高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)
不定积分的例题分析及解法
不定积分的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。
对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ϕ=，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将⎰υud 转化成⎰du υ，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。
对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(x f 为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，)(x f 为无理函数时，常可用换元积分法。
应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如dx x x ⎰sin ；dx e x ⎰-2；dx x ⎰ln 1；⎰-x k dx 22sin 1（其中10<<k ）等。
这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。
一、疑难分析（一）关于原函数与不定积分概念的几点说明（1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。
对于定义在某区间上的函数)(x f ，若存在函数)(x F ，使得该区间上每一点x 处都有)()(x f x F ='，则称)(x F 是)(x f 在该区间上的原函数，而表达式C C x F ()(+为任意常数)称为)(x f 的不定积分。
（2）)(x f 的原函数若存在，则原函数有无限多个，但任意两个原函数之间相差某个常数，因此求)(x f 的不定积分⎰dx x f )(时，只需求出)(x f 的一个原函数)(x F ，再加上一个任意常数C 即可，即⎰+=C x F dx x f )()(。
（3）原函数)(x F 与不定积分⎰dx x f )(是个体与全体的关系，)(x F 只是)(x f 的某个原函数，而⎰dx x f )(是)(x f 的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数C 后，即C x F +)(才能成为)(x f 的不定积分，例如3,21,1222-++x x x 都是x 2的原函数，但都不是x 2的不定积分，只有C x +2才是x 2的不定积分（其中C 是任意常数）。
关于高等数学不定积分例题思路和答案超全
第4章不定积分课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)⎰思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C--==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C--=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx+⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰ 思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰ 思路:注意到222221111111x x x x x+-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 ★(8)23(1dx x -+⎰ 思路:分项积分。
不定积分例题与答案
求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的荃本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和荃本积分公式，査接求出不定积分!★(1),旅思路：被积函敌|:,由积分表中的公式(2)可解。
K 77T 八★⑶思路:根裾不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：j<2x +.K 2Wt = j2,rfA + f.rdv = -L.+lx i +C ★⑷J 仮(.丫-3皿 思酪:根拐不定积分的线性性质，将被积函薮分为两项，分别积分。
J7xU-3)rfv = |x-dv-3jA"dv = ^.v* -2.V-+C★★⑸『竺上竺旦厶息」廉:观察到3xJ3.E=w+ 1后，根拐不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
丿 ~-V+ 1 ~~.C+ 1~"*A x 2+11 ,根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：JI ' 心=j rfv-j ]:心=A -arctan .v+C.注.容島看出(5)(6)两題的解SI 思绝是一致的• 一般地，如果被积函数为一个有理的假分丈.谨常先将其分解为一个荃或加上或 减去一个真分丈的形丈.再分项积分.★(7) |(三二+W 心思路:分项积分。
4-~-r^ = J 'z£v -|-^<tv + 3|x 'rfv-4j.t u rfv★(8)上3 2 思路:分项积分。
■ J< ] 3 - F k£v = 3j J , dx-2jdr = 3arctan .v-2arcsinx + C.★★⑺j 后眾小思路:皿着看到皿頁=严—“直接积分。
解：J 厶斥曲Y = =加+ U息话:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
X ，.思路:注意到r_ JI + x* x l+x 2 l+.r 1+x 2 解: ★⑵ =x + arctan .v + C解：严小+认=★★(10) I忌路:裂项分项积分。
不定积分的典型例题50题答案
例1． 解法1).12)(12(1224+-++=+x x x x x而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以)121121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++ .)]12arctan()12[arctan(211)12()12211)12()12(21)21)22(121)22(1[212222c x x x x d x x d dx x dx x +++-=+++++--=++++-=⎰⎰⎰⎰解法2dxx x x x xx x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(1122242.arctan 21)12arctan(211212242c x x dx x xx x dx +++=++++=⎰⎰ 解法3⎰⎰⎰+-=++=++≠22222421)1(11111,0xx x x d dx x x x dx x x x 当 c x x xx x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1()1(22,2221arctan 21lim 20π-=-+→x x x ,2221arctan 21lim 20π=--→x x x 由拼接法可有.02221arctan 2100,2221arctan 21112242⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--=>++-=++⎰x cx x x x c x x dx x x ππ 例2.解 将被积函数化为简单的部分分式(*)1)1(1)1()1(222223⋅⋅⋅⋅⋅++++++=+++x DCx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .211)1(2)1(23=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为.2.2426)1()2(2)1(3lim]12[lim )1()1()1(2[lim 22322123122231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.21-=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得.1,1-=⇒+=C C A 故有.arctan 21)1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dxx DCx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++⎰⎰例3.解 令 ,2x u =再用部分分式，則⎰⎰++=++))(1(21)()1(22244u u u dudx x x x x,11)()1(1222+++++=++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令,1-→u 得.21-=B 两边乘以,u 再令,+∞→u 得.21,0-=⇒++=C C B A 令.21,1-=⇒=D u.arctan 41)1()1(ln 81arctan 41)1ln(81)1ln(41ln 21arctan 41)1ln(811ln 41ln 21]12121)1(211[21))(1(21)()1(2422824222222244c x x x x c x x x x c u u u u du u u u u u u u dudx x x x x +-++=+-+-+-=+-+-+-=+--++-=++=++∴⎰⎰⎰ 例4828872882815)1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+)1(])1(111[818288++-+=⎰x d x x .)1(81)1ln(8188c x x ++++= 例5. 解 令 ,2tant x =则=-++⎰dx xx xsin cos 1cos 1 .2)sin 1ln(21arctan )1ln(211ln )1111()1)(1(21212111111222222222c x x ct t t dtt t t dtt t dx t t t t t t t ++--=++++--=+++--=-+=+⋅+-+-++-+⎰⎰⎰ 例6dx x x122+⎰⎰+=22421dx x x.1ln 811)12(81))21(ln(161)21(41)21(21)21()21()21(212222222222222c x x x x x c u u u u du u x d x +++-++=+-+--=-=+-+=⎰⎰分部积分例7.25342)2()1(25232121232c x x x dxx x x dx x x ++-=+-=-⎰⎰-分项例8dx x x dx x ]1111[2111224++-=-⎰⎰ .arctan 2111ln 41c x x x ++-+= 例9．dx x x dx x x ⎰⎰+-+=+1111.134132111c x x x dx xdx x ++-+=+-+=⎰⎰例10．⎰⎰⎰---=-+=+)24(cos )24()2cos(1sin 12x x d x dxx dx πππ.)24tan(c x +--=π 例 11c t t dt x xdx tx +=-=-⎰⎰=arcsin 11212⎪⎩⎪⎨⎧-<+>+-=.1,1arcsin 1,1arcsin x c x x c x 例12．解 .2cos 41)2sin 211(c x x dx x J I ++=-=+⎰dx x x x x x dxxx x x x J I ⎰⎰++-=++-=-222)sin (cos )2sin 211)(sin (cos sin cos )2sin 211)(sin (cos.)12ln(sin 412sin 412sin 12cos )2sin 211(c x x dx x xx +++=++=⎰解上面的联立方程可得出.,J I例13． ).(,)1ln(31)1ln(1111111,)21(332arctan 332.1,1111111332322333233略从而可解出可求出令I c x x dx x x dx x dx x x x x dx x x J I c x J I dx x x J dx x x dx x x dx x x x dx x I ++-+=+-+=+-+-=+-=-+-=++=+-+-=+-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例14．)1(12arcsin 12arcsin++=+⎰⎰x d xxdx x x .212arcsin )1(112arcsin1c x xxx dx x x x x ++++=+++=⎰）（分部积分例15．解 令,)21(12,211,12222dt t t t dx t t x t x x x +++=+-=⇒+-=++ .)1212(231212ln 231ln 2])12(23)12(231[2)21(12222222c x x x x x x x x x dt t t t dt t t t t I ++++++++++-+++=+-+-=+++=⎰⎰例16．解 .sin 2cos 5]cos 2sin 5[x x x x +='- 被积函数的分子是x x sin ,cos 的线性组合，故有.1,2,cos )25(sin )25()cos 2sin 5()cos 2sin 5(cos sin 12==⇒-++='-+-=+B A x A B x B A x x B x x A x x 于是.cos 2sin 5ln 2cos 2sin 5)cos 2sin 5()cos 2sin 5(2cos 2sin 5cos sin 12c x x x dx xx x x x x dx x x x x +-+=-'-+-=-+⎰⎰ 例17．解 ⎰⎰⎰-=-+-=+=4cos 13)(cos sin 3sin 2cos 22t dtx x d x xdx t x .cos 2cos 2ln 41]2121[41c xx dt t t ++-=+--=⎰ 例18．⎰⎰+=+x xdxx dx 222cos )2cos 1(cos 21 .3tan arctan 313arctan 313tan 3)(tan 2cos 1)(tan 222c x c t t dtx x d xx d +=+=+=+=+⎰⎰⎰ 例19．.)1ln(18189623266332366c x x x x x dx xx x t x +++-+-=⋅⋅⋅=+-=⎰例20．.15arctan 21515ln153215c x xx x x x dx x xx t x x+-------+-=⋅⋅⋅=---=--⎰例21．.]1ln [arctan 2112sin 22c x x x x x dx tx t +-++=⋅⋅⋅=-+=≤⎰π 例22．,11ln 21211222tan 232c x x x x x dxx tx t +++-+-=⋅⋅⋅=+=<⎰π例23．⋅⋅⋅=+-=⎰t e x x xe e dx232换元后有理函数积分例24．.1arcsin arcsin 2c x x x xdx +-+=⎰分部积分例25．.)(c e dx e e dx exxx e xe xe +==⎰⎰+例26．”）妙用“1(cos sin 1ln cos sin 1)cos sin 1(cos sin 12cos c x x x x x x d x x xdx ++=++=+⎰⎰例27..)13()(2dx e x x e x x x x +++⎰.])[(32])[()()13(])[(23222322c e x x e x x d e x x e x x e x x x x x e ++=++=∴++='+⎰原式例28..11)1(arctan .)1(arctan 2111arctan22x x c x dx x x +-='+-=+⎰例29.=++-=+⎰⎰xb x a x b x a d a b dxx b x a x22222222222222sin cos )sin cos (1sin cos 2sin .2sin )()sin cos (.sin cos 2222222222222x a b x b x a c x b x a ab -='+++-例30.)ln ()ln (1)ln (ln 1)ln (ln 12222x xx d xx x dxxx x x xdx x x x ---=--=--⎰⎰⎰ .ln ln 1c x x xc xx x +-=+-=例31．.1212ln2211)1(22sin 22c xx xx xdxt x +---+-=-+⎰=例32．.111)1(22tan 2323c x x dx x x tx ++++=+=⎰例33．.313222sec 0422c x a x a dx x a x t a x a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=>⎰例34dt tt t dt t t x dxtx ⎰⎰⎰--=+=-+=22sin 2cos 1cos cos cos 1cos 11.arcsin 112c x x x x ++-+-=例35．.ln 212ln 141)1(2)1()2(72717c x x dt t ttx x dxtx +++-=-⋅+=+⎰⎰=例36．.13)12(2)431(]43)21[()1(2232121232232c xx x t tdt x dxx x dx tx ++++=+-=++=++⎰⎰⎰=+例37．.22)(212)2(2222c e x x dx e x x x e x dx x e x x xx x ++-='+++-=+⎰⎰ 例38．.)2ln(201ln 21)2()2(101010910c x x x x dx x x x dx ++-=+=+⎰⎰ 例39．.1ln 72ln )2()1()1()1(71076777c x x x x dx x x x x dx x ++-=+-=+-⎰⎰ 例40．.)1ln (1)()111(111112c x x nx d x n dx x x x x dx x n n n n n n n n n ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰-- 例41．.)1(121003dx x x ⎰-+9899111003)1(493)1(1331)1(12----=-+=-⎰x x dx x x u x例51． 求,))((dx x b a x ⎰-- 其中.b a < 解 由配方得2,)2())((22a b R b a x R x b a x -=+--=--其中，令,2b a u x ++=则有原式 .))((4)(2)(2arcsin )(41cos sin 22)2sin 412(22cos 1cos 2222222sin 22c x b a x b a x ab b a x a bc t t R t R c t t R dt t R tdt R du u R t R u +--+-+-+--=++=++=+==-=⎰⎰⎰= 例52．设)(x f 有一个原函数,sin xx 求.)(⎰'dx x f x 解 用分部积分法有 (*))()()()(⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=='⎰⎰⎰dxx f x xf x xdf dx x f x.sin cos ]sin [])([)(sin )(211xx x x c x x dx x f x f c x x dx x f -='+='=⇒+=⎰⎰ 代入（*）有 1sin sin cos )(c x x x x x dx x f x ---='⎰， 即 .sin 2cos )(c x x x dx x f x +-='⎰。
不定积分经典例题
不定积分经典例题1. 计算不定积分：$\int \frac{1}{x^2} dx$解：该不定积分可以通过直接计算得到。
由于$\frac{1}{x^2}$ 的原函数是 $-\frac{1}{x}$，因此$$\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x} + C$$其中 $C$ 是常数。
2. 计算不定积分：$\int (2x+3)dx$解：使用不定积分的线性性质，可以将被积函数分解成两个分别可求积的部分。
所以$$\int (2x+3)dx = \int 2x dx + \int 3 dx = x^2 + 3x + C$$其中 $C$ 是常数。
3. 计算不定积分：$\int e^x \sin(x) dx$解：可以通过分部积分法来计算该不定积分。
设 $u = e^x$，$dv = \sin(x) dx$，则 $du = e^x dx$，$v = -\cos(x)$。
根据分部积分公式，$$\int e^x \sin(x) dx = -e^x \cos(x) - \int -e^x \cos(x) dx$$然后再次使用分部积分法，可得$$\int e^x \sin(x) dx = -e^x \cos(x) + e^x \sin(x) - \int e^x \sin(x) dx$$将右侧的不定积分移到左侧，可以得到$$2 \int e^x \sin(x) dx = -e^x \cos(x) + e^x \sin(x)$$因此$$\int e^x \sin(x) dx = \frac{-e^x \cos(x) + e^x \sin(x)}{2} + C$$其中 $C$ 是常数。
这只是一些经典的不定积分例题，当然还有很多其他的例题。
希望这些例题能够帮助你理解不定积分的计算方法。
不定积分100道例题及解答
不定积分100道例题及解答不定积分100道例题及解答1. 问题：计算不定积分∫(x^2 + 2x + 1) dx解答：根据不定积分的基本性质，我们可以逐个对各项进行积分。
对于x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) =x^3/3。
对于2x，应用常数倍法则得到的积分结果为 x^2。
对于常数项1，则积分结果是x。
将这三个结果相加，即得到最终的积分结果为x^3/3 + x^2 + x + C，其中C为常数项。
2. 问题：计算不定积分∫(2e^x + 3x^2) dx解答：对于2e^x，应用指数函数的基本积分法则得到 2e^x。
对于3x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) = x^3/3。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 2e^x + x^3/3 + C，其中C为常数项。
3. 问题：计算不定积分∫(sin(x) + cos(x)) dx解答：对于sin(x)，应用三角函数的基本积分法则得到 -cos(x)。
对于cos(x)，同样应用三角函数的基本积分法则得到 sin(x)。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 -cos(x) + sin(x) + C，其中C为常数项。
4. 问题：计算不定积分∫(1/x^2) dx解答：对于1/x^2，可以应用倒数函数的基本积分法则得到 -1/x。
因此，最终的积分结果为 -1/x + C，其中C为常数项。
5. 问题：计算不定积分∫(ln(x) + 1/x) dx解答：对于ln(x)，应用对数函数的基本积分法则得到 xln(x) - x。
对于1/x，同样应用倒数函数的基本积分法则得到 ln(x)。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 xln(x) - x + ln(x) + C，其中C为常数项。
6. 问题：计算不定积分∫(e^2x + x^3) dx解答：对于e^2x，应用指数函数的基本积分法则得到(1/2)e^2x。
不定积分的例题分析及解法
不定积分的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式,换元积分法和分部积分法。
对于第一换元积分法,要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ϕ=，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将⎰υud 转化成⎰du υ,这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。
对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(x f 为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分,)(x f 为无理函数时,常可用换元积分法。
应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强,而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来"的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如dx x x ⎰sin ；dx e x ⎰-2；dx x ⎰ln 1;⎰-x k dx 22sin 1（其中10<<k ）等。
这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展,在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。
一、疑难分析（一）关于原函数与不定积分概念的几点说明(1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系.对于定义在某区间上的函数)(x f ，若存在函数)(x F ，使得该区间上每一点x 处都有)()(x f x F ='，则称)(x F 是)(x f 在该区间上的原函数，而表达式C C x F ()(+为任意常数)称为)(x f 的不定积分。
(2）)(x f 的原函数若存在，则原函数有无限多个,但任意两个原函数之间相差某个常数，因此求)(x f 的不定积分⎰dx x f )(时，只需求出)(x f 的一个原函数)(x F ，再加上一个任意常数C 即可，即⎰+=C x F dx x f )()(。
（3）原函数)(x F 与不定积分⎰dx x f )(是个体与全体的关系,)(x F 只是)(x f 的某个原函数，而⎰dx x f )(是)(x f 的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数C 后，即C x F +)(才能成为)(x f 的不定积分,例如3,21,1222-++x x x 都是x 2的原函数，但都不是x 2的不定积分，只有C x +2才是x 2的不定积分（其中C 是任意常数）。
不定积分例题(含过程及解析)
例题1dx e x x ⎰+)12( ce e x dxe e x x d e e x de x x x xx x x x+-+=•-+=+-+=+=⎰⎰⎰2)12(2)12()12()12()12( 根据分部积分法⎰⎰-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。
（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。
例题2dx xe x ⎰-ce xe dxe e xe dx e xe xde x x x x x x x++-=•+-=--=-=-------⎰⎰⎰1)(x e -是一个复合函数，其导数应为1-•-x e例题3⎰xdx arctanc x x x xd xx x dx x x x x xxd x x ++-=++-=+-•=-•=⎰⎰⎰)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。
其它的反三角导数是arcsinx ’=211x -、arccosx ’=211x --、arccotx ’=211x +-例题4dx x x ⎰2cos 2sin|cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d xdx xx dx xx x -=-===⎰⎰⎰这里用到二倍角公式，如下：Sin2x=2sinxcosxCos2x=2cos 2x-1=1-sin 2x-1例题5dx x x ⎰++2cos 1sin 12c x x x xdx dx dx x dx xx +-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰21tan 21sec 121cos 1cos 2cos 22222 这里除了用到二倍角公式，还会用到sin 、cos 、sec 、csc 间的相互转化，sinx 和cscx 互为倒数、cosx 和secx 互为倒数。
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第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。
解：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰★★(9)思路=？11172488x x++==，直接积分。
解：715888.15x dx x C ==+⎰⎰★★(10)221(1)dx x x +⎰思路:裂项分项积分。
解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C xx x x x x x =-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★(11)211x xe dx e --⎰ 解：21(1)(1)(1).11x x x x xxx e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰ ★★(12)3x xe dx ⎰思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。
显然33xxxe e =（）。
解：333.ln(3)xxxxe e dx e dx C e ==+⎰⎰（）（） ★★(13)2cot xdx ⎰思路:应用三角恒等式“22cot csc 1x x =-”。
解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰★★(14)23523x xx dx ⋅-⋅⎰思路:被积函数235222533x x xx⋅-⋅=-（），积分没困难。
解：2()2352232525.33ln 2ln 3xxxx x dx dx x C ⋅-⋅=-=-+-⎰⎰（（）） ★★(15)2cos 2x dx ⎰思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。
解：21cos 11cossin .2222x x d dx x x C +==++⎰⎰ ★★(16)11cos 2dx x +⎰思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。
解：221111sec tan .1cos 2222cos dx dx xdx x C x x ===++⎰⎰⎰★(17)cos 2cos sin xdx x x -⎰思路:不难，关键知道“22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。
解：cos 2(cos sin )sin cos .cos sin xdx x x dx x x C x x =+=-+-⎰⎰★(18)22cos 2cos sin xdx x x ⋅⎰思路:同上题方法，应用“22cos 2cos sin x x x =-”，分项积分。
解：22222222cos 2cos sin 11cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x x x x x x x-==-⋅⋅⎰⎰⎰⎰ 22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+⎰⎰★★(19)dx +⎰思路:注意到被积函数==，应用公式(5)即可。
解：22arcsin .dx x C ==+⎰★★(20)21cos 1cos 2xdx x ++⎰思路:注意到被积函数 22221cos 1cos 11sec 1cos 2222cos x x x x x ++==++，则积分易得。
解：221cos 11tan sec .1cos 2222x x x dx xdx dx C x ++=+=++⎰⎰⎰ ★2、设()arccos xf x dx x C =+⎰，求()f x 。
知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。
思路分析：直接利用不定积分的性质1：[()]()df x dx f x dx=⎰即可。
解：等式两边对x 求导数得：()()xf x f x =∴=★3、设()f x 的导函数为sin x ，求()f x 的原函数全体。
知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。
思路分析：连续两次求不定积分即可。
解：由题意可知，1()sin cos f x xdx x C ==-+⎰所以()f x 的原函数全体为：112cos sin x C dx x C x C -+=-++⎰（）。
★4、证明函数21,2x x e e shx 和xe chx 都是s x e chx hx -的原函数知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：只需验证即可。
解：2x x e e chx shx =-Q，而22[][][]x x x x d d de e shx e chx e dx dx dx===1()2 ★5、一曲线通过点2(,3)e，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。
知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。
解：设曲线方程为()y f x =，由题意可知：1[()]d f x dx x=，()ln ||f x x C ∴=+； 又点2(,3)e在曲线上，适合方程，有23ln(),1e C C =+∴=，所以曲线的方程为()ln || 1.f x x =+★★6、一物体由静止开始运动，经t 秒后的速度是23(/)tm s ，问：（1） 在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ （2） 物体走完360米需要多少时间？知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。
思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。
解：设物体的位移方程为：()y f t =，则由速度和位移的关系可得：23[()]3()f t t f t t C =⇒=+ddt， 又因为物体是由静止开始运动的，3(0)0,0,()f C f t t ∴=∴=∴=。
(1)3秒后物体离开出发点的距离为:3(3)327f ==米；(2)令3360t t =⇒=秒。
习题4-2★1、填空是下列等式成立。
知识点：练习简单的凑微分。
思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。
解：234111(1)(73);(2)(1);(3)(32);7212dx d x xdx d x x dx d x =-=--=-2222111(4)();(5)(5ln ||);(6)(35ln ||);255112(tan 2);(9)(arctan 3).23cos 219x x dx dx e dx d e d x d x x x dx dx d d x d x x x ===--===+2、求下列不定积分。
知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。
思路分析：审题看看是否需要凑微分。
直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。
此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！★（1）3te dt ⎰思路:凑微分。
解：33311(3)33tt te dt e d t e C ==+⎰⎰ ★(2)3(35)x dx -⎰思路:凑微分。
解：33411(35)(35)(35)(35)520x dx x x x C -=---=--+⎰⎰d ★(3)132dx x -⎰思路:凑微分。
解：1111(32)ln |32|.322322dx d x x C x x =--=--+--⎰⎰ ★(4)⎰思路:凑微分。
解：1233111(53)(53)(53)(53).332x x d x x C -=--=---=--+⎰⎰⎰ ★(5)(sin )xbax edx -⎰思路:凑微分。
解：11(sin )sin ()()cos xx xbb b x ax e dx axd ax b e d ax be C a b a-=-=--+⎰⎰⎰★★(6)思路:如果你能看到td =，凑出d 易解。
解：2C ==+⎰★(7)102tan sec x xdx ⎰思路:凑微分。
解：10210111tansec tan (tan )tan .11x xdx xd x x C ==+⎰⎰ ★★(8)ln ln ln dxx x x ⎰思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。
解：(ln ||)(ln |ln |)ln |ln ln |ln ln ln ln ln ln ln ln dx d x d x x C x x x x x x ===+⎰⎰⎰★★(9)⎰思路:是什么，是什么呢？就是解：tan ln |C ==-+⎰⎰★★(10)sin cos dxx x ⎰思路:凑微分。