高等数学不定积分练习题
2019-20202第一学年年高等数学上册第四场不定积分的思考与练习
（1） x 5dx , （2） 2 x dx , （3） e x1dx ,
（4） (cos x sin x)dx ,
（5）
1
2 x
2
dx ,（6）
2 1 x2
dx ,（7） (ex
3
x
)dx
,（8）
(
s
1 in 2
x
1 cos2
)dx . x
解：（1） x5dx x15 C x6 C .
dx 1
1 d( x ) 2 arctan 2 x C .
2 x2 2 1 ( x )2
2 1 ( x )2
2
2
2
2
2
（12）
dx
dx
=
=
4 - x2 2 1-(x)2
1 d( x ) = arcsin x C .
1-(x)2 2
2
2
2
（13） d(5cosx 2sin x) (2cosx 5sin x)dx ,
dx
1 (2x)2
= x arctan 2x
d(x2 ) 1 4x2
= x arctan 2x 1 1 d(1 4x2 )
4 1 4x2
= x arctan 2x 1 ln(1 4x2 ) C . 4
（3） xe4xdx 1 xde4x 1 xe4x 1 e4xdx
4
4
4
2
2
（5）
x
dx
1
(1
x
2
)
1 2
d(1
x
2
)
1 x2
C .
1 x2
2
（6） xdx 1 d(x2 ) 1 arcsin x2 C .
关于高等数学不定积分例题思路和答案超全
关于高等数学不定积分例题思路和答案超全This manuscript was revised on November 28, 2020第4章 不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx -⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
高等数学之不定积分
tan x sec x tan2 x sec xdx tan x sec x (sec2 x 1) sec xdx tan x sec x sec3xdx sec xdx
I tan x sec x I ln sec x tan x
I
sec3
xdx
1 2
tan x sec x ln sec x tan x
x 1
ex
C；②解原式
2
x
2
x
1
x
4dx
2
x
1
4d
x arctan x C 2
③解原式 sin 2 xd (cos x) (1 cos2 x)d (cos x) 1 cos3 x cos x C
3
（二）第二类换元积分法（有根号，平方和差）
x (t)可导且(t) 0
（1）定理2 f (x)dx f (t)(t)dt g(t)dt G(t) C G 1(x) C
a 1
(6) cos xdx sin x C
(9) sec x tan xdx sec x C (10) csc x cot xdx csc x C
(13)
1 dx arcsin x C 1 x2
3：不定积分的性质
(3)
1 x
dx
ln
x
C
(7) sec2 xdx tan x C
cos t sin 2 cos
t
dt
1 sin 2
t
dt
csc2
tdt
cot
t
C
按x sin t作辅助三角形（如右图）则原式 x C 1 x2
t
1 x2
1
x
三：分部积分法
高等数学第四章不定积分测试题（附答案）
x
2
f ( x) 13. 1 f 2 ( x) dx
15
df ( x) 1 f 2 (x)
arctan f ( x) C .
14. 8 x 8 15
C . 15. x
1 C.
x
二 . 计算题
16．（5 分）计算
dx x2 (1 x2 ) .
【解析】原式
=
1 ( x2
1 1 x2 )dx
17．（5 分）计算
B. xf ( x) f ( x) C
C. xf ( x) f (x) C
D. f (x) xf ( x) C
8.下列式子中正确的是（
）
A ． dF x F x
B ． d dF x F x C
d
C．
f x dx f x dx
dx
D ． d f x dx
9.若 F x G x ， k 为任意常数，则（
dx ，则 f ( x) _______ ．
x
D． 2 f 2x C
12． d[ f 2 (x)] 2 f ( x)cos xdx ，且 f (0) 1，则 f (x) ______ ____．
13.
1
f
( x) f 2(x
dx )
____________ ．
14. x x x dx ___________________．
dx 1 ex .
1 arctan x C .
x
【解析】原式
=
(1
1
ex ex
)
dx
x ln(1 ex ) C .
18．（5 分）计算
x3
x2
dx . 1
【解析】原式 = ( x
高等数学 题不定积分及答案
∫ 82、
e2x 1+ ex
dx
=
ex − ln(1+ ex ) + c
∫ 83、
e3x 1+ ex
dx
=
1 2
e2x
−
ex
+
ln(1 +
ex )
+
c
∫ 84、
ex
1 + e−x
dx
=
arctan ex + c
∫ 85、 ex dx = 2 1+ ex + c
1+ ex
∫ 86、
e2x dx = 1+ ex
2 x+c
∫ 9、
1 1+ x2
dx
=
arctan x + c
∫ 10、
4
1 + x2
dx
=
1 2
arctan
x 2
+
c
∫ 11、
1 1+ 4x2
dx
=
1 2
arctan
2
x
+
c
∫ 12、
x 1+ x2
dx
=
1 2
ln(1
+
x
2
)
+
c
∫ 13、
x2 1+ x2
dx
=
x − arctan x + c
∫ 14、
1 2
sin
2
x
+
c
∫ 33、 cos2 xdx =
x 2
+
1 4
高等数学竞赛题库.不定积分与定积分
高等数学竞赛 不定积分不定积分的概念与性质 1、设)10(tan2cos )(sin22<<+='x x x x f ，求)(x f2、设x x f +='1)(ln ，求)(x f3、已知]1)([)(-'=-'x f x x f ，试求函数)(x f 利用基本积分法求不定积分 一、利用凑微分法求不定积分 1、 求下列不定分; (1)⎰+dx xx x cos sin 12cos （2）⎰++dx x x 5212（3）⎰+xx dx22cos2sin（4）⎰+-dx x x x x 5)sin (cos cos sin2、求下列不定积分（1）⎰+++dx e x x e x x xx )13()(22 （2）⎰+dx x x x )1(ln )ln (23（3）dx xx⎰+211arctan（4）⎰+-dx xe x xx x)cos 1(cos sin cossin 2（5）⎰++dx x x x x x )ln1(ln 2ln 2二、利用第二换元积分法求不定积分1、三角代换求下列积分 （1）⎰-+221)1(xx xdx （2）⎰+2323)1(x dxx （3）dx xx ⎰-229 （4）⎰-+211xdx2、倒代换（即令tx 1=）求下列积分（1）)0(222>+⎰a xa x dx （2）⎰+)2(7x x dx3、指数代换（令,t a x=则tdt adx ⋅=ln 1）（1）⎰++xxxdx 4212 （2）⎰+++6321xxxe e e dx4、利用分部积分法求不定积分（1）⎰+dx e x x 22)1( （2）⎰++xdx x x 2cos )52(3 （3）⎰xdx x arccos 2 （4）⎰dx x x 23)(ln （5）⎰xdx e x cos5、建立下列不定积分的递推公式 （1）⎰+=dx a xI nn )(122（2）⎰=xdx I nn tan有理函数的积分 1、求下列不定积分 （1）⎰+++dx x x x 3422（2）⎰-2)1(x x dx （3）⎰++)1)(21(2x x dx2、求下列不定积分（1）⎰+)2(10xx dx （2）⎰+-dx x xnn 112 （3）⎰-+dx x x 1003)1(12 （4）⎰+xx dx x 3811简单无理函数积分 1、dx xx ⎰+31 2、dx x x x x ⎰+++1)1(三角有理式积分1、⎰+dx x sin 12、⎰dx x3sin1 3、⎰+dx xx sin 1sin4、⎰++dx xx x cos 1sin 5、⎰xdx x x 3cos 2cos 4sin 6、⎰xdx x 65cos sin含有反三角函数的不定积分 1、⎰+xdx xxarctan 122 2、⎰-dx x x 32)1(arccos抽象函数的不定积分1、⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧'''-'dx x f x f x f x f x f 32)]([)()()()( 2、dx x f x x f ⎰')(ln )(ln 分段函数的不定积分 例如：设⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<=1,2;10,1;0,1)(x x x x x x f 求⎰dx x f )(.高等数学竞赛 定积分比较定积分大小1、 比较定积分⎰21ln xdx 和⎰212)(ln dx x 的大小2、 比较定积分⎰+10)1ln(dx x 和⎰+11arctan dx xx 的大小利用积分估值定理解题 一、估值问题1、试估计定积分⎰+4542)sin1(ππdx x 的值2、试估计定积分⎰333arctan xdx x 的值二、不等式证明1、证明不等式：e dx e x≤≤⎰1212、证明不等式：⎰-≤+≤1143812dx x三、求极限1、⎰+∞>-2121limdx xxn n 2、dx ee x xx n n ⎰+∞>-11lim关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题 1、求下列导数： （1）⎰+=3241)(xxtdt x F ；（2）由方程⎰⎰=+yxtdt tt dt e 00221sin 确定的隐函数)(x f y =的导数dxdy2、设)(x f 在),0[+∞上连续且满足⎰+=)1(02)(x x x dt t f ，求)2(f3、设)(x f 为关于x 的连续函数，且满足方程⎰⎰+++=118162098)()(xxC xxdt t f t dt t f ，求)(x f 及常数C .4、求下列极限：（1）xxtx ex tdt te 62sin lim⎰>- （2）252)cos 1(limx dtt xx ⎰-+>-5、设)(x f 是连续函数，且⎰+=1)(2)(dt t f x x f ，求)(x f .6、已知8)()(80='⎰dx x f x f 且0)0(=f ，求⎰2)(dx x f 及)(x f定积分的计算一、分段函数的定积分 1、设;,2,20,)(⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤=l x lc lx kx x f 求⎰=Φxdt t f x 0)()(2、求定积分⎰-222),max(dx x x 二、被积函数带有绝对值符号的积分 1、求下列定积分：（1）⎰ee dx x 1ln （2）⎰-1dt x t t2、求定积分⎰--223cos cos ππdx x x 的值三、对称区间上的积分1、设)(x f 在],[a a -上连续，计算⎰-++1132)cos 1sin(dx xxx x2、设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且对任何y x ,有)()()(y f x f y x f +=+，计算⎰-+112)()1(dx x f x3、计算积分⎰--+=4421sinππdx exI x4、设)(),(x g x f 在区间)0](,[>-a a a 上连续，)(x g 为偶函数，且)(x f 满足条件A x f x f =-+)()(（A 为常数）.（1）证明：⎰⎰-=aaadx x g A dx x g x f 0)()()((2) 利用（1）的结论计算定积分⎰-22arctan sin ππdx e x x四、换元积分法 1、求下列定积分：（1）⎰-2141)1(arcsin dx x x x（2）⎰--2ln 021dx ex（3）dx xx xx ⎰---21010cos sin 4cossinπ五、分部积分1、设)(x f 有一个原函数为xx sin ，求⎰'ππ2)(dx x f x2、⎰+301arcsin dx xx x3、⎰-+12)2()1ln(dx x x积分等式的证明一、换元法（适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件） 1、若函数)(x f 连续，证明： （1）⎰⎰=2023)(21)(aadx x xf dx x f x（2）dx x a b a f a b dx x f ba⎰⎰-+-=1])([)()(（3）⎰⎰+=+xxdx xdx x1121211112、设)(x f 连续，求证dx x f dx x xf ⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin ，并计算⎰+π23cos 1sindx xxx3、设)(x f 连续，且关于T x =对称，b T a <<，z 证明：⎰⎰⎰-+=babTbT adx x f dx x f dx x f 2)()(2)(（提示：)(x f 关于T 对称，即)()(x T f x T f -=+）二、分部积分法（适用于被积函数中含有)(x f '或变上限积分的命题） 例：设)(x f '连续，⎰-'=xdt t a f t f x F 0)2()()(，证明：)2()0()()(2)2(2a f f a f a F a F -=-三、构造辅助函数法（适用于证明在积分限中至少存在一点ξ或0x 使等式成立的命题） 解题思路：（1）将ξ或0x 改成x ，移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数)(x F 或)(x F '。
高等数学 第3章不定积分
4、基本积分表 由于微、积分是互逆的两种运算，故利用导数公 式，不难得到基本初等函数的积分公式。
例4
解：
练习：
答：
例5
解：
例6
解：
经验之一：
整理为“多项式”形式是解决只含有幂 函数的积分方法之一
例7 解：
例8 解：
经验之二： 当含有指数函数或对数函数时，尽可能 化为公式形式积分。
经验：当被积函数为三角函数的奇次方时，我 们常分离出其中一个，放在微分因子中。
例24
解：
例25
解：
例26
解：
例27
解：
经验：降次总是一种求三角函数积分的有效方法。
例28
解：
例29
解：
经验： 利用三角恒等式转化被积函数也是方法之一
例30 解：
例31 解：
（二）第二换元积分法
但必须满足：
定理3.4（第二换元积分法） 证明:
例32
根式代换法
解：
例33
解：
（待续）
续
此时，为了计 算其它三角函数值， 可以借助辅助三角 形（如右）。
例34
解：
（待续）
续
例35
解：
被积函数定 义域为：x>a 或x<-a 此处先讨论 x>a的情形
由上例可知
（待续）
续
原式
思考x<-a的情形
三角代换法
高等数学
第3章 不定积分
主要内容:
一、不定积分的概念与性质 二、换元积分法 三、分部积分法 四、积分表的使用
一、不定积分的概念与性质
1、原函数的定义
如：
又如：
★注意：
★注意：
高等数学不定积分例题及答案
第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路:52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x xx x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。
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作业习题 求下列不定积分。
1、dx x
⎰
+sin 11；2、dx e x ⎰+-23；3、dx x x x ⎰+--22)83(32；4、dx e e x
x )sin(⎰； 5、dx e x ⎰-2； 6、dx x
a x ⎰-2
2
1； 7、dx x
x x ⎰
-3
；
8、dx x x x
⎰
+)
1(arctan 2
2；9、dx x e x ⎰+22)1(tan ；10、dx x x ⎰++)1ln(2； 11、⎰-xdx e x
cos ；12、dx x x x x x ⎰+++-232223；13、dx x
⎰+sin 451
； 14、dx x x x -+⎰111；15、dx x x ⎰+)1(124； 16、dx b x a x ⎰++)
)((1。
作业习题参考答案：
1、解：dx x ⎰
+sin 11
⎰+-=-=C x x dx x
x sec tan cos sin 12。
2、解：dx e x ⎰+-23C e x d e x x +-=+--=+-+-⎰23233
1
)23(31。
3、解：dx x x x ⎰+--2
2)83(32C x x x x x x d ++--=+-+-=⎰831)83()83(2222。
4、解：dx e e x x )sin(⎰C e de e x x x +-==⎰cos sin 。
5、解：dx e x ⎰-2
C t
t t dt dt dt t t t e t x +-=+-=+⋅
-=⎰⎰⎰2
arctan 24224222222 C e e x x
+--
-=2
2arctan
2
422。
6、解：dx x
a x ⎰
-2
2
1
C x
x a a a C t t a t a dt t a x +--=+-==⎰2
2ln 1cot csc ln 1sin sin 。
7、解：dx x
x x
⎰
-3dt t t t t t t dt t t t t x )11
1(6623452386
-++++++=-=⎰⎰ C t t t t t t t +-++++++=)1ln 2
3456(62
3456
C x x x x x x x +-++++++=)1ln 2
3456(661613
1
21
32
65。
8、解：dx x x x ⎰
+)
1(arctan 2222
21sin cos cot )1(csc arctan t dt t t t t dt t t x t -+-=-=⎰⎰ C t t t t +-+-=22
1
sin ln cot
C x x x x x +-++-
=22)(arctan 2
1
1ln arctan 。
9、解：dx x e x ⎰+22)1(tan ⎰⎰+=xdx e xdx e x x tan 2sec 222
C x e xdx e xdx e x e x x x x +=+-=⎰⎰tan tan 2tan 2tan 2222。
10、解：dx x x ⎰++)1ln(2dx x
x x
x x
x x x )11(11)1ln(2
2
2++
++-++=⎰
dx x x x x x ⎰+-++=2
21)1ln(
)1(121)1ln(22
2⎰
++-++=x d x x x x
C x x x x ++-++=221)1ln(。
11、解：⎰-xdx e x cos dx x e x e x d e x x x ⎰⎰---+==sin sin )(sin
⎰⎰------=-=xdx e x x e x d e x e x x x x cos )cos (sin )(cos sin
⎰-xdx e x cos C x x e x
+-=
-)cos (sin 2
1。
12、解：dx x
x x x x ⎰+++-23
2223dx x x x ])1(6
112[2+-+-=⎰ C x x x +++
+-=1
6
1ln ln 2。
13、解：令2tan x t =，则2
12t
dt
dx +=， dx x ⎰+sin 451
=dt t t dt t t t ⎰⎰
++=+⋅
++5852
12124
5122
2
C x C t t dt ++=++=++=
⎰)3
4
2tan 35arctan(32345arctan 32)5
4()53(5222。
14、解：令,11t x x =-+则dt t t
dx t t x 2
222)1(4,11+=+-= dx x x x -+⎰111⎰⎰⎰++-=+⋅⋅-+=1212)1(411222222t dt t dt dt t t t t t
C x x x
x x x C t t t +-++-++--+=+++-=11arctan 21111ln arctan 211ln。
15、解：dx x x ⎰+)1(12
4dt t t dt t t t x )111(122241
++--=+-=⎰⎰- C x x x
C t t t +-+-=++--=1
arctan 131)arctan 3(33。
16、解：),(a x a b b x ++-=+令,)(2t sh a b a x -=+ 则shtchtdt a b dx )(2-=
dx b x a x ⎰
++)
)((1⎰
-+---=t
sh a b a b t sh a b shtchtdt a b 2
2
)([)()(2
⎰+-+=+=C a
b a
x acsh
C t dt 222。
1、 符号函数⎪⎩
⎪
⎨⎧-==,1,0,
1sgn )(x x f ,0,0,0<=>x x x 在),(+∞-∞内是否存在原函
数？为什么？
2、 求积分dx x x p )ln 1(ln)(+⎰。
3、 设有⎰=)()(x F dx x f ，)(x f 可微，并且)(x f 的反函数)(1x f -存在，
则⎰+-=---C x f F x xf dx x f )]([)()(111 讨论习题参考答案：
1、 解：不存在。
假设有原函数)(x F ，⎪⎩
⎪
⎨⎧+-+=,,,)(c x c c x x F ,0,0,
0<=>x x x 但)(x F 在
0=x 处不可微，故假设错误，)(x f 在),(+∞-∞内不存在原函数。
2、 解：dx x x x p )ln 1()ln (+⎰)ln ()ln (x x d x x p ⎰=
⎪⎩
⎪
⎨⎧+++=+,
ln ln ,1)ln (1
C x x C p x x p .1,1-=-≠p p
3、 解：由分部积分公式
⎰
⎰----=)]([)()(111x f xd x xf dx x f
设t=)(1x f -，则)(t f x =；
于是⎰⎰+=+==--C x f F C t F t f x f xd )]([)()()]([11， 所以⎰+-=---C x f F x xf dx x f )]([)()(111。
1、 在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？
2、 在有理式积分中，将分式分解成部分分式之和时，应注意什么？ 思考题参考答案：
1、 答：注意前后几次所选的u 应为同类型函数。
例如：对xdx e x cos ⎰，第一次时若选x u cos 1=，
⎰⎰+=⇒xdx e x e xdx e x x x sin cos cos ，
第二次时仍应选x u sin 1=，
xdx e x e x e x x x cos sin cos ⎰-+=。
2、答：分解后的部分分式必须是最简分式。