第二章 数学模型-正式2
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过程控制-第2章-过程对象数学模型2-xu
定义：Ｋ为放大系数，则Ｋ 可表示为：
t
K b h
a q1
K的物理意义是把系统的输入变化量放大 Ｋ倍。
Ｋ越大，表明输入信号对输出的控制作 用越强。
若同时有几个输入变量作用于被控变量， 则应选择放大系数较大的作为控制变量。
对干扰通道，Ｋ越大，则扰动对输出变 量的影响越大。
时间常数T
以水槽为例，T=RC=RA。
由于系统中物料或能量的传递需要克服一 定的阻力而产生的滞后。表现为输入变化 后，输出的变化相当缓慢，在一段时间内 几乎观察不到，然后，才逐渐显著变化。
以二级水槽为例：
q1
h1
q2
h2
q3
q1(t)
阶跃响应曲线： a
h1(t)0
t
q2(t)0
t
0
t
h2(t)
0
t
h2(t)
t0 t1
t2
可用作图法求τc。
0
a
y(t) y*(t)
t -y(t-a)
若对象为线性，则： y* (t)y(t)y(t a )
y *(t) ：矩形脉冲响应曲线； y (t ) ：正阶跃响应曲线 y(t a) ：负阶跃响应曲线
求阶跃响应曲线为：
y(t)y* (t)y(t a )
t0,y(0)y*(0) t a ,y (a ) y * (a ) y (0 )
q1
q2
q1(t) a
0 h(t)
b
0
A1
A2
若A2>A1,则需要更多时间 到达设定液位值。
t
t
Ｔ是标志系统动态过程快慢的参数。
对调节通道，Ｔ大，则系统响应平稳， 系统较稳定，但调节时间长；Ｔ过小， 则系统较难控制。
第二章2过程控制的数学模型-曲线响应
u2 (t) u1(t a)
矩形脉冲响应曲线：
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
首先确定过程数学模型的结构，然后确定数学模型的具体参数。
传递函数： （1）一阶无延 时
无自衡过程。
（2）二阶无延 时
（3）一阶有延 时
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
3.1 阶跃响应确定一阶过程参数 放大系数K0、时间常数T0、时延时间τ0。 t=0，曲线斜率最大，之后斜率减小，逐渐达稳态。
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
3.2 由阶跃响应曲线确定一阶时延过程的参数 一阶时延环节响应曲线特点：
在t=0时，斜率几乎为零，之后逐渐增大到某点（拐点）后，斜率 又逐渐减小。曲线呈S形状。
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
y0 (t)
y(t) y()
y0
(t
)
0
t
t
第二章 过程控制的数学模型
2.3 响应曲线辨识过程的数学模型
1. 阶跃响应曲线的测定
利用响应曲线辨识建立数学模型是一种常用的方法。 1.1 阶跃响应曲线的测定 过程：使输入量作一阶跃变化，记录输出量随时间变化的
响应曲线。即阶跃响应曲线。
输入信号：
响应曲线：
1. 阶跃响应曲线的测定
试验时必须注意： (1) 试验测定时，被控过程处于相对稳定的工作状态。 (2) 输入的阶跃信号不可太大，也不可太小。太大，影响生产；
欠佳，就难以获得对象的动态特性参数。
2. 矩形脉冲响应曲线的测定
阶跃响应法缺陷： 过程长时间的处于较大幅值的阶跃信号
作用下，被控量变化的幅度可能会超出生 产工艺允许的范围。
用矩形脉冲作为输入信号，将响应曲线 转化为阶跃响应曲线，确定数学模型。 脉冲信号看作：
矩形脉冲响应曲线：
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
首先确定过程数学模型的结构，然后确定数学模型的具体参数。
传递函数： （1）一阶无延 时
无自衡过程。
（2）二阶无延 时
（3）一阶有延 时
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
3.1 阶跃响应确定一阶过程参数 放大系数K0、时间常数T0、时延时间τ0。 t=0，曲线斜率最大，之后斜率减小，逐渐达稳态。
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
3.2 由阶跃响应曲线确定一阶时延过程的参数 一阶时延环节响应曲线特点：
在t=0时，斜率几乎为零，之后逐渐增大到某点（拐点）后，斜率 又逐渐减小。曲线呈S形状。
3.由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
y0 (t)
y(t) y()
y0
(t
)
0
t
t
第二章 过程控制的数学模型
2.3 响应曲线辨识过程的数学模型
1. 阶跃响应曲线的测定
利用响应曲线辨识建立数学模型是一种常用的方法。 1.1 阶跃响应曲线的测定 过程：使输入量作一阶跃变化，记录输出量随时间变化的
响应曲线。即阶跃响应曲线。
输入信号：
响应曲线：
1. 阶跃响应曲线的测定
试验时必须注意： (1) 试验测定时，被控过程处于相对稳定的工作状态。 (2) 输入的阶跃信号不可太大，也不可太小。太大，影响生产；
欠佳，就难以获得对象的动态特性参数。
2. 矩形脉冲响应曲线的测定
阶跃响应法缺陷： 过程长时间的处于较大幅值的阶跃信号
作用下，被控量变化的幅度可能会超出生 产工艺允许的范围。
用矩形脉冲作为输入信号，将响应曲线 转化为阶跃响应曲线，确定数学模型。 脉冲信号看作：
第2章 关系数据库数学模型
关系——二维表（行列），实体及其联系 都用关系表示。在用户看来关系数据的逻辑模 型就是一张二维表。
关系数据模型概述（续I）
关系操作 查询： 1）选择Select； 4）除Divide； Intersection； 编辑： 1）增加Insert； Update；
2）投影Project； 3）连接Join； 5）并Union； 6）交 7）差Difference；
三元关系的转换 一般要引入分离关系 如公司、产品和国家之间的m:n:p的三元关系及销 售联系。
关系代数
关系代数概述 关系代数的运算符 集合运算符
并U 交∩ 差 专门的关系运算符
笛卡尔积 × 选择σ 投影π 连接 除 算术比较符
> ≥ < ≤ = ≠ 逻辑运算符
EER模型到关系模式的转换（续IV）
为此，本例中引入一个分离关系On_Load(借 出的书)，可以避免空值的出现。 这样，存在以下三个关系模式： Borrower(B#,Name,Address,……) Book(ISBN,Title,……) On_Load(ISBN,B#,Date1,Date2) 只有借出的书才会出现在关系On_Load中， 避免空值 的出现，并把属性Date1和Date2加到 关系On_Load中。
D1 x D2 x…x Dn={(d1,d2,…,dn) | di∈Di, i=1,2,…,n} (d1,d2,…,dn) --------n元组(n-tuple) di--------元组的每一分量（Component) Di为有限集时，其基数为mi，则卡积的基 数为M=m1*m2*…*mn
关系数据库
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
第二章电力系统各元件的数学模型
试验时小绕组不过负荷，存在归算问题，归算到SN
2) 对于（100/50/100）
2
Pk (12)
P' k (12)
IN 0.5IN
P 4 ' k (12)
2
Pk ( 23)
P' k (23)
IN 0.5IN
P 4 ' k ( 23 )
3) 对于（100/100/50）
2
Pk (13)
P' k (13)
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
§2.3 电力线路的参数和数学模型
一次整循环换位：
A B
C
换位的目的：为了减 少三相参数的不平衡
§2.3 电力线路的参数和数学模型
Xd
§2.1 发电机的数学模型
受限条件
定子绕组： IN为限—S园弧
转子绕组： Eqn ife 励磁电流为限—F园弧 Xd
原动机出力：额定有功功率—BC直线
其它约束： 静稳、进相导致漏磁引起温升—T弧
进相运行时受定 子端部发热限制 受原动机出力限制
定子绕组不超 过额定电流
励磁绕组不超 过额定电流 留稳定储备
2、由短路电压百分比求XT（制造商已归算，直接用）
U U U U 1 k1(%) 2
k(12) (%) k(13) (%) (%) k(23)
XT1
Uk
1(%
)U2 N
100SN
U U U U 1 k2 (%) 2
k(12) (%) k(23) (%) (%) k(13)
控制工程基础第二章——数学模型
② 脉冲函数： 脉动函数的极限，t0看作变量。
A
fT
(t)
lim
t0 0
t0
d [ A(1 et0s )]
L[
fT
(t
)]
lim
t0 0
A t0s
(1
et0s
)
lim t0 0
dt0
d dt0
(t0 s )
As A s
单位脉冲（Dirac） 定义：
面积为1的脉冲函数
(t)dt 1, (t 0, (t) 0)
fi (t)
此式为二阶常系 数线性微分方程。
系统的数学模型可用方块图表示：
方块图描述了系统
中信号转换、传递的 过程，给出了系统的 工作原理。
☆ 举例2：电网络系统
设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输
出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压 uo(t)之间的关系。电路中的
.
(n)
x(t) sX (s) x (t) s n X (s)
x(t)dt
1 sn
X
(s)
①平移函数、延迟函数
对于函数 f (t) 函数 f (t )
称为延迟函数，函数本身并
不发生改变，只是延迟α时
间才发生。
注意：t 时，函数 f (t ) 0
②延迟定理
若 f (t) F (s) 则有 f (t ) es F (s) 延迟函数的拉氏变换 原函数的拉氏变换乘以 es
显然 (t) 1, A (t) A
结论：脉冲函数是面积函数； 脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。 换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。
☆ 关于单位脉冲函数的说明
第二章——流体流动的数学模型
u u p 2u (u v ) Fx 2 x y x y
如果定解条件选择不合理， 将产生违背物理真实的伪解
第二章 流体流动的数学模型
流动现象分类：
（1）按流态不同：层流和湍流
（2）流动速度级别：蠕动流、低速流、高速流、 超声速流。高超声速 （3）流体受阻现象：自由流和剪切流
p RK
第二章 流体流动的数学模型
湍流雷诺方程（u向）
Du p u u u Fx ( ) ( ) ( ) D x x x y y z z
u u u
'
Du p u u u u 'u ' u 'v ' u ' w' Fx ( ) ( ) ( ) D x x x y y z z x y z
（4）流线形态：直线流、旋转流、分离流
（5）参考物尺度：大尺度、中尺度、小尺度及 微纳米尺度
第二章 流体流动的数学模型
• 接触较多的是中尺度的低速流 • 尺度是相对的 • 小尺度中的边界效应非常明显诺数小于10，认为是蠕动流动
第二章 流体流动的数学模型
第二章流体流动的数学模型1连续方程2运动方程3能量方程4状态方程0????????zwyvxu222222ztytxtcddtp??????rkp???zuzyuyxuxxpfddux???????????????第二章流体流动的数学模型湍流雷诺方程u向uuuzwuyvuxuuzuzyuyxuxxpfdudx??????????????????????????????zuzyuyxuxxpfddux???????????????第二章流体流动的数学模型fluent中指定各种方程的位置和方法第二章流体流动的数学模型方程是否可以简化如何判断方程解的情况
第二章优化设计的数学模型和基本概念02
由以上两个实例可见，一个优化设计问题应包括： (1)有描述设计方案的一组设计变量； (2)有一个或几个目标函数(或准则函数)，且是设计变量的标量 函数； (3)明确一组表示可接受设计方案的约束条件，且也是全部或几 个设计变量的标量函数； (4)能求出一组设计变量的值，在满足全部约束条件下，使目标 函数达到最小(或最大)值。
X3 X(1) Δ X（1） X(2)
0 X1
X2
2.2 优化设计的基本术语
一.设计变量（续）
从一个设计问题的许多参数中识别出设计变量应注意以下几 点： 1、设计变量应是独立的； 2、用设计变量来阐述设计问题应该是用最少的数量； 3、在开始阐述设计问题时尽可能用较多的设计参数，然后 再从中选出几个对目标函数影响较大的参数取为设计变量，其 余定为常数，可根据设计规范或经验把它取为固定的值。
§2.1 引言
(3)在剪切过程中，剪刃的水平分速度与轧件运行速度尽可能相等并能保持 不变，以避免轧件出现堆钢和拉钢现象。
§2.1 引言
还须满足如下一些条件才能获得可接受的方案： (1)应满足四扦机构曲柄的存在条件，即曲柄l1为最短扦，它与 任一扦的和小于其余二杆的和； (2)为了保证机构具有良好的传力性能，要求其传动角 不应小 于允许[ ]; (3)应满足给定的重叠度 要求； 飞剪机剪切机构的优化设计可叙述为合理选择7个设计参数,在 满足13个条件下,使3个准则函数同时达到最小。
由于要求设计最小重量的压柱而它的重量w可表示为结构参数d的函数即所以若将它赋予丌同的重量例如w2722n195则可以在图上画出等重曲线等在上述可行区域内其最轻的等重曲线不压杆稳定的极限曲线管子壁厚下限曲线交于e点
第二章
优化设计的基本术语和数学模型
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M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根 s=zi(i=1, 2, …, m)，称为传递函数的零点。
N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根 s=pj(j=1, 2, …, n)，称为传递函数的极点。
！系统传递函数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。
L1[C(s)] g(t) L1[G(s)]
[上张] [下张]
[例2-16]求电枢控制式直流电动机的传递函数。
[解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：
Tm
dm (t)
dt
m (t)
K1ua (t)
K2M c (t)
令M c (t)
0得：G1 ( s)
m (s) Ua (s)
K1 Tms 1
（4）只适合于单输入单输出系统，无法描述系统内部中 间变量的变化情况。
R(s) G(s) C(s)
[上张] [下张]
(2)性质
(5) 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。
(6)传递函数是系统单位脉冲响应的Laplace变换。
定义：单位脉冲作用下的系统输出.
C(s) G(s)R(s)
当输入为理想单位脉冲时，有R(s)=1,则：C(S)=G(s) 两边取拉氏反变换，得：
[上张] [下张]
第二章 控制系统的数学模型
2-1 傅里叶变换与拉普拉斯变换 2-2 控制系统的时域数学模型 2-3 控制系统的复数域数学模型 2-4 控制系统的结构图与信号流图 2-5 控制系统建模的MATLAB方法
2.3 控制系统的复数域数学模型 返回
拉氏变换
运动微分方程
传递函数
1. 传递函数的定义和性质 2. 传递函数的零点和极点 3. 传函的极点和零点对输出的影响（自学） 4. 典型元部件的传递函数
系统的传递函数
G(s)
X o (s) Xi (s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
(n
m)
[上张] [下张]
(2)性质
(1)是系统的动态数学模型
系统的微分方程
a0
d n xo (t) dt n
a1
d n1xo (t) dt n1
... an1
令ua (t) 0
得Gm (s)
m(s) K2 MC (s) Tms 1
m
(t )
L1[m
(s)]
L1[
K1 Tms
U 1
a
(s)
K2 Tms 1
M
c
(s)]
L1[G1(s)Ua (s)] L1 Gm (s)M c (s)
1(t) 2 (t)
[BACK]
[上张] [下张]
2.特征方程、零点和极点（几个概念）
第二章 控制系统的数学模型
如何描述一个系统？
数学模型
控制系统的数学模型是描述系统内部各 物理量（或变量）之间关系的数学表达 式或图形表达式或数字表达式。
能否用数学的方式来描述物理系统？
数学模型的形式是多样的。 建立控制系统数学模型的方法：分析 法和实验法。 建立数学模型时，要对模型的精确性 与简洁性进行折衷的考虑。
G(s)
Xo (s) Xi (s)
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
M (s) (n m) N (s)
G(s) M (s) N (s)
M (s) b0sm b1sm1 ... bm1s bm N (s) a0sn a1sn1 ... an1s an
[上张] [下张]
传递函数的零、极 点分布图：
将传递函数的 零、极点表示在复 平面上的图形。
[上张] [下张]
1. 传递函数的概念和定义 定义：
线性定常系统，零初始条件下，系统输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
三要素：1）线性定常系统 2） 零初始条件
输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。
[上张] [下张]
1. 传递函数的概念和定义 定义： 线性定常系统，零初始条件下，系统输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 三要素：1）线性定常系统 2） 零初始条件 3）输出与输入的拉氏变换之比
[上张] [下张]
例2-15 求RLC无源网络的传递函数
解 ：该系统的运动方程为
在零初始条件下, 对上式进行拉氏变换， 可得
(LCs2 RCs 1)U0 (s) Ui (s)
所以系统的传递函数为
G(s)
U0 (s) Ui (s)
LCs 2
1 RCs
1
[上张] [下张]
系统传递函数的一般形式
dxo (t) dt
an xo (t)
b0
d
m xi (t) dt m
b1
d
m1xi (t) dt m1
...
bm1
d
xi (t) dt
bm xi (t)
系统的传递函数
G(s)
X o (s) Xi (s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an Nhomakorabea(n
m)
微分方程
传递函数
[上张] [下张]
(2)性质
G(s)
X o (s) Xi (s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
bm1s bm an1s an
(n
m)
(2) 复变函数，是自变量为s的有理真分式且各系数均为实 常数.
（3）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输入 输出无关；但与输入、输出信号的选择有关。
a0
d n xo (t) dt n
a1
d n1xo (t) dt n1
...
an1
dxo (t) dt
an xo (t)
b0
d
m xi (t dt m
)
b1
d
x m1 i
(t
)
dt m1
...
bm1
d
xi (t) dt
bm xi (t)
初始条件为零时 微分方程拉氏变换
(a0sn a1sn1 ... an1s an )Xo (s) (b0sm b1sm1 ... bm1s bm)Xi (s)
N(s)=0 系统的特征方程，特征根 特征方程决定着系统的动态特性。 N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。
[上张] [下张]
零点和极点
G(s)
M (s) N (s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
... ...
bm1s an1s
bm an
G(s) M (s) b0 (s z1)(s z2 )...(s zm ) N (s) a0 (s p1)(s p2 )...(s pn )