数学模型2
数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析
实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。
二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。
其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。
（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。
自动控制原理(第三版)第2章控制系统的数学模型(2)
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
求取该电路在单位阶跃输入时的响应。 U c ( s) 1 G( s ) T RC U r ( s ) Ts 1
ur 1( t )
方法1
U c ( s ) G( s )U r ( s )
1
U r (s)
1 s
方法2
1 (Ts 1) s
1 t 1 g (t ) 1[G ( s)] e T T t uc (t ) g (t )ur ( )d
0 1 1 ( t ) t t 1 T 1 T e d e e T d 0T 0 T t
1 uc (t ) L [ ] (Ts 1) s T 1 1 1 L ( )L ( ) s Ts 1 1 e
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自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
传递函数的求法
例2-1 方法一 R-L-C串联电路
d 2 uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 uc ( t ) ur ( t ) 2 dt L dt LC LC传递Fra bibliotek数： G( s)
U c ( s) 1 U r ( s) LCs 2 RCs 1
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第二章 控制系统的数学模型
零、极点分布图
传递函数的零、极点分 布图： 将传递函数的零、 极点表示在复平面上的 图形。
零点用“o”表示 极点用“×”表示
j
1 -3 -2
-1
s2 G( s) = ( s 3)( s 2 2s 2)
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第2章 自动控制系统的数学模型(2)
1/R2
I2(s)
Uc
I2
1/C2S
Uc(s)
双RC网络动态结构图
2.4.2. 动态结构图的等效与简化
1 串联连接的传递函数
X 2 (S ) G2 (S ) X 3 (S ) X1(S) X 3 (S ) G1 (S ) X 1 (S ) G(S) G1 (S)G 2 (S)
X3(S) X2(S) G2(S) G1(S)
输出信号的拉氏变换 C ( s) 传递函数 输入信号的拉氏变换零初始条件 R(s)
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描 述：
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) a n 1 c(t ) a n c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
例 试绘制如图所示无 1 源网络的结构图i i1
Ui
i i1 i2 ui i 1R1 u0 u0 iR2 1 i2dt R1i1 c 由(1)式有 I1(S)
i2
C
பைடு நூலகம்
R1
R2
U0
解:
I(S) I1 (S) I 2 (S) (1) U i (S) I1 (S)R1 U 0 (S) (2) U 0 (S) R 2 I(S) (3) R 1I1 (S) 1 I2(S ) CS (4)
C (s) b0 s m b1 s m1 bm1 s bm M (s) G( s ) n n 1 R(s) a0 s a1 s an1 s an N ( s)
数学模型二房室模型
c1 (t ) A1e B1e t t c2 (t ) A2 e B2 e
t t
k12 k 21 k13 k 21 k13
给药速率 f0(t) 几种常见的给药方式 和初始条件 t=0 瞬时注射剂量D0 1.快速静脉注射 f (t ) 的药物进入中心室,血 V c (t ) (k k )c V k c V 药浓度立即为D0/V1
c1 (t ), c2 (t ) 0
详解
• 因f0( B1e t , c2 (t ) A2et B2e t 1 • 代入方程第一式（第二式也可）
- A1e
t
- B1e
t
（k12 k13 )( A1e -
c1 (t ) A1e (t T ) B1e (t T ) 通解 c2 (t ) A2 e (t T ) B2 e (t T )
常数A1 A2 k0 (k21 ) k0 (k21 ) , B1 , V1k21k13 ( ) V1k21k13 ( )
t>T以后，静脉注射停止
V2 c1 (t ) (k12 k13 )c1 V k 21c2 1 方程 ,t T c (t ) V1 k c k c 2 12 1 21 2 V2
当T充分大，初值 k0 c1 (T ) k13V1 k12 k0 c2 (T ) k 21k13V2
f 0 (t ) V2 c1 (t ) (k12 k13 )c1 V k 21c2 V 1 1 c (t ) V1 k c k c f 0 (t ) k0 , c1 (0) 0, c2 (0) 0 2 12 1 21 2 V2
数学建模 2统计模型
数学建模论文题目：一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物试验，给患有同种疾病的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个：2 g，5 g，7 g和10 g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）. 为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试. 通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作0.25，0.50和0.75. 实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）.请你为该公司建立一个数学模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间.病人序号病痛减轻时间／min用药剂量／g性别血压组别1 352 0 0.252 43 2 0 0.503 55 2 0 0.754 47 2 1 0.255 43 2 1 0.506 57 2 1 0.757 26 5 0 0.258 27 5 0 0.509 28 5 0 0.7510 29 5 1 0.2511 22 5 1 0.5012 29 5 1 0.7513 19 7 0 0.2514 11 7 0 0.5015 14 7 0 0.7516 23 7 1 0.2517 20 7 1 0.5018 22 7 1 0.7519 13 10 0 0.2520 8 10 0 0.5021 3 10 0 0.7522 27 10 1 0.2523 26 10 1 0.5024 5 10 1 0.75一、摘要在农某医药公司为了掌握一种新止痛药的疗效，设计了一个药物实验，通过观测病人性别、血压和用药剂量与病痛时间的关系，预测服药后病痛明显减轻的时间。
我们运用数学统计工具m i n i t a b软件，对用药剂量，性别和血压组别与病痛减轻时间之间的数据进行深层次地处理并加以讨论概率值P （是否<0.05）和拟合度R -S q 的值是否更大（越大，说明模型越好）。
朱玉华自动控制原理第2章 数学模型2-3
G(s) C(s) ……① R(s)
若已知线性定常系统的微分方程为
a0
d nc(t) dt n
a1
d n1c(t) dt n1
an1
dc(t) dt
anc(t)
b0
d mr(t) dt m
b1
d m1r(t) dt m1
bm1
dr(t) dt
bmr(t)
式中，c(t)为输出量，r(t)为输入量。
§2.3 传 递 函 数
一、传递函数的基本概念
指导思想：在零初始条件下，通过拉氏变换，将微分 方程变为s域（复数域）内的代数方程，在s 域内研究系统 的运动规律。必要时，通过拉氏反变换转化为时域形式。
s域（复数域）内的代数方程（即数学模型），称为 传递函数。
1、传递函数的定义
在初始条件为零时，线性定常系统输出量的拉氏变换与 输入量的拉氏变换之比，定义为该系统的传递函数。
RC
du0 (t) dt
u0 (t)
RC
dui (t) dt
G(s) RCs Td s RCs 1 Td s 1
只有当Td<<1时，才有G(s)≈Tds，实际的微分环节趋 于理想微分环节
再如:RL网络,其电路方程为
du0 (t) dt
R L
u0 (t)
dui (t) dt
G(s) Ls Td s Ls 1 Td s 1
如
G(s)
C(s) R(s)
b1s a0s2
b2 a1s
a2
S的代数方程：
(a0s2 a1s a2 )C(s) (b1s b2 )R(s)
用 d 置换s后得相应的微分方程 dt
a0
d 2c(t) dt 2
BT 数学模型分析2
4.80
9.60
9771
0.1732 0.693
4.67
9.34
10762
0.1775 0.710
4.56
9.12
11786
0.1820 0.728
4.46
8.92
12840
0.1865 0.746
4.37
8.75
13924
0.1912 0.765
4.30
8.59
15036
0.1960 0.784
4.23
53 6月21日 54 6月22日 55 6月23日 56 6月24日 57 6月25日 58 6月26日 59 6月27日 60 6月28日 61 6月29日 62 6月30日 63 7月1日 64 7月2日 65 7月3日 66 7月4日 67 7月5日 68 7月6日 69 7月7日 70 7月8日 71 7月9日 72 7月10日 73 7月11日 74 7月12日 75 7月13日 76 7月14日 77 7月15日 78 7月16日 79 7月17日 80 7月18日 81 7月19日 82 7月20日 83 7月21日 84 7月22日 85 7月23日 86 7月24日 87 7月25日 88 7月26日 89 7月27日 90 7月28日 91 7月29日 92 7月30日 93 7月31日 94 8月1日 95 8月2日 96 8月3日 97 8月4日 98 8月5日 99 8月6日 100 8月7日 101 8月8日 102 8月9日 103 8月10日 104 8月11日 105 8月12日 106 8月13日
0.4110 0.4213 0.4318 0.4426 0.4537 0.4650 0.4767 0.4886 0.5008 0.5133 0.5261 0.5393 0.5528 0.5666 0.5808 0.5953 0.6102 0.6254 0.6410 0.6571 0.6735 0.6903 0.7076 0.7253 0.7434 0.7620 0.7811 0.8006 0.8206 0.8411 0.8621 0.8837 0.9058 0.9284 0.9516 0.9754 0.9998 1.0248 1.0504 1.0767 1.1036 1.1312 1.1595 1.1885 1.2182 1.2486 1.2799 1.3118 1.3446 1.3783 1.4127 1.4480 1.4842 1.5213
初中数学建模案例集精之2第二章 角平分线四大模型
N MOA B P 2图4321A CP B D AB C图1A B D C AB D CPP ONM BA 第二章 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
图2DP AB C D C 1图P B A ABC DA BC DE DC B AP ONM B A 模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
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例 丙 34 17.0 3.4
4
3.570
3
平 吗
总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21
背
Hamilton (比例加惯例) 方法------
景 1792年美国国会用于分配各州众议员名额
已知: m方人数分别为 p1, p2,… pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N.
记 qi=Npi /P, 称为第i方的份额(i =1,2, …m)
m
• 各方先分配qi的整数部分[qi], 总余额为 N N [qi ]
i 1
• 记ri =qi-[qi], 则第i 方的分配名额ni为
ni
[qi [qi
] 1, ri最大的N ], 其它
个
要 已知份额向量q=(q1, …, qm), 找一个整数 求 分配向量n=(n1, …, nm), 使n与q最接近.
i=1 103 10 114(+10.6%) 10.60 11
i=2 63 6 63
5.86 6
i=3 34 4 38(+11.8%) 3.54 3
总和 200 20 21520 20源自piqini
103 10.50 11
63 6.42 6
34 3.47 3
6 0.61 1
206 21 21
“公平”分配方 法 人数 席位
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义
p22
p12
该席给A
n2 (n2 1) n1(n1 1) 否则, 该席给B
定义
Qi
pi2 ni (ni 1)
,
i 1,2, 该席给Q值较大的一方
推广到m方 分配席位
计算
Qi
pi2 , ni (ni 1)
i 1,2
96.4,
Q2
632 67
94.5,
Q3
342 3 4
96.3
Q1最大，第20席给甲系
第21席
Q1
1032 1112
80.4,
Q2 ,
Q3 同上
Q3最大，第 21席给丙系
Q值方法
分配结果 甲系11席, 乙系6席, 丙系4席 公平吗？
模型的公理化研究
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 席位分配的公理 (1974) 已知p1, p2,… pm , P, N
因学生转系, 三系人数为103, 63, 34, 如何分配20席?
若代表会议增加1席，如何分配21席?
系别 学生 比例 20席的分配 21席的分配
比 例
人数 （%） 比例 结果
比例
结果
对 丙
加 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 系
惯 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 公
A方 p1 n1 B方 p2 n2
衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5
rA (n1, n2 )
~ 对A的相对不公平度 公平分配方案应
类似地定义 rB(n1,n2)
使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即
设A, B已分别有n1, n2 席, 若增加1席, 问应分给A, 还是B?
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平.
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否! 若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
份额qi=Npi /P, 分配名额ni = ni (N, p1, ,… pm ) 1) [qi] ni [qi]+1 (i=1,2, …m) ~ 公平分配性 2) ni (N, p1, ,… pm ) ni (N+1, p1, ,… pm) ~名额单调性
3) 若pi< pi' , pj= pj '(ji), 则ni (N, p1,… ) ni' (N, p1',…)
第二章 初等模型
2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 动物的身长和体重 2.7 实物交换 2.8 核军备竞赛 2.9 启帆远航 2.10 量纲分析与无量纲化
2.1 公平的席位分配
问 三个系学生共200名(甲100，乙60，丙40)，代表会 题 议共20席，按比例分配，三个系分别为10, 6, 4席.
~人口单调性 4) ni, nj的转让不能使得它们更接近qi ,qj ~ 接近份额性
模型的公理化研究
• “比例加惯例”方法满足公理 1，但不满足公理2. • Q值方法满足公理2, 但不满足公理1 .
pi
qi ni
i=1 952 95.2 94
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对 不公平度相同
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量 法若 p1/n1> p2/n2 ，定义
p1 / n1 p2 / n2 p2 / n2
,m
该席给Q值最大的一方 Q 值方法 (Huntington)
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
第20席
Q1
1032 1011
Hamilton方法的不公平性
1. p1, p2,… pm不变, N的增加会使某个ni减少 (上例).
2. N不变, pi 比pj的增长率大, 会使 ni减少 nj增加(例1).
3. p1, p2,… pm不变, m增加1, N的增加会使某个ni增加
而某个ni减少(例2).
例1
例2
pi ni
pi
qi ni