动力学普遍方程及拉格朗日方程

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第十七章 拉格朗日方程

第十七章  拉格朗日方程

17.2
d T T Q ,得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中, 0 、
1
O
g MA
A
1 mg g FB
则 yC R1 R 2 (1) 由动力学普遍方程得
g g MA 1 M B 2 (mg FBg )yC 0
17.1 将惯性力及(1)式代入上式,得 1 1 2 mR 1 1 mR 2 2 2 (mg ma ) R( 1 2 ) 0 2 动 2 整理得 力 (mgR maR 1 mR 2 ) (mgR maR 1 mR 2 ) 0 1 1 2 2
例1 图示滑轮系统中,动滑轮上悬挂着重为Q1 的重物,绳子绕过定滑轮后,挂着重为Q2的重物, 设滑轮和绳子的重量不计,求重为Q2的重物下降的 加速度。 g 解:以系统为研究对象,系统具 F2 Q 有理想约束,系统所受的主动力 1 a g g 2 s 2 g Q2 为 Q2 、 ,假想加上惯性力 F1 F2 、 。 F1 s 1 Q1 Q2 g g a 其中 F1 a1 F2 a2 1 g g Q1 给系统以虚位移s1和s2,由动力 学普遍方程,得 Q2 Q1 (Q2 a2 )s2 (Q1 a1 )s1 0 g g 1 1 由运动学关系 s1 s2 a1 a2 代入上式得 2 2
以上两式是由达朗伯原理和虚位移原理相结合 而得到的结果,称为动力学普遍方程,也称达朗 伯——拉格朗日方程。动力学普遍方程可以叙述如 下:在理想约束条件下,在任一瞬时作用在质点系 上所有的主动力和虚加的惯性力,在该瞬时质点系 所处位置的任何虚位移上的元功之和等于零。

理论力学-第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程

理论力学-第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
需要指出的是,上述各式适用于任何理想、双侧约束系统, 不论约束是否完整、是否定常,也不论作用力是否有势。
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程
返回
第二类拉格朗日方程
在动力学普遍方程中,由于系统存在约束,一般情形下,各 质点的虚位移并不完全独立,应用时须建立各虚位移与广义坐标 之间的关系。
第二类拉格朗日方程
N
(Qk Qk*) δ qk 0
k 1
其中Qk为对应于广义所标qk的广义力(generalized forces); Qk*为广义惯性力(generalized inertia forces)
Qk
n i 1
Fi
ri qk
Qk*
n i 1
miai
ri qk
由于在完整约束下,δq1, δq2,…, δqN 相互独立,
Qk*
n i 1
miri
ri qk
d dt
n
(
i 1
miri
ri qk
)
n i 1
miri
d dt
( ri qk
)
d dt
n i1
mi
ri
ri qk
n i1
mi
ri
ri qk
d dt
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
qk
n
(
i 1
1 2
miri2 )
d dt
(
T qk
理论力学
第3篇 工程动力学基础
第3篇 工程动力学基础
*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程
*第13章 动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程

第二十五章动力学普遍方程和拉格朗日方程

第二十五章动力学普遍方程和拉格朗日方程

例6:空心轮的质量为m1、半径R,绳子的一端悬挂一质量为m2的 物体A,另一端固结在弹簧上。试求:物体A的微振动周期。
解: 自由度1 取广义坐标 法一
T
1 2
J0 2
1 2
m2v2
1 2
(m1
m2 )R2 2
T
(m1
m2 )R2
d dt
(
T
)
(m1
m2
)R
2
d dt
T
T
Q
δ
m1
T 0
d dt
FIi
ri q j
(3)
——广义惯性力
k

(Qj QI j ) δ q j 0

Q j QI j 0
QI j
j 1
n miai
i 1
ri q j
i
n
mi
1
d( dt
d vi ri
d
n
i 1
t mi
vi qqjrij
)
n i 1
mivi
d dt
(
ri q j
)
(4) (5)
[
5 2
aA
RC
g]m δ
x
[aA
3 2
RC
g]mR δ
0
[
5 2
aA
RC
g]
0
[aA
3 2
RC
g]
0
aA
C
FAI A
mg
M BI B
FC
mg
I
M
C
I
FAI ma A
C
M BI J B B
mg
M C I JCC

拉格朗日方程

拉格朗日方程
统的自由度数目,选取合适的广义坐标。
2、分析系统的运动,写出用广义坐标及广义速 度表示的系统的动能。(速度及角速度均为绝对的)
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理,得到N个二 日 阶常微分方程。由2 N个初始条件,解得运动方程。 方 程
1.2
d T T Q ,得 由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即 格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗 积分得曲柄的运动方程为 日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。 式中, 0 、
1.2
拉 格 朗 日 方 程
例4 如图轮A的质量为 m1,在水平面上只滚动不 滑动,定滑轮B的质量为 m2,两轮均为均质圆盘,半 m3 径均为R,重物C的质量为 ,弹簧的弹性系数为 , k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解:以系统为研究对象, B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标,x 从重物的平衡 位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ,则有关系式

整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24

理力13(动力学-李卓球)-动力学普遍方程和拉格朗日方程

理力13(动力学-李卓球)-动力学普遍方程和拉格朗日方程

i
0
在理想约束的条件下,质点系在任一瞬时所受的主动 力系和虚加的惯性力系在虚位移上所作虚功的和等于零。 ——动力学普遍方程(达朗贝尔-拉格朗日原理)
解析表达式: x y z (( Fxi mi i ) xi ( Fyi mi i ) yi ( Fzi mi i ) zi ) 0
(a)
s1 2s2 R 0
s1 2s2 R
(b)
22
例题
第13章 动力学普遍方程和拉格朗日方程
例 题 13-5
(a)
s1 πR 2s2 2c 2πR a R l
s1 2s2 R 0
s1 2s2 R
例 题 13-3

Hale Waihona Puke 1 g a 2 R 0 (a) 2 令 1 0, 2 0, 则 h R1。根据动力
学普遍方程
Ⅰ O
M I1
1

Ⅱ FI 2
mgh FI h M I 11 0 1 g a 1R 0 2
(b)
考虑到运动学关系
s 2
2
,
a2 a1 2
a 2 s 2 ) 0 2 2
( m2 g m2 a 2 )s2 ( m1 g m1
消去δs2 ,得
FI1
m1g
a2
4m2 2m1 g 4m2 m1
6
例题
第13章 动力学普遍方程和拉格朗日方程
例 题 13-2
两个半径皆为r的均质轮,中心用连杆相连,在倾角为θ的 斜面上作纯滚动,如图所示。设轮子质量皆为m1 ,对轮心的 转动惯量皆为J,连杆质量为m2,求连杆运动的加速度。

动力学普遍方程及拉格朗日方程

动力学普遍方程及拉格朗日方程

动力学普遍方程的直角坐标形式
[(F
i
ix
mi xi ) δxi (Fiy mi yi ) δyi (Fiz mi zi ) δzi ] 0 i 1, 2, , N
动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统,也适用于 具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统,也适用于 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统,也适用于具有 无势力的系统。
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求:1、三棱柱后退的加速度a1; OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解:1、分析运动 三棱柱作平动,加速度为 a1。 圆轮作平面运动,质心的牵连 加速度为ae= a1 ;质心的相对加 速度为ar;圆轮的角加速度为2。
N N ri ri d d ri mi ri mi (ri ) mi ri ( ) q j i 1 dt q j dt q j i 1 i 1 N
N r ri d i r r ( ) mi ri d ri i mi i ri dt q q i 1 i 1 j j dt q q q N
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理,有
Fi FRi mi ai 0

理论力学-拉格朗日方程

理论力学-拉格朗日方程

d dt
(
L qr
)
L qr
0
24
积分得:
L qr
C
(常数)
(rk)
循环积分
因L = T - U,而U中不显含 qr ,故上式可写成
L qr
qr
(T
U
)
T qr
Pr
C
(常数)
Pr称为广义动量,因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。
能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一 次得到的,它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。
12 g
W ( ) M
Q
W (
)
M
T
1 6
2P
9Q g
(R r)2
;
d dt
T
1 6
2P
9Q g
(
R
r)
2
;
T
0
15
代入拉氏方程:
1 2P 9Q (R r)2 0 M
6g
6M
g
(2P 9Q)(R r)2
积分,得:
3M (2 P 9Q )(R r ) 2
gt
2
C1t
C2
代入初始条件,t =0 时, 0 0 , 0 0 得 C1 C2 0
故:
3M
gt 2
(2P9Q)( Rr)2
16
[例2] 与刚度为k 的弹簧相连的滑块A,质量为m1,可在光 滑水平面上滑动。滑块A上又连一单摆,摆长l , 摆锤质量为 m2 ,试列出该系统的运动微分方程。
解:将弹簧力计入主 动力,则系统成为具 有完整、理想约束的 二自由度系统。保守
系统。取x , 为广义

分析力学动力学普遍方程和拉格朗日方程实用课件

分析力学动力学普遍方程和拉格朗日方程实用课件

圆柱的角速度为 O (设圆柱o的半径为r)
m(l
R )2,
d dt
L
2mR (l
R) 2
m(l
R ) 2
L mR(l R) 2 mg (l R)sin
已求得
d dt
L
2mR (l
R) 2
m(l
R ) 2
L mR(l R) 2 mg (l R)sin
将式上式代入保守系统的拉氏方程
d dt
L
L
0
得摆的运动微分方程
(l R) R 2 g sin 0
M v
P
R'=-R=- ma
此力是摆锤被迫作非惯性运动时产生的“反作用力”, 称为惯性力。
结论:质点在作非惯性运动的任意瞬时,对于施力于它的物 体会作用一个惯性力,该力的大小等于其质量与加速度的乘 积,方向与其加速度方向相反。
若用Fg表示惯性力,则有 Fg =- ma
说明: 1.此力是不是真实的力! 2.此力作用于施力给质点的物体上! 3.此力又称为牛顿惯性力!
拉格朗日
1736 — 1813,法籍 意大利人,数学家、 力学家、天文学家, 十九岁成为数学教 授,与欧拉共同创 立变分法,是十八 世纪继欧拉后伟大 的数学家。
设质点系由n个质点组成,具有s个完整理想约束,则有 N=3n-s个自由度(广义坐标)。
用q1,q2,…qN表示系统的广义坐标,第i个质点质量为mi, 矢径为ri。则
i 1
n
或 (Fi miai ) δri 0 i 1
动力学普遍方程
表明:在理想约束条件下,在任意瞬时,作用于质点系上 的主动力和惯性力在质点系的任意虚位移上所做虚功之和 等于零。
若 Fi X ii Yi j Zik, ai xii yi j zik,
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C
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系,有 根据几何关系,
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程, 由动力学普遍方程,得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ-J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解:4、应用动力学普遍方程 令: δ x ≠ 0,δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
i
ix
− mi &&i ) ⋅ δxi + (F − mi &&i ) ⋅ δyi + (Fiz − mi &&i ) ⋅ δzi ] = 0 x y z iy i =1,2, ⋅⋅⋅, N
动力学普遍方程 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 适用于具有理想约束或双面约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有定常约束的系统,也适用于 既适用于具有定常约束的系统, 具有非定常约束的系统。 具有非定常约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有完整约束的系统,也适用于 既适用于具有完整约束的系统, 具有非完整约束的系统。 具有非完整约束的系统。 动力学普遍方程 既适用于具有有势力的系统,也适用于具有 既适用于具有有势力的系统, 无势力的系统。 无势力的系统。
ωB
l m1g m2g y1
FIB
球A、B绕 y轴等速转动;重锤静止不动。 轴等速转动;重锤静止不动。 球A、B的惯性力为
FIA = FIB = mlsin αω2
2、令系统有一虚位移δα。A、B、C 三处的 虚位移分别为δ 虚位移分别为δrA、δrB、 δrC 。 3、应用动力学普遍方程 δrA FIA m1g l
解:5、求解联立方程
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
(m + m2 )a1 1 ar = m2 cosα
m2 gsin2α a1 = 2 3(m + m2 )- m2cos α 2 1 2gsin α(m + m2 ) 1 ar = 2 3(m + m2 )- m2cos α 2 1
j
j
& ∂ri d N & = ∑mri ⋅ & dt i=1 ∂qj
δri
系统的总虚功为
(i =1,2, ⋅⋅⋅, N)
− miai ) ⋅ δri = 0 (i =1,2, ⋅⋅⋅, N)
∑(F + F
i i
Ri
系统的总虚功为
∑(F + F
i i
Ri
− miai ) ⋅ δri = 0
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
利用理想约束条件
∑F
i
RiΒιβλιοθήκη ⋅ δri = 0∂ri ∂ri 函数, 和 仅为时间和广义坐标的 函数, ∂t ∂q j
q 与广义速度& j无关
& ∂ri ∂ri = ⇒ 第一个Lagrange经典关系(消点) 第一个Lagrange经典关系 消点) 经典关系( & ∂qj ∂qj
n ∂ri ∂ri &= & ri qk +∑ ∂t k =1 ∂qk
拉格朗日(Lagrange) 拉格朗日(Lagrange)方程
主 动 力 虚 位 移 由N个质点所 组成的质点系 广义坐标 第i个质 点的位矢
F , F2 , ⋅⋅⋅, FN 1
δ r1,δ r2 ,L,δ rN
q1, q2 , ⋅⋅⋅, qn
ri = ri (q1, q2 , ⋅⋅⋅, qn , t)
动力学普遍方程 和拉格朗日方程
※ ※ ※ 引 言 动力学普遍方程 拉格朗日方程
※ 拉格朗日方程的初积分 ※ 结论与讨论
经典动力学的两个发展方面
拓宽研究领域
牛顿运动定律由单个自由质点
★ 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础) 受约束质点和质点系(以达朗贝尔原理为基础)
欧拉将牛顿运动定律
★ 刚体和理想流体 矢量动力学又称为牛顿- 矢量动力学又称为牛顿-欧拉动力学 又称为牛顿 寻求新的表达形式
将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学
★ 建立分析力学的新体系 拉格朗日力学
动力学普遍方程
考察由N个质点的、具有理想约束的系统。 考察由N个质点的、具有理想约束的系统。根据 达朗贝尔原理, 达朗贝尔原理,有
Fi + FRi − miai = 0
主动力
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
惯性力
令系统有任意一组虚位移
δ x = 0,δ ϕ ≠ 0
第二组
二自由度系统具有两组虚 位移: 位移:
δ x ≠ 0,δ ϕ = 0
解:4、应用动力学普遍方程 令: δ x = 0,δ ϕ ≠ 0
y A
FI 2 r
MI2
δϕ D C2
FI 2 e
FI1 = m a1 1
FI2e = m2a1
C1 OC
FI1
FI2r = m2ar
y A δx OC
FI 2 r
MI2
D C2
FI 2 e
FI1 = m a1 1
FI2e = m2a1
C1
FI1
FI2r = m2ar
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
− (FI1 + FI2e )δx + FI2r cosα ⋅δx = 0
(m + m2 )a1 1 ar = m2 cosα
& ∂ri ∂qj

d ∂ri ∂q dt j
第二个拉格朗日关系式
N N ∂ri ∂ri d d ∂ri & & ri ∑mi&& ⋅ ∂q = ∑mi dt (ri ⋅ ∂q ) −∑mi ri ⋅ dt (∂q ) i =1 i =1 i =1 j j j N
N & & ∂ri d r ∂ri & ∂ri mi ∂ (ri ⋅ & =∑ = i& ) − ∑mi ri ⋅ d ∂ri & dtq ∂qj ∂dtj ∂q q i =1 i =1 & ∂q ∂ N
y A a1 C1 ae C2 α
D α2 ar B
求:1、三棱柱后退的加速度a1; 三棱柱后退的加速度a OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 圆轮质心C 相对于三棱 柱加速度a 柱加速度ar。 解:1、分析运动 三棱柱作平动, 三棱柱作平动,加速度为 a1。 圆轮作平面运动,质心的牵连 圆轮作平面运动, 加速度为a 加速度为ae= a1 ;质心的相对加 速度为a 圆轮的角加速度为α 速度为ar;圆轮的角加速度为α2。
N
N
n
∂ri δ ri = ∑ δ qj j =1 ∂q j
n
∂r ∂ri && ∑Fi ⋅ δr i −∑miai ⋅ δr i = ∑(Qj − ∑miri ⋅ ∂q )δ qj = 0 i =1 i =1 j =1 i=1 j
N N n N
∂ri Qj − ∑mi && ⋅ ri = 0 ( j = 1,2,L, n) ∂qj i =1
(m1 + m2 )g ω = m1lcosα
2
例题3 质量为m 三棱柱ABC 例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m 半径为R 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下 无滑动地滚下。 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
δrA FIA m1g l
C
O1
x1
δα
l α α l
A
δxA = −l cosαδα δyA = −l sin αδα δxB = l cosαδα δyB = −l sin αδα δyC = −2l sin αδα
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
m2g y1
2m1lsinαω2lcosαδα− 2m1glsinαδα− 2m2 glsinαδα = 0
动力学普遍方程的应用
动力学普遍方程 主要应用于求解动力学第二类问
题,即:已知主动力求系统的运动规律。 已知主动力求系统的运动规律。
应用 动力学普遍方程 求解系统运动规律时,重 求解系统运动规律时, 要的是正确分析运动,并在系统上施加惯性力。 要的是正确分析运动,并在系统上施加惯性力。 应用 动力学普遍方程 ,需要正确分析主动力和 惯性力作用点的虚位移,并正确计算相应的虚功。 惯性力作用点的虚位移,并正确计算相应的虚功。 由于 动力学普遍方程 中不包含约束力,因此, 中不包含约束力,因此, 不需要解除约束,也不需要将系统拆开。 不需要解除约束,也不需要将系统拆开。
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