第二章 用拉格朗日方程建立系统数学模型
拉格朗日法求解带约束条件的最优模型
拉格朗日法求解带约束条件的最优模型拉格朗日法是一种常用的数学方法，用于求解带有约束条件的最优化问题。
在实际问题中，我们经常会遇到需要在满足一定条件下寻找最大值或最小值的情况。
拉格朗日法通过引入拉格朗日乘子，将约束条件转化为目标函数的一部分，从而将带约束条件的最优化问题转化为无约束条件的最优化问题，进而求解最优解。
我们考虑一个简单的示例问题，假设有一个函数 f(x, y) = x^2 + y^2，我们希望在约束条件 g(x, y) = x + y = 1 下，求函数 f(x, y) 的最小值。
使用拉格朗日法求解这个问题的步骤如下：1. 建立拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)，其中λ 是拉格朗日乘子。
2. 求解拉格朗日函数的偏导数：∂L/∂x = 2x + λ∂L/∂y = 2y + λ∂L/∂λ = x + y - 13. 令偏导数等于零，并联立求解方程组：2x + λ = 02y + λ = 0x + y - 1 = 0解方程组得到 x = 1/2，y = 1/2，λ = -1。
4. 将求得的 x，y 值代入原函数 f(x, y) 中，得到最小值为f(1/2, 1/2) = 1/2。
通过以上步骤，我们成功使用拉格朗日法求解了带有约束条件的最优化问题。
当然，在实际问题中，可能会存在更复杂的约束条件和目标函数，但求解的思路是相似的。
除了上述示例问题外，拉格朗日法还可以应用于其他类型的问题，如带有多个约束条件的问题、非线性约束条件的问题等。
对于带有多个约束条件的问题，可以使用多个拉格朗日乘子，将每个约束条件转化为目标函数的一部分，并求解相应的偏导数方程组。
对于非线性约束条件的问题，可以使用约束条件的梯度向量与拉格朗日乘子的线性组合来建立拉格朗日函数。
拉格朗日法是一种强大的数学工具，可以帮助我们求解带有约束条件的最优化问题。
通过建立拉格朗日函数，引入拉格朗日乘子，并求解相应的方程组，我们可以得到最优解。
第二章：动力学系统的微分方程模型
第二章：动力学系统的微分方程模型利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握一定的建立数学模型的方法。
在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或者差分方程模型等。
在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论和方法。
在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般是高阶微分方程；另一种是离散系统，它的数学模型是差分方程。
§2.1 动力学系统统基本元件任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。
1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。
惯量（质量）=）加速度（力（2/)s m N 惯量（转动惯量）=）角加速度（力矩（2/)s rad m N ⋅2 弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件，这种元件可以通过外力做功来储存能量。
按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹簧来表示。
对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比，比例常数为弹簧刚度k 。
x k F ∆=这里k 称为弹簧刚度，x ∆是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。
3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，而不储存能量，可以形象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。
阻尼力通常表示为：αxc R = 阻尼力的方向总是速度方向相反。
当1=α，为线性阻尼模型。
否则为非线性阻尼模型。
应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼力表示为：||1--=αx xc R 这里的“-”表示与速度方向相反§2.2 动力学建模基本定理1 动力学普遍定理对于大多数力学问题，可以使用我们熟知的牛顿动力学基本定理来解决，动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理，以及其他变形形式，普遍定理的特点是比较直观，针对不同的问题可以选择不同的力学定理，在一般情况下利用普遍定理可以得到大多数动力学系统的数学模型。
第2章——多自由度系统的振动——运动方程建立方法0425
船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。
141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。
完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。
不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。
具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。
151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。
梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。
的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。
高等结构振动学-第2章-用拉格朗日方程建立系统数学模型
2muu
[Mg
L 2
0 mgu]sin
0
以上是对离散系统应用拉格朗日方程建立振动方程，如果利用拉格朗日方 程建立连续系统的方程，则它是一种同时将系统离散化、变量分离并达到系统 降阶的途径。 2． 连续参数模型中应用——与假设模态法联合使用
3
对一维连续系统，假设位移为：
N
u(x.t) i (x)qi (t) i 1
d dt
(
T qi
)
T qi
U qi
Qi
(i 1, 2, 3, N )
（2－5）
（推导：）
将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变
分驻值原理），有
t2
t1
(
T q1
q1
T q2
q2
T q N
q N
T q1
q1
f j (q1, q2 ,qM ) 0 ( j 1,2,C)
(i 1,2,M )
(2－43)
联立上两个方程，就可确定 M+C 个未知数 qi , j (i 1,2,M ; j 1,2,C)
【应用实例】
求两端固定杆的轴向自由振动微分方程。
【解】令，
u(x,
t)
(
x L
D q
0
（2－15）
如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力，如结构受到的外激励
力（对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得，仍记为 Qi ），则系统的拉 格朗日方程为：
d dt
(
T qi
)
T qi
用拉格朗日法建立体系的运动方程
拉格朗日法是分析力学中的一种方法，用于描述多体系统的运动。
这种方法基于拉格朗日函数L，它由系统的动能T和势能V组成。
假设我们有一个n自由度的多体系统，其动能和势能分别为：T = 1/2 ∑ mi × vi^2
V = V(q1, q2, ..., qn)
其中，m是质量，v是速度，q是位置。
那么拉格朗日函数L可以定义为：
L = T - V
根据拉格朗日函数，我们可以得到系统的运动方程，也称为拉格朗日方程：
dL/dq = dT/dq - dV/dq
其中，dq表示对q的偏导数。
这个方程描述了系统在给定力的作用下如何运动。
在给定初始条件的情况下，我们可以通过解这个方程来找到系统的运动轨迹。
需要注意的是，拉格朗日方程是一种描述系统动力学的方程，它并不直接给出系统的运动轨迹。
要找到具体的运动轨迹，通常需要求解这个方程。
这可能涉及到数值方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等。
拉格朗日方程的应用及举例08讲
拉格朗日方程的应用及举例拉格朗日方程有以下几个特点：（1）拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的n个方程，是一个包含n个二阶常微分方程组，方程组的阶数为2n。
求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。
（2）拉格朗日方程的形式具有不变性。
对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取而变化。
特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。
（3）所有的理想约束的约束反力均不出现在运动微分方程中。
系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。
（4）拉格朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用的广义力，避开了力、速度、加速度等矢量的复杂运算。
（5）拉格朗日方程不但可以建立相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，则取决于所选的广义坐标。
纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的基础上，提出严密的分析方法，从描述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。
我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所发展。
我们将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方程时，其求导过程有时过于繁琐，并有较多的耦合项。
应用拉格朗日方程建立动力学方程时，应首先建立以广义坐标q和广义速度q 表示的动能函数和广义力Q。
为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此基础上，再讨论拉格朗日方程的应用。
一、动能的计算对于系统的动能，可以写出关于广义速度q 的齐次函数的表达式。
在实际计算中，应用理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。
例1-1已知质量为m，半径为r的均质圆盘D，沿OAB直角曲杆的AB段只滚不滑。
(经典)拉格朗日方程
F Ni
mi
ri
O 图2.2
给质点i以虚位移 给质点 以虚位移 δ ri ，得
( Fi + FNi − mi ri ).δ ri = 0
Fi
对整个质点系
∑ (F
i
i
ri + FNi − mi ɺɺ ).δ ri = 0
在理想约束条件下， 在理想约束条件下，有
∑ (F
i
i
ri − mi ɺɺ ).δ ri = 0
（4）对拉格朗日方程的评价 ）
拉氏方程的特点（优点）： 拉氏方程的特点（优点）： • 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简洁、 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简洁、 结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。 结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。 • 方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已知 方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时， 的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越多， 的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越多，自由度 越少，方程个数也越少，问题也就越简单。 越少，方程个数也越少，问题也就越简单。 • 拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的 拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的， 基本物理量而且是标量， 基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域 开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。 开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。 拉氏方程的价值 拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的规律， 拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的规律，描 述了力学系统的动力学规律， 述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题提供了统一的程序化 的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价值， 的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义和实用价值，而且为研究近代物 理学提供了必要的物理思想和数学技巧。 理学提供了必要的物理思想和数学技巧。
倒立摆系统的建模(拉格朗日方程)
系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。
整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。
如图2.1所示：图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：图2.2直线一级倒立摆装置Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum deviceQuanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。
1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。
这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：图2.3伺服单元IP02的组成Fig 2.3 Servo unit IP02 parts编号名称英文(01)IP02小车IP02 Cart(02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft(03)齿轮导轨Rack(04)小车位移齿轮Cart Position Pinion(05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion(06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft(07)摆杆传动轴Pendulum Axis(08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder(09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder(10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector(11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector(12)电机接口Motor Connector(13)直流伺服电机DC Motor(14)变速器Planetary Gearbox(15)直线滑轨支撑轴Linear Bearing图2.4系统导轨结构图Fig 2.4 System guide rail structure直线一级倒立摆系统的倒立摆的摆杆连接在IP02小车的摆杆连接套上，IP02小车由电机通过齿轮传动机构在导轨上来回运动，保持摆杆平衡。
第二章用拉格朗日方程建立系统数学模型
第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型§2.1概述拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。
§2.2拉格朗日方程1． 哈密尔顿原理 系统总动能),,,,,,,(321321N n q q q qq q q q T T = （2－1）系统总势能),,,,(321t q q q q U U N =（2－2）非保守力的虚功N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211（2－3）哈密尔顿原理的数学描述：0)(2121=+-⎰⎰t t nc t t dt W dt U T δδ （2－4）2． 拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式：),3,2,1()(N i Q q Uq T q T dt d iii i ==∂∂+∂∂-∂∂ （2－5）（推导：）将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有0)(221122112211221121=+++∂∂-∂∂-∂∂-∂∂++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎰dt q Q q Q q Q q q Tq q U q q U q qTq q T q q T q q T q q T q q T N N N NN N N N t t δδδδδδδδδδδδ （2－6）利用分步积分dt q q Tdt d q qT dt q q T i t t i t t i i i t t i δδδ⎰⎰∂∂-∂∂=∂∂212121)(][ （2－7）并注意到端点不变分（端点变分为零）0)()(21==t q t q i i δδ （2－8）故dt q q T dt d dt q qTi i t t i t t i δδ)(2121∂∂-=∂∂⎰⎰（2－9）从而有0)])([211=+∂∂-∂∂+∂∂-⎰∑=dt q Q q Uq T q T dt d i i it t i i Ni δ （ （2－10）由变分学原理的基本引理：（设 n 维向量函数M(t)，在区间],[0f t t 内处处连续，在],[0f t t 内具有二阶连续导数，在f t t ,0处为零，并对任意选取的n 维向量函数)(t η，有⎰=ft t T dt t M t 00)()(η则在整个区间],[0f t t 内，有 0)(≡t M ）我们可以得到：0)(=+∂∂-∂∂+∂∂-i ii i Q q U q T q T dt d （2－11）即i ii i Q q U q T q T dt d =∂∂+∂∂-∂∂)( （2－12）对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型，则阻尼力与广义速度}{q成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D ，}]{[}{21q C q D T≡ （2－13） 阻尼力产生的广义非保守力为：i i qDQ ∂∂-= （2－14） 对于仅受有势力和线性阻尼力作用的系统，其拉格朗日方程为：0)(=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂qD q U q T q T dt d i i i （2－15） 如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力，如结构受到的外激励力（对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得，仍记为i Q ），则系统的拉格朗日方程为：i i i i Q qD q U q T q T dt d =∂∂+∂∂+∂∂-∂∂ )( （2－16） §2.3 拉格朗日方程在振动系统建模中应用在某些结构振动问题中，取分离体、确定各分离体的受力情况，然后利用牛顿第二定律建立方程的方法不一定可用，或者很不方便，这时，采用拉格朗日方程来建立振动方程就很方便。
07-分析力学基础-第二类拉格朗日方程的应用
∂L =0 ∂x
∂L = Qsinα ∂s
代入保守系统拉氏方程，并适当化简， 代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分方 程。
& & (P+Q)& −Q⋅& cosα =0 x s & & 3& −2& cosα =2gsinα s x
拉格朗日函数
L = T −V
1 m(x2 -xθlsinθ + 1 l 2θ 2 ) & & && = 2 3 1 kx2 + mg(x + l cosθ ) 2 2
4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程
∂L = － + mgx kx ∂x
∂L = mx- 1 m &lsinθ & θ & ∂x 2
2 2 −mgl(θ12 +θ2 )/2 − kl 2 (θ12 −2θ1 θ2 +θ2 )/2
∂L =−mglθ −kl 2 (θ −θ ) =−(mgl + kl 2 )θ + kl 2θ 1 1 2 1 2 ∂θ1
∂L = ml 2θ & 1 & ∂θ1 d ∂L = ml 2θ && 1 & dt ∂θ1
O
r0
B k A
解：1、系统的约束为完整约束，且主动 系统的约束为完整约束， O θ B' W
r0 r
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第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型§2.1概述拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。
§2.2拉格朗日方程1． 哈密尔顿原理 系统总动能),,,,,,,(321321N n q q q qq q q q T T = （2－1）系统总势能),,,,(321t q q q q U U N =（2－2）非保守力的虚功N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211（2－3）哈密尔顿原理的数学描述：0)(2121=+-⎰⎰t t nc t t dt W dt U T δδ （2－4）2． 拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式：),3,2,1()(N i Q q Uq T q T dt d iii i ==∂∂+∂∂-∂∂ （2－5）（推导：）将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有0)(221122112211221121=+++∂∂-∂∂-∂∂-∂∂++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎰dt q Q q Q q Q q q Tq q U q q U q qTq q T q q T q q T q q T q q T N N N NN N N N t t δδδδδδδδδδδδ （2－6）利用分步积分dt q q Tdt d q q T dt q q T i t t it t i i i t t i δδδ⎰⎰∂∂-∂∂=∂∂212121)(][ （2－7）并注意到端点不变分（端点变分为零）0)()(21==t q t q i i δδ （2－8）故dt q q T dt d dt q qTi i t t i t t i δδ)(2121∂∂-=∂∂⎰⎰（2－9）从而有0)])([211=+∂∂-∂∂+∂∂-⎰∑=dt q Q q Uq T q T dt d i i it t i i Ni δ （ （2－10）由变分学原理的基本引理：（设 n 维向量函数M(t)，在区间],[0f t t 内处处连续，在],[0f t t 内具有二阶连续导数，在f t t ,0处为零，并对任意选取的n 维向量函数)(t η，有⎰=ft t T dt t M t 00)()(η则在整个区间],[0f t t 内，有 0)(≡t M ）我们可以得到：0)(=+∂∂-∂∂+∂∂-i ii i Q q U q T q T dt d （2－11）即i ii i Q q U q T q T dt d =∂∂+∂∂-∂∂)( （2－12）对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型，则阻尼力与广义速度}{q成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D ，}]{[}{21q C q D T ≡ （2－13） 阻尼力产生的广义非保守力为：ii q DQ ∂∂-= （2－14） 对于仅受有势力和线性阻尼力作用的系统，其拉格朗日方程为：0)(=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂qD q U q T q T dt d i i i （2－15） 如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力，如结构受到的外激励力（对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得，仍记为i Q ），则系统的拉格朗日方程为：i i i i Q qD q U q T q T dt d =∂∂+∂∂+∂∂-∂∂ )( （2－16） §2.3 拉格朗日方程在振动系统建模中应用在某些结构振动问题中，取分离体、确定各分离体的受力情况，然后利用牛顿第二定律建立方程的方法不一定可用，或者很不方便，这时，采用拉格朗日方程来建立振动方程就很方便。
1． 集中参数模型中应用【例】质量为M 的长直杆上有一个集中质量m可在杆上滑动。
杆绕固定点摆动，建立其自由振动方程。
势能θcos ]2[mgu LMgU +-=( 以O 点为势能零点) 动能)(21)31(2122222θθ u u m ML T ++= 选广义坐标为θ,u ，且0=u Q ，0=θQ 代入拉格朗日方程得到：⎪⎩⎪⎨⎧=++++=--0sin ]2[2)31(0cos 222θθθθθm gu L Mg u m u m u ML m g m u um 以上是对离散系统应用拉格朗日方程建立振动方程，如果利用拉格朗日方程建立连续系统的方程，则它是一种同时将系统离散化、变量分离并达到系统降阶的途径。
2． 连续参数模型中应用——与假设模态法联合使用对一维连续系统，假设位移为：)()().(1t q x t x u i Ni i ∑==ψ（2－17）则系统具有N 个自由度，N 个广义坐标为),2,1()(N i t q i =，)(x i ψ不一定是系统的真实模态，可以是假设的一种变形模态。
只要)(x i ψ满足以下条件： （1） 是位移形函数，反映某种可能的位移形状 （2） 构成一组线性无关向量（3） 连续导数阶次满足势能中所要求的阶次 （4） 满足位移边界条件（不一定满足力边界条件） 2.1 杆的纵向振动轴向位移为),(t x u u =dx u A T l)(2120⎰=ρ (2－14) dx u EA U l20)(21⎰'= (2－15)将)()(),(t q x t x u i ii ∑=ψ代得到：}]{[}{2121q M q q q m T Tj i i j ij ==∑∑ (2－18) }]{[}{2121q K q q q k U T ji i j ij ==∑∑ (2－19)其中dx A m j l i ij ψψρ⎰=0dx EA k j li ij ψψ''=⎰0(2－20)分布轴力p(x ，t) 在广义坐标上的虚功i l ii lii q p dx t q x t x p dx t x u t x p W δδψδδ⎰∑⎰∑===0))()()(,(),(),( （2－21）广义力⎰=li i dx x t x p t p 0)(),()(ψ （2－22）代入拉格朗日方程得：i j jijjjijp q k qm =+∑∑ ),2,1(N i =(2－23)或}{}]{[}]{[P q K qM =+ （2－24）（2008-3-26） 2.2 梁的横向振动横向位移函数)()(),(t q x t x u i ii ∑=ψ （2－22）动能j i ji ij L q q m dx u A T ∑∑⎰==21)(2120ρ （2－25） 势能j i ji ij L q q k dx u EI U ∑∑⎰=''=21)(2102 （2－26）dx A m L j i ij ⎰=0ψψρ，dx EI k Lj i ij ⎰''''=0ψψ （2－27） 分布外力做的功：)()())(),(())()()(,(),(),(0t q Q t q dx x t x p dxt q x t x p dx t x u t x p W i ii i i iLi ii LL δδψδψδδ∑∑⎰∑⎰⎰====（2－28）dx x t x p Q i Li )(),(0ψ⎰= （2－29）代入拉格朗日方程：),2,1(N i Q q k qm i j jijjjij==+∑∑ （2－30）或矩阵方程：}{}]{[}]{[Q q K qM =+ （2－31）注意假设模态法与有限元素法的区别：这里的)(x i ψ是对整个结构的假设模态（相当于整个结构变形的形函数），不是单元的位移形函数，对复杂结构，确定精度（品质）较高的假设模态是比较困难的。
3. 粘性阻尼系统中阻尼的处理 假设结构中具有分布粘性阻尼力),()(),(t x ux t x p ξ-= （2－32） 广义力∑⎰∑⎰∑⎰-=-=-==jLjj ij j i j i Ljj j i L i t q C dx x x x t qdxx t q x x dx x t x p Q 0)(])()()()[()()]()()([)(),( ψψξψψξψ （2－33）dx x C Lj i ij ⎰=0)(ψψξ （2－34）代入拉格朗日方程得到}{}]{[}]{[}]{[Q q K q C qM =++ （2－35） 上式中}{Q 为其他的广义非保守力§2.4 坐标约束与拉格朗日乘子通常对一个N 维结构系统，采用拉格朗日方程建立振动方程时，广义坐标N q q q ,,21是线性独立的，但是实际问题中，有时希望采用一套不是独立的坐标来建立方程，可能更加方便。
记系统不独立的坐标为)(,,21N M q q q M > 则被约束坐标数C=M-N（2－36）对广义坐标，有C 个约束方程：),2,1(0),,(21C j q q q f M j ==（2－37）如果令每一个坐标i q 取变分，则：02211=∂∂+∂∂+∂∂=M Mj j j j q q f q q f q q f f δδδδ（2－38）),2,1(0C j q qf ii ij==∂∂∑δ（2－39）上式说明这M 个i q δ不独立，而是由上述C 个方程联系起来。
在哈密尔顿原理式中，将坐标数由N 扩展到M ，即得到：0}])({[211=+∂∂-∂∂+∂∂-⎰∑=dt q Q q U q T q T dt d i i ii i t t Mi δ （2－40）注意，由于此时的i q δ不独立，不能直接由变分学基本原理，得出方括号内的项等于零的结论。
对上面的约束方程引入拉格朗日乘子（或称为拉格朗日乘子函数）),2,1()(C j t j =λ，得到：01111=∂∂=∂∂∑∑∑∑====Cj i ijM i j C j Mi i ijj q q f q qf δλδλ（2－41）代入哈密尔顿原理方程式中，0}])({[211=∂∂++∂∂-∂∂+∂∂-∑⎰∑=dt q q f Q q Uq T q T dt d i C ji j j i i i i t t Mi δλ （2－42）我们可以选择C 个j λ，使C 个i q δ相应的方括号表达式为零，那么其余N=M-C 个独立的i q δ对应的方括号内的项必为零。
从而得到带约束的拉格朗日方程（修正的拉格朗日方程）为：),2,1(0),,(),2,1()(211C j q q q f M i Q q f q U q T q T dt d M j iCj i j j i i i ====∂∂-∂∂+∂∂-∂∂∑=λ (2－43)联立上两个方程，就可确定M+C 个未知数),2,1;,2,1(,C j M i q j i ==λ 【应用实例】求两端固定杆的轴向自由振动微分方程。