1.8 定积分(课时测试)-2016届高三数学三轮复习(解析版)
2016年高考数学三轮讲练测核心热点总动员(新课标版) 专题12 函数与方程 Word版含解析
【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】1.【2013⋅新课标全国】已知命题:p x R ∀∈,23x x <；命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是（ ） （A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝【答案】B ；【解析】取1x =-,可知p 错,p ⌝为真命题；令32()1f x x x =+-,因为()f x 图像连续,且(0)(1)0f f <,故()f x 在区间（0,1）上有零点,即方程3210x x +-=有解,即32,1x R x x ∃∈=-,故q 为真命题；所以p q ⌝∧为真命题.2.【2014全国1高考文理】设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是（ ）A ．)()(x g x f 是偶函数B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 C.．|)(|)(x g x f 是奇函数 D ．|)()(|x g x f 是奇函数 【答案】C3.【2014高考全国1卷文】设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________. 【答案】(,8]-∞【解析】由于题中所给是一个分段函数,则当1x <时,由12x e-≤,可解得：1ln 2x ≤+,则此时：1x <;当1x ≥时,由132x ≤,可解得：328x ≤=,则此时：18x ≤≤,综合上述两种情况可得：(,8]x ∈-∞4.【2015全国II 文12】设函数()()21ln 11f x x x=+-+,则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）.A. 113,⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()113,,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UC. 1133,⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 1133,,⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【答案】A4.【2015全国II 理10】如图所示,长方形ABCD 的边2AB =,1BC =,O 是AB 的中点,点P 沿着边,BC CD 与DA 运动,BOP x ∠=.将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则()f x 的图像大致为（ ）．OC424424424424A. B. C. D. 【答案】B【解析】由已知可得,当P 点在BC 边上运动时,即π04x 剟时, tan PA PB x +=；当P 点在CD 边上运动时,即π3π44x 剎?,π2x ≠时,PA PB +=；【热点深度剖析】从近几年的高考试题来看,图象的辨识与对称性以及利用图象研究函数的性质,方程,不等式的解是高考的热点,多以选择题、填空题的形式出现,属中低档题,主要考查基本初等函数的图象的应用以及数形结合思想．而函数的零点、方程根的问题也是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题．客观题主要考查相应函数的图象与性质,主观题考查较为综合,在考查函数的零点方程根的基础上,又注重考查函数方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．在2013年高考中,与命题结合,考查函数根的存在性,属于基础题. 在2014年理科高考题,主要考查函数奇偶性,属于基础题,而文科除考查函数奇偶性,还考查了分段函数,解不等式,使得题目难度较低.2015年有函数图像识别题,函数性质综合应用题.从这三年高考题可以看出,函数的性质,不等式的解,函数与方程,函数零点是高考考查的热点,每年都要涉及,考查根的存在性定理的题较基础,而函数零点往往结合函数性质与函数图像,作为把关题存在,主要考查转化与化归思想和函数方程思想以及数形结合思想的应用,由于连续三年都没考查函数的零点,方程的根的问题,预测2016年高考很有可能以函数的零点、方程根的存在问题,将以识图、用图为主要考向,重点考查函数图象的性质以及方程、不等式与图象的综合问题． 【重点知识整合】 1.函数的奇偶性.（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称.（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性）：①定义法；②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()1()f x f x -=±（()0f x ≠）.③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称. （3）函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.②如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数. ③若()f x 为偶函数,则()()(||)f x f x f x -==. ④若奇函数()f x 定义域中含有0,则必有(0)0f =. 2. 函数的单调性 1.函数单调性的定义：（1）如果函数()x f 对区间D 内的任意21,x x ,当21x x <时都有()()21x f x f <,则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >,则()x f 在D 内是减函数.（2）设函数()y f x =在某区间D 内可导,若()0f x '>,则()y f x =在D 内是增函数；若()0f x '<,则()y f x =在D 内是减函数. 2.单调性的定义（1）的等价形式：设[]b a x x ,,21∈,那么()()()x f x x x f x f ⇔>--02121在[],a b 上是增函数；()()()x f x x x f x f ⇔<--02121在[],a b 上是减函数； 3.证明或判断函数单调性的方法：(1)定义法：设元→作差→变形→判断符号→给出结论.其关键是作差变形,为了便于判断差的符号,通常将差变成因式连乘积、平方和等形式,再结合变量的范围,假设的两个变量的大小关系及不等式的性质作出判断；(2)复合函数单调性的判断方法：即“同增异减”法,即内层函数和外层函数的单调性相同,则复合函数为增函数；若相反,则复合函数为减函数.解决问题的关键是区分好内外层函数,掌握常用基本函数的单调性；（3）图象法：利用数形结合思想,画出函数的草图,直接得到函数的单调性； （4）导数法：利用导函数的正负来确定原函数的单调性,是最常用的方法.（5）利用常用结论判断：①奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性； ②互为反函数的两个函数具有相同的单调性；③在公共定义域内,增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数;③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减,特别提醒：求单调区间时,勿忘定义域, 3. 函数的周期性.（1）类比“三角函数图像”得：①若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠,则()y f x =必是周期函数,且一周期为2||T a b =-；②若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠,则()y f x =是周期函数,且一周期为2||T a b =-；③如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠,则函数()y f x =必是周期函数,且一周期为4||T a b =-；（2）由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >,则()f x 是周期为a 的周期函数”得：函数()f x 满足()()x a f x f +=-,则()f x 是周期为2a 的周期函数. 4. 函数的对称性.①满足条件()()f x a f b x -=-的函数的图象关于直线2a bx +=对称. ②点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=；③点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=；④点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=；⑤点(,)x y 关于直线y x =的对称点为(,)y x ；曲线(,)0f x y =关于直线y x =的对称曲线的方程为(,)f y x 0=；点(,)x y 关于直线y x =-的对称点为(,)y x --；曲线(,)0f x y =关于直线y x =-的对称曲线的方程为(,)0f y x --=；⑥曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=； ⑦形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线,其两渐近线分别直线d x c=-(由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定),对称中心是点(,)d a c c-；⑧|()|f x 的图象先保留()f x 原来在x 轴上方的图象,作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形,然后擦去x 轴下方的图象得到；(||)f x 的图象先保留()f x 在y 轴右方的图象,擦去y 轴左方的图象,然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到. 5. 常见的图象变换①函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的.②函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的.③函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的；④函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的；⑤函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a1得到的. ⑥函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的. ⑦|()|f x 的图象先保留()f x 原来在x 轴上方的图象,作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形,然后擦去x 轴下方的图象得到；(||)f x 的图象先保留()f x 在y 轴右方的图象,擦去y 轴左方的图象,然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到. 特殊函数图象:(1)函数(0,)ax b cx dy c ad bc ++=≠≠:可由反比例函数(0)ky k x=≠图象平移、伸缩得到.图1示例.\①图象是双曲线,两渐近线分别直线d cx =-(由分母为零确定)和直线a cy =(由分子、分母中x 的系数确定)；②对称中心是点(,)d a c c-.(2)函数(0,0)by ax a b x=+>>：如图2.①图象类似“对号”,俗称对号函数.定义域}0|{≠x x ； ②函数的值域为),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab ； ③函数为奇函数,图象关于原点对称；④增区间为(,)-∞+∞,减区间为[-.6.函数的零点（1）一般地,如果函数y ＝f (x )在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f (a )·f (b )<0,那么函数y ＝f(x)在区间(a ,b )内有零点,即存在c ∈(a ,b ),使f (c )＝0,这个c 也就是方程f(x)＝0的根．我们称方程f(x)＝0的实数根x 叫做函数y ＝f(x)(x ∈D )的零点．（2）函数y ＝f (x )的零点就是方程f(x)＝0的实数根,也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标,即方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )有零点⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点．（3）函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根,也就是函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝g(x )的图象交点的横坐标．一般地,对于不能使用公式求根的方程f(x)＝0,我们可以将它与函数y ＝f(x)联系起来,利用函数的图象、性质来求解． 【应试技巧点拨】1.研究函数的性质要特别注意定义域优先原则（1）具有奇偶性的函数定义域的特征：定义域关于原点对称.为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称.（2）讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集.（3）讨论函数的周期性,一般情况下定义域是无限集.所以判断函数是否为周期函数,要在整个定义域上观察函数的图象.如求函数sin y x =的周期,如果只观察y 轴一侧的图象得到周期为2π那就错了,因为函数图象关于y 轴对称,从整体看它不是周期函数. 2. 函数的单调性（1）定义法和导数法的选择在解答题中,只能应用定义法或导数法证明函数的单调性.定义法作为基本方法,但是证明过程有时比较繁琐；而导数法显得操作性比较强,对函数求导后判断导函数的正负即可.因此导数法是我们证明函数单调性的首选方法. （2）函数)0,0(≠≠+=b a xbax y 单调性总结：①若0,0>>b a ,单调区间：增区间,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭,,减区间0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝,； ②若0,0<<b a ,单调区间：减区间),[],(+∞--∞a b a b 和,增区间],0()0,[ab a b 和-;③若0,0<>b a ,由于0)(2>-='+x ba x bax ,单调性：增区间),0()0,(∞-∞和; ④若0,0><b a ,由于0)(2<-='+xba xbax ,单调性：减区间),0()0,(+∞-∞和. 3.抽象函数的对称性和周期性（1）对于函数)(x f y =(R x ∈),若()()f a x f b x +=-恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2ba x +=. （2）若已知定义域在R 上的函数的对称轴、对称中心,如何确定函数的周期？可类比“三角函数图象”得：①若()y f x =图象有两条对称轴,()x a x b a b ==≠,则()y f x =是周期函数,且周期为2||T a b =-；②若()y f x =图象有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠,则()y f x =是周期函数,且周期为2||T a b =-；③如果函数()y f x =的图象有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠,则函数()y f x =是周期函数,且周期为4||T a b =-.注意这里面提到的周期不一定是函数的最小正周期.这个知识点经常和函数的奇偶性联系到一起,已知函数为奇函数,意味着函数的图象关于原点对称；已知函数为偶函数,意味着函数的图象关于y 轴对称.然后再推到函数的周期.(3)若已知类似函数周期定义式的恒等式,如何确定函数的周期？由周期函数的定义,采用迭代法可得结论：①函数()f x 满足()()f a x f x +=-,则()f x 是周期为2a 的函数； ②若1()(0)()f x a a f x +=±≠恒成立,则2T a =； ③若()()f x a f x a +=-,则2T a =； ④1()()1()f x f x a f x -+=-+,则4T a =.4.如何利用函数的解析式判断函数的图象利用函数的解析式判断函数的图象,可从下面几个角度去考虑：（1）讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性； （2）考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图象；（3）准确描出关键的点线(如图象与x 、y 轴的交点,极值点(顶点),对称轴,渐近线,等等). 5. 如何转换含有绝对值的函数对含有绝对值的函数,解题关键是如何处理绝对值,一般有两个思路：一是转化为分段函数：利用分类讨论思想,去掉绝对值,得到分段函数.二是利用基础函数变换：首先得到基础函数,然后利用y =f (x )→y =f (|x |)或y =f (x )→y =|f (x )|,得到含有绝对值函数的图象. 6.平移变换中注意的问题函数图象的平移变换,里面有很多细节,稍不注意就会出现差错.所以要从本质深入理解,才不至于模棱两可.(1)左右平移仅仅是相对x 而言的,即发生变化的只是x 本身,利用“左加右减”进行操作.如果x 的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换;(2)上下平移仅仅是相对y 而言的,即发生变化的只是y 本身,利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对()y f x =中()f x 操作,满足“上加下减”; 7.函数图象的主要应用函数图象的主要应用非常广泛,常见的几个应用总结如下：（1）利用函数图象可判断函数的奇偶性,求函数的单调区间、对称轴、周期等函数的性质； （2）利用函数()f x 和()g x 图象的交点的个数,可判断方程()f x =()g x 根的个数； （3）利用函数()f x 和()g x 图象上下位置关系,可直观的得到不等式()f x ()g x >或()f x ()g x <的解集：当()f x 的图象在()g x 的图象的上方时,此时自变量x 的范围便是不等式()f x ()g x >的解集；当()f x 的图象在()g x 的图象的下方时,此时自变量x 的范围便是不等式()f x ()g x <的解集. 8.函数零点的求解与判断判断函数y ＝f (x )在某个区间上是否存在零点,常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象,观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 9.函数零点的综合应用函数零点的应用主要体现了函数与方程的思想,函数与方程虽然是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f (x )＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标,函数y ＝f (x )也可以看作二元方程f (x )－y ＝0,然后通过方程进行研究．许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决,函数与方程的思想是中学数学的基本思想． 1.函数零点的求解与判断判断函数y ＝f (x )在某个区间上是否存在零点,常用以下方法：(1)解方程：当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象,观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 2.函数零点的综合应用函数零点的应用主要体现了函数与方程的思想,函数与方程虽然是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程()0f x =的解就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标,函数()y f x =也可以看作二元方程()0f x y -=,然后通过方程进行研究．许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决,函数与方程的思想是中学数学的基本思想． 【考场经验分享】1．判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )是奇函数,必须对定义域内的每一个x ,均有f (－x )＝－f (x )．而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)．对于偶函数的判断以此类推．3.在解决函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很大的帮助.（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小；（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象. 4.把握函数的零点应注意的问题(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零． (2)函数的零点也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标．(3)一般我们只讨论函数的实数零点． (4)函数的零点不是点,是方程()0f x =的根．5.在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时,要学会掌握转化与化归思想的运用,有时直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大,也不是初等数学能轻易解决的,所以遇到此类问题第一反应就是转化已知函数为熟悉的函数再结合数形结合法求解．6.本热点常常命制成压轴的选择题,故难度较大,需要有较强的解题能力和知识的综合应用能力,涉及的数学思想丰富多样,故基础较差的学生不宜花费过多的时间,能力不够可适当放弃,另外,如果以抽象函数为背景,可采用抽象为题具体化的思路进行求解,如果涉及到范围问题的确定,可选择特值进行代入验证的方法求解. 【名题精选练兵篇】1. 【2016届河南省八市重点高中高三4月质检】函数()4xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3) 【答案】C2. 【2015届山东省菏泽市高三第一次模拟考试】已知函数()0()210x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩,若函数()f x 在R 上有两个零点,则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞- B ．(),0-∞ C ．()1,0- D ．[)1,0- 【答案】D【解析】显然21=x 是方程的一个零点；由题意,得0=+a e x 有一个非正根,则x e a -=,(]0,∞-∈x ,10≤<∴x e ,即01<≤-a .3. 【2016届福建省漳州市高三下学期第二次模拟】已知x 0是函数()xx f x -+=112的一个零点．若x 1∈(1,x 0),x 2∈(x 0,＋∞),则（ ） （A ）f(x 1)<0,f(x 2)<0 （B ）f(x 1)<0,f(x 2)>0 （C ）f(x 1)>0,f(x 2)<0 （D ）f(x 1)>0,f(x 2)>0 【答案】B【解析】函数()xx f x -+=112是单调递增函数,又因为()00=x f ,201x x x <<,所以()01<x f ,()02>x f ,故选B.4.【 2016届湖北省沙市中学高三下第三次月考】定义在R 上的函数()f x 满足()(4)16f x f x ++=,当(]0,4x ∈时,2()2x f x x =-,则函数()f x 在[]4,2016-上的零点个数是（ ）A ．504B ．505C ．1008D ．1009 【答案】B5.已知函数21,2()16,22x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩,若,,a b c 互不相等,且满足()()()f a f b f c ==,则a b c ++的取值范围是 （ ）A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(2,8)D ．(0,10) 【答案】C【解析】设a b c <<,作图可知,=0,c (2,8),a b +∈从而a b c ++的取值范围是(2,8)6. 【2016届河北省邯郸一中高三下第一次模拟】若直角坐标平面内两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上；②,P Q 关于原点对称,则称(,)P Q 是函数()y f x =的一个“伙伴点组”（点组(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“伙伴点组”）．已知函数1,0()ln(),0kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩,有两个“伙伴点组”,则实数k 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．1(0,)2D ．(0,1) 【答案】D7. 已知()f x 为定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,有(1)()f x f x +=-,且当[)0,1x ∈时,2()log (1)f x x =+,给出下列命题：①(2014)(2015)0f f +-=；②函数()f x 在定义域上是周期为2的函数；③直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点；④函数()f x 的值域为(1,1)-．其中正确的是（ ）A ．①,② B．②,③ C．①,④ D．①,②,③,④【答案】C【解析】由当0x ≥时,有(1)()f x f x +=-知当0x ≥时有正周期2,又()f x 为定义在R 上的偶函数,且当[)0,1x ∈时,2()log (1)f x x =+,所以()()()()()()2014201502015010f f f f f f +-=+=+=,所以①正确,排除B ；若函数()f x 在定义域R 上是周期为2的函数,则()()()()221.5 1.520.50.5log (10.5)log 1.5f f f f =-=-==+=,同时因为当0x ≥时,有(1)()f x f x +=-,所以()()()21.510.50.5log 1.5f f f =+=-=-,显然矛盾,所以②错误,这样就排除A,D ；综上故选C.8．设函数⎩⎨⎧><=0,log 0,2)(2x x x x f x ,若存在唯一的x ,满足a a x f f 28))((2+=,则正实数．．．a 的最小值是 （ ） （A ）81 （B ）41 （C ）21（D ）2 【答案】B9. 【2015届江西省上高二中高三上学期第三次月考】已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩,若存在实数1x ,2x ,3x ,4x ,满足1234x x x x <<<,且1234()()()()f x f x f x f x ===,则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ．(15,25) 【答案】B ．【解析】由题意得,12212212()()log log 01f x f x x x x x =⇒+=⇒=,又∵34()()(0,1)f x f x =∈, 即3434sinsin34444x x x x πππππ=⇒+=,3412x x +=,332424x x πππ<<⇒<<,∴3434343312(2)(2)2()4(12)20(0,12)x x x x x x x x x x -⋅-=-++=--∈⋅．10.【 2016届陕西省西安一中等八校高三下联考】如图,偶函数()f x 的图象如字母M ,奇函数()g x 的图象如字母N ,若方程(())0f g x =,(())0g f x =的实根个数分别为m 、n ,则m n +=（ ）A ．12B ．18C ．16D ．14 【答案】B11. 【2016届宁夏六盘山高中高三第二次模拟】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x ≥时,()()[)[)12log 1,0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩ ,则关于x 的函数()(),01y f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A ．21a -B ．-21a -C ．12a --D ．12a - 【答案】C【解析】由题意得,当0x ≥时,()()[)[)12log 1,0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩ ,即[0,1)x ∈时,()12log (1)(1,0]f x x =+∈-；[1,3)x ∈时,()2[1,1]f x x =-∈-；(3,)x ∈+∞时,()4(,1)f x x =-∈-∞-,画出0x ≥函数()f x 的图象, 在利用函数为奇函数函数,可得0x <上的图象,如图所示,则直线y a =与()y f x =的图象有5个交点,则方程()0f x a -=有五个实根,最左边两根和为6-,左右边两根之和为6,因为(1,0)x ∈-时,(0,1)x -∈,所以()12log (1)f x x -=-+,又()()f x f x -=-,所以()11222log (1)log (1)log (1)f x x x x =--+=-=-,所以中间的一个根满足2log (1)x a -=,即12a x -=,解得12a x =-,所以所有根的和为12a-,故选C.12．【2016届重庆市巴蜀中学高三3月月考】已知实数⎩⎨⎧<-≥=,0),lg(,0,)(x x x e x f x 若关于x 的方程0)()(2=++t x f x f 有三个不同的实根,则t 的取值范围为（ ）A ．]2,(--∞B ．),1[+∞C ．]1,2[-D ．(,2][1,)-∞-+∞ 【答案】A13.【2016届甘肃省天水市一中高三下第四次模拟】定义在R 上的偶函数()f x 满足：(4)(2)0f f =-=,在区间(,3)-∞-与[]3,0-上分别递增和递减,则不等式()0xf x >的解集为（ ） A ．(,4)(4,)-∞-+∞ B ．(4,2)(2,4)-- C ．(,4)(2,0)-∞-- D ．(,4)(2,0)(2,4)-∞--【答案】D【解析】由题意得,因为偶函数()f x 满足：(4)(2)f f =-=,所以()4(1)(4)(1)0f f f f =-=-==,且()f x 在区间(,3)-∞-与[]3,0-上分别递增和递减,不等式()0x f x >,即等价于求函数在第一、三象限图形x 的取值范围,即(,4)(2,0)x ∈-∞--函数图象位于第三象限,(2,4)x ∈函数的图象位于第一象限,综上实数,不等式()0xf x >的解集为(,4)(2,0)(2,4)x ∈-∞--,故选D ．14.【2016届福建省厦门一中高三下学期】函数()()223,2xf x x x ag x x =-++=-,若()0f g x ≥⎡⎤⎣⎦对[]0,1x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．[),e -+∞B ．[)ln2,-+∞C ．[)2,-+∞D ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C15.已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f , a x f -=)(y 在区间]4,3[-上有10个零点（互不相同）,则实数a 的取值范围是 ．【答案】1(0,)2【解析】作出函数在上的图象如图所示：(1)1,0f x x ⎨-+>⎩[0,100]x ∈时,关于x 的方程1()5f x x =-的所有解的和为 ．【答案】10000【解析】22(0,1],1(1,2(1)0],()(1)(11)x f x f x x x x x +-+∈-∈-=-=-=,此时1()5f x x =-两解的和为1；2(1,2],1(0,1],()(1)1(11)x f x f x x x ∈-∈=-+=+-,此时1()5f x x =-两解的和为3；……；2(99,100],1(98,99],()(1)1(99)99x f x x x x f ∈-∈=--++=,此时1()5f x x =-两解的和为,199；所以所有解的和为(1199)13199100100002+++⋅⋅⋅+=⨯=. 【名师原创测试篇】1. 定义在R 上的奇函数()f x ,对任意x∈R 都有(2)()f x f x +=-,当(02)x ∈，时,()4x f x =, 则(2015)f = ． 【答案】4- 【解析】∵(2)()()f x f x f x +=-=-(4)(+2)=()f x f x f x ∴+=-∴(2015)(1)(1)4f f f =-=-=-. 2. 已知函数x x x x f cos 56sin 5)(+-=,则对任意实数)0(,≠+b a b a ,ba b f a f ++)()(的值 ( )A.恒大于0B.恒等于0C.恒小于0D.符号不确定 【答案】A.3. 已知函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,()()ln 1g x x =-求函数()()()h x f x g x =-的零点个数（ ）A ．2 B. 3 C ． 4 D.5 【解析】C【解析】作出[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的图象如下,因为()f x 的图像在[]0,2最大值和最小值是1和1-,在(2,)+∞最大值与最小值是12和12-,且向右无限延伸,又因为()()ln 1g x x =-的图像即把ln x 向右平移一个单位,且当()g x 取到1后就与()f x 没有交点了,从图像上可以看出()g x 与()f x 的交点个数为3个,所以零点个数为3个.故选B ．4. 若a 、b 是方程lg 4x x +=,104xx +=的解,函数()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩, 则关于x 的方程()f x x =的解是 .【答案】2x =-或1x =-或2x =5.已知函数()()0x f x e x =≥,当0x <时,()()4f x f x -=,若函数Ah即函数()u x=hAC6,,有四。
3.4.2 几何综合问题(课时测试)-2016届高三数学(理)三轮复习(原卷版)
解析几何综合问题（理）班级： 姓名：_____________1.（北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）理19）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，右顶点A 是抛物线28y x =的焦点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果AM AP AQ =+，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．2.（北京市海淀区101中学2014年高三上学期期中模拟考试理16）在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l 经过点)2,3(P ，且与x 轴交于点F （2，0）。
（I ）求直线l 的方程；（II ）如果一个椭圆经过点P ，且以点F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程。
3.（北京市西城区2015届高三一模考试理19）设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由. 4.（北京市顺义区2015届高三第一次统一练习（一模）理19）已知椭圆223412.C x y +=： （I ）求椭圆C 的离心率；（II ）设椭圆C 上在第二象限的点P 的横坐标为1-，过点P 的直线12,l l 与椭圆C 的另一交点分别为,A B .且12,l l 的斜率互为相反数，,A B 两点关于坐标原点O 的对称点分别为,M N ,求四边形ABMN 的面积的最大值.5.（北京市海淀区2015届高三下学期期中练习（一模）理19）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>过点(0,1)-，且离心率e =. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）是否存在菱形ABCD ，同时满足下列三个条件： ①点A 在直线2y =上； ②点B ，C ，D 在椭圆M 上； ③直线BD 的斜率等于1.如果存在，求出A 点坐标；如果不存在，说明理由.6.（2015年北京市昌平区高三二模理19）已知椭圆C ：22221(0)+=>>x y a b a b，右焦点F ，点D 在椭圆上.（I ）求椭圆C 的标准方程；(II) 已知直线kx y l =:与椭圆C 交于,A B 两点，P 为椭圆C 上异于,A B 的动点. （i ）若直线,PA PB 的斜率都存在，证明：12PA PB k k ⋅=-; (ii) 若0k =，直线,PA PB 分别与直线3x =相交于点,M N ，直线BM 与椭圆C 相交 于点Q （异于点B ）， 求证：A ,Q ,N 三点共线.7.（北京市房山区2015年高三第一次模拟考试理19）动点),(y x P 到定点)0,1(F 的距离与它到定直线4:=x l 的距离之比为21.(Ⅰ) 求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ） 已知定点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(4,)Q t 在直线l 上，作直线AQ 与轨迹C 的另一个交点为M ,作直线BQ 与轨迹C 的另一个交点为N ，证明：,,M N F 三点共线.8.（北京市丰台区2015届高三5月统一练习（二）理19）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的焦距为2，其两个焦点与短轴的一个顶点是正三角形的三个顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）动点P 在椭圆C 上，直线l ：4x =与x 轴交于点N ，PM l ⊥于点M （M ，N 不重合），试问在x 轴上是否存在定点T ，使得PTN ∠的平分线过PM 中点，如果存在，求定点T 的坐标；如果不存在，说明理由．。
2.2 函数综合应用(课时测试)-2016届高三数学二轮复习(解析版)
函数综合应用（测）班级 姓名一、选择题：（每题5分，共30分）1. 【北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试】设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a ∈R ）．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是A ．0a >B ．5a <C ．10a <D ．20a < 【答案】B 【试题解析】 因为函数是定义在上的奇函数，且当时，，所以令x<0,则-x>0,所以所以即所以，若为上的“20型增函数”，则对任意的，都有， 所以即，又因为所以2. 【2015-2016学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）】某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中①处应填（ ）A．B．C． D．【答案】D【解答】解：由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．可得：当x＞4时，所收费用y=12+[x﹣4+]×2+1=，故选：D3.【2015-2016学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）】某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；②当x∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是①④．【答案】①④【解答】解：∵食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系且该食品在4℃的保鲜时间是16小时． ∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=﹣，∴，当x=6时，t=8，故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；②当x ∈[﹣6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x ∈（0，6]时，该食品的保鲜时间t 随看x 增大而逐渐减少，故错误；③到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确， 故正确的结论的序号为：①④，4.已知()a x x f x++=24有唯一的零点，则实数a 的值为（ ）A. 0B. -1C. -2D. -3【答案】B 【解析】试题分析：由||240x x a ++=得，||24x x a =--，在同一坐标系内作出函数||4x y =与2y x a =--图象，由图象可知，当1a =-时，两函数图象有唯一公共点，所以应选B.考点：函数零点、数形结合.5.已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=0,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,2-B. ()0,∞-C. ()2,0D. ()2,-∞-【答案】D 【解析】试题分析：()x f 为R 上的减函数，故()()x a a x x a f a x f -<+⇔->+22，从而a x <2，所以()a a <+12，得2-<a .考点：函数单调性，不等式恒成立问题.6. 已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且 1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ．(15,25) 【答案】B 【解析】试题分析:在平面直角坐标系x y O 中，作出函数()f x 的图象如图所示：因为存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，所以由图象知：1112x <<，212x <<，324x <<，4810x <<，当01t <<时，直线y t =与函数()f x 的图象有4个交点，直线y t =越往上平移，()()341222x x x x --的值越小，直线y t =越往下平移，()()341222x x x x --的值越大，因为当0t =时，()()()()34122242821211x x x x ----==⨯，当1t =时，()()()()341222221020122x x x x ----==⨯，所以()()341222x x x x --的取值范围是()0,12，故选B ．考点：分段函数的图象．二、填空题（每题5分，共20分）7. （北京市延庆县2014—2015学年度高二第二学期期末考试文12）函数()2452ln f x x x x =-+-的零点个数为 . 【答案】2 【解析】试题分析： 由题意可得0x >，求函数()2452ln f x x x x =-+-的零点个数，即求方程211ln (2)22x x =-+的解的个数，数形结合可得，函数ln y x =的图像和函数211(2)22y x =-+的图像有2个交点，故函数()2452ln f x x x x =-+-有2个零点.8. （北京市石景山区2015届高三3月统一测试（一模）文13）某学校拟建一块周长为400米的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，矩形的长应该设计成 米．【答案】100【解析】试题分析：设矩形的长为x 米，半圆的直径为d ，中间矩形的面积为S ，依题意可得，40022400,,xx d d ππ-+== 2400211(4002)2(4002)2[]222xx x S dx x x x πππ--+==⋅=-⋅≤ 20000π=，当且仅当40022,100x x x -==时，学生的做操区域最大.即矩形的长应该设计成100米.9. （北京市海淀区2015届高三下学期期中练习（一模）理14）设32,,(),.x x a f x x x a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩若存在实数b ，使得函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 . 【答案】(,0)(1,)-∞+∞ 【解析】试题分析：由已知若存在实数b ，使得函数()()g x f x b =-有两个零点，则函数)(x f 不是单调函数，数形结合可知当10≤≤a 时，函数)(x f 是单调递增的，故要使()()g x f x b =-有两个零点，则0<a 或1>a10. （北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）理12）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时， 2()2f x x x =-，如果函数()()g x f x m =- ( m ∈R ) 恰有4个零点，则m 的取值范围是____． 【答案】(1,0)- 【解析】试题分析：函数()()g x f x m =- ( m ∈R ) 恰有4个零点，可转化为函数()y f x =与函数y m =的图像有四个交点，由题作出函数()y f x =的图像：可知当m (1,0)∈-时满足要求.三、解答题（每题10分，共20分）11. （北京市延庆县2014—2015学年度高二第二学期期末考试文18）铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50kg ，按0.25元/kg 计算；超过50kg 而不超过100kg 时，其超过部分按0.35元/kg 计算，超过100kg 时，其超过部分按0.45元/kg 计算. 设行李质量为xkg ，托运费用为y 元.（Ⅰ）写出函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）若行李质量为56kg ，托运费用为多少？【答案】（Ⅰ）0.2505012.50.35(50),50100300.45(100),100xx y x x x x <≤⎧⎪=+⨯-<≤⎨⎪+⨯->⎩（Ⅱ）14.6元 【解析】试题分析：第一问根据题中的条件，结合题意，将函数值与自变量之间的关系找出来，注意分类讨论思想的应用，注意分段函数的应用，第二问根据自变量所属的范围，带入相应的解析式，从而求得对应的函数值.试题解析：（Ⅰ）（1）若050x <≤，则0.25y x =； ……2分 （2）若50100x <≤，则()12.5500.35y x =+-⨯； ……4分 （3）若100x >，则()300.45100y x =+⨯-. ……6分 所以，由（1）（2）（3）可知0.2505012.50.35(50),50100300.45(100),100xx y x x x x <≤⎧⎪=+⨯-<≤⎨⎪+⨯->⎩……8分（Ⅱ）因为50kg 56kg <100kg ≤，所以12.560.3514.6y =+⨯=（元）. …10分12. 设函数()||f x x x a b a b =-+∈R ，，. （Ⅰ）当0a >时，讨论函数()f x 的零点个数；（Ⅱ）若对于给定的实数()10a a -<<，存在实数b ，使不等式21)(21+≤≤-x x f x 对于任意]12,12[+-∈a a x 恒成立。
1.9 应用问题(课时练习)-2016届高三数学三轮复习(原卷版)
应用问题一、选择题1．将进货单价为40元的商品按60元一个售出时，能卖出400个．已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得最大利润，售价应定为A．每个70元 B．每个85元 C．每个80元 D．每个75元2．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）（A）甲比乙先出发（B）乙比甲跑的路程多（C）甲、乙两人的速度相同（D）甲比乙先到达终点3．某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润（万元）情况如下：该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润（万元）是（）A． B． C． D．4．2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（）A ．f （x ）=ax 2+bx+cB ．f （x ）=ae x +bC ．f （x ）=e ax+bD ．f （x ）=alnx+b5．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ）A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元6．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积（2m ）与时间t （月）的关系:ty a ,有以下叙述:①这个指数函数的底数是2;②第5个月时,浮萍的面积就会超过230m ;③浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1．5个月;④浮萍每个月增加的面积都相等;⑤若浮萍蔓延到22m 、23m 、26m 所经过的时间分别为1t 、2t 、3t ，则123t t t +=．其中正确的是 （ ）A ．①②B ．①②③④C ．②③④⑤D ．①②⑤7．分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（ ）A ．34A 种B ．3133A A 种C ．2343C A 种D ．113433C C A 种8．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）A ．分层抽样法，系统抽样法B ．分层抽样法，简单随机抽样法C ．系统抽样法，分层抽样法D ．简单随机抽样法，分层抽样法t/月9．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20﹣80mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上，属于醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2011年3月15日至3月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如下图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为（ ）A ．2160B ．2880C ．4320D ．864010．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）A ．24B ．18C ．16D ．12二、填空题11．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩的规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其它7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩．现有一位参赛者所获9位评委一个最高分为86分、一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为 分．12．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为x 4万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则=x ___ ____ 吨．13．某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系664,02,0kx x t x +≤⎧=⎨>⎩且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；②当x∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是．14．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚_________________元钱．。
2016年高考数学三轮讲练测核心热点总动员(新课标版) 专题19 立体几何大题(文) Word版含解析
【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2013⋅新课标全国】如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=.（Ⅰ）证明：1AB AC ⊥；（Ⅱ）若2AB CB ==，1AC 111ABC A B C -的体积.12.【2014高考全国1文】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B ⊥（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB求三棱柱111C B A ABC -的高.3.【2015新课标2文19】如图所示，长方体1111ABCD A B C D ﹣中，16AB =，10BC =，18AA =，点E ，F 分别在11A B ， 11D C 上，114AE D F ==.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.A 1C 1A（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.4.【2015全国1文18】如图所示，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .（1）求证：平面AEC ⊥平面BED ；（2）若120ABC ∠=，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -的体积为3.解析 （1）因为BE ⊥平面ABCD ，所以BE AC ⊥.又ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥.又因为BD BE B =，BD ，BE ⊂平面BED ，所以AC ⊥平面BED .又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .G E D B A【热点深度剖析】2013年以三棱柱为几何背景考本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质以及三棱柱的体积公式，考查学生的化归与转化能力以及空间想象能力. 2014年以平放的三棱柱为几何背景考查线线垂直的判定和求三棱柱的高，突出考查线线，线面垂直的转化，点到面的距离，等面积法的应用以及空间想象能力和计算能力. 2015年全国卷1考查了截面的作法及体积问题，全国卷2考查了面面垂直的证明及三棱锥的侧面积。
专题2.4 数列-2016届高三数学三轮考点总动员(原卷版)
第二篇 易错考点大清查专题4 数列1.求数列通项忽视检验首项致错在求数列通项公式时，不论用递推公式还是用数列的前n 项和公式，都应该检验首项是否适合 例1【2015山东18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【举一反三】已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.2.求解等差（比）数列有关问题时，忽略0d =或1q =造成错误用基本量法求等差数列或等比数列有关的问题时忽略0d =或1q =而造成求解不全导致错误. 例2已知等差数列}{n a 满足：21=a ，且1a 、2a 、5a 成等比数列.（1）求数列}{n a 的通项公式.（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得?80060+>n S n 若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.【举一反三】等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知232S a =，且124,,S S S 成等比数列，求{}n a 的通项公式.3.应用等差数列与等比数列性质不当综合应用等差数列、数列等比数列性质时，因记不准性质或性质混用导致错误. 例3.【2015安徽18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【举一反三】【2015广东10】在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += . 4.用错位相减法求和时弄不清等比数列项数导致错误错位相减法求和是等比数列求和的基本思想，学生在应用时，做到两式相减后时，弄不清楚相减后的式了中等比数列的项数导致求和出错.例4．【2015天津18】已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列{}n b 的前n 项和. 【举一反三】已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。
专题2.2 函数与导数-2016届高三数学三轮考点总动员(解析版)
第二篇易错考点大清查专题2 函数与导数1. 函数概念不清致误函数的定义域、值域、对应法则是函数的三要素注意(())f g x 与f(x)是两个不同的函数，它们有不同的法则和定义域.求函数定义域，首先应弄清函数的特征或解析式，可避免出错. 例1 【2015山东10】设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩错误！未找到引用源。
则满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是（ ）A.2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[]0,1C.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.[)1,+∞ 【答案】C点评：本题首先根据定义域分1a ≥与1a <分别列出关于a 的方程，解出a 值后，容易忽视根据a 的范围进行取舍而致出现错误.【举一反三】已知函数()22,1,22,1,x x f x x x -⎧≤-=⎨+>-⎩则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是________.【答案】(,1][0,)-∞-+∞ 【解析】当1a ≤-时，2()22af a -=≥，解得12a ≤-，此时1a ≤-；当1a >-时，()222f a a =+≥，解得0a ≥，此时0a ≥.故实数a 的取值范围是(,1][0,)-∞-+∞. 2.忽视函数的定义域致误函数的定义域是函数的用三要素之一，是研究函数图像与性质的重要依据之一，在研究函数的奇偶性、单调性、极值、图像时，一定要定义域先行，可以避免忽视定义域致错. 例2函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是 （ ）A.()0,+¥B.(),0-¥C.()2,+¥D.(),2-?【答案】D ．【解析】函数()()212log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，由于外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，只要求()24u x x =-的单调递减区间，结合函数()()212log 4f x x =-的定义域，得()()212log 4f x x =-单调递增区间为(),2-∞-，故选D ．点评：本题先求出函数的定义域，再根据外函数12log y u =是减函数，根据复合函数“同增异减”法则，求出内函数24u x =-的减区间，即为()f x 的减区间，容易忽视定义域致错.【举一反三】【2015上海7】方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=->21430,5333112x t t t t x x -⇒-+=>⇒=⇒=⇒-=⇒= 3. 将曲线在某点的切线与过某点的切线搞混淆致错在解曲线的切线问题时，一定要注意区分“过点A （x 0,y 0）的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同.虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点.例3.已知函数()f x =24x --，则函数()f x 过点P(1,1-)的切线方程为 . 【答案】23x y --=0或65x y +-=0.点评：对于曲线的切线问题，一定要注意是在某点的切线，还是过某点的切线.【举一反三】已知直线l 过点)1,0(-，且与曲线x x y ln =相切，则直线l 的方程为 ． 【答案】1-=x y【解析】将()ln f x x x =求导得()ln 1f x x '=+，设切点为00(,)x y ，l 的方程为000(ln 1)()y y x x x -=+-，因为直线l过点)1,0(-，所以0001(l n 1)(0)y x x --=+-．又00ln y x x =，所以0000001ln (ln 1),1,0x x x x x y --=-+∴==．所以切线方程为1-=x y ．4.极值的概念不清致误“函数y=f(x)在x=x 0处的导数值为0”是“函数y=f(x)在点x=x 0处取极值”的必要条件，而非充分条件，但解题中却把“可导函数f(x)在x=x 0处取极值”的必要条件误作充要条件.对于可导函数f(x):x 0是极值点的充要条件是x 0点两侧导数异号，即若f ′(x)在方程f ′(x)=0的根x 0的左右的符号：“左正右负”f(x)在x 0处取极大值；“左负右正”f(x)在x 0处取极小值，而不仅是f ′(x 0)=0.f ′(x 0)=0是x 0为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大（小）值的条件，一定要既考虑f ′(x 0)=0，又考虑检验“左正右负”（“左负右正”）的转化，否则易产生增根. 例4【2015重庆19】已知函数32()f x ax x =+（a R ∈）在34-=x 处取得极值. (Ⅰ)确定a 的值，(Ⅱ)若()()x g x f x e =，讨论的单调性. 【答案】（Ⅰ）12a =，（Ⅱ）g()x 在(,4)(1,0)-?-和 内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数..(2)由(1)得，321g()2xx x x e 骣琪=+琪桫,故232323115g ()222222xx xx x x e x xe x x x e 骣骣骣¢琪琪琪=+++=++琪琪琪桫桫桫1(1)(4)2x x x x e =++ 令g ()0x ¢=，解得0,1=-4x x x ==-或. 当-4x <时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数， 当41x -<<-时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数， 当-10x <<时，g ()0x ¢<,故g()x 为减函数，当0x >时，g ()0x ¢>,故g()x 为增函数，综上知g()x 在(,4)(1,0)-?-和 内为减函数，(4,1)(0,)--+?和内为增函数.点评：对极值问题，注意导数在某点为0既不是函数在这一点取极值的充分条件也不是必要条件，求极值点，既要考虑导数为0的点，还要考虑导数不存在但在这点有意义的点，已知极值，求参数问题，求出参数不要忘记检验.【举一反三】已知()f x =322x ax bx a +++在x =1处有极值为10，则a b += . 【答案】7a b +=-5.导数与单调性的关系理解不准致误已知在某个区间上的单调性求参数问题，先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加.例5已知函数()f x =11ax x +-在(1,＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为 . 【解析】求导得()f x '=21(1)a x ---，由函数()f x 在(1, ＋∞)内单调递减知()f x '＜0在(1, ＋∞)内恒成立，即21(1)a x ---＜0，即10a --<在(1, ＋∞)内恒成立，解得a ＞－1, 当a =－1时，()f x =－1，在（1，＋∞）不是单调减函数， 故实数a 的取值范围为（－1，+∞）.点评：要掌握正确的已知函数单调性，求参数范围的方法，即先解大于（或小于）0恒成立的不等式，在验证参数取等号时，函数在给定区间上是否具有已知的单调性.【举一反三】若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是（ ） A ．51(,]8-∞ B ．(,3]-∞ C ．51[,)8+∞ D ．[3,)+∞【答案】C【解析】∵'2()323f x x tx =-+错误！未找到引用源。
专题1.4 数列 -2016届高三数学三轮考点总动员(解析版)
1.已知数列的前几项，求数列通项公式时，应注意四个特征：（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征；（4）各项的符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想、利用数学归纳法进行证明.2.由递推关系求数列通项公式时的常用方法有：（1）已知1a ，且1()n n a a f n --=，可用“累加法”求n a ； （2）已知1a ，且1()nn a f n a -=，可用“累乘法”求n a ； （3）已知1a ，且1n n a qa b +=+，则()1n n a k q a k ++=+，（其中k 可由待定系数法确定），可转化为数列{}n a k +成等比数列求n a ； （4）形如1(,,nn n Aa a A B C Ba C+=+为常数）的数列，可通过两边同时取“倒数”构造新数列求解.注意求出1n =时，公式是否成立. 3.n a 与n S 关系的应用问题：（1）由n a 与前n 项和n S 关系求n a 时：11,1,,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，当1n =时，若1a 适合1n n n a S S -=-（2n ≥），，则1n =时的情况可并入2n ≥时的通项n a ；否则用分段函数的形式表示.(2)由n a 与前n 项和n S 关系求n S ，通常利用1n n n a S S -=-（2n ≥）将已知关系式转化为n S 与1n S -的关系式，然后求解.4.判定一个数列是等差数列的方法：（1）用定义法（当2≥n 时，1--n n a a 为同一常数）； （2）等差中项法（112,2n n n n a a a -+≥=+）；（3）b a b an a n ,(+=为常数）； （4）b a bn an S n ,(2+=为常数）.5.解决等差数列问题时，基本量法是常用方法，即把条件用公差d 与首项1a 来表示，列出方程进行求解.6.求等差数列前n 项和的最值的常用方法：（1）运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的性质求最值； （2）用通项公式求最值：求使0(0)n n a a ≥≤成立时n 的最大值即可.7. 判定一个数列是等比数列的方法：（1）定义法（12,nn a n a -≥为同一常数）； （2）等比中项法（2112,(0)n n n n n a a a a -+≥=⋅≠）.8.解决等比数列问题时，基本量法是常用方法，即把条件用公比q 与首项1a 来表示，列出方程进行求解.9．数列求和常用方法有：（1）公式法：直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和(等比数列求和需考虑1q =与1q ≠)； （2）倒序相加法：若一个数列{}n a 的前n 项中与首末两端等“距离”的两项和相等或等于同一个常数，这样的求和问题可用倒序相加法；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和； （4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的求和问题可用错位相减法；（5）分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减.10.与数列的关的不等式证明问题，需灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等.1.【2016届河北石家庄高三复习教学质量检测（二）】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若=24n n S a -，n N *∈，则n a =（ ）A. 12n + B. 2n C. -12n D. -22n【答案】A【要点回扣】n a 与n S 的关系的应用.2. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = A ．18 B ．36 C ．54 D ．72【答案】D【解析】由等差数列的前n 项和公式得()()7242854818=+=+=a a a a S ，故答案为D.【要点回扣】等差数列的前n 项和公式.3.【2016届河北衡水中学高三三调考试】一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为（ ） A.2 B.3 C.12 D.13【答案】A【要点回扣】等比数列的性质.4. 设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．9【答案】B【解析】设等差数列公差为d ，且0d ≠，则21()22n ddS n a n =+-，可按二次函数去想，其图象为抛物线上的点，由于59S S =，所以抛物线的对称轴为5972n +==，当7n =时，n S 最大； 【要点回扣】等差数列的前n 项和.5.【2016届河北衡水中学高三四调考试】已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2 D ．92【答案】A【要点回扣】1.等差数列与等比数列综合；2.基本不等式求最值.6. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121a a ==，(){}2n n nS n a ++为等差数列，则n a =（ ） A ．12n n - B ．1121n n -++ C ．2121n n -- D ．112n n ++ 【答案】A【解析】设n n n a n nS b )2(++=，则8,421==b b ，n b n 4=，即n a n nS b n n n 4)2(=++=；当2≥n 时，0)121()21(11=-+-++---n n n n a n a n S S ，所以111)1(2--+=+n n a n n a n n ，即121-=⨯-n a n a n n ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是以1为首项、21为公比的等比数列，则112,)21(--==n n n n na n a ，故选A. 【要点回扣】等差、等比数列的综合应用.7. 已知等比数列错误！未找到引用源。
2016年高考数学三轮讲练测核心热点总动员(新课标版) 专题18 概率与统计大题(理) Word版含解析
【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【2013 新课标全国】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.【解析】（1）利用相互独立事件模型计算概率；（2）在（1）的基础上，利用对立事件算出X 为400、500、800时的概率，进而列出分布列，求出期望.2.【2014高考全国1】从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .12.2≈若()2~,Z N μσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.3.【2014新课标Ⅱ理)】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t ty y b t t ==--=-∑∑,ˆˆay bt =-.（II ）由（I ）知,ˆ0.50b=>,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号9t =代入（I ）中的回归方程,得ˆ0.59 2.3 6.8y=⨯+=千元,故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元 4.【2015全国Ⅱ理18】某公司为了解用户对其产品的满意度,从,A B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值,得出结论即可）；（2）根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.则可得1122B A B A C C C C C =．所以1122()()B A B A P C P C C C C =1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由题意及所给数据可得1A C ,2A C ,1B C ,2B C 发生的频率分别为1620,420,1020,820． 故可得1()A P C 16=20,2()=A P C 420,1()=B P C 1020,2()B P C 8=20,故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=．即C 的概率为0.48. 5.【2015全国Ⅰ理19】某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响,对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =⋅⋅⋅数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值．年宣传费/千元表中i w =,8118i i w w ==∑,（1）根据散点图判断,y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可,不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系式0.2z y x =-,根据（2）的结果回答下列问题： ①年宣传费49x =时,年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大？附：对于一组数据()11,u v ()22,u v ,⋅⋅⋅,(),n n u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii ni i u u v v u u β==--=-∑∑,ˆˆv u αβ=-. 【热点深度剖析】1.纵观2013年和2014年2015年的高考题对本热点的考查，可以发现概率和统计、统计案例相结合是高考命题的热点，在2012年高考中，结合实际问题将函数和概率问题巧妙结合在一起，新颖别致，但是题目难度不大，这也体现了“新题不难”的命题特点，主要考查生活中的概率统计知识和方法.求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法，以及生活中最大利润的判断；2013年考查相互独立事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的逻辑推理能力以及基本运算能力；2014年主要考查了频率分布直方图，正态分布的3 原则，二项分布的期望及回归分析.2015年分别考查了回归分析、茎叶图。
专题1.7 概率与统计(文) -2016届高三数学三轮考点总动员(解析版)
1．古典概型计算三注意： （1）本试验是否是等可能的； （2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个．2.求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进 而利用概率公式求解：(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． 3.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算； (2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式)(1)(A P A P -=，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便．4. 正确把握三种抽样方法的适用范围及特点，能根据具体情况正确选择抽样方法： （1）当总体中的个体个数较少时，通常采用简单随机抽样，一般可用从总体中逐个抽取的；（2）当总体中的个体个数较多且均衡时，通常采用系统抽样，将总体平均分成几部分，按一定的规则分别在各部分中抽取；（3）当总体是由差异明显的几部分组成时，则采用分层抽样，将总体按差异分成几层，按分层个体数之比抽取．5.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的频率组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于1； 6.样本的数字特征：（1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数；（2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数a 对应的直线x a =的左右两边的矩形面积之和均为0.5，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数；（3）平均数：设n 个数分别为1x 、2x 、、n x ，则()121n x x x x n=+++叫做这n 个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和； （4）方差：设n 个数分别为1x 、2x 、、n x ，则()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦叫做这n个数的方差，方差衡量样本的稳定性的强弱.一般来讲，方差越大，样本的稳定性越差；方差越小越接近于零，样本的稳定性越强；7.两个分类变量的独立性检验的一般步骤：1）列出两个分类变量的列联表： 2）假设两个分类变量x 、y 无关系；3）求()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ；4）把2K 的值与临界值比较，确定x 、y 有关的程度或无关系.1．【2016届山东潍坊一中高三下学期起初考试】设两个正态分布2111(,)(0)N μσσ>和2222(,)(0)N μσσ>曲线如图所示,则有 （ ）A ．1212,μμσσ<>B ．1212,μμσσ<<C ．1212,μμσσ>>D ．1212,μμσσ><【答案】A【要点回扣】正态曲线．2.将1,2,3,4四个数字随机填入右边22⨯的方格中﹐每个方格中恰填一个数字﹐且数字可重复使用． 则事件“A 方格的数字大于B 方格的数字，且C 方格的数字大于D 方格的数字”的概率为（ ）A ．9256 B ．116 C ．964 D ．2564【答案】C【解析】根据题意，四个方格中填入数字共有44256=种，如果对于A 、B 两个方格可在l 、2、3、4中的任选2个，且较大的放入A 方格，较小的放入B 方格，共有246C =种情况；对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则有4416⨯=种，则A 方格的数字大于B 方格的数字共有61696⨯=种，所以A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为9632568=．同理C 方格的数字大于D 方格的数字的概率亦为38，所以则事件“A 方格的数字大于B 方格的数字，且C 方格的数字大于D 方格的数字”的概率为3398864⨯= ,故选C ．【要点回扣】古典概型．3．已知研究x 与y 之间关系的一组数据如下表所示，则y 对x 的回归直线方程a bx y+=ˆ必过点（ ）A ．(2,2)B ． 3(,0)2 C ．(1,2) D ．3(,4)2【答案】D【要点回扣】线性回归方程的定义4．【2016届河北石家庄高三复习教学质量检测（二）】如右图，圆C 内切于扇形AOB向扇形AOB 内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为（ ）A. 100B. 200C. 400D. 450 【答案】C.【解析】如下图所示，设扇形半径为R ，圆C 半径为r ，∴23R r r r =+=， ∴落入圆内的点的个数估计值为226004001(3)6r r ππ⋅=，故选C.【要点回扣】几何概型．5.已知集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤-+00042),(y x y x y x y x 表示的平面区域为Ω，若在区域Ω内任取一点P （x,y ），则点P 的坐标满足不等式222≤+y x 的概率为（ ） （A ）163π （B ）16π （C ）32π （D ）323π 【答案】D【要点回扣】1、线性规划的应用；2、几何概型的概率计算公式.6．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．【答案】25【解析】由题可知，区间在［2500，3000）之间出现的频率为25.05000005.0=⨯，分层抽样方法抽出100人中，此部分人应该有2525.0100=⨯； 【要点回扣】频率分布直方图的计算7．在样本频率分布直方图中，样本容量为160，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且则中间一组的频数为 ． 【答案】32【要点回扣】频率分布直方图．8.【2016届河北石家庄高三复习教学质量检测（二）】将高三（1）班参加体检的36名学生，编号为：1，2，3，，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名学生的编号是 . 【答案】15.【解析】根据系统抽样的特点可知抽取的4名学生的编号依次成等差数列，故穷举可知剩余一名学生的编号是15，故填15. 【要点回扣】系统抽样.9．小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于21，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于41，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是 ． 【答案】163 【解析】设“看电影”、“打篮球”、“看书”三个事件分别为A 、B 、C ，则这三个事件互斥，而且()()()1P A P B P C ++=，又21()23()4P A πππ-==，21()41()16P B ππ==，所以3()1()()16P C P A P B =--=；【要点回扣】1．几何概型；2．互斥事件；10．已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是 ☆ ．【答案】16π-【要点回扣】几何概型11．【2016年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（二）】为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程y bx a =-；（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式：1122211()()()-()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb a y b x x x xnx====---===--∑∑∑∑，【答案】（1）ˆ8.69 1.23y x =-；（2）2.72.【解析】（1）3x =，5y =，5115ii x==∑ ，5125i i y ==∑，5162.7i i i x y ==∑，错误！未找到引用源。
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定积分
时间:30分钟，总分：60分 班级： 姓名：
一、选择题
1. （北京市丰台区2014-2015学年度第二学期统一练习（一）理9）定积分0(cos)xxdx____．
【答案】22
【解析】
试题分析：220011(cos)sin22xxdxxx.
2. (北京市丰台区2016届高三第一学期期末数学理6)若212xadx，21bxdx，221logcxdx，则
,,abc
的大小关系是（ ）
A.cba B.bca C.cab D/abc
【答案】A.
【解析】
试题分析：2211222|2ln2ln2xxadx，2221113|22bxdxx，∴ba，排除C，D，
由图象可知：221logcxdx表示的面积最小，故cba.
3. （北京市丰台区2015届高三5月统一练习（二）理3）直线错误！未找到引用源。与曲线21yxx所
围成的封闭图形的面积为（ ）
(A) 223 (B) 283 (C) 323 (D) 343
【答案】C
【解析】
试题分析：由题所给直线与曲线围城封闭图形的面积如图所示，根据定积分计算即可;
由题令错误！未找到引用源。y=x+4,可得x=-1或x=3,则如图所示的封闭图形的面积为
32323
11132233|33xxdxxxx
.故选C
4. 如图，在正方形C内任取一点，取到函数yx的图象与x轴正半轴之间（阴影部分）的点的概
率等于（ ）
A．12 B．23 C．34 D．45
【答案】B
【解析】阴影部分的面积为1312002233xdxx，正方形OABC的面积为1，所以概率为23，故选B.
5.【2015届北京市昌平区高三二模理科】130(21)xdx等于（ ）
A．12 B．23 C．1 D．6
【答案】A
【解析】134340111(21),(21)110222xdxxxCxdx，选A．
6.计算定积分dxxx)sin( 211____________.
【答案】23
【解析】12311112(sin)(cos)|33xxdxxx，故答案为23.
7．如图，设D是途中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数1(0)yxx图象下方的
阴影部分区域，则阴影部分E的面积为（ ）
A．ln2 B．1ln2 C．2ln2 D．1ln2
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意，阴影部分E由两部分组成，因为函数1(0),yxx当2y时，1,2x所以阴影部分
E
的面积为1111221121ln1ln2,2dxxx故选D．
8．若32410cos2xadxxdx，则a等于（ ）
A．1 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】
试题分析：由222111322xadxxaxa，33440011cos2sin222xdxx，所以3122a，
解得2a，故选C．
二、填空题
9．设e,x,x,x,xxf11102 （其中e为自然对数的底数），则dxxfe0的值为 _________．
【答案】34
【解析】
试题分析：根据定积分的运算法则进行计算，将区间0e（，） 拆为011e（，）、（，） 两个区间，然后进行计
算；2,0,11,1,xxfxxex， 112001011eeefxdxfxdxfxdxxdxdxx
103114||113.33e
xlnx
10．1221(1)xxdx ．
【答案】232．
【解析】
试题分析：12311112|33xdxx，而根据定积分的定义可知1211xdx表示圆心在原点的单位圆上半部
分半圆的面积，∴1212(1)32xxdx，故填：232．
11．由直线3x，3x，0y与曲线xycos所围成的封闭图形的面积为 ．
【答案】3
【解析】
试题分析：由定积分的意义可得333003cos2cos2sinx3Sxx，
12．二项式336ax的展开式的第二项的系数为32，则22axdx的值为 ．
【答案】3或37
【解析】
试题分析：336ax展开的第二项为2211313223)63()(xaxaCT，由已知有23322a，
1a，当1a
时，1233-2111(2)333xdx，当37)2(31)1(3113312-2dxxa时，，
所以22axdx的值为3或37.