电路的拉格朗日动力学方程
拉格朗日方程
以约瑟夫·刘易斯·拉格朗日命名的拉格朗日方程是拉格朗日力学的主要方程。
它可以用来描述物体的运动，特别适合于理论物理学的研究。
拉格朗日方程的功能等效于牛顿力学中的牛顿第二定律。
拉格朗日方程：对于一个完整的系统，用广义坐标表示的动力学方程通常指第二种拉格朗日方程，该方程首先由法国数学家J.-L.拉格朗日推导。
通常可以这样写：
其中，t是由广义坐标QJ和广义速度q'j表示的系统动能；QJ 是与QJ对应的广义力；n（= 3n-k）是整个系统的自由度；n是系统的质点数；K是完全约束方程的数量。
完整系统的拉格朗日方程
完整系统的拉格朗日方程
从虚拟位移原理，我们可以得到没有约束力的具有理想约束的粒子系统的平衡方程，而动态静态方法（D'Alembert原理）则采用静态方法来建立粒子系统的动力学方程。
通过将两者结合起来，可以得到没有约束力的粒子系统动力学方程，这是一般的动力学方程。
拉格朗日方程是广义动力学方程在广义坐标系下的具体表达。
拉格朗日方程可用于建立无约束力的动力学方程，也可用于求解在给定运动定律下作用于系统的有功力。
如果要查找约束力，可以将拉格朗日方程与动态和静态方法或动量定理（或质心的运动定理）结合起来。
通常，我们将基于牛顿定律和基于牛顿定律的力学理论称为牛顿力学（也称为矢量力学），将拉格朗日方程和基于其的理论称为拉格朗日力学。
拉格朗日力学描述了机械系统在配置空间中的运动，适合研究受约束粒子系统的运动。
拉格朗日力学在解决微振动和刚体动力学问题中起着重要作用。
理论力学 第3章 拉格朗日方程
记
3.1 拉格朗日方程
拉格朗日关系
3.1 拉格朗日方程
由拉格朗日关系
又
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
（1）动能的显式： 直角坐标 平面极坐标 柱坐标 球坐标
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2 T mi r i i 1 2
n
单个质点
x, y , z
r ,
, , z
3.1 拉格朗日方程
[思考2] 滑块作简谐运动
自由度 s 1 ，广义坐标为 ：
X x0 cos t l sin
X l cos
Y l cos Y l sin 约束力 T T sin i T cos j
约束力的虚功
3.2 运动积分 诺特定理
3.2 运动积分 诺特定理
讨论：质点在有心力场中的动能和势能
1 2 2 r 2 T m r 2
k 2m V r
2 1 k m 2 2 2 r L T V m r 2 r
广义坐标：r，
L 0
对应一个循环积分：
3.1 拉格朗日方程
（2）系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在 平面为重力势能零点）
1 2 V kx m2 gl cos 2
（3）拉格朗日函数：
L T V 1 1 1 2 2 2 2 m 2 l m 2 xl cos kx m 2 gl cos ( m1 m 2 ) x 2 2 2
r Fi i q
n
3.1 拉格朗日方程
3.1 拉格朗日方程
动力学普遍方程和拉格朗日方程
(i 1,2,......... .n)
对这n个式子求和
(25.2)
iq
(F N F
i 1 i i
n
) r i 0
(25.3)
若为理想约束，由虚位移和理想约束的条件知
N r
i 1 i
n
i
0
上式变为：
(F F
i 1 i
n
iq
) r i 0或者 （F i mi ai ) r i 0 (25.4)
s
k 2 2 i i i s j 1 j s j s k i i j 1 j s j s
即
v q
r
i s
r d ( ri ) dt q
s
也可以写为
v q
r
i j
r d ri ( ) dt q
j
n
或
r q
r
i j
r d ri ( ) dt q
j
j
( j 1,2...k )
r 在任意瞬时,加速度为a
i
根据达朗伯原理，在其上加达朗伯惯性力
r r mi ai F iq
则
约束反力的合力
r rr F N F
i i
0
iq
(i 1,2,......... .n)
(25.1)
达朗伯惯性力
作用于此质点上 的主动力的合力
点积虚位移 ri
( F i N i F iq) r i 0
对时间求导
得到
q
vi
j
q
ri
j
或
q ri
j
( j 1,2...k )
理论力学拉格朗日方程
d mivi dt
( ri ) q j
所以
(mi
dvi ) ri dt q j
d dt
(mi vi
ri q j
)
mi vi
d dt
( ri q j
)
代入上式有
Q*j
n
[
i 1
d dt
(mi vi
ri q j
) mivi
d dt
( ri q j
)]
第七章 拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
r i
k
j 1
r i
q
q j
j
n
代入动力学普遍方程
(Fi Fi* ) ri 0 有
i 1
n [(Fi Fi* )
i 1
k j 1
ri q
q j
j
]
k
[
j 1
n i 1
(Fi
ri q j
)
n i 1
(Fi*
ri q j
)]q
j
0
广义力 记为Qj
k
这样动力学普遍方程可写为
[Q j
Q* ]q
代入前面所得动力学普遍方程的转化式
k
[Q j
Q* ]q
j
j
0
有
j 1
k
[Q j Q*j ]q j
j 1
k
[Q j
j 1
d dt
T ( q j
)
T q j
]q j
0
对于完整系统，广义虚位移δqj 都是独立的，并具有任意性，所以为使上
式成立，则有
Qj
d dt
T ( q j
)
第十七章 拉格朗日方程
17.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1
O
g MA
A
1 mg g FB
则 yC R1 R 2 (1) 由动力学普遍方程得
g g MA 1 M B 2 (mg FBg )yC 0
17.1 将惯性力及（1）式代入上式，得 1 1 2 mR 1 1 mR 2 2 2 (mg ma ) R( 1 2 ) 0 2 动 2 整理得 力 (mgR maR 1 mR 2 ) (mgR maR 1 mR 2 ) 0 1 1 2 2
例1 图示滑轮系统中，动滑轮上悬挂着重为Q1 的重物，绳子绕过定滑轮后，挂着重为Q2的重物， 设滑轮和绳子的重量不计，求重为Q2的重物下降的 加速度。 g 解：以系统为研究对象，系统具 F2 Q 有理想约束，系统所受的主动力 1 a g g 2 s 2 g Q2 为 Q2 、 ，假想加上惯性力 F1 F2 、 。 F1 s 1 Q1 Q2 g g a 其中 F1 a1 F2 a2 1 g g Q1 给系统以虚位移s1和s2，由动力 学普遍方程，得 Q2 Q1 (Q2 a2 )s2 (Q1 a1 )s1 0 g g 1 1 由运动学关系 s1 s2 a1 a2 代入上式得 2 2
以上两式是由达朗伯原理和虚位移原理相结合 而得到的结果，称为动力学普遍方程，也称达朗 伯——拉格朗日方程。动力学普遍方程可以叙述如 下：在理想约束条件下，在任一瞬时作用在质点系 上所有的主动力和虚加的惯性力，在该瞬时质点系 所处位置的任何虚位移上的元功之和等于零。
动力学普遍方程及拉格朗日方程
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
第二十五章动力学普遍方程和拉格朗日方程
例6：空心轮的质量为m1、半径R，绳子的一端悬挂一质量为m2的 物体A，另一端固结在弹簧上。试求:物体A的微振动周期。
解： 自由度1 取广义坐标 法一
T
1 2
J0 2
1 2
m2v2
1 2
(m1
m2 )R2 2
T
(m1
m2 )R2
d dt
(
T
)
(m1
m2
)R
2
d dt
T
T
Q
δ
m1
T 0
d dt
FIi
ri q j
(3)
——广义惯性力
k
则
(Qj QI j ) δ q j 0
即
Q j QI j 0
QI j
j 1
n miai
i 1
ri q j
i
n
mi
1
d( dt
d vi ri
d
n
i 1
t mi
vi qqjrij
)
n i 1
mivi
d dt
(
ri q j
)
(4) (5)
[
5 2
aA
RC
g]m δ
x
[aA
3 2
RC
g]mR δ
0
[
5 2
aA
RC
g]
0
[aA
3 2
RC
g]
0
aA
C
FAI A
mg
M BI B
FC
mg
I
M
C
I
FAI ma A
C
M BI J B B
mg
M C I JCC
拉格朗日方程
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ，得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中， 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不 滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为 ，弹簧的弹性系数为 ， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式
整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24
动力学普遍方程与拉格郎日方程
a A = x′′ A ′′ aC = xC
Mg − 3 f s mg M − 3 f s m g = = M + 3m M + 3m M + 2m − f s m = g M + 3m
讨论： （1）只有 M − 3 f s m > 0 时符合题意。 若 M − 3 f s m ≤ 0 ，则
∂ ri δ ri = ∑ δ qj j =1 ∂ q j 代入动力学普遍方程，可得
k
n k
虚位移：
(i = 1, 2,L , n )
（16-4）
∂ ri ∑ (Fi − m ai ) ⋅ ∑ ∂ q δ q j = 0 i =1 j =1 j
（16-5）
∑
j =1
k
n ∂ri ∑ Fi ⋅ i =1 ∂q j
拉格朗日变换式： （1）速度对广义速度的偏导数
∂ri ∂ri ∂ri ∂ri ′ ′ ′ vi = ri′ = q1 + q2 + L + qk + ∂q1 ∂q2 ∂qk ∂t
∂ ri ∂ ri 、 中不包括广义速度， ∂qj ∂t 该式两端对 q ′j 求偏导数
∂ vi ∂ ri = ∂ q′j ∂ q j
Mg δxC − FS δx A − FIA δx A − FIC δxC − M IC δϕ = 0
′′ Mgδ xC − FS δ x A − mx′′δ x A − MxCδ xC A 1 1 ′′ − Mr ( xC − x′′ ) ⋅ (δ xC − δ x A ) = 0 A 2 r 1 ′′ ′′ A Mg − MxC − 2 M ( xC − x′′ ) δ xC
欧拉拉格朗日方法建立动力学方程
欧拉拉格朗日方法建立动力学方程下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!欧拉拉格朗日方法建立动力学方程动力学是研究物体运动规律的重要分支，而欧拉拉格朗日方法是解决动力学问题的一种强大工具。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
电路的拉格朗日的动力学方程拉格朗日方程拉格朗日方程:对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。
从虚位移原理可以得到受理想约束的质点系不含约束力的平衡方程，而动静法(达朗贝尔原理)则将列写平衡方程的静力学方法应用于建立质点系的动力学方程，将这两者结合起来，便可得到不含约束力的质点系动力学方程,这就是动力学普遍方程。
而拉格朗日方程则是动力学普遍方程在广义坐标下的具体表现形式。
拉格朗日方程可以用来建立不含约束力的动力学方程，也可以用来在给定系统运动规律的情况下求解作用在系统上的主动力。
如果要想求约束力，可以将拉格朗日方程与动静法或动量定理(或质心运动定理)联用。
通常，我们将牛顿定律及建立在此基础上的力学理论称为牛顿力学(也称矢量力学)，将拉格朗日方程及建立在此基础上的理论称为拉格朗日力学。
拉格朗日力学通过位形空间描述力学系统的运动，它适合于研究受约束质点系的运动。
拉格朗日力学在解决微幅振动问题和刚体动力学的一些问题的过程中起了重要的作用。
为了得到广义坐标表示的完整力学系的动力学方程拉格朗日方程，需要先导出达朗伯－拉格朗日方程。
一、达朗伯－拉格朗日方程设受完整约束的力学体系有n 个质点，体系中每一个质点都服从如下形式的牛顿运动定律，设第i 个质点受主动力，受约束反力，则n i R F r m ii i i , ,2 ,1 , =+=n i R F r m i i i i , ,2 ,1 ,0 ==++-称为达朗伯惯性力或称有效力这个达朗伯惯性力与力学中定义过的惯性力不是一个概念，那里的惯性力是对某一非惯性系而言的，而上式中各质点的并不相等，所以这里并不存在一个统一的非惯性系。
以i r δ点乘上式后，再对i 取和，得)(1=⋅++-∑=i i i i i n i r R F r mδ理想约束条件下：1=⋅∑=i n i i r Rδ则)(1=⋅+-∑=i i i i n i r F r mδ这是达朗伯原理与虚功原理的结合，称为达朗伯——拉格朗日方程，由于存在约束，各 i r δ 并不彼此独立，因此不能令上式中 i r δ 前面的所有乘式都等于零，否则就成为自由质点的运动微分方程了。
二、基本形式的拉格朗日方程现在我们从达朗伯－拉格朗日方程出发，把各并不彼此独立的坐标i r 用各彼此独立的广义坐标),,2,1(s q =αα重新表述，从而导出适用于受理想约束的完整力学系所遵守的动力学方程—拉格朗日方程。
设n 个质点受k 个约束，因是完整约束，体系的自由度数应为 s ＝3n －k 。
以广义坐标 i r 表出) , , , ,(21t q q q r r s i i=则∑=∂∂=∂∂++∂∂+∂∂=si s s i i i i q q r q q r q q r q q r r 12211 αααδδδδδ代入达朗伯－拉格朗日方程0 )(11=∂∂⋅+-∑∑==s a iii i ni q q r F r m ααδ0 )(11=∂∂⋅+-∑∑==s a ii i i ni q q r F r m ααδ上式中的两个取和号互不相关，故可以互易，则0 111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅-∑∑∑===ααααδq qr F q r r m si n i i i i n i i令⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂⋅=∂∂⋅⋅=∑∑==（广义力） 11ααααq r F Q q r r m P in i i ini i i则∑==+-sq Q P 1)(ααααδ因各 q 互相独立，所以P ＝Q ，改写ααq r r m P i ni ii 1∂∂⋅=∑= ∑∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=ni i i i n i i i i qr t r m q r r m t 11 d d d d αα由ααααq r q r t q r q r ii i i d d , ∂∂=∂∂∂∂=∂∂∑∑==⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅=ni i i i ni i i i q r r m q r r m tP 11 d dααα⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∑∑==211221 21 d d ii ni ni ii r m q r m q tαα令∑==ni i i r m T 1221显然T 是体系的动能，则有αααq Tq T t P d d ∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=即这就是著名的拉格朗日方程，也称基本形式的拉格朗日方程（或称第二类拉格朗日方程）。
其中广义坐标 q ＝q (t)，所以上式是以 t 为自变量的广义坐标 q 的s 个二阶常微分方程组。
只要我们能写出以为变量时体系的动能T 和广义力Q1，Q2，…，Qs ，就可以代入上式，从而得到体系的动力学方程组，再求解，就可得到体系的运动方程。
三、广义动量与广义力的计算对于单个质点来说，动能对某速度分量的导数是对应的动量分量x z y x x x m m T υυυυυυ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∂∂=∂∂)(21222与此类比，可以定义广义动量 p 为ααp q T=∂∂广义动量可以是线动量，也可以是角动量等等，视广义坐标的选择而定。
而广义力：ααq r F Q ini i 1∂∂⋅=∑=广义力可以是力，也可以是力矩等，视广义坐标的选择而定。
计算广义力的方法可以有两种：一种方法是从上定义式直接计算，另一种方法是从主动力所作的虚功来计算。
1、从主动力所作的虚功来计算∑=⋅=n i i i r F W 1δδαααδq q r F s i n i i 11∑∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅= ∑==s q Q 1 αααδ110 11 ) (32q Q r F W s q q q n i i i δδδδδδ=⋅======∑) (1111132q r F q W Q s q q q ni i i δδδδδδδ=====∑⋅==求任一广义力Q 时) ( ,210 1ααββδαααδδδδβq r F q W Q s q n i i i ≠===∑⋅==，，，，2、从定义式直接计算ααq r F Q ini i 1∂∂⋅=∑=四、保守力学系的拉格朗日方程实际上，在很多情况下我们仅遇见保守力学系。
对于保守力学系，存在势能：),,,,,,,,,(222111n n n z y x z y x z y x V V =则对任一个质点有VF i i -∇=kz j y i x ii i i∂∂+∂∂+∂∂=∇分量式为ni z VF y V F x V F iiz i iy i ix , ,2 ,1 , , , =∂∂-=∂∂-=∂∂-=现在把广义力与势能函数连系起来ααq r F Q i ni i 1∂∂⋅=∑= ∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=ni iiz i iy i ix q z F q y F q x F 1 ααα∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-=ni ii i i i i q z z V q y y V q x x V 1 αααsq V , ,2 ,1 =∂∂-=αα代入基本形式的拉格朗日方程，则sq V q T q T t, ,2 ,1 ,d d =∂∂-=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂αααα一般势能函数不显含时间和速度变量，即V ＝V （x 1，y 1，z 1，…，x n ，y n ，z n ＝V （q 1，q 2，…，q s ） 则令 L ＝T －V ，则L ＝T －V 叫拉格朗日函数。
一般 L 是广义坐标，广义速度和时间的函数。
即);,,,;,,,(2121t q q q q q q L L s s =简记为) , ,(t q q L L αα =这就是受理想约束的完整系在保守力作用下的拉格朗日方程。
因为用得较多，就直接称它为拉格朗日方程。
当取广义坐标和广义速度为独立变量时，只要知道了 L ，就可以求出 q 所满足的动力学方程，从而可求出体系的全部力学性质。
因此，我们说：取广义坐标和广义速度为变量时，拉格朗日函数L 是力学体=∂∂αqV αααq Tq V T q L ∂∂=∂-∂=∂∂)(ααααq Vq T q V T q L ∂∂-∂∂=∂-∂=∂∂)(系的一个特性函数。