等式约束下泛函的条件极值
五次多项式是带约束的泛函
五次多项式是带约束的泛函五次多项式是一种常见的数学函数形式，它是由一个五次方程构成的多项式。
在数学中，多项式是由常数项、一次项、二次项、三次项等按照次数从高到低排列而形成的函数。
本文将介绍五次多项式的性质以及一些带约束的泛函。
五次多项式的一般形式可以表示为：$f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f$，其中$a, b, c, d, e, f$是常数。
五次多项式的次数为5，因为最高次项的指数是5。
五次多项式具有以下性质：1. 零点：五次多项式的零点是使得$f(x) = 0$的解。
由于五次多项式是一个五次方程，根据代数基本定理，它最多有5个不同的实数根或复数根。
2. 极值点：五次多项式的极值点是函数曲线上的局部最大值或最小值点。
根据导数的性质，五次多项式的极值点可以通过求导数并解方程$f'(x) = 0$来确定。
3. 对称性：五次多项式可能具有对称性。
例如，如果五次多项式中的系数满足$f(x) = f(-x)$，那么它具有关于y轴对称的性质。
4. 可导性：五次多项式在其定义域内是可导的，这意味着它的导函数存在。
导函数可以用来确定五次多项式的斜率和曲线的凹凸性。
除了基本的五次多项式函数，我们还可以考虑带约束的泛函。
泛函是一个将函数映射到实数的函数。
带约束的泛函是在一定条件下对函数进行优化的问题。
例如，在给定函数的定义域上找到使得泛函取得最大或最小值的函数。
带约束的泛函可以通过引入约束条件来限制函数的选择范围。
常见的约束条件包括函数的边界条件、函数的积分约束等。
通过引入这些约束条件，我们可以在一定范围内找到满足约束条件的最优函数。
带约束的泛函在科学和工程中有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过最小作用量原理来推导出运动方程，这是一个典型的带约束的泛函问题。
在优化问题中，我们也可以将目标函数和约束条件转化为泛函形式，并通过求解泛函来获得最优解。
总结起来，五次多项式是一种常见的数学函数形式，具有一些特定的性质。
泛函和泛函的极值
泛函和泛函的极值泛函和泛函的极值泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值。
作为变分法的简单例题。
考察x,y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y(x)中最短曲线。
设P(x，y)和P(x，y)为平面上给定的两点，y(x)为连接两点的任意曲111222 线。
于是，这一曲线的长度为连接P，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。
满1 足边界条件的(xy)称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。
根据上式，L [y]依赖于y(x)，而y(x)是x的函数，因此称y(x)为自变函数;L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。
求解最短程线问题，即在满足边界条件在x=x时， y(x)=y y'(x)= y' 1111在x=x时， y(x)=y y'(x)= y' 2211的函数y(x)中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。
因此 y(x)称为容许函数。
上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件 y(x)=y, y(x)=y2的极小值问题。
112假设函数y(x)是使得泛函L [y]为最小的特定函数(真实的)。
变分法有兴趣研究的是邻近于y(x)的任意容许函数引起泛函L []的改变。
设其中, 为小参数，而, (x)为边界值为零的任意函数。
当x固定时，容许函数与y(x)的差 , y 称为泛函自变函数的变分，即类似地，容许函数的斜率与y(x)斜率的差, y', 称为泛函自变函数斜率的变分，即应该注意 , y 与函数y(x)的微分dy之间的差别，dy是自变量x的改变量dx 引起的y(x)的无穷小增量。
而变分, y 是 y(x)的任意一个微小的改变量。
设泛函增量按泰勒级数展开，则设泛函的增量由泛函的变分表示，有分别定义为泛函的一阶，二阶或k阶变分，分别为, 的一次，二次或者k次齐次式。
泛函极值问题的求解
泛函极值问题的求解泛函极值问题的求解使用变分法。
泛函极值问题是指在给定约束条件下，求一个泛函的极值。
泛函是一个函数的函数，即输入是函数，输出是一个实数。
假设有一个泛函J[f]，其中f是一个函数，我们要求使得J[f]取得极小值或极大值。
解决这个问题的方法是通过变分法，变分法的基本思想是将函数f沿着任意变化，并计算J[f]的变化。
如果变化很小，那么我们可以认为J[f]的变化主要来自于f的变化。
为了使用变分法求解泛函极值问题，需要定义一个变分算子δ，表示函数f的变分。
变分算子的定义如下：δ[f(x)] = εh(x)其中，ε是一个很小的实数，h(x)是一个任意函数。
使用变分算子之后，泛函的变化可以表示为：δJ[f] = J[f + εh(x)] - J[f]对δJ[f]进行展开，再取ε趋近于0的极限，得到以下关系：δJ[f] = 0这个关系成为欧拉方程，它是求解泛函极值问题的基本方程。
根据具体的泛函形式和约束条件，可以使用欧拉方程得到具体的解。
需要注意的是，在变分法中，要求函数f满足一定的边界条件。
边界条件是泛函极值问题中的附加条件，通过这些条件可以得到具有特定特征的解。
总结起来，求解泛函极值问题的步骤如下：1. 定义泛函J[f]以及函数f满足的边界条件；2. 引入变分算子δ并计算δJ[f]；3. 使用欧拉方程δJ[f] = 0 求解得到f的表达式；4. 检验解是否满足边界条件，如果不满足，则舍去；5. 找到所有满足边界条件的解，分别计算J[f]，选择其中极小值或极大值作为泛函的极值。
需要注意的是，求解泛函极值问题需要具备一定的数学知识和技巧，对欧拉方程的求解以及边界条件的选择都有一定的要求。
因此，在具体求解时可能需要借助一些数学工具和方法。
约束条件下的极值
在数学优化问题中，当我们寻找某个函数在满足一定约束条件下的极值（最大值或最小值）时，我们通常面对的是带有约束条件的优化问题。
这个问题可以通过拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）或者KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions，对于非线性优化问题中的约束条件）等方法来解决。
例如，设有函数f(x, y)要在区域D内找极值，区域D由g(x, y)=c这样的一组或几组约束条件定义，这里的c是一个常数。
拉格朗日乘数法的基本思想是构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) - λ(g(x, y) - c)，其中λ是拉格朗日乘子。
接下来需要求解L(x, y, λ)的偏导数，并令它们等于零，得到一组方程组，解这个方程组就可以找到可能的极值点。
对于KKT条件，它扩展了拉格朗日乘数法，适用于更广泛的优化问题，包括不等式约束。
在满足KKT条件的情况下，优化问题的解有可能是最优解。
具体步骤如下：
1.构造拉格朗日函数（若有不等式约束，需要构造广义拉格朗日函数）。
2.对目标函数和所有的约束函数分别求偏导数，并令它们等于零，得到必要条
件。
3.检验求得的点是否满足KKT条件，包括互补松弛条件、梯度条件以及可行
性条件（即该点必须位于可行域内）。
4.对于可能的极值点，还需进行二阶条件检验（如海森矩阵判别法）来判断是
局部极大值、局部极小值还是鞍点。
通过这些方法，我们可以在给定约束条件下寻找到函数的极值点。
约束优化问题的极值条件
等式约束优化问题的极值条件求解等式约束优化问题 )(min x f ..t s ()0=x h k ()m k ,,2,1⋅⋅⋅= 需要导出极值存在的条件，对这一问题有两种处理方法：消元法和拉格朗日乘子法（升维法） 一、消元法（降维法）1.对于二元函数 ),(m in 21x x f ..t s ()0,21=x x h ，根据等式约束条件，将一个变量1x 表示成另一个变量2x 的函数关系()21x x ϕ=，然后将这一函数关系代入到目标函数()21,x x f 中消去1x 变成一元函数()2x F 2.对于n 维情况 ()n x x x f ,,,m in 21⋅⋅⋅ ..t s ()0,,,21=⋅⋅⋅n k x x x h ),,2,1(l k ⋅⋅⋅= 由l 个约束方程将n 个变量中的前l 个变量用其余的l n -个变量表示：()n l l x x x x ,,,2111⋅⋅⋅=++ϕ ()n l l x x x x ,,,2122⋅⋅⋅=++ϕ...()n l l l l x x x x ,,,21⋅⋅⋅=++ϕ将这些函数关系代入到目标函数中，得到()n l l x x x F ,,,21⋅⋅⋅++ 二、拉格朗日乘子法（升维法）设T n x x x x ),,,(21⋅⋅⋅=，目标函数是()x f ，约束条件()0=x h k ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=的l 个等式约束方程。
为了求出()x f 的可能极值点T n x x x x ),,,(**2*1*⋅⋅⋅=，引入拉格朗日乘子k λ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=，并构成一个新的目标函数 ()()x h x f x F lk k k ∑=+=1),(λλ把()λ,x F 作为新的无约束条件的目标函数来求解它的极值点，满足约束条件()0=x h k ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=的原目标函数()x f 的极值点。
()λ,x F 具有极值的必要条件),,2,1(0n i x F i ⋅⋅⋅==∂∂ ，),,2,1(0l k Fk⋅⋅⋅==∂∂λ可得n l +个方程，从而解得T n x x x x ),,,(21⋅⋅⋅=和k λ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=共有n l +个未知变量的值。
（二）泛函的极值
（⼆）泛函的极值极值的概念函数f(x) 在x0处取得极⼩值，是指当x在x0点及其附近 |x−x0|<ε时，恒有f(x)≥f(x0)若有f(x)≤f(x0)则称函数f(x) 在x0点取极⼤值。
函数f(x) 在点x0处取得极值的必要条件是在该点处的导数为 0，即f′(x)=0泛函的极值必要条件仿照函数极值必要条件的到处⽅法，得到泛函取得极值的必要条件。
⾸先，设所考虑的变量函数均通过固定的两个端点：y(x0)=a,y(x1)=0即δy(x0)=0,δy(x1)=0考虑泛函的差值J[y+δy]−J[y]=∫x1x[F(x,y+δy,y′+(δy)′)−F(x,y,y′)]dx当函数的变分δy⾜够⼩时，可将上式进⾏泰勒展开，有J[y+δy]−J[y]=∫x1x0[δy∂∂y+(δy)′∂∂y′]F+12![δy∂∂y+(δy)′∂∂y"]2F+⋯dx=δJ[y]+12!δ2J[y]+⋯其中，δJ[y]≡∫x1x0[∂F∂yδy+∂F∂y′(δy)′]dx是泛函J[y] 的⼀级变分。
泛函J[y] 取极⼩值的必要条件是泛函的⼀级变分为 0，即：δJ[y]≡∫x1x0[∂F∂yδy+∂F∂y′(δy)′]dx=0将上式积分中的第⼆项分部积分，同时代⼊边界条件，有δJ[y]=∂F∂y′δy|x1x0+∫x1x[∂F∂yδy−ddx∂F∂y′δy]dx=∫x1x0[∂F∂y−d∂x∂F∂y′]δydx=0由于δy的任意性，可以得到{}∂F ∂y−d∂x∂F∂y′=0这个⽅程为 Euler-Lagrange ⽅程，它是泛函J[y] 取得极⼩值的必要条件的微分形式。
数学知识补充泰勒展开。
泛函数求极值
泛函数求极值
泛函数求极值是数学中一个重要的概念，它涉及到函数的极值的求解问题，是一个有趣的研究课题。
本文旨在为读者介绍泛函数求极值的基本知识，包括极值的概念、极值的计算方法以及极值在应用中的重要作用。
1.值概念
极值是指函数值在满足某些条件时能够等于或超过特定值或者
极限值的情况总称。
极值又分为最大值和最小值，又可分为本质极值和无穷极值。
本质极值是指函数在某点上达到最高点。
无穷极是指函数在某一区间上收敛于某一值，接近极限。
2.值的计算
计算泛函数极值，可以利用微积分的基本知识，如泰勒公式、全微分等，计算出函数的极点。
例如，求解函数f(x) = x3+x2-6x+8在实数域上的最大值，可以采用微积分中的全微分法，根据全微分法的原理，可以求出f`(x) = 3x2+2x-6=0，得到全微分的根，即x=-2，从而求出函数的最大值f(-2) = 4。
3.值的应用
极值的解决方法在工程、管理以及控制等领域中都有着重要的应用。
在工程中，极值的求解常常用来求解最优解，即满足目标的最佳解；在管理方面，极值求解可以帮助企业计算出最优的运营方案；此外，极值也可以用来控制机器人的运动，应用于自然语言处理等方面。
4.论
极值是函数性质的重要属性，研究极值的求解算法和方法，对于求解函数的最优解，推进工程、管理、控制等各方面的研究，都有着重要的意义。
本文主要介绍了泛函数求极值的基本知识，同时也简单介绍了极值在实际应用中的重要作用。
5等式约束条件的泛函极值问题-Lagrange乘子法
系数为零， 可任意取值。 由泛函取极值的必要条件一阶变分为零，即 J a ( x, t ) 0 ，可得
( f d L T L T ) T ( ) 0 x dt x x
（2-5-15）
, , t ) L ( x, x , t ) T (t ) f ( x, t ) ， 由（2-5-12）式中 La ( x, x （2-5-15）式也可表示
J a ( x, ) t {[
La T L L [ a ]T } dt ] x [ a ]T x 0 x x tf L f L f T ( x, t ) } dt {[( ) T T ] x [ ]T x t0 x x x
15
F ( x, y ) 0
解此方程组求得 x、y 和λ，其中 x、y 就是该条件极值问题的可能极值点。 用 Lagrange 乘数法解本例题，有
F (r , l , ) V ( r , l ) [ A(r , l ) A0 ] r 2 l ( 2r 2 2rl A0 )
V (r , l ) r 2l
A(r , l ) 2 r 2 2 rl A0
（2-5-1） （2-5-2）
则该问题即为在约束条件 A(r , l ) A0 下，求 V( r, l )最大值。 （1） 消元法
2 由（2-5-2）式可得 l A0 2 r 2 r
（2-5-3）
, t ) T (t ) ( x, t )} dt J a ( x, ) {L( x, x
tf
f
t0
, , t ) dt La ( x, x
t0
tf
（2-5-12）
泛函极值问题
最大收益：手把手教你解决泛函极值问题泛函极值问题是数学领域的一个热门话题，近年来受到越来越多的关注。
其实，泛函极值问题也是一道数学问题，主要是针对对应一些映射关系的函数中，找到最大（最小）值点的问题。
本文将介绍泛函极值问题的相关知识点和解决方法。
首先，我们需要了解的是泛函的概念。
泛函是一类将元素集合映射成某个数域上的元素的映射函数，其中元素集合可以是一个函数空间或若干个函数空间的笛卡尔积。
泛函可以看作是一种从函数空间到数域上的函数映射，常用于函数空间中的极值问题。
接下来，我们来讲解一下泛函求最值的方法。
通常情况下，我们使用变分法进行求解。
变分法，又叫变分原理，是一种数学、力学、物理用于求解函数极值问题的方法，是一种求变分的极值，即求泛函的最小值的方法，是泛函分析的基本工具。
使用变分法求解泛函极值问题，通常需要先写出泛函和变分定义式，再对变分定义式进行接下来的运算，求解出泛函极值。
具体步骤为：
1.将泛函用变分定义式进行表达
2.对变分定义式进行展开和简化
3.利用变分定义式求一阶变分
4.把一阶变分代入变分定义式
5.消去高阶无穷小
6.得到泛函极值条件
通过以上步骤，我们可以使用变分法轻松解决泛函极值问题。
总的来说，泛函极值问题是一道比较困难的数学问题，需要我们结合数学知识和实际应用场景进行解决。
通过本文的介绍，相信读者们能够深入了解泛函极值问题的相关概念和解决方法，进而提升自己的求解能力。
等周约束条件下泛函的无条件极值曲线求法证明
等周约束条件下泛函的无条件极值曲线求法证明朱建华;孟新柱【摘要】In this paper, we use some basic mathematics knowledge that we learn in the university including of continuous partial derivative function, integral division, the nature of the function extreme value, in combi-nation with ordinary differential equations in the nature of the implicit function theorem, and knowledge of higher order ordinary differential equation, proves that the constraint conditions in isoperimetric problem of Eu-ler equations of conditional extreme value into the unconditional extreme value.%利用函数的连续偏导数，积分分部求解，函数极值的性质，在结合常微分方程中隐函数定理性质，以及高阶常微分方程求解知识，证明了在等周问题约束条件下将条件极值转为无条件极值的类Euler方程。
【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】4页(P189-192)【关键词】Euler方程;极值性质;隐函数定理;积分变换【作者】朱建华;孟新柱【作者单位】山东科技大学数学与系统科学学院，山东青岛 266590;山东科技大学数学与系统科学学院，山东青岛 266590【正文语种】中文在许多实际问题中,求泛函的极值时,除了要求容许曲线类为通过两点的光滑曲线之外,还要求曲线满足另外一些约束条件,也就是泛函(1)中的条件极值．等周问题就是指:给出一个目标泛函(M,L),一个约束泛函(M,N)以及一个给定的常数c,我们要求在条件N(u)=c约束下,求解泛函I达到极小值的必要条件和充分条件．在条件下,求一光滑曲线y=y(x).使泛函取得极值．其中F,G对于变元x,y,y′都有二阶连续偏导数,l为曲线定长．引理1 如果函数J[y]=F(x,y,y′)dx，在曲线y=y0(x)达到极值,则函数y=y0(x)必为微分方程的解．引理2 设f(x)在区间[u0,u1]上连续,如果对任何在[u0,u1]上有一阶连续导数,且在u0,u1处为0的函数η(x),恒有f(x)η(x)dx=0,则必有f(x)≡0,x∈[u0,u1].下面这个定理的核心思想就是泛函(1)在条件(2)下的极值曲线,就是相当于把泛函(1)中的函数F(x,y,y′)换成F(x,y,y′)+tG(x,y,y′),然后求此泛函的无条件极值曲线．定理1 如果泛函(1)在条件(2)之下,在y=y0(x)处取得极值,且不恒为0,且存在t,使得y=y0(x)满足欧拉方程:其中t=-，τ(x)是在[u0,u1]的区间上有二阶连续导数的函数,满足τ(u0)=τ(u1)=0.证明对式(2)移项可以得假设y=y0(x)+αθ(x)+βτ(x)是泛函(1)在满足条件(2)下可行函数类．构造下列方程令方程下面证明(6)满足隐函数存在定理:(i)式(6)中G(x,y,y′)满足G(x,y,y′)对于x,y,y′而言是连续可微的函数,且T(α,β)对于β存在连续偏导数．对(7)进行分部积分,因为所以有如果Gy′(x,y0(x),y0′(x))-不恒为0,我们总是可以找到一个τ(x)使得.所以由(i)、(ii)知式(6)满足隐函数存在定理,所以有τ(α,β)=0.在点(0,0)附近存在隐函数．β=φ(α),φ(0)=0.上述说明只要函数类y=y0(x)+αθ(x)+βτ,满足约束条件(2),就可以选定τ(x)使使τ(α,β)=0,在点(0,0)附件存在隐函数．β=φ(α),φ(0)=0,现在按要述选定τ(x),使y=y0(x)+αθ(x)+βτ(x)为(1)的可行函数类,然后在上面求函数极值．令因为式(1)在y=y0处取极值,φ(α)在α=0处取极值．故φ′(0)=0，而其中Fy′及均在[x,y0(x)+αθ(x)+φ(α)τ(λ),y0′(x)+αθ′(x)+φ(α)τ′(x)]处取值．令α=0有由隐函数可微性定理有所以将式(10)代入式(9),得到令所以式(11)可以简化为对式(11)进行移项得对式(11)分部积分得其中θ(x)是[u0,u1]上的任意二阶连续可微函数且有θ(u0)=θ(u1)=0则由引理2得定理得证．例1 在条件y2dx=2;y(0)=0;y(1)=0之下,求等周问题J[y]=(y′2+x2)dx，的极值曲线．解原问题提变为求J[y]=(y′2+x2+ty2)dx的无条件约束极值曲线,由Euler公式可以求得2y-=0,利用常微分方程中特征值法求得(i)当t>0,时得特解将上述给的约束条件代入方程得解得t=0.舍去(因为在这个条件下约束方程没有意义).(ii)当t<0时,解得y=c1sinx+c2cosx.同(i)将约束条件代入得到解得所以综上所述求的极值曲线为y=±2sinnπx.本文的主要利用本科阶段的基础知识证明在等周约束条件下将条件约转为无条件约束的类Euler方程,并且给出一道例题说明在此类约束条件下泛函方程转为无条件约束方程求极值曲线问题的有效性．【相关文献】[1]缪淑贤.含多个函数的泛函的等周问题的变分方法[J].沈阳建筑工程学院学报,1999 15(4):404-209.[2]老大中.变分法基础[M].北京:国防工业出版社,2004:194-197.[3]张恭庆.变分学讲义[M].北京:高等教育出版社,2011:91-96.。
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*
1
例 3.4
已知系统由两个积分环 节组成，始端条件为
θ (0) = 1，ω (0) = 1；终端条件为 θ (1) = 0，ω (1) = 0。
1 1 2 求最优控制 u ( t )，使性能指标 J = ∫ u ( t )dt为极小值。 2 0 解：令 x1 ( t ) = θ ( t ), x 2 ( t ) = ω ( t )，则系统的状态方程为
2
泛函J取极值的必要条件为 : d Fx − Fx & = 0 dt d Fu − Fu & = 0 dt & = Ax + bu x ⇔ & 1 = x2 ⎧x ⎨ &2 = u ⎩x ⇔ d ⎧ &1 = 0 ⎪ Fx1 − dt Fx ⎨ d ⎪ Fx − Fx &2 = 0 2 dt ⎩
x1 (0) = 1, x 2 (0) = 1 x1 (1) = 0, x 2 (1) = 0
*
⎡0 1⎤ ⎡ 0⎤ & = Ax + bu，A = ⎢ ，b = ⎢ ⎥ x ⎥ ⎣ 0 0⎦ ⎣1 ⎦ 引入待定拉格朗日乘子 λ ( t )，构造函数 1 2 & − Ax − bu) F = u ( t ) + λT ( t )( x 2 1 2 & 1 − x 2 ) + λ 2 ( t )( x & 2 − u) = u ( t ) + λ1 ( t )( x 2
3
由此得方程 & =0 ⎧ λ 1 ⎪λ & = −λ 2 1 ⎪ ⎪ ⎨u = λ2 ⎪x &1 = x2 ⎪ &2 = u ⎪ ⎩x 解得最优控制 u ( t ) = 18 t − 10
*
最优轨线 x1 ( t ) = 3 t 3 − 5 t 2 + t + 1 x 2 ( t ) = 9 t 2 − 10 t + 1
tf t0 T
&,t) + λ [F ( x, x
T
& , t ) dt ( t )G ( x , x
]
( 3)
问题 3.3 中泛函 J取极值的必要条件为 : d Fx − Fx & = 0 dt &, t) = 0 G( x, x & , t ) = F ( x, x & , t ) + λT ( t )G ( x , x & , t )，λ ( t )为m 维待定的 其中F ( x , x 乘子函数向量。
3.4 等式约束下泛函的条件 极值 问题 3.3 求泛函 & , t )dt J＝∫ F ( x , x
t0 tf
(1) ( 2)
& , t ) = 0，t ∈ [t 0 , t f ] 在等式约束 G ( x , x
& , t )为m 维函数向量， x ( t )为n维 条件下的极值。其中 G ( x , x 函数向量标量， m < n。 引入拉格朗日乘子向量 λ ( t )＝[λ1 ( t ) λ 2 ( t ) L λ m ( t )] 构造泛函 J ′＝∫