第2章 系统的数学模型及传递函数
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《机械控制工程基础》-2物理系统的数学模型及传递函数解析
称为叠加性或叠加原理。
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（2）非线性系统 如果系统的数学模型是非线性的，这种 系统称为非线性系统。 工程上常见的非线性特性如下： 饱和非线性 死区非线性 间隙非线性 摩擦非线性……
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（3）举例 下列微分方程描述的系统为线性系统：
零初始条件： 输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。 形式上记为：
Y (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s ) X (s) a0 s n a1s n1 an1s an
控制工程基础
2.2.2 传递函数的求法
（1）解析法（根据定义求取） 设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t) ，描 述系统的微分方程的一般形式为 :
dny d n1 y d n2 y dy an n an1 n 1 an 2 n2 a1 a0 y dt dt dt dt
Xi ( s) Ts Xo ( s)
传递函数： G( s)
式中T为微分时间常数。
特点： （1）一般不能单独存在 （2）反映输入的变化趋势 （3）增强系统的阻尼 （4）强化噪声
4.积分环节
1 微分方程： xo (t ) T xi (t )dt
传递函数：
X ( s) 1 G( s) o X i (s) Ts
2 2
下列微分方程描述的系统为非线性系统：
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（4）系统运动微分方程的建立
电气系统
电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫 定律来建立电气系统的数学模型。 基尔霍夫电流定律：
自动控制原理-第二章-控制系统的数学模型—结构图-信号流图-传递函数
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解 拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域 差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数 结构图-信号流图
图模型
频域 频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
适用于 频域分
析
3.2 传递函数的基本概念 传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见 的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)
f (t)
(t)
1(t )
t t2 2
e at
sin t cos t
F (s)
1
1s 1 s2 1 s3
1 (s a)
(s2 2) s (s2 2)
2.2 线性定常微分方程的求解 拉普拉斯反变换：部分分式展开法
时域 差分方程
解析式模型
状态方程
复域
传递函数 结构图-信号流图
图模型
频域 频率特性
数学模型是一个反应变量之间关系的表达式，在不同的域中有不同的表现形式！
1.引言
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（例如阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信 号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
k 1 v n1
s
l 1 n2
(Ti s 1)
(T
2 j
s2
2Tj
s
1)
i 1
j 1
适用于 频域分
析
3.2 传递函数的基本概念 传递函数的标准形式
K：增益
K*=根轨迹增益
K与K*的关系:
两者关系
m
zj
K K*
j 1 n
pi
i 1
3.3 典型环节及其传递函数
一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。常见 的几种形式有：
Y (s)
R(s)
Y (s)
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
自动控制原理 线性系统的数学模型传递函数
2. 惯性环节(非周期环节)
惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程： T dc(t) c(t) Kr(t) dt
其传递函数为：
G(s) C(s) K R(s) Ts 1
式中 T—— 惯性环节的时间常数 K—— 惯性环节的增益或放大系数
12/47
§2.3 传递函数
当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为：
24/47
§ 2.4 方框图
在控制工程中，为了便于对系统进行 分析和设计，常将各元件在系统中的功能 及各部分之间的联系用图形来表示，即方 框图和信号流图。
25/47
§ 2.4 方框图
2.4.1方框图的概念及其表示
方框图也称方块图或结构图，具有形象和直观的 特点。
系统方框图是系统中各元件功能和信号流向的 图解，它清楚地表明了系统中各个环节间的相 互关系。
n个环节串联后总的传递函数 : G(s) C(s) X1(s) X 2 (s) C(s) R(s) R(s) X1 (s) X n1 (s) G1 (s)G2 (s) Gn (s)
34/127
§ 2.4 方框图
环节串联后总的传递函数等于串联的各个环节传递 函数的乘积。
环节的串联
RC网络
35/47
d nc(t) d n1c(t)
dc(t)
a0 dt n a1 dt n1 an1 dt anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm1
dr(t) dt
bmr(t)
式中c(t)为输出量，r(t)为输入量 。
设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得：
G(s) KTd s Td s 1
惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程： T dc(t) c(t) Kr(t) dt
其传递函数为：
G(s) C(s) K R(s) Ts 1
式中 T—— 惯性环节的时间常数 K—— 惯性环节的增益或放大系数
12/47
§2.3 传递函数
当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为：
24/47
§ 2.4 方框图
在控制工程中，为了便于对系统进行 分析和设计，常将各元件在系统中的功能 及各部分之间的联系用图形来表示，即方 框图和信号流图。
25/47
§ 2.4 方框图
2.4.1方框图的概念及其表示
方框图也称方块图或结构图，具有形象和直观的 特点。
系统方框图是系统中各元件功能和信号流向的 图解，它清楚地表明了系统中各个环节间的相 互关系。
n个环节串联后总的传递函数 : G(s) C(s) X1(s) X 2 (s) C(s) R(s) R(s) X1 (s) X n1 (s) G1 (s)G2 (s) Gn (s)
34/127
§ 2.4 方框图
环节串联后总的传递函数等于串联的各个环节传递 函数的乘积。
环节的串联
RC网络
35/47
d nc(t) d n1c(t)
dc(t)
a0 dt n a1 dt n1 an1 dt anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm1
dr(t) dt
bmr(t)
式中c(t)为输出量，r(t)为输入量 。
设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得：
G(s) KTd s Td s 1
机械控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数
数； 因为系统每增加一个独立储能元件，其内部 就多一层能量（信息）的交换。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型及传递函数
用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。 如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统； 如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时 变系统。
线性系统的重要性质是可以应用叠加原理:
（1）多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入 单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出 亦增大同样的倍数。
一、 拉氏变换的定义
§2.2 拉普拉斯积分变换
1. 拉氏变换的定义
如果有一个以时间t为自变量的实函数f (t),
它的定义域是t 0，那么函数f (t)的拉氏变换为：
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
复变量：s j
原函数： f (t) 象函数： F (s)
F(s) L[ f (t)]
(6)式即为二阶常系数线性微分方程。
四、小结：
§2.1系统运动微分方程的建立
（1）物理本质不同的系统，可以有相同形式的数学模型。
机械平移动力学系统:
d2 m dt2
xo
(t
)
B
d dt
xo (t) kxo (t)
fi (t)
电网络系统:
LC
d2 dt 2
uo
(t)
RC
d dt
uo
(t)
uo
(t)
L[Ax1(t) Bx2 (t)] AX1(s) BX 2 (s)
2. 微分定理和积分定理
（1）微分定理
在所有初始条件均 为零时
L[ df (t)] sF (s) dt
L[ f (t)] F(s)
L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t)] s 2 F (s) sf (0) f (0) dt 2
《控制工程基础》第二章
第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-6 下图所示为一电网络系统，其输入为电压u(t)， 输出为电容器的电量q(t)，列写该系统微分方程。
L
R
解：根据克希荷夫电压定律，得
u
i
C
u(t)Ldd(ti)tR(ti)C 1i(t)dt
∵
i(t) dq(t) dt
消去中间变量i(t)，并整理得，
轴平移了时间T。 例 求f(t)＝ 1 － 1 1(t-T)的拉氏变换
TT
4. 微分定理
若L[f(t)]＝F(s)，则有L[ df ( t ) ]＝s F(s) - f(0)
初始状态为0时，L[
d
n
d
f
n
( t
t
)
dt
]＝
s
n
F(s)
第二章 系统的数学模型 2.3 拉氏变换与拉氏反变换
5. 积分定理
解： 1)明确系统的输入与输出，
f( t) k
输入—f(t) ， 输出—x(t)
m
2)进行受力分析，列写微分方程，
cx ( t) f(t) kx(t) 利用 Fma，得
图2-1
பைடு நூலகம்
m f( t ) k ( t ) x c x ( t ) m x ( t )
c· x(t)
3)整理微分方程，得
m x ( t ) c x ( t ) k ( t ) x f ( t )
本章教学大纲
1. 掌握机械、电气系统微分方程的建立方法； 2. 了解非线性方程的线性化； 3. 熟悉拉氏变换及反变换、线性定常微分方程的解法； 4. 掌握传递函数基本概念及典型环节传递函数； 5. 掌握系统传递函数方框图的化简。 教学重点：微分方程建立、传递函数概念与求法、典
朱玉华自动控制原理第2章 数学模型2-3
G(s) C(s) ……① R(s)
若已知线性定常系统的微分方程为
a0
d nc(t) dt n
a1
d n1c(t) dt n1
an1
dc(t) dt
anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm1
dr(t) dt
bmr(t)
式中，c(t)为输出量，r(t)为输入量。
§2.3 传 递 函 数
一、传递函数的基本概念
指导思想：在零初始条件下，通过拉氏变换，将微分 方程变为s域（复数域）内的代数方程，在s 域内研究系统 的运动规律。必要时，通过拉氏反变换转化为时域形式。
s域（复数域）内的代数方程（即数学模型），称为 传递函数。
1、传递函数的定义
在初始条件为零时，线性定常系统输出量的拉氏变换与 输入量的拉氏变换之比，定义为该系统的传递函数。
RC
du0 (t) dt
u0 (t)
RC
dui (t) dt
G(s) RCs Td s RCs 1 Td s 1
只有当Td<<1时，才有G(s)≈Tds，实际的微分环节趋 于理想微分环节
再如:RL网络,其电路方程为
du0 (t) dt
R L
u0 (t)
dui (t) dt
G(s) Ls Td s Ls 1 Td s 1
如
G(s)
C(s) R(s)
b1s a0s2
b2 a1s
a2
S的代数方程：
(a0s2 a1s a2 )C(s) (b1s b2 )R(s)
用 d 置换s后得相应的微分方程 dt
a0
d 2c(t) dt 2
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式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可 以由二阶常系数微分方程描述。 显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶 16 次等于系统中独立储能元件(惯性质量、弹簧)的数量。
机械旋转系统
i(t)
0
o(t) 0
J
TK(t)
K
TC(t)
柔性轴
粘性液体
齿轮
C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
析和设计。
“叠加 性”、 “均匀性”
5
4. 机械系统常见非线性特性
输出 b 输出 输出
0 a 饱和（放大器）
输入
0 死区（电机）
输入
0
输入
间隙（齿轮）
A.饱和：如运算放大器当输入大于一定值时，输出被限制在 ±15V，达到饱和。 B.传动间隙：齿轮及丝杠螺母副组成的机床进给传动系统， 有传动间隙，在输入与输出间有滞环关系。P11图2-1 C.死区：有输入无输出，如负开口的液压伺服阀。P11图2-2 D.摩擦力：干摩擦力与速度方向相反，P12图2-3、图2-4
25
常用拉氏变换表
26
应用拉氏变换解线性微分方程
求解步骤 将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方程； 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式； 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。
原函数 （微分方程的解） 拉氏反变换 象函数 解 代 数 方 程 微分方程
拉氏变换
象函数的 代数方程
7
5. 非线性系统的线性化
8
y
y=f(x) A(x0,y0) 0 x0 x
A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处 连续可微，则可将函数在平衡点附近 展开成台劳级数：
y0
dy y f ( x) y 0 dx
1d y ( x x0 ) 2! dx 2 x0
2
饱和（放大器）
( x x 0 ) 2
机械工程控制基础
第二章 系统的数学模型及传递函数
郑海明
Wednesday, August 14, 2013
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
控制系统数学模型概述
一、为什么要建立控制系统的数学模型？
1、是定量分析、计算机仿真、系统设计的需要 2、是寻找一个较好的控制规律的需要
二、什么是控制系统的数学模型？
描述控制系统中各变量之间相互关系的数学表达式 三、如何建立数学模型？ 1、提出合理的假设，忽略次要因素，抓住本质。 2、建立恰当的数学描述
A1 A2 A3 B1 B2 s s2 s3 s2 s3
29
1 1 A1 2 s 5s 6 s 0 6
1 1 A2 2 s( s 3) s 2 1 1 A3 s( s 2) s 3 3
t t
14
K
K v(t )dt
阻尼
v1(t) x1(t)
fC(t)
v2(t) x2(t) C
fC(t)
f C (t ) C v1 (t ) v2 (t ) Cv(t ) dx1 (t ) dx2 (t ) C dt dt dx(t ) C dt
0 xo(t) 静止（平衡）工作点作为 零点，以消除重力的影响
d2 f i (t ) f C (t ) f K (t ) m 2 xo (t ) fK(t) fC(t) K dt C f K (t ) Kxo (t ) d f C (t ) C xo (t ) dt 机械平移系统及其力学模型 d2 d m 2 xo (t ) C xo (t ) Kxo (t ) f i (t ) dt dt
x0
忽略二次以上的各项，上式可以写成
y kx
其中：
x0
y y y 0
dy k dx
x x x0
9
这就是非线性元件的线性化数学模型
• 上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。 y0 = f (x0)称为系统的静态方程； • 增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统 或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工 作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的 初始条件均为零。 • 对多变量系统，如：y =f(x1,x2)，同样可采用泰勒 级数展开获得线性化的增量方程。 f f y f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) ( x2 x20 ) x1 x1 x10 x2 x1 x10 增量方程： y y0 y K1x1 K 2 x2
静态方程： y0 f ( x10 , x20 )
x2 x20 x2 x20
f 其中： K1 x1
f , K2 x1 x10 x10 x1 x10 2
x2 x20
x2 x20
注意：以上几种方法只适用于一些非线性 程度较低的系统，对于某些严重的非线性 (本质非线性性质)，如：
6
• 实际的系统通常是非线性的，线性只在一定的工 作范围内成立。 • 判别系统的数学模型微分方程是否是非线性的， 可视其中的函数及其各阶导数，如出现高于一次 的项，或者导数项的系数是输出变量的函数，则 此微分方程是非线性的。（P11） • 非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下， 可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的 动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能 够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。 • 本质非线性性质：在工作点附近存在不连续直线、 跳跃、折线、非单值关系等等。
0 继电特性
0 饱和特性
不能作线性化处理，一般用相平面法及描 述函数法进行分析。
11
课本P13 图2-5
(P14式2-10）
12
§2-2 系统的微分方程
1.
（P14）
（P27，负载效应）
13
2. 典型元部件所遵循的物理定律：
机械系统
机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为 质量、弹簧和阻尼三个要素： x (t) 质量
( s 5) xo (0) xo (0) B1 3xo (0) xo (0) s3 s 2 ( s 5) xo (0) xo (0) B2 2 xo (0) xo (0) s2 s 3
对方程右边进行拉氏变换：
1 Lxi (t ) X i ( s ) L1(t ) s
2
从而：
1 ( s 5s 6) X o ( s ) ( s 5) xo (0) xo (0) s 1 ( s 5) xo (0) xo (0) X o ( s) 2 s( s 5s 6) s 2 5s 6
21
3.例2-1：列写下图所示机械系统的微分方程 解：1)明确系统的输入与输出
输入为f(t),输出为x(t)
2)列写微分方程，受力分析
f kx c x m x
3)整理可得：
m x c x k x f
22
例2-2：列写下图所示电网络的微分方程
解：1)系统的输入与输出 输入为u1,输出为u2 2)列写原始微分方程
1、机理分析法
2、实验辩识法
3
§2-1 系统的数学模型
1.
数学模型应能反映系统内 在的本质特征，同时应对 模型的简洁性和精确性进 行折衷考虑。
2.
4
• 如果方程的系数为常数，则为线性 线性与非线性系统 3.意义：在线性系统中，根据叠加原理，如果
定常系统； 有几个外作用同时加于系统，则可以将它们分 • 如果方程的系数是时间t的函数， 别处理，依次求出各个外作用单独加入时系统 则为线性时变系统； 的响应，然后将它们叠加。此外每个外作用在 (线性时不变系统) 数值上都可只取单位值。从而简化了系统的分
电感 i(t) L u(t) R-L-C无源电路网络
di (t ) d q(t ) u (t ) L L dt dt 2
2
L
ui(t)
R
i(t) C
uo(t)
R-L-C无源电路网络
20
d 1 ui (t ) Ri (t ) L dt i (t ) C i (t )dt ui(t) 1 uo (t ) i(t )dt C
2
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数； C —粘性阻尼系数
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电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
电阻 i(t)
R
u(t) 电容 i(t)
C u(t)
dq u (t ) Ri(t ) R dt
1 u (t ) i (t )dt C 1 = q C
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v (t) fm(t) m
参考点
d d2 f m (t ) m v(t ) m 2 x(t ) dt dt
f K (t ) K x1 (t ) x2 (t ) Kx(t ) K
弹簧
x1(t) v1(t)
fK(t)
x2(t) v2(t)
fK(t)
v1 (t ) v2 (t )dt
3、非线性环节的处理
2
四、实际工程应用中建立模型的一般步骤
1、把各部件尽可能地作线性化处理； 2、建立线性化的系统模型（近似模型）； 3、求系统的近似特性； 4、建立更复杂的模型，得到更精确的特性。 五、古典控制理论中控制系统模型描述方法 1、微分方程 2、传递函数
六、建立控制系统数学模型的一般方法
dxo (t ) L 5 5sX o ( s ) 5 xo (0) dt
28
L6 xo (t ) 6 X o ( s ) d 2 xo (t ) dxo (t ) 即： L 5 6 xo (t ) 2 dt dt