完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程

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考研数学高等数学强化习题-不定积分

考研数学高等数学强化习题-不定积分-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN模块五不定积分Ⅰ经典习题一．原函数与不定积分1、设,0(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，1sin ,0()0,0x x g x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩下述命题成立的是（）（A ）()f x 在[1,1]-上存在原函数（B ）(0)g '存在（C ）()g x 在[1,1]-上存在原函数（D ）1()()xF x f t dt -=⎰，则(0)F '存在2、若()f x 的导函数是sin x ,则()f x 有一个原函数为 ( )(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、在下列等式中,正确的结果是 ( )(A) ()()df x dx f x dx =⎰ (B) ()()f x dx f x '=⎰(C) ()()df x f x =⎰ (D) ()()d f x dx f x =⎰ 4、已知()F x 是()f x 的一个原函数，则()--=⎰x x e f e dx _____.二．有理函数积分5、计算下列不定积分（1）32211++-⎰x x dx x （2）()()222311x dx x x +-+⎰ （3）25613x dx x x +-+⎰ （4）2100(1)-⎰x dx x （5）21(21)(1)++⎰dx x x （6）21(1)-⎰dx x x（7）()7711x dx x x -+⎰ （8）226114(1)-+-⎰x x dx x x （9）()()22121---⎰dx xx x （10）()()3222412+++++⎰x x xdx xx x（11）241x dx x -⎰ （12）()2311x dx x x +-⎰ （13）33156x dx x x ++-⎰ （14）421dxx x ++⎰三．可化为有理函数的积分1．三角有理式6、计算下列不定积分（1）()1sin sin 1cos ++⎰xdx x x （2）3sin cos ⎰dx x x（3）3sin 2cos +⎰x dx x （4）211cos +⎰dx x （5）sin 1sin +⎰x dx x （6）22221sin cos +⎰dx a x b x（7）()()210sin cos ≠+⎰dx ab a x b x （8）()12cos sin dx x x+⎰（9）64tan cos sin ⎰x x dx x（10）41sin ⎰dx x 2．指数有理式的积分7、计算下列不定积分（1）311++⎰x xe dx e （2）211+⎰x dx e （3）1x x dx e e --⎰（4）()211x dx e +⎰ 四．根式的处理8、计算下列不定积分（1）（2）（3）3（4）⎰（5）（6）dx x⎰（7）（8）9、计算下列不定积分（1）()0>a （2）（3）（4）dx （5）（6）五．分部积分法的使用10、计算下列不定积分（1）2ln sin sin ⎰x dx x （2）()2ln 1-⎰xdx x （3）2sin ⎰x xdx （4）22arctan 1+⎰x xdx x （5）()2ln 1+-⎰x x dx x （6）2arctan ⎰xxe dx e （7）()2arcsin ⎰x dx （8）2ln 1-⎰x dx x11、计算下列不定积分（1）(2ln x dx⎰ （2）2xdx（3）⎰（4）（5）()22arctan 1x xdx x +⎰（6）⎰ （7）2cos sin cos xx xedx x +⎰ （8）22sec tan x x x dx x -⎰ 12、若()f x 的一个原函数为2ln x ，则()'=⎰xf x dx （） (A) 2ln ln -+x x C (B) 22ln ln ++x x C (C) 22ln ln -+x x C (D) 2ln ln ++x x C13、已知sin xx是()f x 的原函数，求()3'⎰x f x dx . 14、已知曲线()y f x =过点1(0,)2-,且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +,求()f x .15、求积分()sin ln ⎰x dx .16、已知()f x 有二阶连续导数，证明：()()()121212124x xf x dx f x f x C '''-=---+⎰. 六．其他考查形式17、设231,0()1,012,1x f x x x x x <⎧⎪=+<≤⎨⎪>⎩求 ()f x dx ⎰.18、设22(sin )cos 2tan (01),f x x x x '=+<<则()___f x =Ⅱ参考答案一．原函数与不定积分1、【答案】：（C ）【解析】：()g x 在[1,1]-上连续，故存在原函数（A ）不正确，()f x 在点0x =处具有跳跃间断点，故在包含此点的区间内不存在原函数2、【答案】：(B)【解析】：由()f x 的导函数是sin x ,即()sin f x x '=,得()()sin cos f x f x dx xdx x C '===-+⎰⎰, 其中C 为任意常数.所以()f x 的原函数12()()(cos )sin F x f x dx x C dx x C x C ==-+=-++⎰⎰,其中12,C C 为任意常数.令10C =,21C =得()1sin F x x =-.故选(B). 3、【答案】:(A)【解析】:由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx'==⎰⎰()()()f x dx df x f x C '==+⎰⎰,C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(A).4、【答案】:()--+x F e C【解析】:因为()F x 是()f x 的一个原函数，故()()'=F x f x .令-=x u e ，则()()()()()-----=-=-=-+=-+⎰⎰⎰x x x x x e f e dx f e de f u du F u C F e C . 二．有理函数积分5、（1）【答案】：()3211ln221-++++x x x C x【解析】：()()322223212131111221111ln 221+++⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪⎢⎥---+⎣⎦⎝⎭-=++++⎰⎰⎰x x x x dx x dx x dx x x x x x x x Cx（2）【答案】： ()21513ln 1ln 1ln +1arctan 4422x x x x C -++---+（3）【解析】：通过变换，将积分转化为常见积分，即222538613613613x x dx dx dx x x x x x x +-=+-+-+-+⎰⎰⎰2221(613)82613(34d x x dx x x x -+=+-+-+⎰⎰） 223(1ln(613)432(1x d x x x -=-++-+⎰）2）2213ln(613)4arctan 22x x x C -=-+++（4）【解析】：原式=1001111()()()x x dx x +-+-⎰99100111()()x dxdx x x +=+--⎰⎰ 98991002111()()()dx dx dxx x x =++---⎰⎰⎰979899111974999()()()x x x C ------=---+ （5）【解析】：设221(21)(1)211+=+++++A Bx Cx x x x ，计算得421;;555==-=A B C .()()2222224211211211555(21)(1)2115215151211ln 21ln 1arctan 555⎛⎫-++ ⎪+=+=-+ ⎪+++++++ ⎪⎝⎭=+-+++⎰⎰⎰⎰⎰x d x d x dx dx dx x x x x x x x x x x C（6）【解析】：22221111111(1)(1)(1)(1)1(1)--=-=-+=-+------x x x x x x x x x x x x22221111111ln (1)(1)(1)1(1)11⎡⎤--==-=-+=-+⎢⎥-------⎣⎦⎰⎰x x x dx dx C x x x x x x x x x x x （7）【解析】：72ln ln 17x x C -++（8）【解析】：2226114421(1)1(1)-+=+----x x x x x x x222611442114ln 2ln 1(1)1(1)1⎛⎫-+=+-=+-++ ⎪----⎝⎭⎰⎰x x dx dx x x C x x x x x x （9）【解析】：()()()()()()222211211212111==+++-+-----+--A B C Dx x x xx x x x x x 其中1111;;;31242==-=-=-A B C D .故()()()()()22222111111312422112121111111ln 2ln 1ln 1312421⎛⎫--- ⎪==+++ ⎪-+-------- ⎪⎝⎭=--+--++-⎰⎰dx dx x x x x x x x x x x x x x C x （10）【解析】：()()()322222421122+++=+++++++++x x xA B Cx Dx x x xx x x 其中1;2;0;1====-A B C D .()()()3222222412121ln 22121122⎛⎫++=+-=+-- ⎪ ⎪++++++++++⎝⎭⎰⎰⎰x x xdx dx x dx x x x x x x x x xx 2221121122⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+++⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰d x dx C x x x ，故()()322242ln 2212++=+-++++⎰x x xdx x C x x x x （11）【解析】：111lnarctan 412x x C x +-+-（12）【解析】：()221ln ln 1ln 136x x x x C -+-++++（13）【答案】：【解析】：（14）【答案】：2211ln 41x x C x x ++++-+ 【解析】：()()42222222111122221111111ln 41x x dx dx dx x x x x x x x x x x x x C x x ⎡⎤+-⎢⎥==-⎢⎥++++-+++-+⎢⎥⎣⎦++=+-+⎰⎰⎰6、（1）【解析】：利用万能公式：22212cos ,sin ,(tan )112t t xx x t t t -===++，令2arctan x t =，则221=+dx dt t()2211ln 86x x C x x -++++333222111117544215656161211123422411114ln 14282321231224⎛⎫+ ⎪+-⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪+-+--++⎝⎭ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎡⎤⎛⎫⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=+----⋅⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰x x x dx dx x dx x x x x x x x x dd x x x dx x x ()222111ln 86+-=++++⎰dx x x C x x()22222222211sin 1111112ln sin 1cos 2422111111tan ln tan tan 42222⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫⎝⎭==++=+++ ⎪+⎛⎫-⎝⎭+ ⎪++⎝⎭=+++⎰⎰⎰t x t t dx dt t dt t t t C x x t t t t t x x x C （2）【答案】：21tan ln tan 2x x C ++【解析】：先作恒等变形，凑微分得2241tan 1tan tan ln tan tan cos tan 2dx x I d x x x C x x x +===++⎰⎰ （3）【解析】：()231cos sin cos 2cos 2cos -=-++⎰⎰x x dx d x x x，令cos =t x ，故322222sin 1143322cos 22221123ln 2cos 2cos 3ln cos 222---+⎛⎫=-===-+ ⎪+++++⎝⎭=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰⎰x t t t dx dt dt dt t dt x t t t t t t t C x x x C（4）【解析】：()222211tan 1cos 2tan cos 1sec ===++++⎰⎰⎰d x dx dx C x x x x （5）【解析】：()()2222sin 1sin sin sin tan tan sec sec 11sin cos cos sec tan -==-=--+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x dx dx dx xdx x xdx x dx x x x x x x C （6）【解析】：()22222222222tan 1sec 11arctan tan sin cos tan tan ⎛⎫===+ ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰d a x x a dx dx x C a x b x a x b a a x b abb（7）【解析】：()()()()22222tan 1sec 111tan sin cos tan tan cos sin cos +===-⋅+++++=-++⎰⎰⎰d a x b xdx dx C a a a x ba xb x a x b a x b xC a x ab x（8）【解析】：()()()231cos 2cos 1ln 61cos -+++x x C x （()()()111ln 2cos ln 1cos ln 1cos 326+-++-+x x x C ）（9）【解析】：()22654331sin tan cos cos sin sin sin sin -==⎰⎰⎰x x x xdx dx d x xx x 令sin =t x 则原式为()226243321tan cos 21112ln sin 22-⎛⎫==-+=--+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰t x xdx dt t dt t t C x t t t t即662442tan cos tan cos 11sin 2ln sin sin sin 22sin ==--+⎰⎰x x x x dx dx x x C x x x（10）【解析】：()22222224431sin cos csc 1cot csc csc cot sin sin 1cot cot 3+==+=+=--+⎰⎰⎰⎰⎰x x dx dx x x dx xdx x xdx x x x x C 7、（1）【解析】：方法一：()()333221*********ln ln 22=+++⎛⎫===+-⎪+++⎝⎭=+-+=+-+⎰⎰⎰⎰xx x t e xx x x x x x e e t dx de dt t dt e t t t e e t t t C e e e C方法二：令1=+x t e ，则()11,ln 1,1=-=-=-x e t x t dx t . 则原式为()332111133111-++-+=⋅=+--⎰⎰⎰x x t e t t dx dt dt e t t t （2）【解析】：()()()()222222*********ln ln 1ln 122=-⎛⎫===+⎪++++⎝⎭=-++=-++⎰⎰⎰⎰xxt e x x x x e t dx dx dt dt e t t e e t t t t C x e C（3）【解析】：11ln 21x xe C e -++（4）【解析】：()1ln 11x xx e C e+-+++ 四．根式的处理8、（1）【解析】：)4ln 1C +（2）【解析】：=⎰令4=t ()324414,11-==--t x dx dt t t .()()324242244144111211111ln2arctan 2arctan 1-⎛⎫=--⋅⋅=-=- ⎪--+⎝⎭-+=-+=--⎰⎰⎰t t t dt dt dt t t t t t tt C Ct（3）【解析】：令12=t 1211,12==x t dx t dt.()6411141283513315139412421121224244424451335133--=⋅=--=--+=--+⎰⎰t t t dt t t t dt t t t t C x x x C（4）【答案】：)1C+【解析】：令21,2t t x dx tdt +===于是 t t t te dt te e dt ==-⎰⎰⎰())11.t t e C C =-+=+（5）【答案】：C -+【解析】：⎰1x t=21dt t ⎫-=-⎪⎭ln1t C C=-=--++=-+（6）33arccos Cx+（7）()3223113x Cx++（8）C9、（1）【答案】：1(ln arcsin)2++xCa【解析】：令tax sin=，则原式1cos sin1cos sin2sin cos2sin cost t t tdt dtt t t t-+=+++⎰⎰111ln sin cos(ln arcsin)222=+++=++xt t t C Ca（2）=令12secθ-=x，则2sec tanθθθ=dx d，原式为()2sec tan sec2sec12tan2sec12cosθθθθθθθθθθ====+++⎰⎰⎰d d d利用万能公式：22212cos,sin,(tan)112t t xx x tt t-===++222cos3θθ==+++⎰⎰ddt Ct再将变量还原即可。

常微分方程辅导Word版

常微分方程辅导（填空题、选择题和解答题----比例是2：3：5。

）第一章初等积分法一．基本类型：曲线的切线。

例1．曲线使其上每一点的切线斜率是该点的横坐标的m 倍，且通过点),2(n p 。

分析：（1）这是一个具有基本应用型的一阶方程，它通过已知斜率与坐标之间的相关概念求解一阶方程。

（2）它考核的知识点是一阶微分方程的概念、解的几何形式，它的求解，这又是重点。

解：（1）设所求曲线的任意点坐标是),(y x ，依题意，,mx dx dy =积分有C x my +=22，（2）该曲线过点),2(n p ，有C mn +=4*2从而有，,2m n C -=故，所求曲线方程是22x my =+),2(m n -二．基本类型的求解（一）可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程。

（一阶线性方程是重点）1．（1）可分离变量方程)()(x g x f dxdy= 分离变量有,)()()()(0C dx x f x g dy or dx x f x g dy yy x x ⎰⎰⎰⎰+==（2）求解对称式,0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M由0)()(≠x P y N ，得,0)()()()(=+dy y N y Q dx x P x M 从而.)()()()(C dy y N y Q dx x P x M =+⎰⎰例2。

求解方程2211x y dx dy ++=。

分析： 1）这是一个一阶可分离变量方程，通过积分可求未知函数y(x)的通解；2）它考核的是求解一阶可分离变量方程这一知识点。

解：方程的通积分为,11122C x dxy dy ++=+⎰⎰即：如arctany=arctanx+C 1.解出y 得到通解y=tan(arctanx+C1)。

例3．求方程y xy dxdyx -=的通解. 分析：1）这是一个一阶可分离变量方程，通过积分可求未知函数y(x)的通解。

考研高数检测题五不定积分

练习五不定积分基础练习1、求⎰xdx 2sin .2、求⎰xdx 3sin .3、求⎰xdx tan .4、求⎰xdx 2tan .5、求⎰xdx 3tan .6、求⎰xdx sec .7、求⎰xdx 2sec .8、求⎰xdx 3sec .9、求⎰xdx arccos .101112+x sin 1sin 13、求⎰+dx x 2sin 31.16、求⎰xy21.17、求⎰++dx x x 2221.18192021、求⎰+dx x 313.25、求⎰+dx x x )4(6.26272829、求⎰+dx xx 4.33、求⎰+dx x x 241.34353637、求⎰+dx e x 2)1(.41、已知xx sin 是)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(3.4243真题演练注：积分积不出来的函数(原函数存在但不是初等函数，无法求出原函数)：①⎰dx e x 2，②⎰dx x x sin ，③⎰dx x ln 1，④⎰+dxx 41144、(1990数二)求⎰-dx x x 2)1(ln .454647、(1995数二)设2ln )1(222-=-x x x f 且x x f ln ))((=ϕ，求⎰dx x )(ϕ.48、(1996数二)求⎰+dx xxx) 1(arctan22.49505152、(2006)求⎰dx ee x xarcsin .5354练习五不定积分(答案)基础练习1.C x x +-42sin 2.提示:倍角公式降次.2.C x x ++-3cos 31cos .提示:凑微分法.3.C x +-cos ln .提示:凑微分法.14.C x+22tan arctan 21.提示:倍角公式后再分子分母同除以余弦的平方.15.C x ++312tan2arctan 32.提示:倍角公式后分子分母同除以余弦的平方.16.y x .提示:积分变量为x ,其他字母视为常数.17.C x ++)1arctan(.提示:不能分解因式,凑成反正切的导数.18.C x x +++21ln .提示:分母可以分解因式,用有理函数的积分方法.30.C x ++66)1(ln .提示:t x =6.31.C x x xx x x ++-+++-+--11arctan 21111ln 或C x x x +---arcsin 11ln 2.提示:令t xx =+-11或被积函数分子分母同乘x -1再令t x sin =.32.C x x +-+-31123.提示:原式dx x x x ⎰-+-=321111,令t x x =-+11.33.C xx x x ++++-333213)1(.提示:令t x tan =.34.C x x x +++arctan 21)1(22.提示:令t x tan =.45.C e e e x x x x +-+---1arctan 41412.提示:令t e x =-1,再分部积分.46.C x x x ++++-)cos 1(41cos 1cos 1ln 81.提示:凑微分.或C x x ++2tan ln 412tan 812.提示:倍角公式.47.C x x ++-1ln 2.提示:先求出11)(-+=x x x ϕ.48.C x x x x x +++--2221ln 21)(arctan 21arctan 1.提示:有理函数的积分,分部积分.或C xx x x x +++--221ln )(arctan 21arctan .提示:令t x =arctan .49.C e e x x x +++--)1ln()1(.提示:令t x =ln 再分部积分.。

(完整版)常微分方程试题及答案

第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。

（X ）2.微分方程的通解中包含了它所有的解。

15•微分方程xy |nx 0的通解是y 2In① y 3 In xdx xdy 0是可分离变量微分方程。

② xy 2x dx y x 2y dy 0是可分离变量微分方程。

③ x? y 4是齐次方程。

y 2y 0是二阶常系数齐次线性微分方程。

6. ysiny 是一阶线性微分方程。

（X)7. y 3 3x yxy 不是一阶线性微分方程。

(O )8. y 2y 5y 0的特征方程为r 22r 5 0。

(9. dy 1 xy 2 xy 2是可分离变量的微分方程。

dx、填空题1.在横线上填上方程的名称o )(O )2. sin xy x cosx 的通解中应含 _3个独立常数。

3. 1 e 2x 的通解是-e 2x C 1x C 2。

42x4.1 sin2x cosx 的通解是 -sin2x cosx C 1x C 2。

45. xy 2x 2yx 41是二 ______ 阶微分方程。

3.函数y 3sinx 4cosx 是微分方程y y 0的解。

（0 ）4.函数y x 2 e x 是微分方程y 2y y0的解。

（X ）C （C 为任意常数）。

（0 ）④xyy x 2 sinx 是一阶线性微分方程。

6 .微分方程y y阶微分方程。

1A. 3 B7. y y 满足y L 0 2的特解是（B ） oxA. y e x 1 B . y 2e x C . y 2 e 2&微分方程y y sinx 的一个特解具有形式 A . y a sinx24 .微分方程y 3y 3的一个特解是（cosxC 1e xC 2e x 是方程y y 0的（A ）,其中C 1,C 2为任意常数。

A.通解B .特解C .是方程所有的解 D .上述都不对7. 8.丄所满足的微分方程是yx空的通解为y xCx 2。

9.dx dy 0的通解为 x10.dy dx 2yx 15x 1 2,其对应的齐次方程的通解为11. 方程xy 1 0的通解为y 12. 3阶微分方程x 3 * 5的通解为yx 2Cxe 2 o x C 1 x C 2 x C 3 o120三、选择题1 .微分方程 xyy 3y 4y 0的阶数是（D ） oA. 3 B 2 .微分方程x 51的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解（A . y 2xB . y x 2C .2x Dy a cosxy xy 3y 2 011 .在下列函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是（C ）y 1 B . y x C . y sinx D . y.Cx17.微分方程0的解为（B ）C . y x asin x bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。

高等数学题库常微分方程

高等数学题库常微分方程第6章常微分方程习题一一、填空题： 1、微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。

2、设某微分方程的通解为()xex c c y 221+=，且00==x y，10='=x y 则___________1=c ，_____________2=c 。

3、通解为xce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。

4、满足条件()()=+?dx x f x f x2的微分方程是__________。

5、 y y x 4='得通解为__________。

6、1+=y dxdy的满足初始条件()10=y 的特解为__________。

7、设()n c c c x y y =,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数__________=n 。

8、设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为___________。

二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x ==2π2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，40π==x y3、yx ey -='2，00==x y4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，4π==x y三、求下列微分方程得通解：1、1222+='y y y x 2、2211y y x -='-3、0ln =-'y y y x4、by ax e dx dy+= 5、022=---'x y y y x 6、xy y dx dy x ln = 四、验证函数xe c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件1,100='-===x x y y的特解。

(完整版)不定积分测验题

不定积分练习题211sin )_________2xdx -=⎰一、选择题、填空题：、（ 22()(ln )_______x e f x x f x dx =⎰、若是的原函数，则：3sin(ln )______x dx =⎰、2224()(tan )sec _________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1()7(),_________;18()arcsin ,______()x x xe f x f x xdx y F x f x f ax b dx f e f x dx c dx x exf x dx x c dx f x --===+==+==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族点的积分曲线是、则、设则、设则____;9'(ln )1,()________;10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x dx x x xdx f x F x f x x f x f x dx A F x B x C x κϕϕ=+==-====⎰⎰⎰、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x cϕ+++13()[()]()()[()]()()()()()()()dA d f x dx f xB f x dx f x dx dxC df x f xD df x f x c====+⎰⎰⎰⎰、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______11()()ln ()()ln x f x f x e dx xA cB x cC cD x cxx-==++-+-+⎰、设则：15______1()()()2arcsin(21)2()arcsin(21)A c B cC x cD x c =+-+-+16()[,][,]()()()()()()()()'()f x a b a b A f x B f x C f x D f x f x 、若在上的某原函数为零，则在上必有____的原函数恒等于零；的不定积分恒等于零；恒等于零；不恒等于零,但导函数恒为零。

(完整版)常微分方程习题及解答

常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。

常微分方程，自变量的个数只有一个。

偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。

常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。

2．举例阐述常数变易法的基本思想。

答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。

例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。

首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。

(完整word)高等数学：常微分方程的基础知识和典型例题

常微分方程1 .( 05,4 分)微分方程xy 2yxln x 满足y(1)22x y)= x ln x.2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ———— x分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得dy( 11)dx.积分得 ln y ln x x C 1，即 y e C1xe x yxy Cxe x, 其中C 为任意常数 .(二)奇次方程与伯努利方程1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y 2)dx (x 22xy)dy 0的通解解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得 3 ( 1+u- u 2) dx+x(1-2 u) du=0. 分离变量得1-2u2 du 3dx, 1uu x积分得 ln 1 u u 2 3ln x C 1,即 1 u u 2=Cx 3. 以 u y代入得通解 x 2xy y 2.xx( y x 2y 2)dx xdy 0(x 0),2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题的解 .y x1 0分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为 . dy +2y dx x 2 dx lnx, 两边乘 e x=x 得积分得y(1)x 2y=C+ x 2 ln xdx C 1 ln xdx 3 3 1 11 得 C 0 y xln x x.9 39 C 1 x 3 ln x 3 13 x. 9 1 的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy 的系数 (y+ x 2 y 2)与 (-x)都是一次齐次函数)令 dy xdu udx,带入得x(u 1 u 2dx x( xdu udx) 0, 化简得 12u 2dx xdu 0.分离变量得dx- du=0. x 1 u 2积分得 ln x ln(u 1 u 2) C 1,即 u 1 u 2Cx. 以 u y代入原方程通解为y+ x 2 y 2 Cx 2.x 再代入初始条件 y x 1 0,得 C=1.故所求解为 y+x 2y2x 2，或写成y 12 (x 2 1).(三)全微分方程练习题(94,1,9 分)设 f ( x)具有二阶连续导数， f (0) 0, f (0) 1,且 [xy(x+y)- f(x)y]dx+[ f (x)+x 2y]dy=0为一全微分方程，求 f(x)以及全微分方程的通解先用凑微分法求左端微分式的原函数：122 122( y dx x dy ) 2( ydx xdy ) yd (2sin x cos x) (2sin x cos x)dy 0, 22 122d [ x y 2xy y (cos x 2sin x)] 0. 2其通解为 1x 2y 2 2xy y (cos x 2sin x) C.4.( 98,3分) 已知函数y y(x)在任意点x 处的增量 y= y2 x ,当 x0时 ,1x是 x 的高阶无穷小，y(0)= ，则 y(1)等于 ( )解：由全微分方程的条件，有即 x22xy f (x) f (x)y因而 f (x)是初值问题y x 2[xy(x y) f(x)y] y 2xy, 亦即 f (x) f (x) x 2.2yx的解，从而解得0, y x 0 12.22[ f (x) xy], x 2sin x cosx)dy 0.(A)2 .(B) .(C)e 4 .(D) e 4 .分析：由可微定义，得微分方程 y y. 分离变量得21x1y dx2,两边同时积分得 ln y arctan x C ,即 y Ce arctanx.y1x代入初始条件y(0) ，得 C= ，于是 y(x) earctanx,由此， y(1) e 4.应选 ( D)二、二阶微分方程的可降阶类型5( . 00,3分) 微分方程 x y 3y 0的通解为分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令 y =P( x)，则 y =P ，方程可化为一阶线性方程xP 3P 0,标准形式为 P+3P=0，两边乘 x 3得 (Px 3) =0. 通解为 y P C 30 .xx再积分得所求通解为 y C 22C 1.x216 .( 02,3分)微分方程 yy y 2=0满足初始条件y x 01， y x 0 2的特解是分析：这是二阶的可降阶微分方程 .令 y P(y)(以 y 为自变量 )，则 y dy dP P dP.dx dx dy代入方程得 yP dP +P 2=0，即 y dP+P=0(或 P=0, ，但其不满足初始条件y x 0 1)dy dy2分离变量得 dP dy 0,PyC积分得 ln P +ln y =C ，即 P= 1(P=0对应 C 1=0)； y11由 x 0时 y 1， P=y , 得 C 1 ，于是221 y P ,2 ydy dx, 积分得 y x C 2 2y .又由 y x 0 1 得 C 2. 1，所求特解为 y 1 x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7 .( 01,3分)设 y e x(C 1sin xC 2cosx)(C 1,C 2为任意常数 )为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为 ___ .r1，r2 1 i，从而得知特征方程为分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是22(r r1 )(r r2) r (r1 r2 )r r1r2 r 2r 2 0.由此，所求微分方程为y 2y 2y 0.分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型(只要是二阶)，由通解y e x(C1sinx C2 cosx)求得y e x[( C1 C2 )sin x (C1 C2)cos x], y e x( 2C2 sin x 2C1 cos x),从这三个式子消去C1与C2,得y 2y 2y 0.(二)求解二阶线性常系数非齐次方程9.( 07,4分) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y=分析：特征方程24 3 ( 1)( 3) 0的根为1, 3.非齐次项 e x, 2不是特征根，非齐次方程有特解y Ae2x.代入方程得(4A 8A 3A)e2x2e2x A 2.因此，通解为y C1e x C2e3x2e2x..10.(10,10分 )求微分方程y 3y 2y 2xe x的通解.分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.1由相应的特征方程2 3 2 0, 得特征根 1 1, 2 2 相应的齐次方程的通解为y C1e x C2e2x.2非齐次项 f ( x) 2xe x , 1是单特征根，故设原方程的特解xy x(ax b)e .代入原方程得ax2 (4a b)x 2a 2b 3[ax2 (2a b)x b] 2(ax2 bx) 2x,即 2ax 2a b 2x, a 1,b 2.3原方程的通解为y C1e x C2e2x x(x 2)e x,其中 C1，C2为两个任意常数.04， 2, 4分)微分方程y y x2 1 sin x的特解形式可设为( )22(A)y ax bx c x(Asin x B cosx).(B)y x(ax bx c Asin x B cos x).22(C)y ax bx c Asin x.(D )y ax bx c Acosx.分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是2 1 0,特征根为i .y y x2 1L()与 1 y y sin xL( 2)方程 (1) 有特解 y ax2 bx c,方程(2)的非齐次项 f (x) e x sin x sin x( 0, 1，i 是特征根), 它有特解y x(Asin x B cosx).y ax2 bx c x(Asin x Bbcosx).应选 (A).(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程12.(04, 4分 )欧拉方程x2 d2y 4x dy 2y 0(x 0)的通解为dx dx分析：建立 y 对 t 的导数与y 对 x 的导数之间的关系 .222dy dy dx dyd y d y 2 dy 2 d y dy( sin x), 2 2 sin t cost (1 x ) 2 x .dt dx dt dx dt dx dx dx dxd 2y于是原方程化为 2 y 0,其通解为 y C 1 cost C 2sint.dt 2 回到 x 为自变量得 y C 1x C 2 1 x 2.x由 y (0) C 2 1 C 2 1.y(0) C 1x 02 C 1 2.1 x 2因此特解为 y 2x 1 x 2 .四、高于二阶的线性常系数齐次方程13.( 08， 4分)在下列微分方程中，以 y C 1e xC 2cos2x C 3 sin 2x(C 1, C 2, C 3为任意常数)为通解的是()(A)y y 4y 4y 0.(B)y y 4y 4y 0. (C)y y 4y 4y 0.(D ) y y 4y 4y 0.分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是： 1, 2i(i 1)，对应的特征方程是 ( 1)( 2i)( 2i) ( 1)( 24) 3244 0,因此所求的微分方程是 y y 4y 4y 0，选(D).(00,2,3分 ) 具有特解 y 1 e x , y 2 2xe x ,y 3 3e x的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(A)y y y y 0.(B)y y y y 0. (C)y 6y 11y 6y 0.(D)y2y y 2y 0.分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为 r 1 r 21,r 3 1，从而特征方程为(1)求导数 f (x)； (2)证明：当 x 0时 ,成立不等式 e分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量22d y dy d y dy 2 (4 1) 2y 0,即 2 3 2y xe t(t l n x)，将它化成常系数的情形： 0.1, 2 2, 通解为 yC 1e t C 2e 2t. y C 1 x C 22,其中C 1,C 2为任意常数(05,2,12分 )用变量代换 xcost (0 t)化简微分方程 (1 x 2)y xy y 0，并求其(r 1)2(r 1) 0,即r3r 2r 1 0,由此，微分方程为y y y y 0.应选(D).五、求解含变限积分的方程00, 2,8分) 函数y=f(x)在0, 上可导，f (0) 1，且满足等式1xf (x) f (x) 1 f (t)dt 0，x10f(x) 1.求解与证明()首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分： 1x(x 1)f (x) (x 1)f(x) 0f (t)dt 0,(x 1)f (x)(x 2)f (x)0.在原方程中令变限 x 0得 f (0) f (0) 0,由 f (0) 1,得 f (0) 1.现降阶：令 u f (x),则有 u x 2u 0，解此一阶线性方程得x1x e f (x) u C eu 0x1 x e 由 f (0) 1,得 C 1,于是 f (x) e. x1xe (2)方法 1 用单调性 . 由f (x) e0(x 0), f (x)单调减 , f(x) f(0) 1(x );x1x 又设 (x) f (x) e x ,则 (x) f (x) e x x e x0(x 0), (x)单调增，因此 (x)x1 (0) 0(x 0),即 f(x) e x(x 0) . 综上所述，当 x 0时 ,e x f (x) 1.方法 2 用积分比较定理 . 由牛顿 -莱布尼茨公式，有六、应用问题 (一)按导数的几何应用列方程练习题 1 .( 96,1,7分)设对任意 x 0,曲线 y f(x)上点 (x, f(x))处的切线在 y 轴上的截距等于1 xf (t)dt,求 f ( x)的一般表达式 . x 0解：曲线 y f (x)上点 (x, f ( x))处的切线方程为 Y f ( x) f ( x)( X x).令 X 0得 y 轴上的截距 Y f(x) xf (x).由题意 1x1f(t)dt f(x) xf (x) x 0x, 得x 2f(t)dt xf (x) x 2f (x)( ) 恒等式两边求导，得 f (x) f (x) xf (x) 2xf (x) x 2f ( x)，即 xf (x) f (x) 0 在 ( )式中令 x 0得 0 0,自然成立 . 故不必再加附加条件. 就是说f (x)是微分方程 xy y 0的通解 . 令 y P(x),则 y P ,解 xP P 0,得 y P C 1.xf ( x) f (0) x0 f (t)dt, f(x) t 由于 0 e t1从而有 e x e t (t 0),有 0 f (x) 1. 0t e t d t 1 dt . 1 x t e t dt x e (x再积分得 y f ( x) C1 ln x C2.12( . 98,2,8分) 设 y y(x)是一向上凸的连续曲线 ,其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1,1 y 2y P tan( x).(二 )按定积分几何应用列方程3.(97,2,8分 )设曲线 L 的极坐标方程为 r r( ), M (r, )为 L 上任一点 ,M 0(2,0)为 L 上一定点 ,若极径 OM 0,OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上 M 0、 M 两点间弧长值的一半，求曲线L 的方程 .且此曲线上点 (0,1)处的切线方程为 y x 1, 求该曲线的方程，并求函数 y y( x)的极值 .解：由题设和曲率公式有y( x)向上凸 , y 0, y令 y P(x)，则 y P ,方程化为 y) ,化简得 y 12. yP1 P 21， dP 分离变量得 2 dx,积分得C 1.y (0) 1即 P(0) 1,代入可得 C 1，故再积分得 y ln cos( x) C 2 又由题设可知y(0)1,代入确定 C 2 11ln 2，1y ln cos( x) 1 ln 2x , 即当 4 2,3时 ,cos( x) 0, 而3 或时, 44cos( x)y ln cos( 40,ln cos( x)1 x) 12 ln2( 4 x34 )显然，当 x 时 ,ln cos( x) 4410, y 取最大值 1 1ln 2,显然 y 在 (3)，没有极小值解：由已知条件得r 2d r 2 r 2d ， 2020 两边对求导 ,，得 r 2 r 2 r (隐式微分方程)2 ,解出 r r r 2 1，从而， L 的直角坐标方程为 x m 3y 2.1 arccos r 分离变量，得 dr r r 2 dr r r 2 1 d 1 1 d( )1 r (r 1)2 arccos 1 , 或 r dr r r 2 1d tarccos 1(r sect ) 两边积分，得代入初始条件 r(0) 2，得 1arccos 2 1arccos r3L 的极坐标方程为 1 r cos( ) 31 co s 3si。

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《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1．求()x
f x e
-=在R 上的一个原函数。

2．已知2
2
2
(sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。

3．设
2
()f x dx x
C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰ 。

4．
计算
3。

5。

计算。

6．计算
71
(2)
dx x x +⎰。

7。

计算。

8．计算
21
13sin dx x +⎰。

9。

计算172
2
1sin cos dx x x
⎰。

10．计算
()
2
2
sin cos x dx x x x +⎰。

11．计算
()()2
ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++⎰。

12．设()arcsin xf x dx x C =+⎰
，则
1
()
dx f x =⎰。

13．设2
2
2(1)ln 2
x f x x -=-，且(())ln f x x ϕ=，求()x dx ϕ⎰。

14．计算arctan 23/2(1)x xe dx x +⎰。

15．
计算x。

16．计算
1sin 22sin dx x x +⎰。

17．计算ln t tdt α
⎰。

18．计算()ln n x dx ⎰。

《高等数学》考研辅导练习5 定积分
1．设02
()2
l kx x f x l c x l ⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩，求0
()()x x f t dt Φ=⎰。

2．设1
()2()f x x f x dx =+⎰
，则()f x = 。

3．计算
{}2
23
min 2,x dx -⎰。

4．已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则
2
2cos 1()x
dx f x π
π-+⎰＝。

5．计算
101020
sin cos 4sin cos x x dx x x
π
---⎰
，并求20sin cos sin cos m m
n n x x
dx a x x π---⎰，这里的a 为任意的常数，
,m n 为正整数。

6．
计算
2
⎰。

7．计算2
(sin )
(cos )(sin )
f x dx f x f x π
+⎰。

8．计算2008
2
200820080sin sin cos x
dx x x π+⎰。

9．计算20
ln tan tdt π⎰。

10．计算
2cos cos 33
()x x e e dx ππ
---⎰。

11．计算131
1
x x
dx e e +∞
+-+⎰。

12．已知()()f x g x '=，()g x 连续，()(0)2f f π==，求
()20
()()11g x f x dx x x π
⎛⎫
- ⎪ ⎪++⎝⎭
⎰。

13．由
2(1)
()x x f t dt x +=⎰
，求连续函数()f x 在2x =处的值。

14．设2
2
()x t F x e dt -=⎰
，则3
22()x F x dx -'=⎰ 。

15．求定积分
2
2
sin arctan x x e dx π
π
-
⎰的值。

16．计算2
sin 1cos x x
dx x
π+⎰。

17．设()22
32102()011x x x x x f x xe x e ⎧+-≤<⎪⎪
=⎨≤≤⎪⎪+⎩
，求1
()()x x f t dt -Φ=⎰。

18．已知()f x
满足方程1
20
()3()f x x f x dx =，求()f x 。

19．设函数()f x 连续，满足()0
3()1()2x
f t dt f x +=+⎰，求(0)f '。

20．计算
()
2
21x
dx x +∞
+⎰。

21．
4
20
32x x dx -+=⎰。

22．设函数()f x 连续，证明
()
()()()x u
x
f t dt du x u f u du =-⎰⎰
⎰。

23．计算
2
(1)f x dx -⎰
，1
01
()101x
x x f x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩。

24．由
2
2
1y
x t e dt +=⎰
⎰
，确定y 为x 的函数，求y '。

25．已知11()1()(0)x
f x f t dt x x
=+>⎰，求()f x 。

26．设()f x 连续，0
()1cos x
tf x t dt x -=-⎰
，求20
()f x dx π
⎰的值。

27．证明：（1）10
()()(())b
a
f x dx b a f a b a x dx =-+-⎰
⎰；
（2）
220
(cos )4(cos )f x dx f x dx π
π
=⎰
⎰；
（3）22
00
1
cos sin cos 2
n
n
n n
x xdx xdx ππ
=⎰⎰
，n 为正整数。

《高等数学》考研辅导练习6 常微分方程
1．三个线性无关函数123(),(),()y x y x y x 均为方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则方程的通解可表示为：。

2．方程()()y p x y Q x '+=有两个解12(),()y x y x ，则方程的通解为：。

3． 212x x x
y C e C e xe -=++是二阶常系数线性微分方程的通解。

4．求2
1sin y y x x ''+=++的特解的估计表示形式可写为。

5． ()y y x =由方程2
0()()ln(1)t x x t y y t u du =⎧
⎪
⎨==+⎪⎩
⎰确定，()x x t =是初值问题 020
|0x
t dx te dt
x -=⎧-=⎪⎨⎪=⎩
的解，求22d y dx 。

6．求微分方程2
6(9)1y y a y ''''''+++=的通解(0)a >。

7．已知0
()sin ()()x
f x x x t f t dt =-
-⎰
，求()f x 。

8．求323x y y y e -'''+-=的通解。

9． f 具有二阶连续的导数，(0)1,(0)0f f '==，且
()()2()()()0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=
为一全微分方程，求()f x ，并求此方程的通解。

10．求
3
1
dy dx x yx =+的通解。

11．求微分方程2
()0yy y '''+=满足初始条件001
|1,|2
x x y y =='==
的特解。

12．有一个平底容器，其内侧壁是由曲线()(0)x y y ϕ=≥绕y 轴旋转而成的旋转曲面。

容器的底面半径为2米，根据设计要求，当以每分3立方米的数率想容器内注入液体时，液面的面积将以每分π平方米的数率均匀扩大（假设注入液体前容器内无液体）（1）根据t 时刻液面的面积写出t 与()y ϕ之间的关系式；（2）求曲线()
(0)x y y ϕ=≥的方程。

13．22
2420(0)d y dy
x x y x dx dx
++=>的通解为。

14．解方程1
sin x y y xe x x
'''=
+。

15．解方程2
12y y y
'+''=。

16．解方程2
2
ln yy y y y '''-=。