高等数学不定积分习题
2019-20202第一学年年高等数学上册第四场不定积分的思考与练习
（1） x 5dx , （2） 2 x dx , （3） e x1dx ,
（4） (cos x sin x)dx ,
（5）
1
2 x
2
dx ,（6）
2 1 x2
dx ,（7） (ex
3
x
)dx
,（8）
(
s
1 in 2
x
1 cos2
)dx . x
解：（1） x5dx x15 C x6 C .
dx 1
1 d( x ) 2 arctan 2 x C .
2 x2 2 1 ( x )2
2 1 ( x )2
2
2
2
2
2
（12）
dx
dx
=
=
4 - x2 2 1-(x)2
1 d( x ) = arcsin x C .
1-(x)2 2
2
2
2
（13） d(5cosx 2sin x) (2cosx 5sin x)dx ,
dx
1 (2x)2
= x arctan 2x
d(x2 ) 1 4x2
= x arctan 2x 1 1 d(1 4x2 )
4 1 4x2
= x arctan 2x 1 ln(1 4x2 ) C . 4
（3） xe4xdx 1 xde4x 1 xe4x 1 e4xdx
4
4
4
2
2
（5）
x
dx
1
(1
x
2
)
1 2
d(1
x
2
)
1 x2
C .
1 x2
2
（6） xdx 1 d(x2 ) 1 arcsin x2 C .
《高等数学》(上)题库 第四章 不定积分 参考答案
某某学院《高等数学》（上）题库 第四章 不定积分 参考答案一、选择题1. 在区间),(b a 内，如果)()(x x f ϕ'='，则一定有（ B ）. A.)()(x x f ϕ= B.)()(x x f ϕ=+ C C.[][]'='⎰⎰dx x dx x f )()(ϕ D.⎰⎰'=')()(x d x f d ϕ2. 设)(),(x G x F 都是)(x f 的原函数，则必有( B ).A. 0)()(=-x G x FB. C x G x F =-)()(C. 0)()(=+x G x FD. C x G x F =+)()(3. 若)(x f 为可导、可积函数，则（ A ）.A. [])(])(x f dx x f ='⎰B. []f(x)f(x)dx d =⎰C. ⎰=')()(x f dx x fD.)()(x f x df =⎰4. 如果()f x =cos x ，那么函数()f x 的不定积分可表示为( D ).A. cos x +1B. -cos x + CC. cos x + CD. sin x +C5. 如果()f x =2x ，那么函数()f x 的不定积分可表示为 (D ).A. 2xB. 2x +1C. 2x -1D. 2x +C6. 若⎰+=C x dx x f )(，则⎰=-dx x f )1(（ C ）A ．C x +-1；B ．C x +-；C ．C x +；D ．C x +-2)1(217. 幂函数的原函数一定是（ D ）.A.幂函数B.指数函数C.对数函数D.幂函数或对数函数8. 若⎰+=-C e dx x f x )(，则=')(x f （ D ）.A.x xe --B.x e x -2C.x eD.x e -9.（ D ）是函数x x f 21)(=的原函数A ．x x F 2ln )(=B ．221)(x x F -= C ．)2ln()(x x F += D ．x x F ln 21)(= 10.若)(x f 满足⎰+=C x dx x f 2sin )(，则=')(x f （ C ）A ．x 2sin 4B ．x 2cos 2C ．x 2sin 4-D ．x 2cos 2-11.下列等式中（ D ）是正确的A ．⎰=')()(x f dx x f B ．C e f dx e f x x +='⎰)()(C ．Cx f dx x f +='⎰)()( D ．⎰+--=-'C x f dx x f x )1(21)1(22 12.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=dx x xf )(cos sin （ A ）A ．C x F +-)(cosB ．C x F +)(cosC ．C x f +-)(sinD ．C x F +)(sin13.下列函数中，（ B ）不是x 2sin 的原函数。
高等数学(同济第6版习题课4-1)
（３） xd x ＝ d（ x２ ） ；
（４） xd x ＝ d（５ x２ ） ；
（５） xd x ＝ d（１ － x２ ） ；
（６） x３ d x ＝ d（３ x４ － ２） ；
（７） e２ x d x ＝ d（e２ x ） ；
（８）
e－
x ２
dx
＝
d（１
＋
e－
x ２
）
；
（９）
１
x －
x都是
１的 x － x２
原函数 畅
证 ［arcsin（２ x － １）］′ ＝
１
·２＝
１ － （２ x － １）２
１， x － x２
［arccos（１ － ２ x）］′ ＝ －
１
· （ － ２） ＝
１ － （１ － ２ x）２
１， x － x２
２arctan
x １－ x
′
＝
２
１
＋
１ １
x －
dx ＝３
dx １ ＋ x２
－２
dx １ － x２
＝ ３arctan x － ２arcsin x ＋ C ．
∫ ∫ ∫ （１５）
ex
１ － e－ x x
dx＝
exd x －
x－
１ ２
d
x
＝
ex
１
－ ２x２
＋
C．
∫ ∫ （１６） ３x ex d x ＝
（３e） x d x
＝
（３e） x ln（３e）
＋
t＝ ０
（２）
求使
d d
s t
＝
０的
t值
；
（３） 求使 s ＝ ５０ 的 k 值 畅
高等数学第四章不定积分习题
第四章 不 定 积 分§ 4 – 1 不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。
2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为dxxx d 211)(arcsin -=,所以arcsinx 是______的一个原函数。
4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。
二．是非判断题1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()()⎰⎰'='dx x f dx x f . [ ] 4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ]三．单项选择题1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。
（A ）⎰=dx x F )('f(x)+c; （B ）⎰dx x f )(=F(x)+c; （C ）⎰=dx x F )()('x F +c; (D) ⎰dx x f )('=F(x)+c.2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。
（A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ⋅=c. 3．下列各式中 是||sin )(x x f =的原函数。
(A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|;(c)y={;0,2cos ,0,cos <-≥-x x x x (D) y={.0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。
高等数学第四章不定积分测试题（附答案）
x
2
f ( x) 13. 1 f 2 ( x) dx
15
df ( x) 1 f 2 (x)
arctan f ( x) C .
14. 8 x 8 15
C . 15. x
1 C.
x
二 . 计算题
16．（5 分）计算
dx x2 (1 x2 ) .
【解析】原式
=
1 ( x2
1 1 x2 )dx
17．（5 分）计算
B. xf ( x) f ( x) C
C. xf ( x) f (x) C
D. f (x) xf ( x) C
8.下列式子中正确的是（
）
A ． dF x F x
B ． d dF x F x C
d
C．
f x dx f x dx
dx
D ． d f x dx
9.若 F x G x ， k 为任意常数，则（
dx ，则 f ( x) _______ ．
x
D． 2 f 2x C
12． d[ f 2 (x)] 2 f ( x)cos xdx ，且 f (0) 1，则 f (x) ______ ____．
13.
1
f
( x) f 2(x
dx )
____________ ．
14. x x x dx ___________________．
dx 1 ex .
1 arctan x C .
x
【解析】原式
=
(1
1
ex ex
)
dx
x ln(1 ex ) C .
18．（5 分）计算
x3
x2
dx . 1
【解析】原式 = ( x
高等数学不定积分综合测试题之欧阳科创编
2、已知 ，则 = [ ]
(A) (B)
(C) (D)
3、若函数 为 的一个原函数，则不定积分 = [ ]
(A) (B)
(C) (D)
4、已知函数 在 内可导，且恒有 =0，又有 ，则函数
= [ ]
(A) -1 (B) -1 (C) 0 (D)
5、若函数 的一个原函数为 ，则一阶导数 = [ ]
二、选择题（25分）
1、若 则 [ ]
(A) (B)
(C) (D)
2、设 则 [ ]
(A) (B) (C) (D)
3、 [ ]
（A） （B）
（C） （D）
4、存在常数A、B、C，使得 [ ]
（A） （B）
（C） （D）
5、若 在 上的不定积分是 ,则[ ]
(A) (B)
(C) (D)
三、计算题（48分）
第四章测试题A 卷
时间：2021.02.05
创作：欧阳科
一、填空题（每小题4分，共20分）
1、函数 为的一个原函数.
2、已知一阶导数 ，则 =
3、若 ，则 =
4、已知 二阶导数 连续，则不定积分 =
5、不定积分 =
二、选择题（每小题4分，共20分）
1、已知函数 为 的一个原函数，则下列函数中是 的原函数的是[ ]
(A) (B) (C) (D)
三、解答题
1、（7分）计算 .
2、（7分）计算 .
3、（7分）计算 .
4、（7分）计算 .
5、（8分）计算 .
6、（7分）计算 .
7、（8分）已知 ，求 .
8、（9分）计算 .
第四章测试题B卷
一、填空题（20分）
《高等数学》不定积分课后习题详解
《高等数学》不定积分课后习题详解 篇一：高等数学第四章不定积分习题 第四章不 定 积 分 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上 F?(x)?f(x)，则 F(x)叫做 f(x)在该区间上的一个 f(x)的 所有原函数叫做 f(x) 在该区间上的__________。
2．F(x)是 f(x)的一个原函数，则 y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 d(arcsinx)? 1?x2 dx ,所以 arcsinx 是______的一个原函数。
4．若曲线 y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与 x 成正比例，并且通过点 A(1,6)和 B(2,-9),则该曲线 方程为__________ 。
二．是非判断题 1． 若 f?x?的某个原函数为常数，则 f?x??0.[ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原 函数.[ ] 3． 3 ??f?x?dx???f??x?dx.[ ] ? 4． 若 f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内 f?x?必无原函数. [ ] 5.y?ln?ax?与 y?lnx 是同一函数的原函数.[ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且 F'(x)=f(x),下式成立的有 。
（A）?F'(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c; （C）?F(x)dx?F'(x)+c;(D) ?f'(x)dx=F(x)+c. 2. F(x)和 G(x)是函数 f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有 。
（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c;(D) F(x)?G(x)=c.3．下列各式中是 f(x)?sin|x|的原函数。
(A) y??cos|x| ;(B) y=-|cosx|;(c)y=? ?cosx,x?0,cosx?2,x?0; (D) y=? ?cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0. c1、c2 任意常数。
专升本高等数学(二)-不定积分
专升本高等数学(二)-不定积分(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：10，分数：10.00)1.在区间(a，b)内，如果f'(x)=g'(x)，则下列各式中一定成立的是______∙ A.f(x)=g(x)∙ B.f(x)=g(x)+1∙ C.(∫f(x)dx)'=(∫f(x)dx)'∙ D.∫f'(x)dx=∫g'(x)dx（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析]由于f'(x)=g'(x)，则f(x)与g(x)之间相差任意常数。
2.如果等式成立，则f(x)等于______ A． B． C． D（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由不定积分的定义，有[*]，即 [*]，则[*]3.设cotx是f(x)的一个原函数，则f(x)等于______∙ A.csc2x∙ B.-csc2x∙ C.sec2x∙ D.-sec2x（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由原数的定义，有f(x)=(cotx)'=-csc2x。
4.下列等式中，成立的是______ A．d∫f(x)dx=f(x) B． C．d∫f(x)dx=f(x)dx （分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由不定积分的基本性制质可知，d∫f(x)dx=f(x)dx成立。
5.设f'(cos2x)=sin2x，且f(0)=0，则f(x)=______A． B．C． D（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] f'(cos2x)=sin2x=1-cos2x，f'(x)=1-x，[*]。
由f(0)=0，得C=0，则[*]。
6.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e-x f(e-x)dx等于______∙ A.F(e-x)+C∙ B.-F(e-x)+C∙ C.F(e x)+C∙ D.-F(e x)+C（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 凑微分法，使用凑微分公式-e x dx=-d(e-x)，∫e-x f(e-x)dx=-∫(e-x)dx-x=-F(e-x)+C。
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第四章 不 定 积 分§ 4 – 1 不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。
2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为dxxx d 211)(arcsin -=,所以arcsinx 是______的一个原函数。
4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。
二．是非判断题1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．()()()⎰⎰'='dx x f dx x f . [ ]4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ]三．单项选择题1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。
（A ）⎰=dx x F )('f(x)+c; （B ）⎰dx x f )(=F(x)+c;（C ）⎰=dx x F )()('x F +c; (D) ⎰dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。
（A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ⋅=c. 3．下列各式中 是||sin )(x x f =的原函数。
(A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={;0,2cos ,0,cos <-≥-x x x x (D) y={.0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。
4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数，且f(0)=1,又2)()(x x xf x F +=，则f(x)=______.(A) 12--x (B)12+-x (C)12+-x (D)12--x5.设x x f 22cos )(sin ='，则f(x)=________.(A);sin 21sin 2c x x +-(B);212c x x +- (C);sin 21sin 42c x x +- (D);2142c x x +- 6.设a 是正数，函数则,log )(,)(e a x a x f a xx==ϕ______. (A)的导数；是)()(x x f ϕ (B)的导数；是)()(x f x ϕ (C)的原函数；是)()(x x f ϕ (D)的不定积分。
是)()(x f x ϕ 四．计算题 3．⎰-+dx x x )1)(13（4.dx xx ⎰-32)1(5.⎰--dx xe e x x)1( 6.⎰dx e x x 3237.dx x x x ⎰-+-22222 8.⎰-dx xx 23sin 1sin 4 9.dx x x 2)2sin 2(cos -⎰ 10.⎰++dx x x 2cos 1cos 12 11.⎰dx xx x22cos sin 2cos 12.⎰++-dx x x x 3322332 13.dx xx )1213(22⎰--+ 14.⎰-dx x x x )tan (sec sec 15.⎰-dx x x x )11(216.dx xx⎰-+11 五．应用题1．一曲线通过点(2e ,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方程.2．一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是32t (米/秒),问:(1) 在3秒后物体离开出发点的距离是多少? (2) 物体走完360米需要多少时间§4-2 换元积分法一、填空题1.)(______ax d dx = ()0(≠a )2.)37(______-=x d dx3.)(_______2x d xdx = 4.)5(______2x d xdx = 5.)1(______2x d xdx -= 6.)32(_______32x d dx x -= 7.)(______22x xe d dx e = 8.)1(______22x x e d dx e --+=9.(_______)22d dx xex =- 10.(______))13cos(d dx x=-11.)ln 5(______x d x dx = 12.)ln 53(______x d xdx -=13.(______))sin(d dt t =+ϕω 14.)arcsin 1(______12x d xdx -=-15．=-⎰dx x x 112=-⎰dx xx 22)1(11=-⎰2)1(11x x d_________ 16.若⎰⎰≠=++=)0________()(,)()(a dx b ax f c x F dx x f 则二．是非判断题1． ⎰⎰+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=c xx d x dx x x 212111ln . [ ] 2．()⎰+=+c x arctg dx xx 211. [ ]3．设()⎰+=c x dx x f sin ，则()⎰+=-c x dx xx f 21arcsin . [ ]4．已知()='x f ln {,10,1,1,≤<+∞<<x x x 且()00=f ，且()⎩⎨⎧=≤<-∞+∞<<-,0,0,1x x x ex f x . [ ]5．⎰+=c x xdx 32sin 31sin . [ ]6．若()()c x F dx x f +=⎰，则()[]()[]c x g F dx x g f +=⎰. [ ]三．单项选择题 1.⎰='dx x f )3(_____. (A);)(31c x f + (B);)3(31c x f + (C);)(3c x f + (D);)3(3c x f +2..________)]([1)(2=+'⎰dx x f x f(A) ;|)(1|ln c x f ++ (B) ;|)]([1|ln 212c x f ++ (C) ;)](arctan[c x f + (D) .)](arctan[21c x f +3.⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x 21 . (A)C x x x++-||ln 21(B) C x x x ++--||ln 21(C) C x x+--||ln 21 (D) C x x ++||ln 4.⎰=⋅-⋅.23223dx xxx . (A);)23(23ln23c x x+⋅- (B) c x x x +--1)23(23 (C) c x+⎪⎭⎫ ⎝⎛--232ln 3ln 23 (D) c x+⎪⎭⎫ ⎝⎛--232ln 3ln 23 5.⎰=+-dx x x x )1(177______.(A) ;|)1(|ln 71277c x x ++ (B) ;|1|ln 7177c x x ++ （C ） ;|)1(|ln 61266c x x ++ (D) ;|1|ln 6166c x x ++ 6.⎰=._____||dx x (A);||212c x + (B) ;212c x + (c) ;||21c x x + (D) ;212c x +-7.⎰=++._____113dx e e x x(A) ;212c x e e x x +++ (B) ;212c e e x x ++ (C) ;212c x e e x x ++- (D) .212c e e x x +- 8.x ex2sin 2sin 1+的全体原函数是________.(A) e;sin 12x + (B) e;sin 12c x ++ (C) ecx ++2sin 1 (D) ec x+-2sin 1四．计算题1．⎰x dx x 302)32(- 2.dx x ⎰-3)21(13．dx e x 47⎰ 4.dx xx ⎰ln 5.⎰dx e e x x )cos( 6.⎰dx xe xsin cos 7.⎰xdx x tg210sec 8.⎰xdx 3sin9.⎰+-dx xx x x sin cos sin cos 10.⎰xx dx 2sin⎰-dx xa x 222.23 24.⎰+dx x 32)1(125.dx x x ⎰-92 26.⎰-+dx x211127.⎰+xdx 21 28.⎰+xedx 14-3 分部积分法一． 单项选择题 1.⎰=.___)(""dx x xf(A)x ;)()('c x f x f +-(B) x ;)()(''c x f x f +-(c) x ;)()('c x f x f ++ (D)⎰-.)()('dx x f x xf2.⎰=.___)ln(tan sin dx x x(A)－cosxln(tanx)+ln|tan ;|2c x+ (B)cosxln(tanx)+ln|cscx －cotx|+c; (c)ln(tanx)+ln|tan;|2c x+ (D)－cosxln(tanx)+ln|sinx|+c. 3..___sin 2=⎰dx x x(A);2sin 41412c x x x +- (B);2cos 81412c x x +-(C)xcosx －sinx+c; (D);2cos 81412c x x +-4.⎰=.__arcsin 2dx x x(A) ;|cot csc |ln arcsin 1c x x x x+-+-(B);|csc cot |ln arcsin 1c x x x x +---(C);|11|ln arcsin 12c x x x x +---- (D);|11|ln arcsin 12c xx x x +-++-5.⎰=.__arctan dx e e x x(A);)1ln(21arctan 2c e e ex x x++--- (B);arctan )1ln(212c x e e e x x x +--+--(C)arctan ;)1(c e e x x ++--- (D);)1ln(21arctan 2c e x e e xx x ++++-6..__)ln (2=⎰dx x x(A);)2ln 2(ln 12c x x x +++- (B);1ln 2ln 2c xx x +-+(C);1ln 2ln 12c xx x x x ++- (D).)1ln(21arctan 2c e x e e xx x ++++-7．⎰=.___)(arcsin 2dx x (A)arcsinx(xarcsinx ;2)122c x x ++-- (B)arcsinx(xarcsinx+2;2)12c x x +-- (C)arcsinx(xarcsinx+2;)12c x +- (D)arcsinx(xarcsinx+2;)212c x +--二． 计算题 1、⎰xdx x ln 2 2、⎰xdx x cos 23、⎰xdx xtg 24、⎰dx xxx 3sin cos 5、⎰dx e x 36、⎰-+-dx e x x x)52(2 7、⎰dx x 2)(ln 8、⎰dx x )cos(ln 9、⎰dx xx 23)(ln 10、⎰xdx xtgx 4sec 4-4 几种特殊类型的积分（一）一．单项选择题1．⎰=++.__45244dx x x x (A) x ;arctan 312arctan 38c x x ++-(B) x ;arctan 31c x+- (C) ln ;)14(22c x x +++ (D) x .arctan 38c x +- 2．⎰=--.__1224dx x x x(A);|)12()12(|ln 24122c x x ++--+ (B);|)12()12(|ln 24122c x x +-++-- (C);|)12()12|ln 24122c x x +-+++ (D).|2121|ln 2412c x x ++---3．⎰=+____383dx x x(A);3arctan 3412c x + (B)c x +3arctan 3414(C)c x +3arctan3214 (D)c x +3arctan32124．.______)2(10=+⎰x x dx(A) ln)2(10+x dx +arctanx ;5c + (B);)2ln(211010c x x ++(C) ;)2ln(2011010c x x ++(D)61ln(c xx ++)2105 5．⎰=+--._______52232dx x x x(A);221arctan 21|52|ln 232+-++-x x x (B) ;21tan 232c x x +-+ (C) ;21arctan 21)52(232c x x x +-++- (D) ln|x c x x +-++-21tan |522二．计算题1、⎰--++dx x x x x x 12322、⎰-++dx x x x 103322 3、⎰--+dx x x x x 3458 4、⎰-++dx x x x )1()1(122 5、⎰+++dx x x x x )3)(2)(1( 6、⎰+dx x 133 7、⎰+)1(2x x dx 8、⎰++))(1(22x x x dx9、⎰+14x dx 10、⎰+++)1)(1(22x x x dx 4-5 几种特殊类型的积分（二）一．单项选择题1．的全体原函数xsin 11+是———。