02第二章 机电系统的数学模型
第二章机械系统数学模型的建立
第二章机械系统数学模型的建立第一节概述机电一体化机械系统是由计算机信息网络协调与控制的，用于完成包括机械力、运动和能量流等动力学任务的机械及机电部件相互联系的系统。
其核心是由计算机控制的，包括机械、电力、电子、液压、光学等技术的伺服系统。
它的主要功能是完成一系列机械运动，每一个机械运动可单独由控制电动机、传动机构和执行机构组成的子系统来完成，而这些子系统要由计算机协调和控制，以完成其系统功能要求。
机电一体化机械系统的设计要从系统的角度进行合理化和最优化设计。
机电一体化系统的机械结构主要包括执行机构、传动机构和支承部件。
在机械系统设计时，除考虑一般机械设计要求外，还必须考虑机械结构因素与整个伺服系统的性能参数、电气参数的匹配，以获得良好的伺服性能。
一、机电一体化对机械系统的基本要求机电一体化系统的机械系统与一般的机械系统相比，除要求较高的制造精度外，还应具有良好的动态响应特性，即快速响应和良好的稳定性。
1、高精度精度直接影响产品的质量，尤其是机电一体化产品，其技术性能、工艺水平和功能比普通的机械产品都有很大的提高，因此机电—体化机械系统的高精度是其首要的要求。
如果机械系统的精度不能满足要求，则无论机电—体化产品其它系统工作再精确，也无法完成其预定的机械操作。
2、快速响应机电一体化系统的快速响应即是要求机械系统从接到指令到开始执行指令指定的任务之间的时间间隔短。
这样系统才能精确地完成预定的任务要求，且控制系统也才能及时根据机械系统的运行情况得到信息，下达指令，使其准确地完成任务。
3、良好的稳定性机电一体化系统要求其机械装置在温度、振动等外界干扰的作用下依然能够正常稳定的工作。
既系统抵御外界环境的影响和抗干扰能力强。
为确保机械系统的上述特性，在设计中通常提出无间隙、低摩擦、低惯量、高刚度、高谐振频率和适当的阻尼比等要求。
此外机械系统还要求具有体积小、重量轻、高可靠性和寿命长等特点。
二、机械系统的组成概括地讲，机电一体化机械系统应主要包括如下三大部分机构。
机电控制工程基础：第二章 控制系统的数学模型1
f ——电机及负载折合到电机轴上的粘性摩擦系数
解：ei (t) ——输入量，0 (t) ——输出量 根据基尔霍夫定律，有
ei (t)
Raia (t)
La
dia (t) dt
em (t)
(1)
根据磁场对载流线圈的作用定律，有
Байду номын сангаас
KT ——电机力矩常数 T (t) —— 电机转矩
T (t) KTia (t)
本节讨论用分析法建立系统的数学模型。
例2-1 RC无源网络,列写其微分方程。
解：ur(t)——输入量，uc(t)——输出量，i(t)——中间变量
ur(t)=Ri(t)+uc(t)
R
uc
(t)
1 C
i(t)dt
ur (t)
C
uc (t )
RC
duc (t) dt
uc
(t)
ur
(t)
令T RC
T
duc (t) dt
2.1.1 概述 Overview
数学模型 (Mathematical models): 描述控制系统变量（物理量）之 间动态关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传 递函数、结构图、信号流图、频率特性以及状态空间描述等。
例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求 解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分 析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一 步也是最重要的一步。 控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非 线性系统，定常系统和时变系统。
RC
duc (t) dt
uc
(t)
ur
(t)
令T 2 LC, RC 2T
第二章 机电系统的数学模型
第二章机电系统的数学模型2.1微分方程式的建立在研究一个机电系统的时候，首先要建立该系统的数学模型。
一旦得到了描述系统运动的数学模型，就可以采用数学分析的方法来研究该系统。
一般情况下，一个动力学系统的运动受到物理学基本定律的支配，可以表现为描述其因果关系的微分方程。
如果对这些微分方程求解的话，我们就可获得系统在外部控制作用下的动态响应。
如机械系统，可以由牛顿定律、能量守恒定律写出运动的微分方程；电学系统的微分方程，则可以由欧姆定律和基尔霍夫定律得到。
通常所说的系统的运动，就是对系统施加控制，也就是输入控制信号，来得到系统输出变量随时间的变化规律，也就是系统的输出响应信号。
系统运动的数学描述，就是在给定输入信号和初始条件下，求解微分方程而得到微分方程的解。
本节主要讨论机电系统动力学方程的建立。
2.1.1 建立系统微分方程式的一般步骤由于机电系统有各种功能不同的元件组成，因此首先必须研究系统中各个元件的运动方程式，以及这些元件在整个系统中相互联系时的彼此影响。
根据系统的机理分析，建立系统微分方程式的一般步骤为：（1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，将系统划分为若干个环节（或元件），确定每一环节的输入信号和输出信号。
确定输入信号和输出信号时，应使前一环节的输出信号是后一环节的输入信号；（2）根据支配系统动态特性的定律，从输入端开始，按照信号的传递顺序，列出各个元件描述输出信号和输入信号相互关系的动态方程式，一般为微分方程组；（3）消去中间变量，最后得到只包含系统输入量和输出量的微分方程式，得到系统的数学模型；（4）将方程式化为标准形式，即将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在等号的左边，并且各导数项要按降幂排列，最后将系数归化为反映系统动态特性的参数，如时间常数等。
控制系统的运动规律，一般是以时间为自变量，采用线性常系数方程来描述的，可以表示为：)()()()()()()()(111101111t x b dt t dx b dt t x d b dt t x d b t y a dt t dy a dt t y d a dt t y d m m m m m m n n n n n n ++++=++++------(2.4)式中m ，n 是正整数；)(t y 表示系统的输出变量（或响应）；)(t x 表示系统的输入变量（或激励）；t 为自变量，表示时间。
机械控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R
机电一体化系统设计(第2版)第二章机械系统部件及其建模
以进给驱动系统为例,系统中各谐振频率的相互关系
位置调节环的谐振频率ω0p 电气驱动部件(速度环)的谐振频率ω0A 机械传动部件第一个谐振频率ω0mech1
机械传动部件第n个谐振频率ω0mechn
40~120rad/s (2~3)ω0p (2~3)ω0A
(2~3)ω0mech(n-1)
6.间隙
间隙将使机械传动系统产生回程误差,影响伺服系统中位置环的稳定性。有间隙时,应减小位置环增益。间隙的主 要形式有齿轮传动的齿侧间隙、丝杠副的传动间隙、轴承的轴向间隙、联轴器的扭转间隙等。
机械传动部件一般可简化为的二阶振动系统,其阻尼比ζ为：
实际应用中一般取0.4≤ζ≤0.8的欠阻尼,既能保证振荡在一定的范围内过渡过程较平稳、过渡过程时间较 短,又具有较高的灵敏度。
4.刚度
刚度为使弹性体产生单位变形量所需的作用力。对于伺服系统的失动量来说,系统刚度越大,失动量越小。对于 伺服系统的稳定性来说,刚度对开环系统的稳定性没有影响,而对闭环系统的稳定性有很大影响,提高刚度可增 加闭环系统的稳定性。 刚度的提高往往伴随着转动惯量、摩擦和成本的增加,在方案设计中要综合考虑。
二、机械传动系统的特性
1.转动惯量 转动惯量大会使机械负载增大、系统响应速度变慢、灵敏度降低、固有频率下降,容易产生谐振。同时,转动惯 量的增大会使电气驱动部件的谐振频率降低,而阻尼增大。
在满足系统刚度的条件下,机电一体化系统机械部分的质量和转动惯量越小越好。 2.摩擦
三类摩擦力与速度的关系 a)黏性摩擦 b)静摩擦与库仑摩擦
二阶系统传递函数框图
第一节 常用机械系统部件数学模型的建立
左图中m1为汽车质量;c为减振器阻尼系数;k1为弹簧刚度;m2为汽 车轮子的质量;k2为轮胎弹性刚度;x1(t)和x2(t)分别为m1和m2的 绝对位移。由此可以得到系统的动力学方程为：
机械系统数学模型的建立可编辑全文
2.1机械系统数学模型的建立
• 图2-3中，J1为轴I部件和电动机转子构成的转动惯量；J2、 J3为分别为轴II、III部件的转动惯量；k1、k2、k3分别为轴I、 II、III的扭转刚度系数；k为丝杠螺母副的轴向刚度系数； m为工作台质量；c为工作台导轨粘性阻尼系数；T1、T2、 T3分别为轴的输入转矩。
M M f Mk T
J C K T (t)
(s)
1
T (s) Js2 Cs K
电路系统建模（拓展知识点）
基本元件 电感 电容 电阻
公式
i
1 L
Udt
i C dU dt
iU R
能量或消耗功率
E 1 Li2 2
E 1 CU 2 2
P U2 R
电路系统建模（拓展知识点）
• 例2.5 设有一个以电阻R、电感L和电容C组成的R-L-C电路 如图所示。试列写以ui为输入，uo为输出的微分方程式。
T3' 2 mvL
根据传动关系有： v
L
2
3
L
2
z1 z3 z2 z4
1
将上两式联立得： T3'
L
2
2
z1 z3 z2 z4
m1
2.1机械系统数学模型的建立
(3)折算到轴I上的总转动惯量
2
T1'
J 2
z1 z2
1
z1 z2
T2'
T2'
J 3
z1 z2
z3 z4
2 1
z3 z4
U 0 (s) I (s) / Cs
U0(s) 1 Ui (s) RCs 1
电路系统建模（拓展知识点）
第二章 机电一体化系统数学模型
机械学院张青
移动系统之一组合机床动力滑台铣平面
mx Cx Kx f (t)
机械学院张青
X (s)
1
F (s) ms 2 Cs K
移动系统之二隔震装置
F(t )
Kx(t ) f
dx(t ) dt
m
d 2x(t ) dt 2
X(s )
1
F(s ) ms 2 fs K
机械学院张青
3、对于物理可实现系统，分子的次数m 低于分母的 次数n ，且所有系数均为实数。因为实际的物理系 统总是存在惯性，输出不会超前于输入。且各系数 都与系统元件的参数有关。
4、 传递函数反映系统本身的动态特性，只与 系统本身的参数有关，与外界输入无关。
即传递函数只表示输出量与输入量的关系，是一种 函数关系。这种函数关系由系统的结构和参数所决 定，与输入信号和输出信号无关。
机械学院张青
移动系统之三汽车支撑系统
m
d 2x 1
1 dt 2
C(ddxt1
dx
2)
dt
K 1(x1
x2)
m d 2x2 2 dt 2
F(t )
C(dx 2 dt
dx1 dt
)
K 1(x2
x 1
)
Kx 22
机械学院张青
机械学院张青
X1(s) G1(s)G2 (s) F(s) 1 m1s2G1(s)G2 (s)
第二章 机电一体化系统数学模型
2.1 机械系统模型 2.2 电路系统模型 2.3 液压、气压系统模型 2.4 热力系统模型 2.5 连续系统模型统一性 2.6 数字系统模型 2.7 机电一体化系统建模实例
哈工大 第二章 机电系统的数学模型 彭高亮9-2
但 是y1 ( t )＋y2 ( t ) x1 ( t )＋x 2 ( t ) 2 〔 〕
为解决非线性带来的问题通常采用局部线性化
哈尔滨工业大学 机电工程学院
2.2 系统的微分方程
二、系统微分方程的建立步骤
a)建立物理模型（包括力学模型、电学模型等），确 定系统或元件的输入量和输出量； b)按照信号的传递顺序，根据各元件或环节所遵循的 有关定律建立各元件或环节的微分方程； c)消去中间变量，得到描述系统输入量和输出量之间 关系的微分方程； d)整理为标准式，将与输出量有关的各项放在方程的 左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导 数项按降幂排列。
哈尔滨工业大学 机电工程学院
?
2.2.2 机械系统的微分方程
机械系统中基本物理量的折算
实例: 图(a)为丝杠螺母传动机构，(b)为齿轮齿条传动机构，(c) 为同步齿形带传动机构，求三种传动方式下，负载m折算到 驱动电机轴上的等效转动惯量J
电机输入
m m
电机输入 电机输入
m
（a）
（b）
（c）
电机驱动进给装置
线性定常系统 线性系统 系统 非线性系统
哈尔滨工业大学 机电工程学院
线性时变系统
2.2 系统的微分方程
线性系统
系统的数学模型能用线性微分方程描述。
线性定常系统： 微分方程的系数为常数
k2 y(t ) k1 y(t ) y(t ) x(t )
线性时变系统：微分方程的某一（些）系数随时间的变化。
2.2.2 机械系统的微分方程
质量—弹簧—阻尼系统各部分基本物理规律： • 质量（块）
y
v(t )
f m (t )
0
m
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计重力）。 解：根据牛顿第二定律可得
k
则系统的方程为:
Fi
m
y
上式经整理，可得系统的微分方程为:
f
2.1 微分方程的建立
例2. 2 机械转动系统
已知机械转动系统如图2.2所示，系统由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组
成。系统的输入以外力矩M，系统的输出为角速度ω。试列出系统运动
L[eat f (t)] F(s a)
4. 延迟定理
L[ f (t )] es F(s)
2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法
2.2.3 拉氏变换基本定理
5. 微分定理
L[ df (t) ] sF (s) f (0) dt
L[ d 2 f (t) ] s2F(s) sf (0) f (0) dt2
2.1 微分方程的建立
例2.4 如果设
则可得到一阶线性微分方程为：
若以电动机转角为输出，即
则上式可改写为：
如果电机轴上的转动惯量Ja和电枢电阻Ra忽略不计，则方程变为： 此时电枢电压ua与电机的转速成正比，这就是测速发电机的原理。
2.1 微分方程的建立
例2.4 令：
则天线方位角伺服系统的运动微分方程式:
2.1 微分方程的建立
例2.4 1． 电网络平衡方程
其中
2． 机械平衡方程
3. 系统方程
2.1 微分方程的建立
例2.4
输入为电枢电压ua，输出为天线旋转角速度的二阶微分方程为：
工程简化：电动机电枢电感La通常比较小，因此可以忽略La； 在
工程实践中， Mc f 和 M d 可作为干扰信号来处理
R
L
解: 根据基尔霍夫定律写出 电路方程
ui
i
C
uo
其中
亦即
消去中间变量 i得输入-输出的运动方程式
2.1 微分方程的建立
机电系统的相似性
例2.1
例2.3
不同的系统，其数学模 型均为二阶微分方程，即 相似的数学模型。亦即是
R
说各物理系统的特性参数 间也存在着一定的运动相 ui 似性。
k Fi
m y
f
L
i
C
uo
2.1 微分方程的建立
机电系统的相似性
机电系统方程
2.1 微分方程的建立
例2.4天线方位角伺服系统如图2. 4所示，试列出以电枢电压ua为 输入信号，跟踪卫星的天线的方位角θ为输出信号的运动方程式。
R
L
a
a
u
i
a
a
e
m
J
a
M
a
?
M
d
i
f
图2. 4天线方位角伺服系统
2.1 微分方程的建立
或:
2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法
2.2.1 拉普拉斯变换的定义
如果一个以时间 t为自变量的函数f（t），它的 定义域是t 0，那么，拉普拉斯变换为
L[ f (t)] F (s) f (t)est dt 0
式中s j 为复数， 是实数；是角频率(rad/s）。
L 为运算符号，称为拉普拉斯变换算子；
F(s) 为函数 f (t) 的拉普拉斯变换。
常用的拉氏变换可以参见表2.2。
2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法
2.2.3 拉氏变换基本定理
1. 常数定理 L[Af (t)] AF(s)
2. 线性定理
L[a f1(t) b f2 (t)] a F1(s) b F2 (s)
3. 衰减定理
方程式。
M
f
解: 牛顿第二定律可以表示为 ：
M
J
式中J 为惯性负载的转动惯量，ω为角速度，M 为外加到系统的转动
力矩。代入元件方程，可得 或
若系统的输出为转角θ， 据ω = dθ/ dt
2.1 微分方程的建立
例2.3 电气系统
设有一个以电阻R、电感L和电容C组成的R-L-C电路如图所示。试列写
以ui为输入，uo为输出的微分方程式。
2.1 微分方程的建立
2.典型元件
2.1 微分方程的建立
典型元件
2.1 微分方程的建立
典型元件
2.1 微分方程的建立
网络方程——元件连接原则
电气系统 : 基尔霍夫电压定理 基尔霍夫电流定理 机械系统: 空间连续律 达朗贝尔静力平衡原理
2.1 微分方程的建立
例2. 1 机械平移系统 设弹簧-质量-阻尼组成的简单的机械平移系统如图所示，
L[ d n f (t) ] s n F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) f n1 (0) dn
2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法
2.2.3 拉氏变换基本定理
6. 积分定理
L[ f (t)dt] F(s) f 1(0)
s
s
7. 初值定理 8. 终值定理
lim f (t) f (0 ) lim sF (s)
例2.4
R
a
L
a
J
u
i
a
a
e
a
M
a
m
ifBiblioteka ? Md解 ： 符号定义： ua——电动机的电枢电压（V） em——电动机的反电势（V） Ia ——电动机的电枢电流（A） Ra——电枢绕组的电阻（Ω） La——电枢绕组的电感（H） ω ——电动机轴的转速（rad/s）
ke——反电动势系数V/rad/s） Ja ——电动机转子的转动惯量（kg·m2） b——阻尼系数（N·m/rad/s） Ma——电动机的电磁转矩（N·m） Md——风力产生的阻力矩（N·m） kc——电机转矩系数（N·m/A）
根据支配系统动态特性的定律，从输入端开始，按照信号 的传递顺序，列出各个元件描述输出信号和输入信号相互 关系的动态方程式，一般为微分方程组；
消去中间变量，最后得到只包含系统输入量和输出量的微 分方程式，即系统的数学模型；
将方程式化为标准形式，即将与输入有关的各项放在等号 右边，与输出有关的各项放在等号的左边，并且各导数项 要按降幂排列，最后将系数归化为反映系统动态特性的参 数，如时间常数等。
t 0
s
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
9. 卷积定理
t
L[ f1(t) f 2 (t)] L[ f1(t ) f 2 ( )d ] F1(s) F2 (s) 0
2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法
第二章
机电系统的数学模型
主
要
2.1 微分方程的建立
内
2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换
容
求解方法
2.3 传递函数与方框图
2.4 状态空间模型
2.1 微分方程的建立
1.建立系统微分方程式的一般步骤
分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，将系统划 分为若干个环节（或元件），确定每一环节的输入信号和 输出信号。