等式约束下泛函的条件极值
五次多项式是带约束的泛函
五次多项式是带约束的泛函五次多项式是一种常见的数学函数形式，它是由一个五次方程构成的多项式。
在数学中，多项式是由常数项、一次项、二次项、三次项等按照次数从高到低排列而形成的函数。
本文将介绍五次多项式的性质以及一些带约束的泛函。
五次多项式的一般形式可以表示为：$f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f$，其中$a, b, c, d, e, f$是常数。
五次多项式的次数为5，因为最高次项的指数是5。
五次多项式具有以下性质：1. 零点：五次多项式的零点是使得$f(x) = 0$的解。
由于五次多项式是一个五次方程，根据代数基本定理，它最多有5个不同的实数根或复数根。
2. 极值点：五次多项式的极值点是函数曲线上的局部最大值或最小值点。
根据导数的性质，五次多项式的极值点可以通过求导数并解方程$f'(x) = 0$来确定。
3. 对称性：五次多项式可能具有对称性。
例如，如果五次多项式中的系数满足$f(x) = f(-x)$，那么它具有关于y轴对称的性质。
4. 可导性：五次多项式在其定义域内是可导的，这意味着它的导函数存在。
导函数可以用来确定五次多项式的斜率和曲线的凹凸性。
除了基本的五次多项式函数，我们还可以考虑带约束的泛函。
泛函是一个将函数映射到实数的函数。
带约束的泛函是在一定条件下对函数进行优化的问题。
例如，在给定函数的定义域上找到使得泛函取得最大或最小值的函数。
带约束的泛函可以通过引入约束条件来限制函数的选择范围。
常见的约束条件包括函数的边界条件、函数的积分约束等。
通过引入这些约束条件，我们可以在一定范围内找到满足约束条件的最优函数。
带约束的泛函在科学和工程中有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们可以通过最小作用量原理来推导出运动方程，这是一个典型的带约束的泛函问题。
在优化问题中，我们也可以将目标函数和约束条件转化为泛函形式，并通过求解泛函来获得最优解。
总结起来，五次多项式是一种常见的数学函数形式，具有一些特定的性质。
泛函和泛函的极值
泛函和泛函的极值泛函和泛函的极值泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。
变分法的基本问题是求解泛函的极值。
作为变分法的简单例题。
考察x,y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y(x)中最短曲线。
设P(x，y)和P(x，y)为平面上给定的两点，y(x)为连接两点的任意曲111222 线。
于是，这一曲线的长度为连接P，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。
满1 足边界条件的(xy)称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。
根据上式，L [y]依赖于y(x)，而y(x)是x的函数，因此称y(x)为自变函数;L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。
求解最短程线问题，即在满足边界条件在x=x时， y(x)=y y'(x)= y' 1111在x=x时， y(x)=y y'(x)= y' 2211的函数y(x)中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。
因此 y(x)称为容许函数。
上述问题应用变分法可以概括为求解泛函在边界条件 y(x)=y, y(x)=y2的极小值问题。
112假设函数y(x)是使得泛函L [y]为最小的特定函数(真实的)。
变分法有兴趣研究的是邻近于y(x)的任意容许函数引起泛函L []的改变。
设其中, 为小参数，而, (x)为边界值为零的任意函数。
当x固定时，容许函数与y(x)的差 , y 称为泛函自变函数的变分，即类似地，容许函数的斜率与y(x)斜率的差, y', 称为泛函自变函数斜率的变分，即应该注意 , y 与函数y(x)的微分dy之间的差别，dy是自变量x的改变量dx 引起的y(x)的无穷小增量。
而变分, y 是 y(x)的任意一个微小的改变量。
设泛函增量按泰勒级数展开，则设泛函的增量由泛函的变分表示，有分别定义为泛函的一阶，二阶或k阶变分，分别为, 的一次，二次或者k次齐次式。
泛函极值问题的求解
泛函极值问题的求解泛函极值问题的求解使用变分法。
泛函极值问题是指在给定约束条件下，求一个泛函的极值。
泛函是一个函数的函数，即输入是函数，输出是一个实数。
假设有一个泛函J[f]，其中f是一个函数，我们要求使得J[f]取得极小值或极大值。
解决这个问题的方法是通过变分法，变分法的基本思想是将函数f沿着任意变化，并计算J[f]的变化。
如果变化很小，那么我们可以认为J[f]的变化主要来自于f的变化。
为了使用变分法求解泛函极值问题，需要定义一个变分算子δ，表示函数f的变分。
变分算子的定义如下：δ[f(x)] = εh(x)其中，ε是一个很小的实数，h(x)是一个任意函数。
使用变分算子之后，泛函的变化可以表示为：δJ[f] = J[f + εh(x)] - J[f]对δJ[f]进行展开，再取ε趋近于0的极限，得到以下关系：δJ[f] = 0这个关系成为欧拉方程，它是求解泛函极值问题的基本方程。
根据具体的泛函形式和约束条件，可以使用欧拉方程得到具体的解。
需要注意的是，在变分法中，要求函数f满足一定的边界条件。
边界条件是泛函极值问题中的附加条件，通过这些条件可以得到具有特定特征的解。
总结起来，求解泛函极值问题的步骤如下：1. 定义泛函J[f]以及函数f满足的边界条件；2. 引入变分算子δ并计算δJ[f]；3. 使用欧拉方程δJ[f] = 0 求解得到f的表达式；4. 检验解是否满足边界条件，如果不满足，则舍去；5. 找到所有满足边界条件的解，分别计算J[f]，选择其中极小值或极大值作为泛函的极值。
需要注意的是，求解泛函极值问题需要具备一定的数学知识和技巧，对欧拉方程的求解以及边界条件的选择都有一定的要求。
因此，在具体求解时可能需要借助一些数学工具和方法。
约束条件下的极值
在数学优化问题中，当我们寻找某个函数在满足一定约束条件下的极值（最大值或最小值）时，我们通常面对的是带有约束条件的优化问题。
这个问题可以通过拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）或者KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions，对于非线性优化问题中的约束条件）等方法来解决。
例如，设有函数f(x, y)要在区域D内找极值，区域D由g(x, y)=c这样的一组或几组约束条件定义，这里的c是一个常数。
拉格朗日乘数法的基本思想是构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) - λ(g(x, y) - c)，其中λ是拉格朗日乘子。
接下来需要求解L(x, y, λ)的偏导数，并令它们等于零，得到一组方程组，解这个方程组就可以找到可能的极值点。
对于KKT条件，它扩展了拉格朗日乘数法，适用于更广泛的优化问题，包括不等式约束。
在满足KKT条件的情况下，优化问题的解有可能是最优解。
具体步骤如下：
1.构造拉格朗日函数（若有不等式约束，需要构造广义拉格朗日函数）。
2.对目标函数和所有的约束函数分别求偏导数，并令它们等于零，得到必要条
件。
3.检验求得的点是否满足KKT条件，包括互补松弛条件、梯度条件以及可行
性条件（即该点必须位于可行域内）。
4.对于可能的极值点，还需进行二阶条件检验（如海森矩阵判别法）来判断是
局部极大值、局部极小值还是鞍点。
通过这些方法，我们可以在给定约束条件下寻找到函数的极值点。
约束优化问题的极值条件
等式约束优化问题的极值条件求解等式约束优化问题 )(min x f ..t s ()0=x h k ()m k ,,2,1⋅⋅⋅= 需要导出极值存在的条件，对这一问题有两种处理方法：消元法和拉格朗日乘子法（升维法） 一、消元法（降维法）1.对于二元函数 ),(m in 21x x f ..t s ()0,21=x x h ，根据等式约束条件，将一个变量1x 表示成另一个变量2x 的函数关系()21x x ϕ=，然后将这一函数关系代入到目标函数()21,x x f 中消去1x 变成一元函数()2x F 2.对于n 维情况 ()n x x x f ,,,m in 21⋅⋅⋅ ..t s ()0,,,21=⋅⋅⋅n k x x x h ),,2,1(l k ⋅⋅⋅= 由l 个约束方程将n 个变量中的前l 个变量用其余的l n -个变量表示：()n l l x x x x ,,,2111⋅⋅⋅=++ϕ ()n l l x x x x ,,,2122⋅⋅⋅=++ϕ...()n l l l l x x x x ,,,21⋅⋅⋅=++ϕ将这些函数关系代入到目标函数中，得到()n l l x x x F ,,,21⋅⋅⋅++ 二、拉格朗日乘子法（升维法）设T n x x x x ),,,(21⋅⋅⋅=，目标函数是()x f ，约束条件()0=x h k ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=的l 个等式约束方程。
为了求出()x f 的可能极值点T n x x x x ),,,(**2*1*⋅⋅⋅=，引入拉格朗日乘子k λ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=，并构成一个新的目标函数 ()()x h x f x F lk k k ∑=+=1),(λλ把()λ,x F 作为新的无约束条件的目标函数来求解它的极值点，满足约束条件()0=x h k ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=的原目标函数()x f 的极值点。
()λ,x F 具有极值的必要条件),,2,1(0n i x F i ⋅⋅⋅==∂∂ ，),,2,1(0l k Fk⋅⋅⋅==∂∂λ可得n l +个方程，从而解得T n x x x x ),,,(21⋅⋅⋅=和k λ),,2,1(l k ⋅⋅⋅=共有n l +个未知变量的值。
（二）泛函的极值
（⼆）泛函的极值极值的概念函数f(x) 在x0处取得极⼩值，是指当x在x0点及其附近 |x−x0|<ε时，恒有f(x)≥f(x0)若有f(x)≤f(x0)则称函数f(x) 在x0点取极⼤值。
函数f(x) 在点x0处取得极值的必要条件是在该点处的导数为 0，即f′(x)=0泛函的极值必要条件仿照函数极值必要条件的到处⽅法，得到泛函取得极值的必要条件。
⾸先，设所考虑的变量函数均通过固定的两个端点：y(x0)=a,y(x1)=0即δy(x0)=0,δy(x1)=0考虑泛函的差值J[y+δy]−J[y]=∫x1x[F(x,y+δy,y′+(δy)′)−F(x,y,y′)]dx当函数的变分δy⾜够⼩时，可将上式进⾏泰勒展开，有J[y+δy]−J[y]=∫x1x0[δy∂∂y+(δy)′∂∂y′]F+12![δy∂∂y+(δy)′∂∂y"]2F+⋯dx=δJ[y]+12!δ2J[y]+⋯其中，δJ[y]≡∫x1x0[∂F∂yδy+∂F∂y′(δy)′]dx是泛函J[y] 的⼀级变分。
泛函J[y] 取极⼩值的必要条件是泛函的⼀级变分为 0，即：δJ[y]≡∫x1x0[∂F∂yδy+∂F∂y′(δy)′]dx=0将上式积分中的第⼆项分部积分，同时代⼊边界条件，有δJ[y]=∂F∂y′δy|x1x0+∫x1x[∂F∂yδy−ddx∂F∂y′δy]dx=∫x1x0[∂F∂y−d∂x∂F∂y′]δydx=0由于δy的任意性，可以得到{}∂F ∂y−d∂x∂F∂y′=0这个⽅程为 Euler-Lagrange ⽅程，它是泛函J[y] 取得极⼩值的必要条件的微分形式。
数学知识补充泰勒展开。
泛函数求极值
泛函数求极值
泛函数求极值是数学中一个重要的概念，它涉及到函数的极值的求解问题，是一个有趣的研究课题。
本文旨在为读者介绍泛函数求极值的基本知识，包括极值的概念、极值的计算方法以及极值在应用中的重要作用。
1.值概念
极值是指函数值在满足某些条件时能够等于或超过特定值或者
极限值的情况总称。
极值又分为最大值和最小值，又可分为本质极值和无穷极值。
本质极值是指函数在某点上达到最高点。
无穷极是指函数在某一区间上收敛于某一值，接近极限。
2.值的计算
计算泛函数极值，可以利用微积分的基本知识，如泰勒公式、全微分等，计算出函数的极点。
例如，求解函数f(x) = x3+x2-6x+8在实数域上的最大值，可以采用微积分中的全微分法，根据全微分法的原理，可以求出f`(x) = 3x2+2x-6=0，得到全微分的根，即x=-2，从而求出函数的最大值f(-2) = 4。
3.值的应用
极值的解决方法在工程、管理以及控制等领域中都有着重要的应用。
在工程中，极值的求解常常用来求解最优解，即满足目标的最佳解；在管理方面，极值求解可以帮助企业计算出最优的运营方案；此外，极值也可以用来控制机器人的运动，应用于自然语言处理等方面。
4.论
极值是函数性质的重要属性，研究极值的求解算法和方法，对于求解函数的最优解，推进工程、管理、控制等各方面的研究，都有着重要的意义。
本文主要介绍了泛函数求极值的基本知识，同时也简单介绍了极值在实际应用中的重要作用。
5等式约束条件的泛函极值问题-Lagrange乘子法
系数为零， 可任意取值。 由泛函取极值的必要条件一阶变分为零，即 J a ( x, t ) 0 ，可得
( f d L T L T ) T ( ) 0 x dt x x
（2-5-15）
, , t ) L ( x, x , t ) T (t ) f ( x, t ) ， 由（2-5-12）式中 La ( x, x （2-5-15）式也可表示
J a ( x, ) t {[
La T L L [ a ]T } dt ] x [ a ]T x 0 x x tf L f L f T ( x, t ) } dt {[( ) T T ] x [ ]T x t0 x x x
15
F ( x, y ) 0
解此方程组求得 x、y 和λ，其中 x、y 就是该条件极值问题的可能极值点。 用 Lagrange 乘数法解本例题，有
F (r , l , ) V ( r , l ) [ A(r , l ) A0 ] r 2 l ( 2r 2 2rl A0 )
V (r , l ) r 2l
A(r , l ) 2 r 2 2 rl A0
（2-5-1） （2-5-2）
则该问题即为在约束条件 A(r , l ) A0 下，求 V( r, l )最大值。 （1） 消元法
2 由（2-5-2）式可得 l A0 2 r 2 r
（2-5-3）
, t ) T (t ) ( x, t )} dt J a ( x, ) {L( x, x
tf
f
t0
, , t ) dt La ( x, x
t0
tf
（2-5-12）
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*
1
例 3.4
已知系统由两个积分环 节组成，始端条件为
θ (0) = 1，ω (0) = 1；终端条件为 θ (1) = 0，ω (1) = 0。
1 1 2 求最优控制 u ( t )，使性能指标 J = ∫ u ( t )dt为极小值。 2 0 解：令 x1 ( t ) = θ ( t ), x 2 ( t ) = ω ( t )，则系统的状态方程为
2
泛函J取极值的必要条件为 : d Fx − Fx & = 0 dt d Fu − Fu & = 0 dt & = Ax + bu x ⇔ & 1 = x2 ⎧x ⎨ &2 = u ⎩x ⇔ d ⎧ &1 = 0 ⎪ Fx1 − dt Fx ⎨ d ⎪ Fx − Fx &2 = 0 2 dt ⎩
x1 (0) = 1, x 2 (0) = 1 x1 (1) = 0, x 2 (1) = 0
*
⎡0 1⎤ ⎡ 0⎤ & = Ax + bu，A = ⎢ ，b = ⎢ ⎥ x ⎥ ⎣ 0 0⎦ ⎣1 ⎦ 引入待定拉格朗日乘子 λ ( t )，构造函数 1 2 & − Ax − bu) F = u ( t ) + λT ( t )( x 2 1 2 & 1 − x 2 ) + λ 2 ( t )( x & 2 − u) = u ( t ) + λ1 ( t )( x 2
3
由此得方程 & =0 ⎧ λ 1 ⎪λ & = −λ 2 1 ⎪ ⎪ ⎨u = λ2 ⎪x &1 = x2 ⎪ &2 = u ⎪ ⎩x 解得最优控制 u ( t ) = 18 t − 10
*
最优轨线 x1 ( t ) = 3 t 3 − 5 t 2 + t + 1 x 2 ( t ) = 9 t 2 − 10 t + 1
tf t0 T
&,t) + λ [F ( x, x
T
& , t ) dt ( t )G ( x , x
]
( 3)
问题 3.3 中泛函 J取极值的必要条件为 : d Fx − Fx & = 0 dt &, t) = 0 G( x, x & , t ) = F ( x, x & , t ) + λT ( t )G ( x , x & , t )，λ ( t )为m 维待定的 其中F ( x , x 乘子函数向量。
3.4 等式约束下泛函的条件 极值 问题 3.3 求泛函 & , t )dt J＝∫ F ( x , x
t0 tf
(1) ( 2)
& , t ) = 0，t ∈ [t 0 , t f ] 在等式约束 G ( x , x
& , t )为m 维函数向量， x ( t )为n维 条件下的极值。其中 G ( x , x 函数向量标量， m < n。 引入拉格朗日乘子向量 λ ( t )＝[λ1 ( t ) λ 2 ( t ) L λ m ( t )] 构造泛函 J ′＝∫