第二章系统的数学模型2011第5讲
合集下载
第2章：系统的数学模型
第二章
系统的数学模型
数学模型定义：
• 描述控制系统在动态过程中各变量之间的
数学表达式称为数学模型。
输入
系统
输出
2 d x ( t ) dx ( t ) dx ( t ) 0 0 i 3 2 2 4 x ( t ) 2 x ( t ) 0 i dt dt dt
数学模型的表现形式: • 时间域：微分方程组、差分方程、状态方程 • 复数域：传递函数、结构图 • 频率域：频率特性
例 c
k1
2 d x 0 m 2 F F F k 1 c k 2 dt
xi
dx dx i 0 F c ( ) c dt dt
m
k2
F k ( x x ) k 1 1 i 0
x0
F k ( x 0 ) k 2 2 0
d x dx dx 0 i m c ( k k ) x c k x 1 2 0 1 i dt dt dt
0 y0 y=f(x)
A
y
y’
x
x0 非线性关系线性化
x
3、系统线性化微分方程的建立
（1）步骤 1）确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 2）列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 3）消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程；
（2）实例：液位系统的线性化 节流阀
d AH ( t ) H ( t ) q t ) i( dt
人为地对系统施加某种测试信号，记录其 输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。 这种方法也称为系统辨识。
2、实验法
•
合理的数学模型:
• 所谓合理的数学模型是指它具有最简化的形式， 但又能正确地反映所描述系统的特性。
• 在工程上，常常是做一些必要的假设和简化，忽 略系统特性影响小的因素，并对一些非线性关系 进行线性化，建立一个比较纯粹的近似数学模型。
系统的数学模型
数学模型定义：
• 描述控制系统在动态过程中各变量之间的
数学表达式称为数学模型。
输入
系统
输出
2 d x ( t ) dx ( t ) dx ( t ) 0 0 i 3 2 2 4 x ( t ) 2 x ( t ) 0 i dt dt dt
数学模型的表现形式: • 时间域：微分方程组、差分方程、状态方程 • 复数域：传递函数、结构图 • 频率域：频率特性
例 c
k1
2 d x 0 m 2 F F F k 1 c k 2 dt
xi
dx dx i 0 F c ( ) c dt dt
m
k2
F k ( x x ) k 1 1 i 0
x0
F k ( x 0 ) k 2 2 0
d x dx dx 0 i m c ( k k ) x c k x 1 2 0 1 i dt dt dt
0 y0 y=f(x)
A
y
y’
x
x0 非线性关系线性化
x
3、系统线性化微分方程的建立
（1）步骤 1）确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 2）列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 3）消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程；
（2）实例：液位系统的线性化 节流阀
d AH ( t ) H ( t ) q t ) i( dt
人为地对系统施加某种测试信号，记录其 输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。 这种方法也称为系统辨识。
2、实验法
•
合理的数学模型:
• 所谓合理的数学模型是指它具有最简化的形式， 但又能正确地反映所描述系统的特性。
• 在工程上，常常是做一些必要的假设和简化，忽 略系统特性影响小的因素，并对一些非线性关系 进行线性化，建立一个比较纯粹的近似数学模型。
第二章 系统的数学模型
阶跃函数表示为：
0 t 0 1(t ) 1 t 0
出现在
t t 0 时刻的阶跃函数，表示为：
0 t t0 r ( t t0 ) A t t0
t0
2.脉冲函数 数学表达式为:
0 t0 A r (t ) 0t t 0
斜坡函数从t =0时刻开始， 随时间以恒定速度增加。如图 所示。A=1时斜坡函数称作单 位斜坡函数。 斜坡函数等于阶跃函数对 时间的积分，反之，阶跃函数 等于斜坡函数对时间的导数。
4.（单位）加速度函数
它的数学表达式为:
1 0 r (t ) 2 At 2 t0 t0
曲线如图所示。
3、微分定理：
若 Lf（t） F(s) ，则有
df (t ) L sF ( s) f (0) dt d 2f (t ) 2 L 2 s F ( s) sf (0) f ' (0) dt
同理
d 3f (t ) 3 L 3 s F (s) s 2 f (0) sf ' (0) f ' ' (0) dt d n f (t ) n L n s F ( s) s n1 f (0) s n2 f ' (0) ... f ( n1) (0) dt
常采用的典型输入信号有： 1.阶跃函数
它表示一个在t=0时刻出现的，幅值为A的阶跃变化函 数，如图所示。在实际系统中，如负荷突然增大或减小， 流量阀突然开大或关小均可以近似看成阶跃函数的形式。
它的数学表达式为：
0 t 0 r (t ) A t 0
A=1的函数称为单位阶跃函数，记作1(t)，单位
0 t 0 1(t ) 1 t 0
出现在
t t 0 时刻的阶跃函数，表示为：
0 t t0 r ( t t0 ) A t t0
t0
2.脉冲函数 数学表达式为:
0 t0 A r (t ) 0t t 0
斜坡函数从t =0时刻开始， 随时间以恒定速度增加。如图 所示。A=1时斜坡函数称作单 位斜坡函数。 斜坡函数等于阶跃函数对 时间的积分，反之，阶跃函数 等于斜坡函数对时间的导数。
4.（单位）加速度函数
它的数学表达式为:
1 0 r (t ) 2 At 2 t0 t0
曲线如图所示。
3、微分定理：
若 Lf（t） F(s) ，则有
df (t ) L sF ( s) f (0) dt d 2f (t ) 2 L 2 s F ( s) sf (0) f ' (0) dt
同理
d 3f (t ) 3 L 3 s F (s) s 2 f (0) sf ' (0) f ' ' (0) dt d n f (t ) n L n s F ( s) s n1 f (0) s n2 f ' (0) ... f ( n1) (0) dt
常采用的典型输入信号有： 1.阶跃函数
它表示一个在t=0时刻出现的，幅值为A的阶跃变化函 数，如图所示。在实际系统中，如负荷突然增大或减小， 流量阀突然开大或关小均可以近似看成阶跃函数的形式。
它的数学表达式为：
0 t 0 r (t ) A t 0
A=1的函数称为单位阶跃函数，记作1(t)，单位
系统的数学模型(2)
主要内容 第一节 控制系统的微分方程 第二节 传递函数 第三节 系统的动态结构图 第四节 闭环控制系统的传递函数 第五节 相似系统
1
研究与分析一个系统的动态特性，或对系统进行控制，不仅要定性的了解 系统的工作原理，而且要定量的描述系统的动态性能，揭示系统的结构、 参数与动态性能之间的关系。这就要建立系统的数学模型。
图3-1-1 弹簧-质量 -阻尼器系统
5
阻尼器 (1)根据牛顿第二定律，有弹：簧弹力
阻力
f (t) k
f
(t)
f1(t)
f2 (t)
M
d2 y dt 2
M
B yt
(2)f1(t)和f2(t)为中间变量：
f1 (t )
B
dy (t ) dt
f2 (t) ky(t) B为阻尼比
K为弹性系数
6
(3) 系统的微分方程式 :
18
第二节 传递函数
目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法－－频率法和根 轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一 种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响， 十分方便。
19
第二节 传递函数
一、传递函数的概念 二、传递函数的性质 三、由微分方程直接求传递函数 四、典型环节及其传递函数
电磁转矩(牛顿·米)
转动部分粘性摩擦系数(牛顿·米／ 弧度／秒)
M d Cmia
电磁转矩系数(牛 顿·米/安)
13
JLa
d 2
dt 2
( JRa
fLa )
d
dt
(
fRa
CmKe )
Cmua
La
dM L dt
RaM L
若输出为电动机的转角 ，则按式(2.17)有:
1
研究与分析一个系统的动态特性，或对系统进行控制，不仅要定性的了解 系统的工作原理，而且要定量的描述系统的动态性能，揭示系统的结构、 参数与动态性能之间的关系。这就要建立系统的数学模型。
图3-1-1 弹簧-质量 -阻尼器系统
5
阻尼器 (1)根据牛顿第二定律，有弹：簧弹力
阻力
f (t) k
f
(t)
f1(t)
f2 (t)
M
d2 y dt 2
M
B yt
(2)f1(t)和f2(t)为中间变量：
f1 (t )
B
dy (t ) dt
f2 (t) ky(t) B为阻尼比
K为弹性系数
6
(3) 系统的微分方程式 :
18
第二节 传递函数
目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法－－频率法和根 轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一 种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响， 十分方便。
19
第二节 传递函数
一、传递函数的概念 二、传递函数的性质 三、由微分方程直接求传递函数 四、典型环节及其传递函数
电磁转矩(牛顿·米)
转动部分粘性摩擦系数(牛顿·米／ 弧度／秒)
M d Cmia
电磁转矩系数(牛 顿·米/安)
13
JLa
d 2
dt 2
( JRa
fLa )
d
dt
(
fRa
CmKe )
Cmua
La
dM L dt
RaM L
若输出为电动机的转角 ，则按式(2.17)有:
2系统的数学模型
x x0
( x x0 )
线 性 化 增 量 方 程
y Kx
dy K dx
x x0
（2）多变量系统
y f ( x1 , x2 )
f K1 x1
注意:
x1 x10 x2 x20
y K1x1 K 2 x2
f K2 x2
x1 x10 x2 x20
③非线性函数线性化
平 衡 点 QL0 , pL0 , x0
f pL ,x QL f ( pL0 ,x0 ) x x0 x x p L p L0 f pL ,x x x pL pL pL 0pL0
ua , ml
若电动机处于平衡状态，有
Kuua Kmml
平 衡 点 0 , ua0 , ml 0
0 Kuua0 Kmml 0
ua ua0 ua , ml ml 0 ml , 0
d 0 d 0 TaTm Tm 0 2 dt dt d ml 0 ml K u ua 0 ua K m (Ta ml 0 ml ) dt
y
（1）单变量系统 对连续的非线性系统 y = f(x),在工作点y0=f(x0)附 近展成Talor级数:
dy y f ( x0 ) dx
y0
A
x
x0
1 d2y x x0 ( x x 0 ) 2! dx 2
2 ( x x ) x x0 0
x
当( x x 0 )很 小 时 ， 忽 略 二 阶 以 各 上项 ， 得 dy y y0 dx
2
dml d 2 d TaTm Tm K u ua K m (Ta ml ) 2 dt dt dt
( x x0 )
线 性 化 增 量 方 程
y Kx
dy K dx
x x0
（2）多变量系统
y f ( x1 , x2 )
f K1 x1
注意:
x1 x10 x2 x20
y K1x1 K 2 x2
f K2 x2
x1 x10 x2 x20
③非线性函数线性化
平 衡 点 QL0 , pL0 , x0
f pL ,x QL f ( pL0 ,x0 ) x x0 x x p L p L0 f pL ,x x x pL pL pL 0pL0
ua , ml
若电动机处于平衡状态，有
Kuua Kmml
平 衡 点 0 , ua0 , ml 0
0 Kuua0 Kmml 0
ua ua0 ua , ml ml 0 ml , 0
d 0 d 0 TaTm Tm 0 2 dt dt d ml 0 ml K u ua 0 ua K m (Ta ml 0 ml ) dt
y
（1）单变量系统 对连续的非线性系统 y = f(x),在工作点y0=f(x0)附 近展成Talor级数:
dy y f ( x0 ) dx
y0
A
x
x0
1 d2y x x0 ( x x 0 ) 2! dx 2
2 ( x x ) x x0 0
x
当( x x 0 )很 小 时 ， 忽 略 二 阶 以 各 上项 ， 得 dy y y0 dx
2
dml d 2 d TaTm Tm K u ua K m (Ta ml ) 2 dt dt dt
第二章线性系统的数学模型ppt课件
传递函数的定义：零初始条件下系统输出与输入函 数的拉氏变换之比为系统的传递函数。
传递函数有如下性质： (1) Xo(S)= G(S)Xi(S)，信号传递的性质。
用方框图表示：
Xi(S)
G(S)
Xo(S)
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
ia(t)CJm ddn(tt)iL(t)
（2-3）
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
ua(t)R aia(t)Ladd a(it)tea(t)
ea(t)Cen(t)
（2-1） （2-2）
J dn(t) ia(t)Cm dt iL(t)
令：
Tm
(t)
JRa CeCm
（机电时间常数）
Ti (t)
La Ra
（电磁时间常数）
T m T id d 2 n ( 2 t)t T m d d ( t)n tn ( t) C 1 eu a ( t) T m J C m iL ( t) d d L ( t) i t
输出 输入
负载扰动
（2-3）
将式(2-2)、 (2-3)一起代入式(2-1)中，消去中间
变量得：
L C a m Jd d 2 n 2 ( t)t R C a m Jd d ( t)n tC e n ( t) u a ( t) L ad d L ( t) i tR a iL ( t)
令：
Tm
(t)
JRa CeCm
（机电时间常数）
整理得：
第二章 系统的数学模型(2011第5讲)
(t x 其中，i (t)，x0 (t) 分别为系统的输入和输出。
X 0 (s) G =K 其传递函数为： (s) = Xi (s)
若输入、输出的量纲相同，则K为放大系数。 常见的分压器、交流变压器、线性放大器、杠 杆、无间隙的传动齿轮组等均属比例环节。
石家庄铁道学院机械工程分院
如对齿轮，转速分别为
石家庄铁道学院机械工程分院
例4 图2.2.11所示为有源积分网络，输入电压为
ui (t)，输出电压为 u0 (t)，R为电阻，C为电容。
由图可得：
ui (t) du0 (t) = −C R dt
故其传递函数为：
U0 (s) k G(s) = = , Ui (s) s
式中， k = −1 RC
石家庄铁道学院机械工程分院
取拉氏反变换得到输出量的时域响应为：
第5讲
复习上一讲内容
2.2系统的传递函数
1、传递函数的提出 2、拉氏变换的预备知识
⑴、拉氏变换与拉氏反变换 ⑴拉氏变换 ⑵拉氏反变换
⑵、常用函数的拉氏变换 ⑶、拉氏变换的主要运算定理
3、用拉氏变换求解线性微分方程的方法和步骤 4、传递函数的定义 5、传递函数特点 6、传递函数的零、极点和放大系数及其对系统性能的影响 传递函数的零、
x01(t) = K p r(t) = K pt, (t ≥ 0)
当 K p = 1时，在时域中此环节为一条450斜线。 若对此环节再并联一个微分环节 G2 (s) = K pTs,
如右图所示：
石家庄铁道学院机械工程分院
则系统传递函数为：
X 0 (s) G(s) = = K p + K pTs = K p (Ts +1) Xi (s)
1 纯积分环节： G(s) = s
X 0 (s) G =K 其传递函数为： (s) = Xi (s)
若输入、输出的量纲相同，则K为放大系数。 常见的分压器、交流变压器、线性放大器、杠 杆、无间隙的传动齿轮组等均属比例环节。
石家庄铁道学院机械工程分院
如对齿轮，转速分别为
石家庄铁道学院机械工程分院
例4 图2.2.11所示为有源积分网络，输入电压为
ui (t)，输出电压为 u0 (t)，R为电阻，C为电容。
由图可得：
ui (t) du0 (t) = −C R dt
故其传递函数为：
U0 (s) k G(s) = = , Ui (s) s
式中， k = −1 RC
石家庄铁道学院机械工程分院
取拉氏反变换得到输出量的时域响应为：
第5讲
复习上一讲内容
2.2系统的传递函数
1、传递函数的提出 2、拉氏变换的预备知识
⑴、拉氏变换与拉氏反变换 ⑴拉氏变换 ⑵拉氏反变换
⑵、常用函数的拉氏变换 ⑶、拉氏变换的主要运算定理
3、用拉氏变换求解线性微分方程的方法和步骤 4、传递函数的定义 5、传递函数特点 6、传递函数的零、极点和放大系数及其对系统性能的影响 传递函数的零、
x01(t) = K p r(t) = K pt, (t ≥ 0)
当 K p = 1时，在时域中此环节为一条450斜线。 若对此环节再并联一个微分环节 G2 (s) = K pTs,
如右图所示：
石家庄铁道学院机械工程分院
则系统传递函数为：
X 0 (s) G(s) = = K p + K pTs = K p (Ts +1) Xi (s)
1 纯积分环节： G(s) = s
自动控制系统的数学模型
i1 nN
• K为系统增益或开环S N 放j1 (大S 倍Pj ) 数，
第二章 自动控制系统的数学模型
• 分子多项式根，系统零点（开环）， • 分母多项式根，系统极点（开环）。
m
K Ti
Kg
i1 nN
Tj
j1
第二章 自动控制系统的数学模型
• 三、关于传递函数，有如下几点说明： • ⑴ 传递函数表征了系统对输入信号的传递
第二章 自动控制系统的数学模型
• 2.3 典型环节传函分析 • 自动控制系统是由不同功能的元器件构成
的。从物理结构上看，控制系统的类型很 多，相互差别很大，似乎没有共同之处。 在对控制系统进行分析研究时，我们更强 调系统的动态特性。具有相同动态特性或 者说具有相同传递函数的所有不同物理结 构，不同工作原理的元器件，我们都认为 是同一环节。
dt t0
Tc
T t0
c
• 可从图上求出 Tc
第二章 自动控制系统的数学模型
• 过渡过程时间，根据定义，为输出到达稳 定值的95％（98％）所需的时间。 Ts=3T(Ts=5T)
• 一个流出水箱的水流量由阀门控制的蓄水 箱就是一个惯性环节的实例。无源RC网络、 单溶液槽、盲室压力系统和无套管热电偶 系统等也都是典型的惯性环节。
第二章 自动控制系统的数学模型
• 建立数学模型的目的有如下几点: • 1.可以定量分析系统动静态性能,看是否能
满足生产工艺要求。 • 2.可以用于定量的控制计算,对系统行为进
行预测,并加以控制。控制精度与模型精度 有关。 • 3.利用模型可以进行有关参数的寻优
第二章 自动控制系统的数学模型
• 建模的方法大概有三种: • 1.机理分析法(适用于机理已知的系统)，也
第2章第5讲转速反馈控制直流调速系统
（2-91） 式中Tsam为采样周期。
2.4.3 数字PI调节器
数字PI调节器有位置式和增量式两种算法， 位置式算法中，u(k)为第k拍的输出值。比例部分只 与当前的偏差有关，积分部分则是系统过去所有偏 k 差的累积。
u(k ) K P e(k ) K I Tsam
e (i ) K
i 1
P e( k ) u I ( k )
K P e(k ) K I Tsame(k ) u I (k 1)
增量式算法只需要当前的和上一拍的偏差即可计算 输出值。
（2-93） u(k ) u(k ) u(k 1) K P e(k ) e(k 1) K I Tsame(k )
RI d n ( Rs I d U com ) Ce (1 K ) Ce (1 K ) Ce (1 K )
* K p K s (U n U com ) * K p K sU n
K p Ks
Ce (1 K )
( R K p K s Rs ) I d Ce (1 K )
Q n2 n1
2．数字测速方法的精度指标
（2）测速误差率
测速误差率:转速实际值和测量值之差与实际值 之比, 记作
（2-76） 测速误差率反映了测速方法的准确性，δ越小， 准确度越高。
n 100% n
2．数字测速方法的精度指标 (3) 测速原理
由光电式旋转编码器产生与被测转速成正比的 脉冲，测速装置将输入脉冲转换为以数字形式表 示的转速值。 脉冲数字（P/D）转换方法： （1）M法—脉冲直接计数方法； （2）T 法—脉冲时间计数方法； （3）M/T法—脉冲时间混合计数方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第5讲
复习上一讲内容
2.2 系统的传递函数 7、典型环节的传递函数
①比例环节（放大环节） ②一阶惯性环节 ③微分环节 ④积分环节 ⑤振荡环节 ⑥延迟环节
石家庄铁道大学机械工程学院
2.3 系统传递函数方框图及其简化
Block diagram reduction
在系统建模中，对于各个环节，分别用 传递函数代表环节，用环节输入、输出的拉 氏变换代表其输入、输出，从而形成一种表 示系统与外界之间以及系统各变量之间关系 的方框图，即所谓系统传递函数动态结构图， 简言之，它是系统中各个环节的传递函数和 信号流向的图形表示。
1、方框图的构成要素（Components of block diagram）
下面以反馈控制系统的典型结构为例说明：
X
i
(s)
+
E(s)
G1(s)
-
B(s)
N (s)
+ + G2(s)
H (s)
X 0 (s)
反馈控制系统的典型结构
①函数方框图（Block）：由两箭头加一方框组成。指 向函数方框的箭头表示输入信号的拉氏变换，离开函 数方框的箭头表示输出信号的拉氏变换。方框中为该 环节的传递函数。方框的输出为方框输入与该环节传 递函数的乘积。
（Block diagram reduction）
实际自动控制系统的传递函数方框图可能含有多个反馈 回路，甚至出现交叉连接的复杂情况。为便于对系统进行分 析和计算，需要利用等效变换的原则，对系统的方框图加以 简化。
常用的结构图变换方法有两种：环节的合并；信号分支 点或相加点的移动 。
结构图变换所遵循的原则是：变换前后的数学关系保持 不变，即有关部分的输入量、输出量之间的关系保持不变。
例 下图为电枢控制式直流电机原理图。其中：
u 为电枢两端的控制电压，为电机的旋转角速度，M L为折合到电机轴上的
总的负载力矩。当激励不变时，用电枢控制的情况下， u 为给定输入，
M L 为干扰输入， 为输出。系统中电动机旋转时电枢两端的反电动势为
e ， i d 为电动机的电枢电流，M为电动机的电磁力矩。
G(s)
X 0 (s) X i (s)
X 1 (s) X i (s)
X 2 (s) X 1 (s)
X 0 (s) X 2 (s)
G1 (s)G2 (s)G3 (s)
②并联环节的等效
两个或多个环节的输入相同，输出量为各个环节输出量的 代数和。其等效传递函数即为各传递函数的代数和：
X i (s)
X1(s) G1(s)
±
G2(s) X2(s)
X o (s)
G(s)
X1(s) Xi (s)
X 2 (s) Xi (s)
G1(s) G2 (s)
③反馈连接的等效
传递函数分别为G(s)和 H (s) 的 两 个 环 节 ， 若 按 右 所示的方法连接，称为反馈连接图。反馈信号B(s) 若取 加号表示正反馈；取减号则表示负反馈。
⑴环节的合并
在控制系统的结构图中，环节的连接方式主要有串联、 并联和反馈连接三种。
①串联环节的等效：
环节与环节首尾相连，前一环节的输出作为后一环节的输 入。忽略其负载效应时，等效环节的传递函数为各个环节的 传递函数之积：
X i (s)
X1(s)
X2(s)
X o (s)
G1(s) G2(s) G3(s)
③分支点（Derivation point /measuring point)：也称引出点， 它表示把一个信号分成两路或多路输出。由于在信号 线上只传递信号，不传递功率，所以每一路输出都与 原①建立系统（或元件）标准化的微分方程； ②对所建立的微分方程在初始状态为零的条件下进行 拉氏变换，并根据各个变换式的因果关系（从输入到 输出），分别给出相应的方框图。 ③从系统的输入量与反馈信号进行叠加的比较环节开 始，沿信号流动的方向，通过传递函数方框，将所有 中间变量之间的关系一一画出，直至画出系统的输出 量与主反馈信号。
与物理结构图区别：
微分方程、传递函数等数学模型，都是用 纯数学表达式来描述系统特性，不能反映系统 中各元部件对整个系统性能的影响，而系统原 理图、职能方框图虽然反映了系统的物理结构， 但又缺少系统中各变量间的定量关系。结构图 或称为方框图、方块图等，既能描述系统中各 变量间的定量关系，又能明显地表示系统各部 件对系统性能的影响。
按各变量的因果关系，得上述各式的传递函数方框图：
+
U (s) _
1 Ls R
Ed (s) (a)
I (s)
(s)
kd
Ed (s)
(b)
+
M (s)
1
I (s) km M (s)
_
Js (s)
M L (s) (c)
(d)
环节传递函数
+
U (s) _
1 Ls R
Ed (s) (a)
I (s)
(s)
kd
Ed (s)
(b)
+
1
M (s) _
Js
(s)
I (s)
km
M (s)
M L (s) (c)
(d)
环节传递函数
将各传递方框图按信号的传递关系连接起来，便得到下图：
U (s) +
1 Ls R
I (s)
km
M
L
(s)
-
+
M (s)
1 Js
(s)
- Ed (s)
kd
系统传递函数框图
3、传递函数方框图的等效变换
X i (s)
E(s) G(s)
-
H (s) B(s)
X o (s)
GB (s)
X 0 (s) Xi (s)
G(s) 1 H (s)G(s)
据题意可列出如下方程：
L di dt
i R ed
u
ed kd
J
d
dt
M
ML
M kmi
对左边各式进行拉氏变换得：
(Ls R)I (s) Ed (s) U (s)
Ed (s) kd (s)
Js(s) M (s) M L (s)
M (s) kmI (s)
(Ls R)I (s) Ed (s) U (s) Ed (s) kd (s) Js(s) M (s) M L (s) M (s) kmI (s)
X
i
(s)
+
E(s)
G1(s)
-
B(s)
N (s)
+ + G2(s)
H (s)
X 0 (s)
反馈控制系统的典型结构
②相加点（Synthesis Point (Comparing point)）：也称综合点 或比较点，作用是对两个或两个以上性质相同的信号 进行代数求和。输入可以有两个或多个，但输出是唯 一的。加号可以省，减号不可省。
复习上一讲内容
2.2 系统的传递函数 7、典型环节的传递函数
①比例环节（放大环节） ②一阶惯性环节 ③微分环节 ④积分环节 ⑤振荡环节 ⑥延迟环节
石家庄铁道大学机械工程学院
2.3 系统传递函数方框图及其简化
Block diagram reduction
在系统建模中，对于各个环节，分别用 传递函数代表环节，用环节输入、输出的拉 氏变换代表其输入、输出，从而形成一种表 示系统与外界之间以及系统各变量之间关系 的方框图，即所谓系统传递函数动态结构图， 简言之，它是系统中各个环节的传递函数和 信号流向的图形表示。
1、方框图的构成要素（Components of block diagram）
下面以反馈控制系统的典型结构为例说明：
X
i
(s)
+
E(s)
G1(s)
-
B(s)
N (s)
+ + G2(s)
H (s)
X 0 (s)
反馈控制系统的典型结构
①函数方框图（Block）：由两箭头加一方框组成。指 向函数方框的箭头表示输入信号的拉氏变换，离开函 数方框的箭头表示输出信号的拉氏变换。方框中为该 环节的传递函数。方框的输出为方框输入与该环节传 递函数的乘积。
（Block diagram reduction）
实际自动控制系统的传递函数方框图可能含有多个反馈 回路，甚至出现交叉连接的复杂情况。为便于对系统进行分 析和计算，需要利用等效变换的原则，对系统的方框图加以 简化。
常用的结构图变换方法有两种：环节的合并；信号分支 点或相加点的移动 。
结构图变换所遵循的原则是：变换前后的数学关系保持 不变，即有关部分的输入量、输出量之间的关系保持不变。
例 下图为电枢控制式直流电机原理图。其中：
u 为电枢两端的控制电压，为电机的旋转角速度，M L为折合到电机轴上的
总的负载力矩。当激励不变时，用电枢控制的情况下， u 为给定输入，
M L 为干扰输入， 为输出。系统中电动机旋转时电枢两端的反电动势为
e ， i d 为电动机的电枢电流，M为电动机的电磁力矩。
G(s)
X 0 (s) X i (s)
X 1 (s) X i (s)
X 2 (s) X 1 (s)
X 0 (s) X 2 (s)
G1 (s)G2 (s)G3 (s)
②并联环节的等效
两个或多个环节的输入相同，输出量为各个环节输出量的 代数和。其等效传递函数即为各传递函数的代数和：
X i (s)
X1(s) G1(s)
±
G2(s) X2(s)
X o (s)
G(s)
X1(s) Xi (s)
X 2 (s) Xi (s)
G1(s) G2 (s)
③反馈连接的等效
传递函数分别为G(s)和 H (s) 的 两 个 环 节 ， 若 按 右 所示的方法连接，称为反馈连接图。反馈信号B(s) 若取 加号表示正反馈；取减号则表示负反馈。
⑴环节的合并
在控制系统的结构图中，环节的连接方式主要有串联、 并联和反馈连接三种。
①串联环节的等效：
环节与环节首尾相连，前一环节的输出作为后一环节的输 入。忽略其负载效应时，等效环节的传递函数为各个环节的 传递函数之积：
X i (s)
X1(s)
X2(s)
X o (s)
G1(s) G2(s) G3(s)
③分支点（Derivation point /measuring point)：也称引出点， 它表示把一个信号分成两路或多路输出。由于在信号 线上只传递信号，不传递功率，所以每一路输出都与 原①建立系统（或元件）标准化的微分方程； ②对所建立的微分方程在初始状态为零的条件下进行 拉氏变换，并根据各个变换式的因果关系（从输入到 输出），分别给出相应的方框图。 ③从系统的输入量与反馈信号进行叠加的比较环节开 始，沿信号流动的方向，通过传递函数方框，将所有 中间变量之间的关系一一画出，直至画出系统的输出 量与主反馈信号。
与物理结构图区别：
微分方程、传递函数等数学模型，都是用 纯数学表达式来描述系统特性，不能反映系统 中各元部件对整个系统性能的影响，而系统原 理图、职能方框图虽然反映了系统的物理结构， 但又缺少系统中各变量间的定量关系。结构图 或称为方框图、方块图等，既能描述系统中各 变量间的定量关系，又能明显地表示系统各部 件对系统性能的影响。
按各变量的因果关系，得上述各式的传递函数方框图：
+
U (s) _
1 Ls R
Ed (s) (a)
I (s)
(s)
kd
Ed (s)
(b)
+
M (s)
1
I (s) km M (s)
_
Js (s)
M L (s) (c)
(d)
环节传递函数
+
U (s) _
1 Ls R
Ed (s) (a)
I (s)
(s)
kd
Ed (s)
(b)
+
1
M (s) _
Js
(s)
I (s)
km
M (s)
M L (s) (c)
(d)
环节传递函数
将各传递方框图按信号的传递关系连接起来，便得到下图：
U (s) +
1 Ls R
I (s)
km
M
L
(s)
-
+
M (s)
1 Js
(s)
- Ed (s)
kd
系统传递函数框图
3、传递函数方框图的等效变换
X i (s)
E(s) G(s)
-
H (s) B(s)
X o (s)
GB (s)
X 0 (s) Xi (s)
G(s) 1 H (s)G(s)
据题意可列出如下方程：
L di dt
i R ed
u
ed kd
J
d
dt
M
ML
M kmi
对左边各式进行拉氏变换得：
(Ls R)I (s) Ed (s) U (s)
Ed (s) kd (s)
Js(s) M (s) M L (s)
M (s) kmI (s)
(Ls R)I (s) Ed (s) U (s) Ed (s) kd (s) Js(s) M (s) M L (s) M (s) kmI (s)
X
i
(s)
+
E(s)
G1(s)
-
B(s)
N (s)
+ + G2(s)
H (s)
X 0 (s)
反馈控制系统的典型结构
②相加点（Synthesis Point (Comparing point)）：也称综合点 或比较点，作用是对两个或两个以上性质相同的信号 进行代数求和。输入可以有两个或多个，但输出是唯 一的。加号可以省，减号不可省。