第二章系统数学模型
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机械工程控制基础--第二章
,
Cm
Tm J
得
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
Cdua CmML 设平衡点 (ua0,ML0, )
L
R
即有 Cdua0 CmML0 ua
i2R2
1 C2
i2dt
1 C1
(i1 i2 )dt
1
C2 i2dt u2
i1 C1
3. 消除中间变量 i1、i2，并整理：
R1C1R2C2
d2u2 dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2
)
du2 dt
u2
u1
R2 i2 C2 u2
例5 直流电动机 1. 明确输入与输出：
输入ua 和ML，输出
注意：负载效应，非线性项的线性化。
3. 消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。
4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项 放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。
an
x(n) o
(t
)
a x(n1) n1 o
(t
)
a1xo (t) a0xo (t)
bm
x(m) i
(t
)
bm1xi(
...
a1 s
a0
(n m) 传递函数
传递函数定义：
零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉
氏变换之比。
第二章-控制系统的数学模型【可编辑全文】
Z2
减速器
J Lc fL
负载
r
操纵手柄
W1
ur
uε
u
放大器
ua
电机 m
减 速
c
负载
ut uc
测速电机
器
W2
W1
W2 位置随动系统结构图绘制
r (s)
U(rs)
m (s)
1 r
操纵手柄
k
Ut (s)
1
i
kW1
Urr (s)
U(s)
c
(s)
uε
E
ur uε
ut
cc (s) k Uc (s) Ur (s) Uc(s) U
G(s)
Ut (s) (s)
Kt
Kt U(s)
ut (t)
Kt
d (t)
dt
Ut (s) Ks(s)
G(s)
Ut (s) (s)
Kt
s
(s)
U (s)
Kts
典型元部件的传递函数
直流电动机：
Tm
dm (t)
dt
m (t)
K1ua (t)
K2Mc (t)
Tm
dm (t)
dt
m
(t)
K1ua
(t)
Tm
X3(s)=X2(s)+R(s)G4(s)+N(s)G3(s)
G4(s)
N(s) G3(s)
R(s)
E(s) X1(s) G1(s) X2(s)
X3(s) G2(s) X4(s) C(s)
C(s)
H(s) X4(s)
)
C(s)
C(s)
T2
X1(s) N(s) C(s) sX2(s) k1R(s) T2C(s)
控制工程基础_第二章(2017)
时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O
t
（b）单位斜坡函数
F (s)
0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O
0
(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st
图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。
02 自动控制原理—第二章
Tm J
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
2.4第二章 系统的数学模型--第四节 系统的微分方程及线性化
四、电气系统中的元件复阻抗
2、电容
i(t)
C
u(t)
u (t )
1 C
i(t
)dt
u(t)
1 C
i(t)
sU (s) 1 I (s) U (s) 1 I (s)
C
Cs
零初始状态下
四、电气系统中的元件复阻抗 3、电感 i(t) L
u(t)
u(t) L di(t) dt
U (s) Ls I (s) 零初始状态下
R
ui
C
uo
3、列出如图电气系统的微分方程。
解：物理规律： 基尔霍夫原理 输 入: 电压 ui(t) 输 出: 电压 uo(t)
设：电路电流为 i(t)
i
ui
R
C
uo
ui (t)
uo (t)
R i
1 C
(t) 1 C
i(t)d t
i(t
)d
t
iu(it()t
五、微分方程建立示例
2、列出如图机械系统的微分方程。
解：物理规律： 达朗贝尔原理 输 入: 力矩 τ(t) 输 出: 位移 θ(t)
τ
ห้องสมุดไป่ตู้
kJ
θ(t)
J
t kJ t cJ wt J t t kJ t cJt Jt Jt cJt kJ t t
线性系统的特点：可以运用叠加原理。
2、非线性系统 必须用非线性微分方程描述
的系统。 不能使用叠加原理
y(t) x2 (t) 对于非线性问题通常采用如下的处理途径 线 性 化 处 理：在工作点附近将非线性函数用泰勒级
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
第二章系统数学模型的建立
工质状态 （温度）
工况﹑环境﹑条件 （过热器管长）
时间
建模时多采用分 区集总方法，即将三 维空间的分布参数简 化为一维空间。否则 无法求解。
（4）时间常数差别大
在发电厂中各设备的动态特性不同，其时间常数（动 态响应速度）差别十分悬殊，例如：
汽机甩负荷——转速 烟温——主汽温 燃料——汽压 减温水量——主汽温 时间常数小 响应快
原则2：应建立系统的方框图
方框图——用不同的方框来描述系统的各不同部分， 各个方框之间依据信号的传递关系连接成一个整体，概 括地说明系统的特性。 每个方框——都是由系统的分解而得。 系统的方框图是用来指导系统研究的，它是对系统的 最原则的综合。一般来说，可以根据设备的功能、介质 的性质和过程扣特点把一个系统划分成许多子系统，子 系统又是由许多环节组成的，当不再往下分解时，环节 即为分解的极限，从而确定系统的外部边界和内部边界， 于是整个框图的雏形便形成了。
第二章 系统数学模型的建立
数学模型：——是系统的数学描述，
是系统研究的基础， 是计算机仿真的依据。
2· 建立系统模型的任务 1
（1）确定系统模型的结构 ——定义模型性质、确定模型框架和边界条件、 明确各环节的特性和相互关系。 （2）提供系统模型的数据 ——确定系统中各环节特性的定量关系，确定各 环节相互间的定量关系（即信号传递的定量 关系）。
• 对于已运行的Байду номын сангаас站，如果对原设计进行了改动，对改 动部分应依据改动后的资料。
• 仿真机设计之前尽可能全面地收集到建模所需的资料。
（2）进行初步设计
•初步设计应利用所收集的主要设计资料、根据对仿真机 的要求、按系统和子系统进行。 •初步设计的主要目的：明确仿真范围，绘制仿真系统图。
工况﹑环境﹑条件 （过热器管长）
时间
建模时多采用分 区集总方法，即将三 维空间的分布参数简 化为一维空间。否则 无法求解。
（4）时间常数差别大
在发电厂中各设备的动态特性不同，其时间常数（动 态响应速度）差别十分悬殊，例如：
汽机甩负荷——转速 烟温——主汽温 燃料——汽压 减温水量——主汽温 时间常数小 响应快
原则2：应建立系统的方框图
方框图——用不同的方框来描述系统的各不同部分， 各个方框之间依据信号的传递关系连接成一个整体，概 括地说明系统的特性。 每个方框——都是由系统的分解而得。 系统的方框图是用来指导系统研究的，它是对系统的 最原则的综合。一般来说，可以根据设备的功能、介质 的性质和过程扣特点把一个系统划分成许多子系统，子 系统又是由许多环节组成的，当不再往下分解时，环节 即为分解的极限，从而确定系统的外部边界和内部边界， 于是整个框图的雏形便形成了。
第二章 系统数学模型的建立
数学模型：——是系统的数学描述，
是系统研究的基础， 是计算机仿真的依据。
2· 建立系统模型的任务 1
（1）确定系统模型的结构 ——定义模型性质、确定模型框架和边界条件、 明确各环节的特性和相互关系。 （2）提供系统模型的数据 ——确定系统中各环节特性的定量关系，确定各 环节相互间的定量关系（即信号传递的定量 关系）。
• 对于已运行的Байду номын сангаас站，如果对原设计进行了改动，对改 动部分应依据改动后的资料。
• 仿真机设计之前尽可能全面地收集到建模所需的资料。
（2）进行初步设计
•初步设计应利用所收集的主要设计资料、根据对仿真机 的要求、按系统和子系统进行。 •初步设计的主要目的：明确仿真范围，绘制仿真系统图。
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对于多元函数，如y=f(x1,x2)，平衡点为(y0,x10,x20) 在平衡点邻域内进行小偏差线性化：
x1 x2
系统
y
小偏差线性化的数学处理:
1）只有一个变量的非线性函数y= f（x）线性化
yf(x 0 ) d fd ( x x ) x 0(x x 0 ) 2 1 ! d 2 d fx ( 2 x ) x 0(x x 0 )2 L
一数学模型可以描述不同的系统。
我们可以利用简单易实现的系统（如电的系统） 去模拟其它难于实现的系统（机械系统）......
2.1.3 非线性数学模型线性化
线 性 系 统 ： 满 足 叠 加 原 理 非 线 性 系 统 ： 不 满 足 叠 加 原 理
x1(t) 系统 y1(t)
x2(t)
y2(t)
Uf tan0If
※ 线性化即在小偏差范围内用直线代替曲线，即在 平衡点附近，用一次线性函数取代高次函数。
泰勒级数y：y0 f 'x0xx0 f ''2!x0xx02......
若偏差 xx0很小，则 的高次项趋于零忽 ，略 可。 以
得：yy0 f 'x0xx0。取增量为变量线 ，性 得到
化方程： yy0ykx
C uo(t)
电容两端电压为：
图2-3
Uo(t)
1 C
t
i(t)dt
0
整理得: Ld d C 2 2u to(t)Rd d C uto(t)uo(t)ui(t)
机械系统（a）和电系统（b）具有相同的数学 模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系 统为机械系统的等效网络）
物理本质不同的系统可有相似的数学模型，同
ax1(t) +
+ bx2(t)
系统 ay1(t)+by2(t)
严格地讲，线性系统并不存在。所谓的线性系统，也只
是在一定的范围内保持其线性关系。
目前，非线性系统理论还远远不完善，往往在一定条件 下，将描述非线性系统的非线性微分方程线性化处理，使
其成为线性微分方程来处理。
通常控制系统工作状态为稳态，系统受到各种扰动， 产生偏差。
mdd2xt2(t)fdxd(tt)Kx(t)f(t)
2、机械旋转系统
旋转机械系统用途极其广泛，其建模方法 与平移系统非常相似。只是将平移的质量、弹 簧、阻尼器分别变成了转动惯量、扭转弹簧和 旋转阻尼。
例2.2：下图为在扭矩T作用下的机械转动系统，包含有惯量、 扭转弹簧、回转粘性阻尼。试写出其微分方程。其中转动惯量
学模型的建立主要应用牛顿定理来列写。
1、机械平动系统 平动即直线运动，其主要元件为质量、弹簧、
阻尼器。
m
预 备 f(t)
知 f(t)
识K
质量
f(t)mamd2dxt2(t)
x(t)
弹簧
x1(t)
f(t)
x2(t)
f(t) K [x 1 (t) x 2 (t)]
f(t)
阻尼器
x1(t)
C
x2’(t)
件。电气系统遵循的基本定律为：基尔霍夫电流 定律和基尔霍夫电压定律，并由此来建立电气系 统数学模型。
预备 知识
例2.3 无源电器网如图2-3所示，ui (t ) 为输入电压， u o ( t ) 为输出电压，列写其关于输入输出微分方程模型。
解：设电路中电流为 i(t)
RL
R(t)iLd di(tt)U o(t)U i(t)0 Ui(t)
数 传递函数 学 模 频率特性 型
结构框图
L L-1 频域
信号流图
Байду номын сангаас
Ui(S)
U0(S) -
I1(S)
1/R
R1
I2(S) I(S)
U0(S)
CS + + R2
建立数学模型的方法：
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。
f(t)
x2(t)
f(t)Cdd1x(tt)dd2x(tt)
f
'
(t
)
C
dx1(t) dt
[
dx2d’t(t)]
C
dx1(t dt
)
dx2’(t dt
)
1
X X
图2-1 机械移动系统
解：取f(t)为输入量, x为输出量
f(t)fK(t)ff(t)mdd 2xt2 (t) fK(t)Kx(t)
dx(t) f f (t) f dt
❖ 了解非线性模型的线性化方法； ❖ 结构图和信号流图的变换与化简;（重点掌握） ❖ 开环传递函数和闭环传递函数的推导和计
算。
1、什么是系统的数学模型 2、研究系统数学模型的定义 3、数学模型的表示形式 4、如何建立系统的数学模型
自动控制系统的数学模型
自动控制系统的任务是将系统的输入信 号（包括控制输入与扰动输入）的变化，及 时地、准确地、稳定可靠地传到系统的输出 端，驱动执行机构动作，使被控量按照输入 信号的要求而变化或保持恒定。
为J，转角为θ，回转粘性阻尼系数为BJ ，扭转弹簧刚度为KJ 。
J
T
KJ
BJ-粘性液体
图2-2 机械旋转系统
解：
d 2
J dt2 T Tk TB
Tk k J
d
TB BJ dt
消去中间变量，整理得微分方程：
J''(t)B J'(t)kJT
（二）电网络系统 电阻、电感、电容是电路中最基本的三个元
忽略二阶以上各项，可写成
yf(x0)dd(fxx)x0(xx0)
机械控制工程基础
No Image
1
第二章 系统的数学模型
2.1 系统的微分方程
▼
2.2 拉氏变换与反变换
▼
2.3 传递函数
▼
2.4 系统方框图及其简化
▼
2.5 反馈系统的传递函数
▼
2.6 信号流图与梅逊公式
▼
2.7 物理系统的传递函数推导 ▼
2.8 本章小结
▼
学习重点
❖ 简单物理系统的微分方程和传递函数的列 写及计算；（重点掌握）
数学模型定义：
描述系统输入、输出变量以及内部各变 量之间关系的表达式。一般应根据系统的实 际机构参数及计算所要求的精度忽略一些次 要因素，使模型既能反映系统的动态特性又 能简化分析、计算
引言
数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变 量之间关系的数学表达式。
： 数学模型的主要形式
微分方程
时域 ※
§2.1 系统的微分方程
2.1.1 建立微分方程模型的步骤
分析系统的工作原理，确定输入量和输出量； 将系统分解为各环节，建立各环节输入量、输
出量之间的动态联系。 消去中间变量，求出系统的微分方程。 标准化微分方程。
2.1.2 系统微分方程的列写
（一）机械系统 机械系统分为平动系统和旋转系统，其数
x1 x2
系统
y
小偏差线性化的数学处理:
1）只有一个变量的非线性函数y= f（x）线性化
yf(x 0 ) d fd ( x x ) x 0(x x 0 ) 2 1 ! d 2 d fx ( 2 x ) x 0(x x 0 )2 L
一数学模型可以描述不同的系统。
我们可以利用简单易实现的系统（如电的系统） 去模拟其它难于实现的系统（机械系统）......
2.1.3 非线性数学模型线性化
线 性 系 统 ： 满 足 叠 加 原 理 非 线 性 系 统 ： 不 满 足 叠 加 原 理
x1(t) 系统 y1(t)
x2(t)
y2(t)
Uf tan0If
※ 线性化即在小偏差范围内用直线代替曲线，即在 平衡点附近，用一次线性函数取代高次函数。
泰勒级数y：y0 f 'x0xx0 f ''2!x0xx02......
若偏差 xx0很小，则 的高次项趋于零忽 ，略 可。 以
得：yy0 f 'x0xx0。取增量为变量线 ，性 得到
化方程： yy0ykx
C uo(t)
电容两端电压为：
图2-3
Uo(t)
1 C
t
i(t)dt
0
整理得: Ld d C 2 2u to(t)Rd d C uto(t)uo(t)ui(t)
机械系统（a）和电系统（b）具有相同的数学 模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系 统为机械系统的等效网络）
物理本质不同的系统可有相似的数学模型，同
ax1(t) +
+ bx2(t)
系统 ay1(t)+by2(t)
严格地讲，线性系统并不存在。所谓的线性系统，也只
是在一定的范围内保持其线性关系。
目前，非线性系统理论还远远不完善，往往在一定条件 下，将描述非线性系统的非线性微分方程线性化处理，使
其成为线性微分方程来处理。
通常控制系统工作状态为稳态，系统受到各种扰动， 产生偏差。
mdd2xt2(t)fdxd(tt)Kx(t)f(t)
2、机械旋转系统
旋转机械系统用途极其广泛，其建模方法 与平移系统非常相似。只是将平移的质量、弹 簧、阻尼器分别变成了转动惯量、扭转弹簧和 旋转阻尼。
例2.2：下图为在扭矩T作用下的机械转动系统，包含有惯量、 扭转弹簧、回转粘性阻尼。试写出其微分方程。其中转动惯量
学模型的建立主要应用牛顿定理来列写。
1、机械平动系统 平动即直线运动，其主要元件为质量、弹簧、
阻尼器。
m
预 备 f(t)
知 f(t)
识K
质量
f(t)mamd2dxt2(t)
x(t)
弹簧
x1(t)
f(t)
x2(t)
f(t) K [x 1 (t) x 2 (t)]
f(t)
阻尼器
x1(t)
C
x2’(t)
件。电气系统遵循的基本定律为：基尔霍夫电流 定律和基尔霍夫电压定律，并由此来建立电气系 统数学模型。
预备 知识
例2.3 无源电器网如图2-3所示，ui (t ) 为输入电压， u o ( t ) 为输出电压，列写其关于输入输出微分方程模型。
解：设电路中电流为 i(t)
RL
R(t)iLd di(tt)U o(t)U i(t)0 Ui(t)
数 传递函数 学 模 频率特性 型
结构框图
L L-1 频域
信号流图
Байду номын сангаас
Ui(S)
U0(S) -
I1(S)
1/R
R1
I2(S) I(S)
U0(S)
CS + + R2
建立数学模型的方法：
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。
f(t)
x2(t)
f(t)Cdd1x(tt)dd2x(tt)
f
'
(t
)
C
dx1(t) dt
[
dx2d’t(t)]
C
dx1(t dt
)
dx2’(t dt
)
1
X X
图2-1 机械移动系统
解：取f(t)为输入量, x为输出量
f(t)fK(t)ff(t)mdd 2xt2 (t) fK(t)Kx(t)
dx(t) f f (t) f dt
❖ 了解非线性模型的线性化方法； ❖ 结构图和信号流图的变换与化简;（重点掌握） ❖ 开环传递函数和闭环传递函数的推导和计
算。
1、什么是系统的数学模型 2、研究系统数学模型的定义 3、数学模型的表示形式 4、如何建立系统的数学模型
自动控制系统的数学模型
自动控制系统的任务是将系统的输入信 号（包括控制输入与扰动输入）的变化，及 时地、准确地、稳定可靠地传到系统的输出 端，驱动执行机构动作，使被控量按照输入 信号的要求而变化或保持恒定。
为J，转角为θ，回转粘性阻尼系数为BJ ，扭转弹簧刚度为KJ 。
J
T
KJ
BJ-粘性液体
图2-2 机械旋转系统
解：
d 2
J dt2 T Tk TB
Tk k J
d
TB BJ dt
消去中间变量，整理得微分方程：
J''(t)B J'(t)kJT
（二）电网络系统 电阻、电感、电容是电路中最基本的三个元
忽略二阶以上各项，可写成
yf(x0)dd(fxx)x0(xx0)
机械控制工程基础
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第二章 系统的数学模型
2.1 系统的微分方程
▼
2.2 拉氏变换与反变换
▼
2.3 传递函数
▼
2.4 系统方框图及其简化
▼
2.5 反馈系统的传递函数
▼
2.6 信号流图与梅逊公式
▼
2.7 物理系统的传递函数推导 ▼
2.8 本章小结
▼
学习重点
❖ 简单物理系统的微分方程和传递函数的列 写及计算；（重点掌握）
数学模型定义：
描述系统输入、输出变量以及内部各变 量之间关系的表达式。一般应根据系统的实 际机构参数及计算所要求的精度忽略一些次 要因素，使模型既能反映系统的动态特性又 能简化分析、计算
引言
数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变 量之间关系的数学表达式。
： 数学模型的主要形式
微分方程
时域 ※
§2.1 系统的微分方程
2.1.1 建立微分方程模型的步骤
分析系统的工作原理，确定输入量和输出量； 将系统分解为各环节，建立各环节输入量、输
出量之间的动态联系。 消去中间变量，求出系统的微分方程。 标准化微分方程。
2.1.2 系统微分方程的列写
（一）机械系统 机械系统分为平动系统和旋转系统，其数