第2章 数学模型的相互转换
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第2章系统的数学模型学生版2009
电路网络，已知： 、 、 例1．对于一个简单的 R-L-C 电路网络，已知：R、L、 ． C为常数， u r (t) 为输入电压， u o (t) 为输出电压。 为常数， 为输入电压， 为输出电压。 为常数 要求写出u 的关系方程式。 要求写出 o (t)与u r (t)的关系方程式。 与 的关系方程式 1.分析系统组成，确定输入变量为u (t)，输出变量为u (t)。 1.分析系统组成，确定输入变量为u r (t)，输出变量为u o (t)。 分析系统组成 2.根据电路中的基尔霍夫定律，得： 根据电路中的基尔霍夫定律， 根据电路中的基尔霍夫定律
则当t→∞ →∞时 上述分量→ 系统是稳定的，极点决定了系统的稳定 稳定性 若p<0或σ<0, 则当 →∞时，上述分量→0，系统是稳定的，极点决定了系统的稳定性。 或 极点决定系统响应中的自由运动模态即“通解”这是系统“固有”的成分。 极点决定系统响应中的自由运动模态即“通解”这是系统“固有”的成分。 零点并不形成自由运动模态，但却影响各模态在总响应中所占的比重，影响曲线的形状。 零点并不形成自由运动模态，但却影响各模态在总响应中所占的比重，影响曲线的形状。 四、传递函数的性质 1.传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态特性，它只与系统的结构 传递函数表示系统传递输入信号的能力， 传递函数表示系统传递输入信号的能力 反映系统本身的动态特性， 和参数有关，与输入信号和初始条件无关。 和参数有关，与输入信号和初始条件无关。 2.传递函数是复变量 的有理分式函数，其分子多项式的次数 低于或等于分母多项式的 传递函数是复变量s的有理分式函数 传递函数是复变量 的有理分式函数，其分子多项式的次数m低于或等于分母多项式的 次数n， 次数 ，即m≤n。且系数均为实数。 。且系数均为实数。 3.在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输出时，其传递函数一般也不相同。传 在同一系统中， 在同一系统中 当选取不同的物理量作为输入、输出时，其传递函数一般也不相同。 递函数不反映系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数。 递函数不反映系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数。 4.传递函数的定义只适用于线性定常系统。 传递函数的定义只适用于线性定常系统。 传递函数的定义只适用于线性定常系统
第07讲 控制系统的数学模型及其相互转换
17
4. 状态空间表达式 设线性定常连续系统的状态空间表达式为
& x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
式中 A:n×n；B:n×r；C:m×n；D:m×r : : : : 如果传递函数（ 各元素为严格真有理分式， 如果传递函数（阵）各元素为严格真有理分式， 则D＝0，此时上式可写为 ＝ ，
14
例 已知系统传递函数为 5( s + 20) G ( s) = s ( s + 4.6)( s + 1) 利用MATLAB将上述模型表示出来。 将上述模型表示出来。 利用 将上述模型表示出来 解：>>k=5;z=-20;p=[0;-4.6;-1]; >>sys=zpk(z,p,k) 运行结果为： 运行结果为： Zero/pole/gain: 5 (s+20) --------------s (s+4.6) (s+1)
printsys：显示 ： 或打印系统
7
当传递函数的分子或分母由若干个多项式乘 积表示时，它可由MATLAB提供的多项式乘法运算 积表示时，它可由 提供的多项式乘法运算 函数conv( 来处理， 函数 conv( ) 来处理 ， 以便获得分子和分母多项式 系数向量， 系数向量，此函数的调用格式为 c=conv(a,b) 其中： 分别为由两个多项式系数构成的向量， 其中：a和b分别为由两个多项式系数构成的向量， 多项式的乘积多项式系数向量。 而c为a和b多项式的乘积多项式系数向量。conv( ) 函数的调用是允许多级嵌套的。 函数的调用是允许多级嵌套的。
9
对具有r个输入和m个输出的多变量系统， 对具有r 个输入和m个输出的多变量系统， 可把m 的传递函数矩阵G(s)写成和单变量 可把 m×r 的传递函数矩阵 写成和单变量 系统传递函数相类似的形式， 系统传递函数相类似的形式，即
4. 状态空间表达式 设线性定常连续系统的状态空间表达式为
& x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
式中 A:n×n；B:n×r；C:m×n；D:m×r : : : : 如果传递函数（ 各元素为严格真有理分式， 如果传递函数（阵）各元素为严格真有理分式， 则D＝0，此时上式可写为 ＝ ，
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例 已知系统传递函数为 5( s + 20) G ( s) = s ( s + 4.6)( s + 1) 利用MATLAB将上述模型表示出来。 将上述模型表示出来。 利用 将上述模型表示出来 解：>>k=5;z=-20;p=[0;-4.6;-1]; >>sys=zpk(z,p,k) 运行结果为： 运行结果为： Zero/pole/gain: 5 (s+20) --------------s (s+4.6) (s+1)
printsys：显示 ： 或打印系统
7
当传递函数的分子或分母由若干个多项式乘 积表示时，它可由MATLAB提供的多项式乘法运算 积表示时，它可由 提供的多项式乘法运算 函数conv( 来处理， 函数 conv( ) 来处理 ， 以便获得分子和分母多项式 系数向量， 系数向量，此函数的调用格式为 c=conv(a,b) 其中： 分别为由两个多项式系数构成的向量， 其中：a和b分别为由两个多项式系数构成的向量， 多项式的乘积多项式系数向量。 而c为a和b多项式的乘积多项式系数向量。conv( ) 函数的调用是允许多级嵌套的。 函数的调用是允许多级嵌套的。
9
对具有r个输入和m个输出的多变量系统， 对具有r 个输入和m个输出的多变量系统， 可把m 的传递函数矩阵G(s)写成和单变量 可把 m×r 的传递函数矩阵 写成和单变量 系统传递函数相类似的形式， 系统传递函数相类似的形式，即
第2章 自动控制系统的数学模型
二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）
1、数学表达式 ：
2、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件，输入 量的作用不能立即在输出端全部重现出来， 而是有一个延缓，即有惯性。 3、实例
例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur 为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电 容电压uC为输出； （2）列微分方程组： 由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ① 由欧姆定律有： uR=R i ② 1 由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③ c （3）消去中间变量
n υ 他激直流电动
五、振荡环节（二阶滞后环节）
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统 的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌 握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的 反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的 对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的 基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系 统的性能指标打好基础。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
六、纯滞后环节（纯延迟环节）
表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。 实例：延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数 学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形 式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以 求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号 作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数 的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论 的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析 法都是建立在传递函数基础上的。
姜启源数学模型第五版第二章
分析与建模
甲的无差别曲线
如果甲占有(x1,y1)与占有
y
(x2,y2)具有同样的满意程度, y0
即p1, p2对甲是无差别的.
y1
将所有与p1, p2无差别的点 连接起来, 得到一条无差别 y2
曲线MN.
O
.M
M1
p1
p3(x3,y3)
. .p2
N1
N
x1
x2
x0 x
线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度.
参数估计 • 根据测试数据对模型作拟合.
• 调查交通工程学的相关资料：
司机反应时间c1约为0.7~1s， 系数c2约为0.01( mh2/km2)
城市通行能力模型
道路通行能力~单位时间内通过某断面的最大车辆数. 通行能力表示道路的容量，交通流量表示道路的负荷. 饱和度~流量与通行能力的比值, 表示道路的负荷程度.
3个参数之间的基本关系 q vk
交通流的主要参数及基本规律 q vk
速度v 与密度k 的关系 车流密度加大 司机被迫减速
数据分析、机理分析 线性模型 v v f (1 k / k j )
vf ~畅行车速(k=0时) kj~阻塞密度(v=0时)
流量q与密度k 的关系 q v f k(1 k / k j )
Ta~内层玻璃的外侧温度
内
Ta Tb
室 外
Tb~外层玻璃的内侧温度
T1 d l d T2
k1~玻璃的热传导系数
Q1
k2~空气的热传导系数
墙
Q1
k1
T1
Ta d
k2
Ta
Tb l
k1
第2章 关系数据库数学模型
关系——二维表（行列），实体及其联系 都用关系表示。在用户看来关系数据的逻辑模 型就是一张二维表。
关系数据模型概述（续I）
关系操作 查询： 1）选择Select； 4）除Divide； Intersection； 编辑： 1）增加Insert； Update；
2）投影Project； 3）连接Join； 5）并Union； 6）交 7）差Difference；
三元关系的转换 一般要引入分离关系 如公司、产品和国家之间的m:n:p的三元关系及销 售联系。
关系代数
关系代数概述 关系代数的运算符 集合运算符
并U 交∩ 差 专门的关系运算符
笛卡尔积 × 选择σ 投影π 连接 除 算术比较符
> ≥ < ≤ = ≠ 逻辑运算符
EER模型到关系模式的转换（续IV）
为此，本例中引入一个分离关系On_Load(借 出的书)，可以避免空值的出现。 这样，存在以下三个关系模式： Borrower(B#,Name,Address,……) Book(ISBN,Title,……) On_Load(ISBN,B#,Date1,Date2) 只有借出的书才会出现在关系On_Load中， 避免空值 的出现，并把属性Date1和Date2加到 关系On_Load中。
D1 x D2 x…x Dn={(d1,d2,…,dn) | di∈Di, i=1,2,…,n} (d1,d2,…,dn) --------n元组(n-tuple) di--------元组的每一分量（Component) Di为有限集时，其基数为mi，则卡积的基 数为M=m1*m2*…*mn
关系数据库
02 自动控制原理—第二章
Tm J
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
第2章 数据模型与概念模型
• 概念模型(E-R图):
思考题:某公司的业务活动统计 。 任务：要求统计公司各部门承担的工程项目及职工参与工程项 目情况。 分析： 一、实体集及属性： 实体集有：部门、职工、工程项目。 • 部门有部门号、部门名称两个属性； • 职工有职工号、姓名、性别属性； • 工程项目有工程号、工程名两个属性； 二、联系 • 每个部门承担多个工程项目，每个工程项目属于一个部门。 • 每个部门有多名职工，每一名职工只能属于一个部门。 • 每个职工可参与多个工程项目，且每个工程项目有多名职工参 与。 • 职工参与项目有参与时间。
计算机中对信息的表示和处理与计算机软硬件有关，
描述的数据不便于直接在计算机上实现，必须经过数字
化处理，转换成适合特定计算机系统(主要是DBMS)的
形式描述，形成计算机能够表示和处理的数据，这时就
进入了信息的计算机世界，或机器世界、数据世界。
下面就是一个学生－课程系统：
姓名 性别 年龄 所在院系
学号
2. 信息世界 通过对现实世界中事物及联系的认识，经过选择、 命名、分类等分析后形成印象和概念，并用一定形式加 以抽象描述，就进入信息世界。 如：
张三、李四是学生，分为一类，构成学生实体集，选择部分特 征并命名，描述为： 学生（学号、姓名、性别、年龄、所在院系） 数据库原理、数据结构是课程，分为一类，构成课程实体集， 选择部分特征并命名，描述为： 课程（课程号、课程名、学分）
(4) 域（Domain） 属性的取值范围称为属性的域。
2. 实体联系的类型 （1）两个实体集之间的联系 1) 一对一联系（1:1）:设有两个实体集A和B，对于A 中的每一个实体， B中至多有一个实体与之联系； 反之亦然。 工厂 2) 一对多联系（1:n 1 ）:设有两个实体集A和B，对于A 的每一个实体， B中有一个或多个实体与之联系； 负责 而对于B的每一个实体，A中至多有一个实体与之联 1 职工 学校 系。 厂长 3) 多对多联系（m:n）:设有两个实体集 A和B，对于A 1 m 的每一个实体，B中有一个或多个实体与之联系； 参加 工作 反之亦然。 n n 一对一的联系是一对多联系的特例，一对多的联系是 体育团体 教师 多对多联系的特例
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（2.1）
上式中，a1, a2 ,L
an1 , an , c0 , c1,L cm 为常数。
(2). 传递函数
对式（2.1）等号两边逐项进行拉氏变换，并考虑系统输出、 输入及其各阶导数的初值均为零，可得到
s nY ( s) a1s n 1Y ( s) a2 s n 2Y ( s) L anY ( s) c0 s U ( s) c1s U (s) c2 s
写出各个状态变量的一阶微分方程形式
& x 1 x2 & x 2 x3 & x 3 x4 M & x n 1 xn & x n a1 xn a2 xn 1 L an 1 x2 an x1 u
将上述n个一阶微分方程写成矩阵向量形式为
& Ax Bu x y Cx
①对上式两边取拉氏变换
sX (s) x(0) AX (s) BU (s)
Y (s) CX ( s)
& ax u x y x
从上面得到由系统结构图到状态变量图并到处状态空间表达式 的步骤如下： ① 根据系统的传递函数，画出系统结构图，n阶系统有n个积分 器； ② 把积分器输出处定为状态变量x，积分器输入处为状态变量微 &，并把状态变量x，和状态变量 x &微分分别标在积分器输 分x 入和输出处，得到状态变量图； ③ 根据积分器输入、输出的方程写出系统的状态方程和输出方 程。 对于高阶、复杂系统采用级联法、并联法和串联法得到代表实际 系统传递函数的系统结构图及相应的状态变量图，依据同样方法 求得状态空间表达式。
其中，
0 0 1 A 0 0 1 0 12 7
B 0 0 1
1
C 2 3 1
分析系数矩阵A、B、C可见： 系数矩阵A是一个方阵，以I表示行号，J表示列号，最末一行 元素和传递函数分母多项式系数按s0升幂排列的负值一一对 应，其余各行的元素在J=I+1时为1，其他全部为0；
y(s)
u (s) x
1 s
y(s) x
图2-1 积分器的系统结构图和状态变量图
由状态变量图根据积分器的输入、输出关系写出：
& u 状态方程 x
输出方程 y x
对于带反馈的积分器，其传递函数为
G (s) 1 sa
u (s)
x
1 s
y(s) x
a
图2-2 带反馈积分器的状态变量图
由积分器输入、输出关系得到
（1）微分方程转化为传递函数和状态空间表达式 例2.1 已知某控制系统的微分方程为
d2y dy du 2.5 6 y 2 10u 2 dt dt dt
将其分别表示为传递函数、一阶微分方程组和状态空间描述。
解： ①将给定系统微分方程的两端取拉氏变换，并令初始值为零， 则可用以下传递函数表示
x1 x y 8 5 1 2 x3
②将上述矩阵展开即可得到系统模型的一阶微分方程组表示 形式
& x 1 x2 x & 2 x3 & 3 3 x1 4 x2 2 x3 u x y 8 x1 5 x2 x3
上式称为状态空间表达式，其中
0 0 0 A an 1 0 0 an 1 0 1 0 an 2 0 0 1 0 0 0 a2 0 0 0 1 a1
(2.5)
B1 B 2 B Bn 1 Bn
第2章 连续系统数字仿真的 基本算法
2.1 连续系统数学模型 2.2 数值积分算法 2.3 数值积分算法的基本分析 2.4 连续系统仿真的离散相似算法 2.5 常用快速数字仿真算法 2.6 实时数字仿真算法 小结
2.1连续系统数学模型
2.1 .1表达形式
描述控制系统的主要模型有微分方程、状态空间表达式等形 式的时域描述法和用传递函数描述的频域描述法。即对于一 个连续的控制系统，数字仿真常用的数学模型一般有3种表示 方式： ◆直接用微分方程描述； ◆用传递函数描述；
多项式形式 零极点形式
◆状态方程描述； 这三种描述方式是可以相互转换的。
(1). 微分方程 设连续系统的输出量为y(t)，输入量为u(t) ，采用微分方程的 形式来表示的系统数学模型一般式可描述如下：
dny d n 1 y d n2 y dy a a ... a an y 1 2 n 1 n n 1 n2 dt dt dt dt d mu d mu c0 m c1 m ... cmu dt dt
x1 x 2 x xn 1 x n
A、B、C为系数矩阵，x为状态变量。
2.1.2. 数学模型的相互转换
由于要解决的控制问题所需的数学模型与所给定的已知数学 模型往往是不一致的，不同的应用场合需要对控制系统的数 学模型进行转换
x1 y 10 2 x2
（2）传递函数转换成状态空间表达式 转换采用的方法是状态变量图法 ，用基本模拟单元替代系统 的传递函数得到的图形式系统结构图，在系统结构图上标上 状态变量的图形是状态变量图，然后再求出状态空间表达式。 对于初始条件为零的积分器
u (s)
1 s
(2.3)
微分方程或传递函数是用系统的输入、输出之间的关系来描 述系统的，表示了系统的外部特征，所以称其为外部模型。
用微分方程表示的系统可以是非线性或线性系统，而对于传 递函数表示的系统，只适用于单输入-单输出的线性定常系 统，所以传递函数的模型表示有一定的局限性。
(3). 状态空间表达式 状态空间表达式可以由两个途径获得，由微分方程或系统 结构方框图导出，这里对微分方程推导作简单说明。 设系统由不含输入量导数项的n阶微分方程表示：
dny d n 1 y d n2 y dy a1 n 1 a2 n 2 L an1 an y u n dt dt dt dt
(2.4)
定义n个状态变量为 x1 , x2 ,L , xn ，且令
x1 y dy dt d2y & x3 x 2 dt 2 M & x2 x 1 d n 1 y & xn x n 1 dt n 1
y x1 x2 x3
其中
0 0 0 A 0 3 0 0 0 4
1 B 6 2 3 3 2
1
0 0 1 A 0 0 1 0 12 7
B 0 0 1
1
C 1 1 1
C 2 3 1
& x 1 x2 & x 2 x3 x 3 12 x2 7 x3 u &
3
u (s)
x3
1 s
7
x3
x2
1 s
x2
x1
1 s
x1
2
y(s)
y 2 x1 3x2 x3
◆写成矩阵表达式
& Ax Bu x y = Cx
12
A、B、C为系数矩阵
（Ⅱ）并联法 并联法的思路是把高阶系统的传递函数转变成若干个一阶环 节传递函数之和，如将式（2-6）表示成下式形式
G (s) 16 23 32 s s3 s4
1 6 2 3
x1
1 s
x1
然后，对各个一阶环节的 传递函数画出系统结构图， 并标上状态变量后，得到 如图2-5所示的状态变量图。
系数矩阵B是一个单列矩阵，最后一行元素为1，其余为零；
系数矩阵C是一个单行矩阵，各列元素与传递函数分子多项 式系数按s0升幂排列值相同。
推广到n阶方程，系数矩阵 A、B、C分别为
1 0 0 0 A M M 0 0 an an 1 0 1 M 0 an 2
0 0 0 L 0 C cn1 cn2 M M B M 0 L 1 1 n1 L a1 nn
L
c0 1n (2.7)
这种形式的矩阵称为可控标准型状态表达式。
例2.2已知某控制系统的传递函数为
u (s)
x2
1 s
3
x2
y(s)
3 2
x3
1 s
4
x3
图2.5 并联法系统状态变量图
由图2-5可到状态空间表达式为
& u x1 6 2 & u 3 x2 x 2 3 3 & x 3 2 u 4 x3
写成矩阵表达式
& Ax Bu x y = Cx
1
u (s)
1 s
7
1 s
3
1 s
2
y(s)
12
1 3 2 2 3 s s s G( s) 7 12 1 2 s s
图2-3 系统信号流图
3
u (s)
x3
1 s
7
x3
x2
1 s
x2
x1
1 s
x1
2
y(s)
12
图2-4 系统状态变量图
◆根据积分器输入、输出关系得到如下方程
m m 1 m2
U (s) L cnU (s)
（2.2）
式中，
Y ( s) -系统输出的换；
可得系统的传递函数为：
Y (s) c0 s m c1s m1 c2 s m2 L cn G( s ) n U ( s) s a1s n1 a2 s n2 L an
& x 1 x2 & x 2 6 x1 2.5 x2 u y 10 x 2 x 1 2