第二章数学模型-simple
合集下载
二章数学模型-PPT精选文档
粘性液体
电路系统 电路系统三个基本元件：电阻、电容和电感。 电阻 i( t) R u ( t)
建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系 统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。如 果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表 达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。
经典控制理论采用的数学模型主要 以传递函数为基础。而现代控制理论采 用的数学模型主要以状态空间方程为基 础。而以物理定律及实验规律为依据的 微分方程又是最基本的数学模型，是列 写传递函数和状态空间方程的基础。
建立数学模型的方法 解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。
数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确Байду номын сангаас进行折衷考虑。
阻尼
v1 ( t ) x1(t) fD(t) D v2 ( t ) x2(t) fD(t)
f D ( t ) D v1 (t ) v 2 (t ) Dv (t ) dx1 (t ) dx 2 (t ) D dt dt dx ( t ) D dt
进给传动装置示意图及等效力学模型
组合机床动力滑台及其力学模型
控制系统微分方程的列写
机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素： 质量
fm(t) x (t) v (t)
m
参考点
2 d d f ( t ) m v ( t ) m 2x ( t ) m dt dt
2 d d m yt ( ) Dyt ( ) k yt ( ) f ( t ) o o i 2 o d t d t
第二章数学模型-simple讲述
d 2 d dM L JLa 2 （JRa fLa） （fRa C M C e） C M U a La Ra M L dt dt dt 若以为输出量，则根据关系 d 可得相应运动方程。 dt
§2-2 非线性运动方程的线性化
• 定义：将非线性微分方程在一定的条件 下转化为线性微分方程的方法。 • 小偏差线性化： 基本假设——变量偏离其预期工作点的 偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差 线性化。
划分环节
恒温箱自动控制系统
由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。 系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用 与相互制约的关系。
t
u2
u
t
ua
n
v
u
写出每个环节(元件) 运动方程式 找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反 映这种内在联系的物理规律。列写运动方程的关 键要了解元件或系统所属学科领域的有关规律， 而不是数学本身。 例如：机械运动——牛顿定理、能量守恒定理 电学——欧姆定理、基尔霍夫定律 热学——传热定理、热平衡定律 数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化， 考虑忽略一些次要因素；参数时变）。 注：数学模型的准确性和简化的矛盾。
线性定常系统的微分方程一般表达式为
设描述系统的微分方程 为: (p n a0 p m n 1 a1 p n2 a n 1 p a n ) x 2 ( t )
( b0 p
b1 p
m 1
bm 1 p bm ) x1 ( t )
其中，
x2(t )为输出量， x1(t )为输入量
ky
m
f
dy dt
0
y
数学建模第二章
P = R(t) – C(t)=(p0-rt)(w0+gt)(k0 + k t)
精品PPT
参数估计
w0=100 kg, g=2kg, p0=7.5 元, r=(7.8-7.5)/5=0.06 元, k=7.1 元 P(t) = R(t) – C(t) = (7.5－0.06 t)(100 + 2t) – (500+7.1t) P(t) = 250 + 1.9t – 0.12 t2.
第二章 数学(shùxué) 建模
精品PPT
回顾(huígù )
数学模型： 通过抽象和化简， 使用数学语言， 对实际问题的一个(yī ɡè)近似描述， 以便于人们更深刻地认识所研究的对象。 数学模型的特点： 实践性；应用性；综合性。
精品PPT
数学(shùxué)建模 (Mathematical modelling)
数学建模是一种数学的思考方 法，用数学的语言和方法，通过 抽象、简化建立能近似刻画并" 解决(jiějué)"实际问题的路径。
精品PPT
构建(ɡòu jiàn)数学模型的基本 步骤：
识别问题：什么是要探究的问题？要将不 同学科(xuékē)对问题的语言陈述用数学 方式表达。
做出假设：抓住主要因素，降低问题的复 杂性，确定所考虑到的因素之间的关系。 这包括引入参量、自变量、因变量。
度 v*, 使得疏散的时间最短？
精品PPT
精品PPT
V=ad/(b+d) =7.83d/(75.60+d)
精品PPT
例6. 生猪饲养
一头重量是100 kg的猪， 在上一周每天增重约2 kg。 五天前售价为7.8元/kg，但现在猪价下降到
7.5元/kg， 饲料每天需花费(huāfèi)7.1元。 前期育肥的投入大约500元。 求出售猪的最佳时间。 目标（求什么）？ 实现目标的关键？ 有关的因素？
精品PPT
参数估计
w0=100 kg, g=2kg, p0=7.5 元, r=(7.8-7.5)/5=0.06 元, k=7.1 元 P(t) = R(t) – C(t) = (7.5－0.06 t)(100 + 2t) – (500+7.1t) P(t) = 250 + 1.9t – 0.12 t2.
第二章 数学(shùxué) 建模
精品PPT
回顾(huígù )
数学模型： 通过抽象和化简， 使用数学语言， 对实际问题的一个(yī ɡè)近似描述， 以便于人们更深刻地认识所研究的对象。 数学模型的特点： 实践性；应用性；综合性。
精品PPT
数学(shùxué)建模 (Mathematical modelling)
数学建模是一种数学的思考方 法，用数学的语言和方法，通过 抽象、简化建立能近似刻画并" 解决(jiějué)"实际问题的路径。
精品PPT
构建(ɡòu jiàn)数学模型的基本 步骤：
识别问题：什么是要探究的问题？要将不 同学科(xuékē)对问题的语言陈述用数学 方式表达。
做出假设：抓住主要因素，降低问题的复 杂性，确定所考虑到的因素之间的关系。 这包括引入参量、自变量、因变量。
度 v*, 使得疏散的时间最短？
精品PPT
精品PPT
V=ad/(b+d) =7.83d/(75.60+d)
精品PPT
例6. 生猪饲养
一头重量是100 kg的猪， 在上一周每天增重约2 kg。 五天前售价为7.8元/kg，但现在猪价下降到
7.5元/kg， 饲料每天需花费(huāfèi)7.1元。 前期育肥的投入大约500元。 求出售猪的最佳时间。 目标（求什么）？ 实现目标的关键？ 有关的因素？
数学建模第二章 初等模型
第二章 初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。
需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。
进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。
§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。
那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。
当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。
首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。
即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。
当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。
这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。
但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。
例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。
数学建模第二章初等模型
市场稳定问题
在市场经济下，当商品“供不应求”时，价格逐渐长升高，经营者会 觉得有利可图而加大生产量。然而，一旦生产量达到使市场“供过于求”， 价格立即会下跌，生产者会立即减产以避免损失，这样又极有可能造成又 一轮新的供不应求。我们关心的问题是：如此循环，市场上的商品的数量 与价格是否会趋于稳定？ 所谓“需求”，指在一定条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购 买的商品量。设p表示商品价格，q表示商品量，假设商品量q主要取决于 商品价格p，则称函数 q=f(p) 为需求函数。 需求函数q=f(p)一般是单调减少函数。因q=f(p)为单调减少函数，所 以存在反函数p=f-1(q)，我们也称它为需求函数，见下图。
a, b 模型求解：我们来求步长
(1) 由图
为何值，使式 (4) 最小。
所表示，重心离开 B 点上升到最高点所需时间为
t
b 2v
(5)
1 2 gb2 h gt 2 2 8v
由
(1),(2),(3)
及
(5)
式,
(4)
式化成
2 (a b）bmg 1 W m, v2 2 2 8v
又完成一个大步所需时间为
跑步时如何节省能量
• 问题的提出：我们每个人都有跑步的经历， 有人会因此而疲惫不堪，但是有谁会想：怎 样跑步能使我们消耗的能量最少？ • 模型假设：为解决上述问题，我们做下述假 设：
(1 )跑步所花费的时间分成两部分：第一部分为两 条腿同时离地的时间；在第二部分时间内一条腿 或两条腿同时落地。这样，人体重心的运动轨迹 如图(1)。
a b v
，因此单位时间内消耗的能量为
2 W bmg m, v3 P a b 8v 2(a b) v
(6)
SIMPLE算法介绍
控制容积SIMPLE算法介绍 控制容积SIMPLE算法介绍 SIMPLE
1
流体力学和传热学的控制方程 控制容积法及方程离散 离散方程的求解方法 SIMPLE算法的思想和实施
2
流体力学和传热学的控制方程
连续性方程(质量守恒) 连续性方程(质量守恒)
r ∂ρ + div ( ρv ) = 0 ∂t ∂t
* j
α 松驰因子
39
aj
α
ϕ j = Σanbϕnb + b + (1 − α )
aj
α
ϕ* j
a=1： Jacobi or G-S a=1： a<1： a<1： SUR a>1： a>1： SOR ①对于混合型： ②椭圆型： 亚松驰(SUR) 超松驰(SOR)
40
SIMPLE算法 SIMPLE算法
1、U 控制容积
α eue = Σα nb unb + b − ( pi +1, j ,k − pi , j , k ) Ae
二维
Ae = ∆y ×1
三维
Ae = ∆y ∆z
41
ij
ue
i j+1
u控制容积
42
2. V 控制容制
α n vn = Σα nbunb + b − ( ρij +1,k − ρij ,k ) An
a j +1 = Fe exp( pe ) − 1
Fw a j −1 = exp( pw ) − 1
a j = a j +1 + a j −1 + ( Fe − Fw )
23
24
混合格式
pe < −2 | pe |≤ 2 pe > 2 a j +1 De a j +1 De a j +1 De = − pe = 1− =0 pe 2
1
流体力学和传热学的控制方程 控制容积法及方程离散 离散方程的求解方法 SIMPLE算法的思想和实施
2
流体力学和传热学的控制方程
连续性方程(质量守恒) 连续性方程(质量守恒)
r ∂ρ + div ( ρv ) = 0 ∂t ∂t
* j
α 松驰因子
39
aj
α
ϕ j = Σanbϕnb + b + (1 − α )
aj
α
ϕ* j
a=1： Jacobi or G-S a=1： a<1： a<1： SUR a>1： a>1： SOR ①对于混合型： ②椭圆型： 亚松驰(SUR) 超松驰(SOR)
40
SIMPLE算法 SIMPLE算法
1、U 控制容积
α eue = Σα nb unb + b − ( pi +1, j ,k − pi , j , k ) Ae
二维
Ae = ∆y ×1
三维
Ae = ∆y ∆z
41
ij
ue
i j+1
u控制容积
42
2. V 控制容制
α n vn = Σα nbunb + b − ( ρij +1,k − ρij ,k ) An
a j +1 = Fe exp( pe ) − 1
Fw a j −1 = exp( pw ) − 1
a j = a j +1 + a j −1 + ( Fe − Fw )
23
24
混合格式
pe < −2 | pe |≤ 2 pe > 2 a j +1 De a j +1 De a j +1 De = − pe = 1− =0 pe 2
SIMPLE算法讲解
Patankar和Spalding与1972年提出 这种算法提出不久很快就成为计算不可压流场的主
要方法，随后这一算法以及其后的各种改进方案成 功的推广到可压缩流场计算中 已成为一种可以计算任何流速的流动的数值方法。
提出SIMPLE算法的缘由
动量方程中压力项的离散。
采用常规的网格及中心差分来离散压力梯度项时， 动量方程的离散形式可能无法检测出不合理的压 力场
考虑到湍流剪应力的影响修改了湍流粘性公式。
RSM模型 /雷诺应力模型 LES DNS
平均N-S方程的求解 大涡模拟（LES） 直接数值模拟（DNS）
平均N-S方程：模型可根据所采用的微分方程数进行分类为： 零方程模型、一方程模型、两方程模型、四方程模型、七方 程模型等。
湍流模型选取
湍流模型选取的准则：流体是否可压、建立特殊的可行的问 题、精度的要求、计算机的能力、时间的限制。
这些特点使得RNG k-ε模型比标准k-ε模型在更广泛的流动中 有更高的可信度和精度。
realizable可实现的k-ε模型： 为湍流粘性增加了一个公式。
为耗散率增加了新的传输方程。
应用范围：
对于平板和圆柱射流的发散比率的更精确的预测。而且 它对于旋转流动、强逆压梯度的边界层流动、流动分离 和二次流有很好的表现。
可实现的k-ε模型和RNG k-ε模型都显现出比标准k-ε模型 在强流线弯曲、漩涡和旋转有更好的表现。
适合的流动类型比较广泛，包括有旋均匀剪切流，自由 流（射流和混合层），腔道流动和边界层流动。
可实现的k-ε模型的一个不足是在主要计算旋转和静态流 动区域时不能提供自然的湍流粘度。
k-ω模型 标准的k-ω模型：
SST k-ω模型合并了来源于ω方程中的交叉扩散。 湍流粘度考虑到了湍流剪应力的传播。 模型常量不同。
要方法，随后这一算法以及其后的各种改进方案成 功的推广到可压缩流场计算中 已成为一种可以计算任何流速的流动的数值方法。
提出SIMPLE算法的缘由
动量方程中压力项的离散。
采用常规的网格及中心差分来离散压力梯度项时， 动量方程的离散形式可能无法检测出不合理的压 力场
考虑到湍流剪应力的影响修改了湍流粘性公式。
RSM模型 /雷诺应力模型 LES DNS
平均N-S方程的求解 大涡模拟（LES） 直接数值模拟（DNS）
平均N-S方程：模型可根据所采用的微分方程数进行分类为： 零方程模型、一方程模型、两方程模型、四方程模型、七方 程模型等。
湍流模型选取
湍流模型选取的准则：流体是否可压、建立特殊的可行的问 题、精度的要求、计算机的能力、时间的限制。
这些特点使得RNG k-ε模型比标准k-ε模型在更广泛的流动中 有更高的可信度和精度。
realizable可实现的k-ε模型： 为湍流粘性增加了一个公式。
为耗散率增加了新的传输方程。
应用范围：
对于平板和圆柱射流的发散比率的更精确的预测。而且 它对于旋转流动、强逆压梯度的边界层流动、流动分离 和二次流有很好的表现。
可实现的k-ε模型和RNG k-ε模型都显现出比标准k-ε模型 在强流线弯曲、漩涡和旋转有更好的表现。
适合的流动类型比较广泛，包括有旋均匀剪切流，自由 流（射流和混合层），腔道流动和边界层流动。
可实现的k-ε模型的一个不足是在主要计算旋转和静态流 动区域时不能提供自然的湍流粘度。
k-ω模型 标准的k-ω模型：
SST k-ω模型合并了来源于ω方程中的交叉扩散。 湍流粘度考虑到了湍流剪应力的传播。 模型常量不同。
第2章数学模型2-1,2培训课件
一、为什么要线性化
1、实际的物理系统和化学系统，严格地讲，都是非线性 系统。
2020/8/6
当非线性因素对系统影响较小时，一般可直接将系统当 作线性系统处理。另外，如果系统的变量只发生微小的偏 移，则可通过切线法进行线性化，以求得其增量方程式。
2、线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论 还远不完善。
（4）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输入变 量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列，最后将系 统归化为具有一定物理意义的形式，成为标准化微分方 程。
2020/8/6
§ 2.1 线性系统的微分方程
例1 如图所示，为RC无源网络。试建立该网络的微 分方程
解：电路理论知：
ui(t)R(ti)u0(t)
dx12
(x x10 1 x10)2
2020/8/6
当 (x1 x10) 为微小增量时，可以略去二阶以上各项
df
df
x 2 f(x 1)0 d 1x x 1( 0 x 1 x 1)0 x 2 0d 1x x 1( 0 x 1 x 1)0
即 x2x20 K (x1x1)0 x2Kx1
其中， K df dx1
ua(t)Raia(t)Ladd a(it)teb
eb ce
d(t)
dt
ce为电动机的反电势系数
力矩平衡方程为
电机转 动力矩
负载力矩
M DJdd 22 (tt)fdd(t)tM L MDcMia(t)
电磁转距
阻尼力矩
式中 J GD 2 为电动机电枢的转动惯量
4g
c M 为电动机的力矩系数
2020/8/6
Qi—冷水进入槽带入的热量: Qi VHTi
Ql— 隔热壁逸散的热量:
1、实际的物理系统和化学系统，严格地讲，都是非线性 系统。
2020/8/6
当非线性因素对系统影响较小时，一般可直接将系统当 作线性系统处理。另外，如果系统的变量只发生微小的偏 移，则可通过切线法进行线性化，以求得其增量方程式。
2、线性系统的理论已经相当成熟，但非线性系统的理论 还远不完善。
（4）将输出变量及各阶导数放在等号左边，将输入变 量及各阶导数放在等号右边，并按降幂排列，最后将系 统归化为具有一定物理意义的形式，成为标准化微分方 程。
2020/8/6
§ 2.1 线性系统的微分方程
例1 如图所示，为RC无源网络。试建立该网络的微 分方程
解：电路理论知：
ui(t)R(ti)u0(t)
dx12
(x x10 1 x10)2
2020/8/6
当 (x1 x10) 为微小增量时，可以略去二阶以上各项
df
df
x 2 f(x 1)0 d 1x x 1( 0 x 1 x 1)0 x 2 0d 1x x 1( 0 x 1 x 1)0
即 x2x20 K (x1x1)0 x2Kx1
其中， K df dx1
ua(t)Raia(t)Ladd a(it)teb
eb ce
d(t)
dt
ce为电动机的反电势系数
力矩平衡方程为
电机转 动力矩
负载力矩
M DJdd 22 (tt)fdd(t)tM L MDcMia(t)
电磁转距
阻尼力矩
式中 J GD 2 为电动机电枢的转动惯量
4g
c M 为电动机的力矩系数
2020/8/6
Qi—冷水进入槽带入的热量: Qi VHTi
Ql— 隔热壁逸散的热量:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P 1, P 2, P 3 P n
5.物理性质不同的系统可以有相同的传递函数。
6.传递函数与单位脉冲响应
• 单位脉冲响应：零初始条件下，单位脉冲输入下 的输出； • 任意输入函数下的时域响应= 输入函数与单位脉冲响应函数的卷积； • 系统传递函数为单位脉冲响应的象函数；
三. 典型环节传递函数 典型环节：物理系统由各种元件组成，但若考
划分环节
恒温箱自动控制系统
由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。 系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用 与相互制约的关系。
t u2 u ua n v u t
写出每个环节(元件) 运动方程式 找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反 映这种内在联系的物理规律。列写运动方程的关 键要了解元件或系统所属学科领域的有关规律， 而不是数学本身。 例如：机械运动——牛顿定理、能量守恒定理 电学——欧姆定理、基尔霍夫定律 热学——传热定理、热平衡定律 数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化， 考虑忽略一些次要因素；参数时变）。 注：数学模型的准确性和简化的矛盾。
（5）.方框图的串联、并联、反馈连接。
X1(S) X3(S) X2(S) G2(S) G1(S) X3(S) G1(S) X1(S) G2(S) + X2(S) + X4(S) X2(S)
X1(S) + E(S) G1(S)
Y(S)
G2(S)
3．方框图的运算 (1)串联连接的传递函数
X 2 ( S ) G2 ( S ) X 3 ( S ) X 3 (S ) G1 (S ) X 1 (S ) G(S) G1 (S)G 2 (S)
元件输出信号的拉氏变换与输入 信号的拉氏 变换的比，称为该系统或元件的传递函数。
例 1 ，试求R L C网络的传递函数 解：
2 由前面知 （LCP RCP 1）U （ U （ ２ t） １ t） 求该微分方程在零初始条件下的拉氏变换有 （LCP2 RCS 1）U ｓ U ｓ
d 2 d dM L JLa 2 （JRa fLa） （fRa C M C e） C M U a La Ra M L dt dt dt 若以为输出量，则根据关系 d 可得相应运动方程。 dt
§2-2 非线性运动方程的线性化
• 定义：将非线性微分方程在一定的条件 下转化为线性微分方程的方法。 • 小偏差线性化： 基本假设——变量偏离其预期工作点的 偏差甚小，这种线性化通常称为小偏差 线性化。
X1(S)
+
(S) G1(S)
X2(S ) G1 ( S ) ( S )
(1) (2) (3)
( S ) X1 (S )-Y(S ) Y(S ) G 2 (S )X2 (S )
(2)代入(1) X2 (S ) G1 ( S )[X1 (S )-Y(S)] (4) (3)代入(4) X2 (S ) G1 ( S )[X1 (S )-G 2 (S )X2 (S )] X 2 (S ) G1 ( S )X1 (S )-G1 ( S )G 2 (S )X2 (S ) X2 (S ) G1 ( S ) (S) X1 (S ) 1 G1 ( S )G 2 (S )
( S ) R( S ) Y ( S )
Y ( S ) H ( S )C ( S ) C ( S ) G( S ) X 2 ( S ) X 2 (S) X1(S) F(S) G1 ( S )G 2 ( S ) G2 ( S ) C(S) R( S ) F (S) 1 G1 ( S )G 2 ( S ) H ( S ) 1 G1 ( S )G 2 ( S ) H ( S )
(1)若 F (S ) 0 则 C (S ) G1 ( S )G2 ( S )
R( S ) 1 G1 ( S )G2 ( S ) H ( S )
定义： C(S)/R(S)为系统输出对于输入信号的闭 环传函，记为 ( S ) ，即
( S ) C (S ) G1 ( S )G2 ( S ) R( S ) 1 G1 ( S )G2 ( S ) H ( S )
(1).信号线:带箭头的直线,箭头表示信号方向； (2).相加点(比较点） X1(S) E(S) X2(S) E(S) X1 (S) - X 2 (S) ； (3). 分支点 : 信号分出的一点 , 称为分支点 , 通过分 支点的信号都是相同的； X(S) X(S)
X(S)
(4).方框:对信号进行的数学变换；
X1(S)
X3(S) X2(S) G2(S) G1(S)
结论：二环节串联传递函数等于二传函之积。 推广：N环节串联，传递函数等于N个环节传 函之积。
(2)并联连接的传递函数
X3(S) G1(S) + X2(S)
X1(S)
G2(S)
+
X4(S)
X 2 (S) X 3 (S ) X 4 (S ) G(S) G1 (S ) G2 (S ) X1 (S) X 1 (S )
( b0 p
b1 p
m 1
bm 1 p
bm ) x1 ( t )
求拉式变换。
则有： m1 b b0S m b S X 2 (S ) m 1 G S X1(S ) S n a S n1 a S a n 1 n1
定义
传递函数： 初始条件为 零时，线性定常系统或
3.传递函数是复变量S的有理分式，且分子、分母 多项式的各项系数均为实数， ｎ ｍ。比微分 方程简单。 4.传递函数写成
(S-Z１)(S Z２)......(S Zm ) G(S) k (S-P １)(S P ２)......( S P n)
的形式，则 Z1 , Z 2 , Z 3 Z m 和 为G(S)的零点和极点。
根据基尔霍夫定律，直流电动机电枢回路的 运动方程为： La di R ai E Ua dt
而电动机的反电动势与成正比，即E Ce 当电动机空载时，M L 0，J d M f dt
电枢电流i在恒定磁场中产生的电磁力矩为M CM i 消去中间变量得：
d 2 d JL a 2 （JR a fL a） （fR a CM Ce） CM U a dt dt 当电动机输出轴带负载 时，M L 0，则由牛顿定律有 J d M - f - M L dt
２ １
U２ｓ 1 Gｓ U１ｓ LCS 2 RCS 1
二. 传递函数注释
1 .线性定常系统或元件的运动方程与传递 函数一一对应，它们是在不同域对同一 系统或元件的描述。 2 .传递函数是表征线性定常系统或元件自 身的固有特性，它与其输入信号的形式 无关 ，但和输入信号的作用位置及输出 信号的取出位置有关。
线性定常系统的微分方程一般表达式为
设描述系统的微分方程 为: (p n a0 p m n 1 a1 p n2 a n 1 p a n ) x 2 ( t )
( b0 p
b1 p
m 1
bm 1 p bm ) x1 ( t )
其中，
x2(t )为输出量， x1(t )为输入量
例1
设有由电感L，电容C和电阻R组
成的电路，如图所示.试求出以输出电 压Uo(t)为输出变量和以输入电压Ui(t)为输 入变量的运动方程。
R L
Ui(t) i(t)
C
Uo(t)
2 d Uo dUo LC RC Uo Ui 2 dt dt
例2， 如图所示为一弹簧阻尼系统，图中质量为m的物体受到外力 作用产生位移Y，求该系统的运动方程 解：
本章主要内容
• 2-1 • 2-2 • 2-3 • 2-4 • 2-5 • 2-6 • 2-7 控制系统微分方程的建立 非线性方程的线性化 拉氏变换及反变换 传递函数与典型环节的传递函数 典型环节的方框图 控制系统的传递函数 控制系统方框图及其简化
§2-1 控制系统微分方程的建立
• 步骤 划分环节 写出每个环节(元件) 运动方程式 消去中间变量 写成标准形式
第二章 控制系统的数学模型
• 数学模型 是描述系统中各变量间关系的数学形式， 是分析和设计系统的基础。
•数学模型的形式
时间域： 微分方程
差分方程
状态方程
脉冲响应
频率域： 传递函数
频率响应
•各种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 传递函数 变换 微分方程
傅氏
变换
频率特性
• 建立数学模型的方法 解析法：依据系统及元件各变量之间所遵 循的物理或化学规律列写出相应的数学关 系式，建立模型。 实验法：人为地对系统施加某种测试信号， 记录其输出响应，并用适当的数学模型进 行逼近。这种方法也称为系统辨识。
§ 2-3 拉氏变换及反变换
一．拉氏变换定义 二．典型函数的拉氏变换 三．拉氏变换的性质 四．拉氏反变换
1. 只含不同单极点 2. 含共轭复极点 3. 含多重极点
五．用拉氏变换求解常系数线性微分方程
§2-4 传递函数与 典型环节的传递函数
一. 传递函数的定义
设描述系统的微分方程 为: (p n a0 p m n 1 a1 p n2 a n 1 p a n ) x2 (t )
察其数学模型，却可划分成为数不多的几种基 本类型。 1. 比例环节 2. 惯性环节 3. 积分环节 4. 振荡环节 5. 微分环节 6. 纯滞后环节
§2-5 典型环节的方框图
1.定义:每个环节的功能和信号流向的图解表示
X 2 (S) G(S)X1 (S)
X1(S)
G(S)
X2(S)
2.常用符号及术语
几何意义：以过平衡点（工作点）的切线代替 工作点附近的曲线。 说明： A.线性化时各自变量在工作点处必须有各阶导 数或偏导数存在 , 如：继电器特性，导数不存 在，本质非线性； B.必须明确工作点的参数； C.如果非线性运动方程较接近线性时，则线性 化运动方程对于变量的增量在较大范围适用， 反之，只能适用于变量的微小变化。