拉格朗日方程
拉格朗日方程
以约瑟夫·刘易斯·拉格朗日命名的拉格朗日方程是拉格朗日力学的主要方程。
它可以用来描述物体的运动，特别适合于理论物理学的研究。
拉格朗日方程的功能等效于牛顿力学中的牛顿第二定律。
拉格朗日方程：对于一个完整的系统，用广义坐标表示的动力学方程通常指第二种拉格朗日方程，该方程首先由法国数学家J.-L.拉格朗日推导。
通常可以这样写：
其中，t是由广义坐标QJ和广义速度q'j表示的系统动能；QJ 是与QJ对应的广义力；n（= 3n-k）是整个系统的自由度；n是系统的质点数；K是完全约束方程的数量。
完整系统的拉格朗日方程
完整系统的拉格朗日方程
从虚拟位移原理，我们可以得到没有约束力的具有理想约束的粒子系统的平衡方程，而动态静态方法（D'Alembert原理）则采用静态方法来建立粒子系统的动力学方程。
通过将两者结合起来，可以得到没有约束力的粒子系统动力学方程，这是一般的动力学方程。
拉格朗日方程是广义动力学方程在广义坐标系下的具体表达。
拉格朗日方程可用于建立无约束力的动力学方程，也可用于求解在给定运动定律下作用于系统的有功力。
如果要查找约束力，可以将拉格朗日方程与动态和静态方法或动量定理（或质心的运动定理）结合起来。
通常，我们将基于牛顿定律和基于牛顿定律的力学理论称为牛顿力学（也称为矢量力学），将拉格朗日方程和基于其的理论称为拉格朗日力学。
拉格朗日力学描述了机械系统在配置空间中的运动，适合研究受约束粒子系统的运动。
拉格朗日力学在解决微振动和刚体动力学问题中起着重要作用。
分析力学基础-拉格朗日方程
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
动力学方程 拉格朗日方程
n Fix i1
xi q
Fiy
yi q
Fiz
zi q
n
i 1
V xi
xi q
V yi
yi q
V zi
zi q
V 1, 2, , s
q
代入基本形式的拉格朗日方程，则
可见广义力的横向分量 Q 是力矩。
方法二：从主动力 所作的虚功来计算
x r sin cos r
y r cos sin r
Wr Qr (F
r r )
0
o
(Fx x Fy y) 0
y
j '
i'
Fx
x
r(Fx sin Fy cos ) rF
则
Q
Wθ
rF
两种方法的结果一致
四、保守力学系的拉格朗日方程
实际上，在很多情况下我们仅遇见保守力学系。
对于保守力学系，存在势能
V V (x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 , , xn , yn , zn )
则
d dt
L qj
0
pj
L qj
恒量
可见，当L函数中不含某广义坐标 q j 时，这个 q j 即循环坐标
所对应的广义动量
pj
L qj
就是守恒量，称为循环积分。
这表明，对任一循环坐标，都对应有一个循环积分。
[例4] 求一自由质点在有心力场中的循环积分。
理论力学拉格朗日方程
d mivi dt
( ri ) q j
所以
(mi
dvi ) ri dt q j
d dt
(mi vi
ri q j
)
mi vi
d dt
( ri q j
)
代入上式有
Q*j
n
[
i 1
d dt
(mi vi
ri q j
) mivi
d dt
( ri q j
)]
第七章 拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
r i
k
j 1
r i
q
q j
j
n
代入动力学普遍方程
(Fi Fi* ) ri 0 有
i 1
n [(Fi Fi* )
i 1
k j 1
ri q
q j
j
]
k
[
j 1
n i 1
(Fi
ri q j
)
n i 1
(Fi*
ri q j
)]q
j
0
广义力 记为Qj
k
这样动力学普遍方程可写为
[Q j
Q* ]q
代入前面所得动力学普遍方程的转化式
k
[Q j
Q* ]q
j
j
0
有
j 1
k
[Q j Q*j ]q j
j 1
k
[Q j
j 1
d dt
T ( q j
)
T q j
]q j
0
对于完整系统，广义虚位移δqj 都是独立的，并具有任意性，所以为使上
式成立，则有
Qj
d dt
T ( q j
)
拉格朗日方程
d ∂L ∂L ( )− =0 & dt ∂θ ∂θ
d ∂L 1 2 && & = 3 ml θ d t ∂θ
∂L = −kb 2θ ∂θ
1 2 && ( ml )θ + kb 2θ = 0 3
3kb 2 & θ& + 2 θ = 0 ml
3kb 2 2 ωn = ml 2
n
ωn为圆频率
2 2
ωn 频率：f n = 2π
ri = ri ( q1 , q 2 , L , q k , t ) 则： v i = dri = 因： dt & & & 即： vi = vi (q1 , q2 , L , qk , q1 , q2 , L , qk , t )
广义速度
∂ri ∂r &j + i ∑ ∂q q ∂t j =1 j
k
'
m2 g
δθ
B
δ Wθ Qθ = =0 δθ
δθ ≠ 0
代入拉格朗日方程： 代入拉格朗日方程：
& & (m1 + m2 )&& + m2 Lθ&cosθ − m2 Lθ 2 sinθ + kx = F (t ) x 1 & m2 (2l )2θ& + m2 L&&cosθ + m2 gLsinθ = 0 x 3
动力学的基本方法
牛顿定律
•动量定理 动量定理 •动量矩定理 动量矩定理 •动能定理 动能定理
达朗贝尔原理//动静法 达朗贝尔原理 动静法
虚位移原理
动力学普遍方程
拉格朗日方程怎么解
拉格朗日方程怎么解
拉格朗日方程，又称为“最优化原理”或“拉格朗日最优化原理”，是一种数
学最优化工具，它可以用来最小化或最大化某一函数。
拉格朗日方程定义如下：
给定n个未知量变量{x1, x2, ..., xn}, 和一个目标函数f(x1, x2, ..., xn) ，
拉格朗日方程的函数由系数与未知变量的函数f(x1, x2, …, xn) 以及拉格
朗日乘子λ的约束条件的乘积组成，即：
L(x1, x2, ..., xn) = f(x1, x2, …, xn) + λ∗g(x1, x2, ..., xn),
其中λ是拉格朗日乘子，g(x1, x2, ..., xn) 是约束条件的乘积。
求解拉格朗日方程的基本思想是：令拉格朗日函数的导数均为零，即L'(x1,
x2, ..., xn)=0.如果给定条件是有界的，那么最优解就是当约束函数值小于0时
达到最小值；而当约束函数值大于0时达到最大值。
拉格朗日方程可以应用于企业管理、最优路线规划、确定最优规模等多领域，
在现实生活中也有着广泛的应用，尤其是在不足以表示信息量和结果的数据中，拉格朗日最优化原理占据重要的地位。
在求解拉格朗日方程时，首先需要确定拉格朗日函数，即把待求解的目标及约束条件全部写入拉格朗日函数，然后令其导数为零，便可求解出拉格朗日方程的最优解。
由此可见，拉格朗日方程是一种有效的最优化方法，它不仅可在数学运算中应用，而且可以在多学科的最优化问题中使用。
拉格朗日方程的使用可以使最优化问题变得简单易行，更方便快捷，对提高企业的管理水平和提升市场竞争力大有裨益。
分析力学拉格朗日方程
分析力学拉格朗日方程拉格朗日方程是描述物体在力的作用下运动规律的一个重要工具，是分析力学中的核心内容之一、它由意大利科学家拉格朗日在17世纪末提出，是一种基于能量的方法，对于描述系统的运动非常方便和有效。
拉格朗日方程的形式为：d/dt(dL/dq) - ∂L/∂q = Q，其中L为系统的拉格朗日函数，q表示广义坐标，t表示时间，Q表示外力。
拉格朗日函数L通常由系统的动能和势能函数构成，即L = T - V，其中T表示动能，V表示势能。
拉格朗日方程的推导是基于广义坐标的变分原理，即作用量最小原理。
根据广义坐标的定义，系统的运动可以由广义坐标的函数关系描述。
在运动过程中，系统的作用量S定义为积分∫Ldt，即拉格朗日函数关于时间的积分。
根据变分原理，作用量的真实路径使得作用量的变分δS等于零。
通过变分运算可以得到拉格朗日方程。
拉格朗日方程的形式简洁、便于应用，可以用来描述各种复杂的物体和系统。
它可以用来研究刚体的转动、弹簧振子的运动、多体系统的动力学等。
拉格朗日方程的特点是将系统的动能和势能统一在一个函数中描述，因此能够非常清晰地反映出系统的能量变化情况。
拉格朗日方程的应用可以帮助我们解决物理问题和工程实践中的许多复杂情况。
例如，在机械系统中，可以根据拉格朗日方程求解刚体的绕定轴转动、杆塔的动力学问题等。
在电磁学中，可以使用拉格朗日方程来推导电磁场的变化规律，解决复杂电磁场的问题。
在天体力学中，拉格朗日方程可以用来计算行星、卫星和人造星的轨道运动。
总之，拉格朗日方程是分析力学中的一种重要工具，可以简洁明确地描述物体在力的作用下的运动规律。
它具有普适性和广泛的应用性，对于理解和解决物理问题有着重要的意义。
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
理想弹性振子的振动分析
总结词
理想弹性振子是一个简化的模型，用于研究振动的规 律。通过拉格朗日方程，可以分析其振动行为。
详细描述
理想弹性振子是一个质量为m的质点，连接到一个无 质量的弹簧上。当振子受到一个外部力作用时，它会 开始振动。通过应用拉格朗日方程，可以计算出振子 的振动频率和振幅。
地球的运动分析
详细描述
分离变量法是一种求解偏微分方程的常用方法。它通过假设解可以表示为多个独立变量的乘积，将偏微分方程转 化为多个常微分方程，从而简化了求解过程。这种方法在求解波动方程、热传导方程等偏微分方程时非常有效。
哈密顿正则方程法
总结词
利用哈密顿原理和正则方程推导出系统 的运动方程，适用于完整约束系统。
VS
相对论力学中的拉格朗日方程
总结词
相对论力学中的拉格朗日方程是经典拉格朗 日方程的进一步发展，它考虑了相对论效应 ，适用于高速运动和高能量密度的物理系统 。
详细描述
在相对论力学中，由于物体的高速运动和相 对论效应的影响，经典拉格朗日方程需要进 行相应的修正。相对论力学中的拉格朗日方 程能够更好地描述高速运动和高能量密度下 的物理过程，如相对论性粒子的运动、高能
要点一
总结词
地球的运动是一个复杂的系统，涉及到多个力和力的矩。 通过拉格朗日方程，可以分析地球的运动轨迹和规律。
要点二
详细描述
地球的运动包括自转和公转，受到太阳和其他天体的引力 作用。通过应用拉格朗日方程，可以计算出地球的运动轨 迹和周期，以及地球上不同地区的重力加速度和潮汐现象 等。
非保守系统的拉格朗日方程
总结词
非保守系统中的拉格朗日方程需要考虑非保 守力的影响，这需要引入额外的变量和方程 来描述系统的运动。
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拉格朗日方程是理论力学中非常重要的方程。
像牛顿力学一样，它是对机械系统的描述。
但是与牛顿力学不同，他从整个系统的角度分析了系统的运动状态，而牛顿力学则分别分析了每个粒子。
这两种方法是等效的，可以相互推论，但使用方案却大不相同。
拉格朗日方程以数学物理学家约瑟夫·拉格朗日（Joseph Lagrange）的名字命名，是分析力学中的重要方程，可用于描述物体的运动，特别适合于理论物理学的研究。
拉格朗日方程的功能等效于牛顿力学中的牛顿第二定律。
假定一个物理系统满足一个完整系统的要求，即所有广义坐标彼此独立，则拉格朗日方程式为：其中，是拉格朗日量，广义坐标，时间函数和广义速度。
以分析力学为指导，有三种方法可以指导拉格朗日方程。
最原始的方法是使用D'Alembert原理来指导Lagrange方程（请参阅D'Alembert原理）。
在更高级的水平上，拉格朗日方程可从哈密顿原理（指哈密顿原理）推导。
最简而言之，它可以通过数学变分方法的欧拉-拉格朗日方程推导：集合函数sum：,,,;哪里是自变量。
如果该函数获得局部平稳值，则Euler-Lagrange方程将保持在区间。
现在，进行以下变换：将自变量设置为时间，将函数设置为广义坐标，并将函数设置为拉格朗日量，从而可以获得拉格朗日方程。
为了满足此转换的正确性，广义坐标必
须彼此独立，因此系统必须是完整的系统。
拉格朗日量是动能减去势，势必须是广义势。
因此，该系统必须是单人系统。