第二章数学模型
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数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
第二章控制系统的数学模型例题全
L ddt
Ac ost
L
Asint
A 2 S2
2
另一种解法：
设xt Acost, xs A s
s2 2
x0 Acost A t0
Lddt xt sx(s) x0
Lddt Acost
s s2
s
2
A
A 2
S2 2
7已知f t cost- cos2t,求Fs。 8已知f t 2e-tsin2t,求Fs。 9已知f t te-2t ,求Fs。 10已知f t t n ,求Fs。
dt
2已知Fs
ss
4
2
, 求f
t
。
3已知Fs 1 ,求f 0、f 。
sa
3已知Fs 1 ,求f 0、f 。
sa
f 0
lims Fs s
lims s
s
1 a
1
f
lims s0
s
1 a
0
• Using the laplace transform methodes solve the differential equations
第二章控制系统的数学模型 例题
1已知f t d Acost,求Fs。
dt
2已知f t 3t 4e2t ,求Fs。
3已知f t e3tsin4t,求Fs。
t
4已知f t Acostdt,求Fs。
0
5已知f t sint ,求Fs。
6已知f t 8e-100t - 5e-200t ,求Fs。
G1
-1
- G2
N1
C
G2
C 1 G 2 G 3
N1 1 G 2 G1G 2G3
第二章电力系统各元件的数学模型
试验时小绕组不过负荷，存在归算问题，归算到SN
2) 对于（100/50/100）
2
Pk (12)
P' k (12)
IN 0.5IN
P 4 ' k (12)
2
Pk ( 23)
P' k (23)
IN 0.5IN
P 4 ' k ( 23 )
3) 对于（100/100/50）
2
Pk (13)
P' k (13)
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
一次整循环换位：
A B
C
换位的目的：为了减 少三相参数的不平衡
§2.3 电力线路的参数和数学模型
Xd
§2.1 发电机的数学模型
受限条件
定子绕组： IN为限—S园弧
转子绕组： Eqn ife 励磁电流为限—F园弧 Xd
原动机出力：额定有功功率—BC直线
其它约束： 静稳、进相导致漏磁引起温升—T弧
进相运行时受定 子端部发热限制 受原动机出力限制
定子绕组不超 过额定电流
励磁绕组不超 过额定电流 留稳定储备
2、由短路电压百分比求XT（制造商已归算，直接用）
U U U U 1 k1(%) 2
k(12) (%) k(13) (%) (%) k(23)
XT1
Uk
1(%
)U2 N
100SN
U U U U 1 k2 (%) 2
k(12) (%) k(23) (%) (%) k(13)
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
第二章——流体流动的数学模型
u u p 2u (u v ) Fx 2 x y x y
如果定解条件选择不合理， 将产生违背物理真实的伪解
第二章 流体流动的数学模型
流动现象分类：
（1）按流态不同：层流和湍流
（2）流动速度级别：蠕动流、低速流、高速流、 超声速流。高超声速 （3）流体受阻现象：自由流和剪切流
p RK
第二章 流体流动的数学模型
湍流雷诺方程（u向）
Du p u u u Fx ( ) ( ) ( ) D x x x y y z z
u u u
'
Du p u u u u 'u ' u 'v ' u ' w' Fx ( ) ( ) ( ) D x x x y y z z x y z
（4）流线形态：直线流、旋转流、分离流
（5）参考物尺度：大尺度、中尺度、小尺度及 微纳米尺度
第二章 流体流动的数学模型
• 接触较多的是中尺度的低速流 • 尺度是相对的 • 小尺度中的边界效应非常明显诺数小于10，认为是蠕动流动
第二章 流体流动的数学模型
第二章流体流动的数学模型1连续方程2运动方程3能量方程4状态方程0????????zwyvxu222222ztytxtcddtp??????rkp???zuzyuyxuxxpfddux???????????????第二章流体流动的数学模型湍流雷诺方程u向uuuzwuyvuxuuzuzyuyxuxxpfdudx??????????????????????????????zuzyuyxuxxpfddux???????????????第二章流体流动的数学模型fluent中指定各种方程的位置和方法第二章流体流动的数学模型方程是否可以简化如何判断方程解的情况
第二章控制系统数学模型
s s 后，再求 F (s) 的极限值来求得。条件是当 t 和s 0时，等式两边各
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的 位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的 位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0
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列写数学模型的一般步骤
➢ 分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和 各元件的输入、输出量；
➢ 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循 的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程， 做适当简化、线性化；
➢ 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间 关系的微分方程；
说明 ➢ 建立数学模型的一般步骤 系统（实物）
简化的动力学模型或电学模型
列写数学模型
LOGO
根据工程经验和数学 方法的抽象、简化。 （现阶段暂不需掌 握！）
需要掌握！
机械系统和电路系统的抽象与简化 例：进给传动装置示意图及等效力学模型
LOGO
机械系统和电路系统的抽象与简化
LOGO
机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系 统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则 惯性较小、柔度较大。在集中参数法中，我们将前一 类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后一类构件 的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的机 械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。
举例
➢ 实验法
no K ni
LOGO
➢ 解析法
no z2 z4 z6 ni z1 z3 z5
质量-弹簧-阻尼系统
LOGO
机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简 化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
✓ 质量
fm(t)
x (t) v (t)
m 参考点
fm (t)
m
d dt
v(t)
m
d2 dt 2
LOGO
弹簧－阻尼系统
fi(t)
0
xo(t) fi (t) fD (t) fk (t)
k
D
D
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
弹簧-阻尼系统
系统运动方程为一阶常系数微分方 程。
LOGO
电路系统 电路系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
✓ 电阻
i(t)
R
u(t)
u(t) R i(t)
L
d dt
i(t)
1 C
i(t)dt
uo
(t)
1 C
i(t)dt
LOGO
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo (t)
ui
(t)
一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。
若L=0，则系统简化为：
RC
d dt
uo
(t
)
uo
(t
)
ui
(t
)
由机械动力学模型或电学模型
LOGO
x(t)
LOGO
✓ 弹簧
x1(t) v1(t)
x2(t) v2(t)
fk(t)
k
fk(t)
fk (t) k x1(t) x2 (t) kx(t)
k
t
v1
(t
)
v2
(t
)
dt
t
k v(t)dt
LOGO
✓ 阻尼
v1(t) x1(t)
v2(t) x2(t)
fD(t) D
fD(t)
fD (t) Dv1(t) v2 (t) Dv(t)
LOGO
建立数学模型的方法 ➢ 解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列 写出相应的数学关系式，建立模型。
➢ 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并 用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。
数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型 的简洁性和精确性进行折衷考虑。
控制工程基础 （第二章）
主讲：XZIT 2017
第二章 控制系统的数学模型
一、系统的微分方程 二、非线性微分方程的线性化 三、拉氏变换 四、传递函数 五、系统传统函数方框图及简化 六、控制系统的传递函数推导举例 七、数学模型的MATLAB实现
LOGO
第二章 控制系统的动态数学模型
LOGO
本章要掌握下列内容： ➢ 建立基本环节（质量-弹簧-阻尼系统、R-L-C电路网络）的 数学模型及模型的线性化 ➢ 重要的分析工具：拉氏变换及反变换 ➢ 经典控制理论的数学基础：传递函数 ➢ 控制系统的图形表示：方框图
fk (t)
m
d2 dt 2
xo (t)
fD
(t)
D
d dt
xo
(t)
LOGO
m
d2 dt 2
xo
(t
)
D
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
式中，m、D、k通常均为常数，故机械平移系统可以由二 阶常系数微分方程描述。
显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等 于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。
➢ 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列
说明
LOGO
上述由机械动力学模型或电学模型直接列写 微分方程（数学模型），只要掌握元件和系统所遵循 的物理规律，列写出系统微分方程的难度并不大。
然而，对于实际的工程系统而言，动力学模 型或电学模型必须要经过对实际系统的抽象和简化获 得，这种抽象和简化直接决定了所列写微分方程的工 程适用程度，需要较为扎实的理论基础和一定的工程 经验才能进行，对研究者的要求较高。
✓ 电容
i(t)
C
u(t) ✓ 电感
i(t) L
uห้องสมุดไป่ตู้t)
LOGO
u(t)
1 C
i(t)dt
i(t) C d u(t) dt
u(t) L di(t) dt
i(t)
1 L
u(t)dt
R-L-C无源电路网络
L
R
LOGO
ui(t)
i( C t)
uo(t)
R-L-C无源电路网络
ui
(t)
Ri (t )
➢ 建立实际机电系统的传递函数及方框图
➢ 系统数学模型的MATLAB实现
一、基本环节的数学模型
LOGO
数学模型 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之 间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与 其性能之间的内在关系。
经典控制理论：以传递函数为基础。 现代控制理论：以状态空间方程为基础。 而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本 的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
D
dx1 (t ) dt
dx2 (t) dt
D dx(t) dt
LOGO
机械平移系统
fi( t) m
fi(t)
m
fm(t)
静止（平衡）工作点作为
0
0
零点，以消除重力的影响
xo(t)
xo(t)
k
D
fk(t)fD(t)
机械平移系统及其力学模型
fi (t) fD (t) fk (t) kxo (t)
同理，电路系统也要根据元件特性进行抽象简化。
电动机
LOGO
直流电动机
input : ei (t)
output :o t
直流电动机工作原 理
直流电动机电路与动力学
电动机
LOGO
牛顿第二定律
T t
D
do t
dt
J
d
2 o t
dt 2
LOGO
磁场对载流线圈 作用的定律