gt
2
C1t
C2
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C1 C2 0
故：
3M
gt 2
(2P9Q)( Rr)2
16
[例2] 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A，质量为m1,可在光 滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长l ， 摆锤质量为 m2 ，试列出该系统的运动微分方程。
解：将弹簧力计入主 动力，则系统成为具 有完整、理想约束的 二自由度系统。保守
系统。取x , 为广义
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则对任一个质点有
Fi iV
分量式为
i
i xi
yi
j zi
k
Fix
V xi
,
Fiy
V yi
,
Fiz
V zi
,
i 1, 2, , n
现在把广义力与势能函数连系起来
Q
n i 1
Fi
ri q
而广义力：
Q
n i 1
Fi
ri q
广义力可以是力，也可以是力矩等，视广义坐标的选择而 定。计算广义力的方法可以有两种：一种方法是从上定义式直 接计算，另一种方法是从主动力所作的虚功来计算。
1、从主动力所作的虚功来计算
W
n i 1
Fi
sn ri
ri q
q
0
令
P
n i 1
mi
ri
ri
q
Q
n i 1
Fi
ri q
（广义力）
s
则
(P Q )q 0
1
因各 q 互相独立，所以 P＝Q
改写
Q
Fx
x
Fy
x
r(Fx sin Fy cos )
上式括号中的第一项为
Fx
在 j 方向的投影，第二项
是 Fy在 j 方向的投影。
所以两者之和就是 F 在 j
y
j '
Fy
rP o
方向的投影 F ，因此
F
i'
Fx
x
Q＝ r F（是力矩）
P
Q
n
mi
i 1
n Fi
i 1
ri
ri q
ri
q
P
n i 1
miri
ri
q
d dt
n i 1
mi
ri qri
n i 1
mi ri ddt
ri q
Fy
rP
Qr r Fx cos r Fy sin r
则
Qr
Wr r
Fx cos
Fy sin
Fr
F
i'
Fx
x
W
(F
Q
r )r 0
(Fx x Fy y)r0
o
y
j '
Fy
rP
F
五、循环积分与能量积分
拉格朗日方程是 s 个二阶常微分方程组，我们希望也像牛顿 力学一样 ，若能首先对微分方程组积分一次 ，找出某些初积分 （ 或叫第一积分 ），使我们对某些问题的求解能简便些 。在某 些情况下，部分的第部广义坐标和 广义速度（广义动量）及时间 t 的函数，即
三、广义动量与广义力的计算
对于单个质点来说，动能对某速度分量的导数是对应的动量分量
T
x
x
1 2
m(
2 x
2 y
2 z
)
mx
与此类比，可以定义广义动量 p 为
T q
p
注意：广义动量可以是线动量，也可以是角动量等等，
视广义坐标的选择而定。
§1.3 拉格朗日方程
为了得到广义坐标表示的完整力学系的动力学方程–––– 拉格朗日方程，需要先导出达朗伯－拉格朗日方程。
一、达朗伯－拉格朗日方程
设受完整约束的力学体系有n个质点，体系中每一个质点都
服从如下形式的牛顿运动定律，设第i个质点受主动力，受约束
反力，则
mi ri
Fi
Ri , i
解 ： 设质点的质量为m，因为只有一个质点，故n＝1， 自由质点只受有心力作用时，作平面曲线运动，
所以 s＝2，取极坐标（r，）为广义坐标，则有
T
1 2
m 2
1 2
m(r2 r 22 )
V km r
L T V
1 m(r2 r22 ) km L(r, r,)
1,
2,
,
n
miri
mi
ri
Fi
Ri
0,
i
1, 2,
：称为达朗伯惯性力或称有效力
,
n
注意：这个达朗伯惯性力与力学中定义过的惯性力不是一个概念，
那里的惯性力是对某一非惯性系而言的，而上式中各质点的 并不相等，所以这里并不存在一个统一的非惯性系。
ri
以
2
r
可见 L 函数中不含 ，所以 是循环坐标，则
p
L
ri ri (q1, q2 , , qs , t)
则
ri
ri q1
q1
ri q2
q2
ri qs
qs
s
ri
1 q
q
代入达朗伯－拉格朗日方程
n
i 1
(
miri
Fi )
s a 1
则
x cos , y sin
r
r
Qr
F
r r
Fx
x r
Fy
y r
y
j '
Fy
F
i'
r P Fx
o
x
Fx cos Fy sin Fr
可见广义力的径向分量就是的径向分量，说明 Qr 是一个力。
另外 x r sin , x r cos
1 i1
Fi
ri
q
s
q Q
1
q
如求Q1，令 q2＝ q3＝…＝ q s＝0，则
n
W1 (
Fi
ri )
q2 q3 qs 0
Q1q1
i 1
Q1
W1 q1
n
(
i1
Fi
i'
Fx
x
r(Fx sin Fy cos ) rF
则
Q
Wθ
rF
两种方法的结果一致
四、保守力学系的拉格朗日方程
实际上，在很多情况下我们仅遇见保守力学系。
对于保守力学系，存在势能
V V (x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 , , xn , yn , zn )
可见广义力的横向分量 Q 是力矩。
方法二：从主动力 所作的虚功来计算
x r sin cos r
y r cos sin r
Wr Qr (F
r r )
0
o
(Fx x Fy y) 0
y
j '
由
ri
ri
,
d
ri
ri
q q
dt q q
P
d dt
n i 1
mi
ri
ri q
n i1
mi
ri
ri q
d dt
n i 1
q
则
d dt
L qj
0
pj
L qj
恒量
可见，当L函数中不含某广义坐标 q j 时，这个 q j 即循环坐标
所对应的广义动量
pj
L qj
就是守恒量，称为循环积分。
这表明，对任一循环坐标，都对应有一个循环积分。
[例4] 求一自由质点在有心力场中的循环积分。
d dt
T q
T q
V q
,
1, 2,
,s
d dt
T q
T q
V q
,
1, 2,
,s
注意：一般势能函数不显含时间和速度变量，即
V＝V（x1，y1，z1，…，x n，y n，z n）＝V（q1，q2，…，q s）
q1＝r，q2＝ 。与此两
广义坐标对应的广义力为 Q r 和Q 。求 Q r与Q , 用两种方法。
解 方法一：
y
j '
Fy
rP o
从定义式计算。
将定义式用于极坐标，因 粒子数 n＝1，则
Qr
F
r r
r
Q F
F
i'
Fx
x
又因 x＝ r cos，y＝r sin
则
V 0 q
令 L＝T－V ，则
L (T V ) T 与 L (T V ) T V