拉格朗日方程的形式_符瑞生

5.3.5拉格朗日方程

拉格朗日（1736-1813）
附
保守系统：
L T V
电磁场中的从带人电类粒历子史：的L 长远T 观q点(来看v， A毫)无疑问，
电在克磁1斯9场韦世：对纪电中磁发学生定的12律最的有A发意现义。事与A件这将一判重定大为科麦
学事件相比，同一个十年中发生的美国内战，
标准模将型降：为一SM个地区性琐事而黯然失色。
——费曼
dt q
q
d ((T V )) (T V ) 0
dt q
q
拉格朗日函数 L T V
d ( L ) L 0 ( 1, 2, , s)
dt q q
(保守拉系统格的朗)拉日格方朗程日方程
……力学成为了分析的一个分支。
——拉格朗日《分析力学》序言
拉格朗日方程
基本形式的拉格朗日方程
Q

d dt
( T q
)
T q
( 1, 2, , s)
主动力是保守力：Q
V
q
d ( T ) (T V ) 0
dt q
q
势能：V V (q1, q2 , , qs , t)
d ((T V )) (T V ) 0
基本形式的拉格朗日方程
Q

d dt
( T q
)
T q
( 1, 2, , s)ຫໍສະໝຸດ 主动力是保守力：QV
q
d ( T ) (T V ) 0
dt q
q
势能：V V (q1, q2 , , qs , t)
d ((T V )) (T V ) 0
dt q
q
d ((T V )) (T V ) 0

第十七章拉格朗日方程

17.2
d T T Q ，得由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗积分得曲柄的运动方程为日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。式中， 0 、
1
O
g MA
A
1 mg g FB
则 yC R1 R 2 (1) 由动力学普遍方程得
g g MA 1 M B 2 (mg FBg )yC 0
17.1 将惯性力及（1）式代入上式，得 1 1 2 mR 1 1 mR 2 2 2 (mg ma ) R( 1 2 ) 0 2 动 2 整理得力 (mgR maR 1 mR 2 ) (mgR maR 1 mR 2 ) 0 1 1 2 2
例1 图示滑轮系统中，动滑轮上悬挂着重为Q1 的重物，绳子绕过定滑轮后，挂着重为Q2的重物，设滑轮和绳子的重量不计，求重为Q2的重物下降的加速度。 g 解：以系统为研究对象，系统具 F2 Q 有理想约束，系统所受的主动力 1 a g g 2 s 2 g Q2 为 Q2 、，假想加上惯性力 F1 F2 、。 F1 s 1 Q1 Q2 g g a 其中 F1 a1 F2 a2 1 g g Q1 给系统以虚位移s1和s2，由动力学普遍方程，得 Q2 Q1 (Q2 a2 )s2 (Q1 a1 )s1 0 g g 1 1 由运动学关系 s1 s2 a1 a2 代入上式得 2 2
以上两式是由达朗伯原理和虚位移原理相结合而得到的结果，称为动力学普遍方程，也称达朗伯——拉格朗日方程。动力学普遍方程可以叙述如下：在理想约束条件下，在任一瞬时作用在质点系上所有的主动力和虚加的惯性力，在该瞬时质点系所处位置的任何虚位移上的元功之和等于零。

理论力学拉格朗日方程

xl
cos

1 2
k
x2

m2
gl
cos
L x

(m1

m2
)
x

m2
l
cos
,
L x

kx
d dt
L x

(m1

m2
)
x
m2
lcos

m2
l
2
sin
L

m2
l
2

m2
xlcos
,
L

m2
xl
sin

m2
glsin
(c)
代入质点系动力学普遍方程，得：
n
n
n
(Fi miai )ri Fi ri miairi 0 (d )
i 1
i 1
i 1
n
Fi
i 1
ri
n
Fi
i 1
( jk1qrij
q
j
kn
) (F
j1 i1
i
ri q j
)q j
kn
质点 M i : mi , 。ri 若取系统的一组广义坐标为
q，1则, q2 ,qk
ri ri (q1,q2 ,qk ,t) (i1,2,n)
(a)
vi
dri dt
jk1qrij
q j
ri t
(i 1,2n)
( b)
称
q j

dq j为广义速度。 dt
7
ri jk1qrij q j (i1,2,n)
22
dL dt

理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程

9-1-2 典型问题
即

3 G2 G r 2 a1 cos gG2 sin 0 2 g g
(b)
式(a)代入(b),可得
G2 g sin2 a1 3 G1 G2 2 G2 sin 2
G2 a1 并不为零；令 x 0 时，牵连惯性力 g 令 0 时，相对惯性力 G2 r 并不为零， g 两者相互独立。
r1
r2 B
A
x mg 2
m3 g
m1g

9-2 拉格朗日方程
9-2-4 拉氏方程的应用
系统自由度为1。取轮心B沿斜面位移x为广义坐标。平衡位置为零势能位置，则任意x位置时，系统动势
3 3 1 1 2 2 2 2 L T V m1 x m2 x m3 x kx 4 4 2 2 L 3 3 L m1 m2 m3 x kx ， x 2 2 x r2 d L L A 中，有 r1 代入拉氏方程 0 m3 g d t x x m1g 3 3 m1 m2 m3 kx 0 x 2 2 2k 即 x x 0 为所求微分方程。 3m1 3m2 2m3
即
G1 G2 a1 G2r cos
有
(a)
又由 WF 0 0, x 0 ,
G2 G2 1 G2 2 r r r a1 cos r G2 sin r 0 2 g g g
9-1 动力学普遍方程
将 FQ j * 能量化导出拉氏方程。
FQ j 不便计算，拉格朗日方程利用两个经典
微分关系。 9-2-1 两个经典微分关系 9-2-2 拉氏方程基本形式
9-2-4 拉氏方程的应用

分析力学拉格朗日方程

分析力学拉格朗日方程拉格朗日方程是描述物体在力的作用下运动规律的一个重要工具，是分析力学中的核心内容之一、它由意大利科学家拉格朗日在17世纪末提出，是一种基于能量的方法，对于描述系统的运动非常方便和有效。

拉格朗日方程的形式为：d/dt(dL/dq) - ∂L/∂q = Q，其中L为系统的拉格朗日函数，q表示广义坐标，t表示时间，Q表示外力。

拉格朗日函数L通常由系统的动能和势能函数构成，即L = T - V，其中T表示动能，V表示势能。

拉格朗日方程的推导是基于广义坐标的变分原理，即作用量最小原理。

根据广义坐标的定义，系统的运动可以由广义坐标的函数关系描述。

在运动过程中，系统的作用量S定义为积分∫Ldt，即拉格朗日函数关于时间的积分。

根据变分原理，作用量的真实路径使得作用量的变分δS等于零。

通过变分运算可以得到拉格朗日方程。

拉格朗日方程的形式简洁、便于应用，可以用来描述各种复杂的物体和系统。

它可以用来研究刚体的转动、弹簧振子的运动、多体系统的动力学等。

拉格朗日方程的特点是将系统的动能和势能统一在一个函数中描述，因此能够非常清晰地反映出系统的能量变化情况。

拉格朗日方程的应用可以帮助我们解决物理问题和工程实践中的许多复杂情况。

例如，在机械系统中，可以根据拉格朗日方程求解刚体的绕定轴转动、杆塔的动力学问题等。

在电磁学中，可以使用拉格朗日方程来推导电磁场的变化规律，解决复杂电磁场的问题。

在天体力学中，拉格朗日方程可以用来计算行星、卫星和人造星的轨道运动。

总之，拉格朗日方程是分析力学中的一种重要工具，可以简洁明确地描述物体在力的作用下的运动规律。

它具有普适性和广泛的应用性，对于理解和解决物理问题有着重要的意义。

拉格朗日方程组

拉格朗日方程组
拉格朗日方程组，又称为拉格朗日运动方程，是描述物体在给定约束下运动的一组方程。

它由法国数学家和力学家约瑟夫·路易·拉格朗日在18世纪中叶提出，适用于各种物体在各
种力场中的运动。

拉格朗日方程组的一般形式为：
∂(∂L/∂(dq/dt))/∂t - ∂L/∂q = 0
其中L是拉格朗日函数，q是广义坐标，t是时间。

这个方程
组描述了物体在给定约束下的运动，其中约束可以是运动约束、力学约束等。

拉格朗日方程组表达了物体在运动中满足的运动方程，是力学中研究物体运动的重要工具。

通过求解拉格朗日方程组，可以得到物体的运动轨迹、速度、加速度等相关信息。

在经典力学中，拉格朗日方程组是研究系统动力学的一种重要方法，能够简洁地描述复杂的动力学问题。

同时，拉格朗日方程组也可以通过哈密顿原理等一些基本理论推导出来。

5第3章拉格朗日方程

第3章拉格朗日方程以动力学普遍方程为基础，拉格朗日导出了两种形式的动力学方程，分别称为第一类和第二类拉格朗日方程。

将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立起动力学普遍方程，避免了理想约束力的出现；再把普遍方程变为广义坐标形式，进一步转变为能量形式，导出了第二类拉格朗日方程，实现了用最少数目的方程描述动力系统；应用数学分析中的乘子法，采用直角坐标形式的普遍方程和约束方程而建立的一组动力学方程，是第一类拉格朗日方程，便于程式化处理约束动力系统问题。

拉格朗日方程是分析力学得以发展之源。

3.1 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程是分析力学中最重要的动力学方程，它给出动力学问题一个普遍、简单而又统一的解法。

拉格朗日方程只适用于完整约束的质点系。

3.1.1 几个关系式的推证为方便起见，在推导拉格朗日方程前，先推证几个关系式。

质点系由n个质点、s个完整的理想约束组成，它的自由度数为k＝3n–s，广义坐标数与自由度数相等。

该系统中，任一质点M i的矢径r i可表示成广义坐标q1，q2，…，q k和时间t的函数，即r i＝r i(q1，q2，…，q k，t)i＝1,2,…,n它的速度(3-1)i＝1,2,…,n式中称为h个广义坐标的广义速度，分别为广义坐标和时间的函数，与广义速度没有直接的关系。

式(3-1)对求偏导数，则有(3-2)这是推证的第一个关系式，它表明，任一质点的速度对广义速度的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数。

为推证第二个关系式，将式(3-1)对广义坐标q j求偏导数，或(3-3)这是第二个关系式，它表明，任一质点的速度对广义坐标的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数，再对时间的一阶导数。

再看看质点的动能对广义坐标的偏导数。

有(A)又式(3-2)、式(3-3)代入上式，并注意式(A)的关系，(3-4)3.1.2 第二类拉格朗日方程动力学普遍方程可以改写为(3-5)左侧的第一项主动力的虚功之和，可以用广义力Q h在广义虚位移q h上所做的功之和表示，即(3-6)值得指出，这里的主动力并非平衡问题中的主动力，因此，这里的广义力Q h不等于零。

拉格朗日方程

统的自由度数目，选取合适的广义坐标。
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速度表示的系统的动能。（速度及角速度均为绝对的）
d L L ( ) 0 (k 1,2, , N ) k dt q qk
1.2
拉 T T d T 或 L L d L ( ) ( ) 格 q q j k dt q k dt q k q k q k k 朗 5、写出拉格朗日方程并加以整理，得到N个二日阶常微分方程。由2 N个初始条件，解得运动方程。方程
1.2
d T T Q ，得由 ( ) dt 1 2 M (2Q 9 P)(r R) 6g
拉 6Mg 即格 (2Q 9 P)(r R) 2 朗积分得曲柄的运动方程为日 3Mg 2 0t 0 t 方 2 (2Q 9 P)(r R) 程 0分别为初始转角和初始角速度。式中， 0 、
1.2
拉格朗日方程
例4 如图轮A的质量为 m1，在水平面上只滚动不滑动，定滑轮B的质量为 m2，两轮均为均质圆盘，半 m3 径均为R，重物C的质量为，弹簧的弹性系数为， k 试求系统的运动微分方程。 k AR 解：以系统为研究对象， B R 系统具有一个自由度。取 x x C 为广义坐标，x 从重物的平衡位置量起。系统的动能为 2 1 1 2 1 1 3 x x 2 2 2 T ( m1 R )( ) ( m2 R )( ) m3 x 2 2 2R 2 2 R 2 1 2 (3m1 4m2 8m3 ) x 16 设系统平衡时弹簧的静伸长为 st ，则有关系式

整理后得 3 1 1 2 2 1 2 2 2 2 T m1 x m2 ( x L Lx cos ) m2 L 4 2 4 24

§4 完整约束的第二类拉格朗日方程

§4 完整约束的第二类拉格朗日方程上一次课我们从牛顿第二定律出发导出达朗伯——拉格朗日方程：0)(=⋅-∑i i ii r a m F δ ，并推证了两个数学关系式一、两个数学关系式：ααq r qr i ∂∂=∂∂ ，ααq r q r dt d i i ∂∂=∂∂ 其中第i 个质点的位矢是广义坐标αq 的函数：1,2,()i i s t r r q q q =……，这些正是为我们这次课推导拉格朗日方程而准备的基础和工具。

二.方程推导：将达朗伯-拉格朗日方程展开写成两部分：0=-∑∑i i i i i i i r r m r F δδ这个方程中的虚位移i r δ，用高等数学中的全微分公式很容易推出它就等于αααδδq q r r s i i ∑∂∂= 。

因为dt t r dq q r r d i s i i ∂∂+∂∂=∑= ααα1，我们将此式中的实位移改成虚位移i r δ，再考虑到虚位移的改变与时间无关，即0=t δ，于是就由上式可以得出虚位移αααδδq q r r s i i ∑∂∂=。

我们将这个关系式代到达朗伯—拉格朗日方程的展开式中去，则有：011=∂∂⋅-∂∂⋅∑∑∑∑∂∂∂=∂=∂∂αδδq q r r m q q r F i i i i n i i i ，由于这里的两个求和运算，一个是对指标i 求和，一个是对指标α求和，它们是互不关联的，所以两个求和符号可以写在一起的。

所以上式也可以写成为：0=∂∂-∂∂⋅⋅∑∑∑∑ααααααδδq q r r m q q r F i i i i i i i …(1) ααααααααααδδδq q r dt d r m q r r m dtd q q r r m q q r r m i i i i i i i i i i i i i i i ⋅∂∂-∂∂=∂∂=∂∂⋅⋅∑∑∑∑∑∑)]()([)( αααααααδδq r m q r m q dt d q q r dt d r m q r r m dt d i i i ii i i i i i i ⋅∂∂-∂∂=⋅∂∂-∂∂∑∑∑∑∂)]21()21([)]()([22 =ααααδq r m q r m q dt d i i i i i i ⋅∂∂-∂∂∑∑∑]2121[22. [∑=i i i T r m 221 正好是力学体系的动能T 。