第二章 系统的数学模型
第2章 自动控制系统的数学模型
二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）
1、数学表达式 ：
2、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件，输入 量的作用不能立即在输出端全部重现出来， 而是有一个延缓，即有惯性。 3、实例
例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur 为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电 容电压uC为输出； （2）列微分方程组： 由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ① 由欧姆定律有： uR=R i ② 1 由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③ c （3）消去中间变量
n υ 他激直流电动
五、振荡环节（二阶滞后环节）
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统 的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌 握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的 反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的 对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的 基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系 统的性能指标打好基础。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
六、纯滞后环节（纯延迟环节）
表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。 实例：延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数 学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形 式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以 求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号 作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数 的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论 的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析 法都是建立在传递函数基础上的。
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
2.4第二章 系统的数学模型--第四节 系统的微分方程及线性化
四、电气系统中的元件复阻抗
2、电容
i(t)
C
u(t)
u (t )
1 C
i(t
)dt
u(t)
1 C
i(t)
sU (s) 1 I (s) U (s) 1 I (s)
C
Cs
零初始状态下
四、电气系统中的元件复阻抗 3、电感 i(t) L
u(t)
u(t) L di(t) dt
U (s) Ls I (s) 零初始状态下
R
ui
C
uo
3、列出如图电气系统的微分方程。
解：物理规律： 基尔霍夫原理 输 入: 电压 ui(t) 输 出: 电压 uo(t)
设：电路电流为 i(t)
i
ui
R
C
uo
ui (t)
uo (t)
R i
1 C
(t) 1 C
i(t)d t
i(t
)d
t
iu(it()t
五、微分方程建立示例
2、列出如图机械系统的微分方程。
解：物理规律： 达朗贝尔原理 输 入: 力矩 τ(t) 输 出: 位移 θ(t)
τ
ห้องสมุดไป่ตู้
kJ
θ(t)
J
t kJ t cJ wt J t t kJ t cJt Jt Jt cJt kJ t t
线性系统的特点：可以运用叠加原理。
2、非线性系统 必须用非线性微分方程描述
的系统。 不能使用叠加原理
y(t) x2 (t) 对于非线性问题通常采用如下的处理途径 线 性 化 处 理：在工作点附近将非线性函数用泰勒级
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
第二章系统数学模型的建立
工况﹑环境﹑条件 （过热器管长）
时间
建模时多采用分 区集总方法，即将三 维空间的分布参数简 化为一维空间。否则 无法求解。
（4）时间常数差别大
在发电厂中各设备的动态特性不同，其时间常数（动 态响应速度）差别十分悬殊，例如：
汽机甩负荷——转速 烟温——主汽温 燃料——汽压 减温水量——主汽温 时间常数小 响应快
原则2：应建立系统的方框图
方框图——用不同的方框来描述系统的各不同部分， 各个方框之间依据信号的传递关系连接成一个整体，概 括地说明系统的特性。 每个方框——都是由系统的分解而得。 系统的方框图是用来指导系统研究的，它是对系统的 最原则的综合。一般来说，可以根据设备的功能、介质 的性质和过程扣特点把一个系统划分成许多子系统，子 系统又是由许多环节组成的，当不再往下分解时，环节 即为分解的极限，从而确定系统的外部边界和内部边界， 于是整个框图的雏形便形成了。
第二章 系统数学模型的建立
数学模型：——是系统的数学描述，
是系统研究的基础， 是计算机仿真的依据。
2· 建立系统模型的任务 1
（1）确定系统模型的结构 ——定义模型性质、确定模型框架和边界条件、 明确各环节的特性和相互关系。 （2）提供系统模型的数据 ——确定系统中各环节特性的定量关系，确定各 环节相互间的定量关系（即信号传递的定量 关系）。
• 对于已运行的Байду номын сангаас站，如果对原设计进行了改动，对改 动部分应依据改动后的资料。
• 仿真机设计之前尽可能全面地收集到建模所需的资料。
（2）进行初步设计
•初步设计应利用所收集的主要设计资料、根据对仿真机 的要求、按系统和子系统进行。 •初步设计的主要目的：明确仿真范围，绘制仿真系统图。
第二章线性系统的数学模型ppt课件
传递函数的定义：零初始条件下系统输出与输入函 数的拉氏变换之比为系统的传递函数。
传递函数有如下性质： (1) Xo(S)= G(S)Xi(S)，信号传递的性质。
用方框图表示：
Xi(S)
G(S)
Xo(S)
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
ia(t)CJm ddn(tt)iL(t)
（2-3）
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
ua(t)R aia(t)Ladd a(it)tea(t)
ea(t)Cen(t)
（2-1） （2-2）
J dn(t) ia(t)Cm dt iL(t)
令：
Tm
(t)
JRa CeCm
（机电时间常数）
Ti (t)
La Ra
（电磁时间常数）
T m T id d 2 n ( 2 t)t T m d d ( t)n tn ( t) C 1 eu a ( t) T m J C m iL ( t) d d L ( t) i t
输出 输入
负载扰动
（2-3）
将式(2-2)、 (2-3)一起代入式(2-1)中，消去中间
变量得：
L C a m Jd d 2 n 2 ( t)t R C a m Jd d ( t)n tC e n ( t) u a ( t) L ad d L ( t) i tR a iL ( t)
令：
Tm
(t)
JRa CeCm
（机电时间常数）
整理得：
第2章 系统的数学模型 02
零点和极点 bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b.0 G( s) n n 1 an s an 1 s ...... a1 s a0 bm s z1 s z2 ...... s zm G( s) an s p1 s p2 ...... s pn bm s z1 s z2 ...... s zm 0 的根
v
T s 1 T
j 1 j k 1
i 1 d
l 1 e
s e s
2 2 k
s 2 kTk s 1
二阶振荡环节
积分环节
惯性环节
延迟环节
小结：
环节是根据微分方程划分的，不是具体 的物理装置或元件； 一个环节往往由几个元件之间的运动特 性共同组成； 同一元件在不同系统中作用不同，输入 输出的物理量不同，可起到不同环节的作 用。
所以位移 x
式中A—活塞的面积 对式（2-63）取拉氏变换，并 整理，则得其传递函数为 ：
q dt（2-63） A
1 G ( s ) X ( s ) / Q( s ) （2-64） 图2-12 As
液压积分环节
注意：位移对流量来说是积分环节，而速度对流量来 说，则是一个比例环节。因此对一个具体的物理系统 而言，究竟是属于那一个环节，要看确定出输入量与 输出量后的传递函数而定。
机械工程控制基础之系统的数学模型.pptx
氏变换之比。
传递函数特点：
传递函数方框
1.传递函数是关于复变量s的复变函数，为复域数学模型；
2.传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性， 传递 函数的分子反映系统与外界的联系；
3. 在零初始条件下，当输入确定时，系统的输出完全取决于系 统的传递函数 xo (t) L1[ X o (s)] L1[G(s) X i (s)]
若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微 分方程表示的系统为线性系统；否则，系统为非线性系统。 对线性系统，若系数为常数则为线性定常系统。
xo(t)3xo(t)7xo(t) 4xi(t)5xi(t)
x (t)3x (t)7x (t) 4t2x (t)5x (t)
o
o
o
i
i
线性定常系统 线性时变系统
CmM L
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
Cdua CmM L 设平衡点 (ua0,M L0, ) 即有 Cdua0 CmM L0
当偏离平衡点时，有
ua ua0 ua
M L M L0 M L
则 TaTm ( ) '' Tm ( ) ' ( )
Cd (ua0 ua ) CmTa (M L0 M L ) ' Cm (M L0 M L )
TaTm () '' Tm () ' Cdua CmTa (M L ) ' CmM L 增量化
1. 增量化方程与实际坐标方程形式相同
2. 当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。
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第二章系统的数学模型2．3图中三图分别表示三个机械系统。
求出他们各自的微分方程，图中xi表示输入位移，xo表示输出位移，假设输出端无负载效应。
解：（1）、对图（a）所示系统，有牛顿定律有c1(x i-x0)-c2x0=m x0即m x0+(c1-c2) x0= c1x i（2）、对图（b）所示系统，引入一中间变量x，并有牛顿定律有(x i-x)k1=c(x-x0)c(x-x0)=k2x0消除中间变量有c(k1+k2)x0+k1k2x0=ck1x i（3）、对图（c）所示系统，有牛顿定律有c(x i-x0)+ k1 (x i-x)= k2x0即c x0+(k1+k2)x0=c x i+ k1x i2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。
解：（1）对图（a ）所示系统，设i x 为流过1R 的电流，i 为总电流，则有⎰+=idt C i R u o 22111i R u u o i =-dt i i C u u o i ⎰-=-)(111消除中间变量，并化简有ii i oo o u R C u C C R R u R C u R C u C C R R uR C 12211221122112211)(1)1(+++=++++（2）对图（b ）所示系统，设i 为电流，则有dt i C i R u u o i ⎰++=111i R dt i C u o 221+=⎰消除中间变量，并化简有i i o o u C u R u C C uR R 2221211)11()(+=+++2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。
图中M 为输入转矩，C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。
解：设系统输入为M （即M （t ）），输出为θ（即θ（t ）），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：图 2.5M=J θ＋C m θ＋Rk(R θ－x) (1)K(R θ－x)=m x ＋c x (2)消除中间变量x ，即可得到系统动力学方程mJ θ（4）＋（mC m ＋cJ ）θ＋(R 2km ＋C m C ＋kJ) θ＋k(cR 2＋C m ) θ=m M ＋c M ＋k M 2.6 已知系统的动力学方程如下,试写出它们的传递函数Y(s)/R(s) (a) y •••+15y ••+50y •+500y=r ••+2r (b) 5y ••+25y •=0.5r •(c) y ••+25y=0.5r (d) y ••+3y •+6y+4ydt ⎰=4r解: 根据传递函数的定义, 求系统的传递函数, 只需将其动力方程两边分别在零初始条件进行拉式变换, 然后求Y(s)/R(s). (a) 3s Y(s) + 152s Y(s) + 50sY(s) + 500 Y(s)=2s R(s) + 2R(s)∴ Y(s)/R(s) = 23221550500s s s s ++++ (b) 52s Y(s) + 25sY(s) = 0.5sR(s)∴ Y(s)/R(s) =20.5525ss s+ (c) 2s Y(s) + 25Y(s) = 0.5R(s)∴ Y(s)/R(s) =20.525s + (d) 2s Y(s) + 3sY(s) + 6 Y(s) + 41s Y(s) = 4R(s)∴ Y(s)/R(s) = 324364ss s s +++ 2.7 若某线性定常系统在单位阶跃输入作用下，其输出为y(t)=1－22t t e e --+。
试求系统的传递函数。
解：由传递函数的定义有()i X s =1sY(s) =11221s s s -+++ ∴ Y(s)/()i X s = 2226232s s s s ++++2.8 输出y （t ）与输入x （t ）的关系为y （t ）=2x （t ）+0.5x 3（t ） （a ）求当工作点分别为x 0=0,x 0=1,x 0=2时相应的稳态输出值。
（b ）在这些工作点处作小偏差线性化的模型，并以对工作点的偏差来定义x 和y ，写出新的线性化模型。
解：（a ）将x 0=0, x 0=1, x 0=2分别代入y(t)=2x(t)+0.5x 3(t)中，即得当工作点为x 0=0,x 0=1,x 0=2时相应的稳态输出值分别为y 0=0,y 0=2.5,y 0=8(b) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点（x 0,y 0）附近,将非线性函数展开成泰勒级数，并略去高阶项得Y 0+△y=2x 0+0.5x 03+(2+1.5x 2)∣x=x0·△x△y=（2+1.5x 2）∣x=x0△x若令x=△x,y=△y 有 y=（2+1.5x 02）x 当工作点为x 0=0时,y=（2+1.5x 02）x=2x 当工作点为x 0=1时,y=（2+1.5x 02）x=3.5x 当工作点为x 0=2时,y=（2+1.5x 02）x=8x 2.9 已知滑阀节流口流量方程式ρpcwx Q v2=,，式中，Q 为通过节流阀流口的流量；P 为节流阀流口的前后油压差；v x 为节流阀的位移量；c 为流量系数；w 为节流口面积梯度；ρ为油密度。
试以Q 与P 为变量（即将Q 作为P 的函数）将节流阀流量方程线性化。
解：利用小偏差线性化的概念，将函数),(p x F Q v =在预定工作点),(οοp x F v 处按泰勒级数展开为：),(p x F Q v ==),(οοp x F v +v v vx p x x F∆∂∂•)(00,)(+p p x p F v ∆∂∂•)(00,)(+…消除高阶项，有：),(p x F Q v ==),(οοp x F v +v v vx p x x F∆∂∂•)(00,)(+ p p x p F v ∆∂∂•)(00,)(∴ ),(),(00p x F p x F Q v v -=∆=),(οοp x F v +v v vx p x x F∆∂∂•)(00,)(+p p x p F v ∆∂∂•)(00,)(-),(οοp x F v=v v vx p x x F∆∂∂•)(00,)(+p p x p F v ∆∂∂•)(00,)(若令=1K )(00,)(p x x Fv v∂∂，=2K )(00,)(p x p F v ∂∂，则有：p K x K Q v ∆*+∆*=∆21 若上式改写为增量方程的形式为： p K x K Q v *+*=212.10试分析当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)分别为惯性环节，微分环节，积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。
解：由于惯性环节、微分环节，积分环节的传递函数分别是G(s)= 1KTs +，而闭环传递函数为G(s)=Ts ，G(s)=Ks，而闭环函数为G B （s ）=()1()()G s G s H s ±•，则（1） 当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为惯性环节时，G B （s ）=()1()()G s G s H s ±•=111KTs K Ts +±+= 1KTs K ++（2）当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为微分环节时， G B （s ）=()1()()G s G s H s ±•= 1TsTs±（3）当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为积分环节时，G B （s ）=()1()()G s G s H s ±•= 1Ks K s±=Ks K ±2.11证明图（题2.11）与图（题2.4（a ））所示系统是相似系统（即证明两系统的传递函数具有相同的形式）。
解：对题2.4（a ）系统，可列出相应的方程。
()()()22110111121()3o i o i u R i idt C u u R i u u i i dt C ⎧=+⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎩⎰⎰对以上三式分别做Laplace 变换，并注意到初始条件为零，即 (0)(0)0I I •== 11(0)(0)0I I •== 则()()()()()2()2()22()()11()()1()()()111()456o i o S i o I s U s R I s R I s C s C s U s U s R I I s I s U s U s C s C s ⎧=+=+⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎩11(5)C s⨯，得()1()()1()111[]7i o S R U s U s I C s C s-= 1(6)R ⨯，得()1()11()()1()11[]8S i o S R I R R U s U s I C s C s-=- (7)(8)+，得11()()()111()[]i o S R R U s U s I C s C s+-= 即111()()()()1111111i o R C s R U s U s I s I s C s R C s R C s -=⨯=++ 则()1()()()1191i o R U s U s I s R C s=++将（4）式中的()o U s 带入（9）式1()2()()21112()2111()11()1i R U s R I s I s C s R C sR R I s C s R C s=+++=+++再用（4）式与上式相比消去()I s ，即得电系统的传递函数为2()()2()1()2()21122122111()1()1111o i R I s U s C s G s R U s R I s C s R C sR C s R R C s R C s+==++++=+++而本题中，引入中间变量x ，依动力学知识有22111()()()()i o i o i o o x x k x x c x x c x x c k x••••••⎧-+-=-⎪⎨⎪-=⎩对上二式分别进行拉氏变换有2()()2()()()()11()()11[][][]i o i o o o k X s X s sc X s X s X s X s sc c sX s X s k c s -+-=-⎧⎪⎨=⎪+⎩ 消除()X s 有22()22()1121()22211111o i k c X s k c ssG s k c s k c X s k c s c c k c s s sk ++===++++++ 比较两系统的传递函数有 122k C ⇔111k C ⇔22c R ⇔ 11c R ⇔2.12求图所示两系统的传递函数。
解：（1）由图（a）中系统，可得动力学方程为(x i(t)-x o(t))k=m x o(t)+cox(t)作Laplace变换，得[X i(s)-X o(t)]k=ms2Xo(s)+ csX o (s) 则有G（s）= X o (s)/ X i(s)=k/( ms2+cs+k)(2) 由图（b）中系统,设i为电网络的电流，可得方程为u i=Ri+L didt+1cidt⎰u o=1cidt ⎰作Laplace变换，得U i(s)=RI(s)+LsI(s)+ 1csI(s)U o(s)= 1csI(s)消除中间变量有G（s）= U o(s)/ U i(s)=211LCs RCs++ 2.13求图（题2、13）所示系统的传递函数。