高数不定积分例题

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不定积分经典习题

=

td
cot
t

tdt

t
cot
t

cot
tdt

t2 2
= t cot t ln | sin t | t2 C 2
= arctgx ln | x | (arctgx)2 C
x
1 x2
2
[解二]
arctan x dx x2 (1 x2 )
=
令 x tant ，则
原式=
1 x2 1 x

1 x
dx
＝

1
cos t sin
t

1 sin
t
d
sin
t
=

cos2 t 1 sin t
1 sin t
dt
= ln csc t cot t t C = csc tdt t C = csc tdt t C = ln csc t cot t t C
一、知识网络图

原函数
1.基本概念不定积分

不定积分的几何意义
不 2.性质与公式不基定本积积分分的公性式质
定积分
3.计算方法查换分直表元部接法积积积分分分法法法第第一二换换元元积积分分法法(凑微分法)
4.特殊函数的积分某三有些角理无函函理数数函有积数理分积式分积分
( 1 1 ) arctan xdx x2 1 x2
arctan xdx =
arctan x2
xdx

(arctan 2
x)2

arctan xd 1 (arctan x)2

高数—不定积分讲解和例题-PPT (1)

课外作业
习 4 — 1（A）（） 1（双）（习 4 — 1（B）（） 1（5，6，7，11），（，，，），），2
§2. 换元积分法
y = sin2x 是复合函数，是复合函数，
∫ sin2xd x
1. 凑常数
如何积分？如何积分？
一、第一类换元法 ( 凑微分法 )
(d2x = 2dx) 1 例1： sin2xd x = ∫ sin2x d 2 x (2x = u) ∫ 2 1 1 1 = ∫ sinudu = − cos u+ C = − cos 2x + C. + 2 2 2
2
= x − x + arctan x + C.
1 3 3
从理论上来讲，从理论上来讲，只需把积分结果求导，就可检验积分是否正确。求导，就可检验积分是否正确。但由于函数变形及原函数间可相差一个常数等因素，一般不检验。数等因素，一般不检验。所以注重积分过程的正确性是至关重要的。关重要的。即每一步运算都要看能否还原到上一步。上一步。
dx 例5： 2 ∫ x − a2 (a > 0) 1 1 1 = ∫ − dx 2a x − a x + a 1 d( x − a) d( x + a) = ∫ −∫ 2a x −a x+a 1 = [ln x − a − ln x + a ] + C 2a 1 x −a = ln + C. 2a x + a dx 1 a+ x = ln + C. (a > 0) 同理：同理： 2 2 ∫ a − x 2a a − x
例：求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处的，切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线倍的一条曲线。切线斜率等于该点横坐标倍的一条曲线。解：设所求曲线方程为 y = f (x) . 由题意，曲线上点(x, 的切线斜率由题意，曲线上点 y)的切线斜率 dy = 6x, dx 2 ∴y = ∫ 6xdx = 3x + C , 为一簇积分曲线。为一簇积分曲线。

高等数学不定积分例题、思路和答案(超全)---精品管理资料

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4—11。

求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法.思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1）思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解.解：532223x dx x C --==-+⎰★（2）dx⎰思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项，分别积分。

解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★（3）22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分.解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★（4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分.解:3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质,将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰★★（6)221x dx x +⎰思路：注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5）(6）两题的解题思路是一致的.一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分.★（7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路：分项积分。

解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★（8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。

不定积分例题与答案

求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的荃本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和荃本积分公式，査接求出不定积分!★(1),旅思路：被积函敌|:,由积分表中的公式(2)可解。

K 77T 八★⑶思路:根裾不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：j<2x +.K 2Wt = j2,rfA + f.rdv = -L.+lx i +C ★⑷J 仮(.丫-3皿思酪:根拐不定积分的线性性质，将被积函薮分为两项，分别积分。

J7xU-3)rfv = |x-dv-3jA"dv = ^.v* -2.V-+C★★⑸『竺上竺旦厶息」廉:观察到3xJ3.E=w+ 1后，根拐不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

丿 ~-V+ 1 ~~.C+ 1~"*A x 2+11 ,根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：JI ' 心=j rfv-j ]:心=A -arctan .v+C.注.容島看出(5)(6)两題的解SI 思绝是一致的• 一般地，如果被积函数为一个有理的假分丈.谨常先将其分解为一个荃或加上或减去一个真分丈的形丈.再分项积分.★(7) |(三二+W 心思路:分项积分。

4-~-r^ = J 'z£v -|-^<tv + 3|x 'rfv-4j.t u rfv★(8)上3 2 思路:分项积分。

■ J< ] 3 - F k£v = 3j J , dx-2jdr = 3arctan .v-2arcsinx + C.★★⑺j 后眾小思路:皿着看到皿頁=严—“直接积分。

解：J 厶斥曲Y = =加+ U息话:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

X ，.思路:注意到r_ JI + x* x l+x 2 l+.r 1+x 2 解: ★⑵ =x + arctan .v + C解：严小+认=★★(10) I忌路:裂项分项积分。

不定积分的典型例题50题答案

例1．解法1).12)(12(1224+-++=+x x x x x而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以)121121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++ .)]12arctan()12[arctan(211)12()12211)12()12(21)21)22(121)22(1[212222c x x x x d x x d dx x dx x +++-=+++++--=++++-=⎰⎰⎰⎰解法2dxx x x x xx x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(1122242.arctan 21)12arctan(211212242c x x dx x xx x dx +++=++++=⎰⎰ 解法3⎰⎰⎰+-=++=++≠22222421)1(11111,0xx x x d dx x x x dx x x x 当 c x x xx x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1()1(22,2221arctan 21lim 20π-=-+→x x x ,2221arctan 21lim 20π=--→x x x 由拼接法可有.02221arctan 2100,2221arctan 21112242⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--=>++-=++⎰x cx x x x c x x dx x x ππ 例2.解将被积函数化为简单的部分分式(*)1)1(1)1()1(222223⋅⋅⋅⋅⋅++++++=+++x DCx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .211)1(2)1(23=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为.2.2426)1()2(2)1(3lim]12[lim )1()1()1(2[lim 22322123122231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.21-=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得.1,1-=⇒+=C C A 故有.arctan 21)1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dxx DCx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++⎰⎰例3.解令 ,2x u =再用部分分式，則⎰⎰++=++))(1(21)()1(22244u u u dudx x x x x,11)()1(1222+++++=++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令,1-→u 得.21-=B 两边乘以,u 再令,+∞→u 得.21,0-=⇒++=C C B A 令.21,1-=⇒=D u.arctan 41)1()1(ln 81arctan 41)1ln(81)1ln(41ln 21arctan 41)1ln(811ln 41ln 21]12121)1(211[21))(1(21)()1(2422824222222244c x x x x c x x x x c u u u u du u u u u u u u dudx x x x x +-++=+-+-+-=+-+-+-=+--++-=++=++∴⎰⎰⎰ 例4828872882815)1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+)1(])1(111[818288++-+=⎰x d x x .)1(81)1ln(8188c x x ++++= 例5. 解令 ,2tant x =则=-++⎰dx xx xsin cos 1cos 1 .2)sin 1ln(21arctan )1ln(211ln )1111()1)(1(21212111111222222222c x x ct t t dtt t t dtt t dx t t t t t t t ++--=++++--=+++--=-+=+⋅+-+-++-+⎰⎰⎰ 例6dx x x122+⎰⎰+=22421dx x x.1ln 811)12(81))21(ln(161)21(41)21(21)21()21()21(212222222222222c x x x x x c u u u u du u x d x +++-++=+-+--=-=+-+=⎰⎰分部积分例7.25342)2()1(25232121232c x x x dxx x x dx x x ++-=+-=-⎰⎰-分项例8dx x x dx x ]1111[2111224++-=-⎰⎰ .arctan 2111ln 41c x x x ++-+= 例9．dx x x dx x x ⎰⎰+-+=+1111.134132111c x x x dx xdx x ++-+=+-+=⎰⎰例10．⎰⎰⎰---=-+=+)24(cos )24()2cos(1sin 12x x d x dxx dx πππ.)24tan(c x +--=π 例 11c t t dt x xdx tx +=-=-⎰⎰=arcsin 11212⎪⎩⎪⎨⎧-<+>+-=.1,1arcsin 1,1arcsin x c x x c x 例12．解 .2cos 41)2sin 211(c x x dx x J I ++=-=+⎰dx x x x x x dxxx x x x J I ⎰⎰++-=++-=-222)sin (cos )2sin 211)(sin (cos sin cos )2sin 211)(sin (cos.)12ln(sin 412sin 412sin 12cos )2sin 211(c x x dx x xx +++=++=⎰解上面的联立方程可得出.,J I例13． ).(,)1ln(31)1ln(1111111,)21(332arctan 332.1,1111111332322333233略从而可解出可求出令I c x x dx x x dx x dx x x x x dx x x J I c x J I dx x x J dx x x dx x x dx x x x dx x I ++-+=+-+=+-+-=+-=-+-=++=+-+-=+-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例14．)1(12arcsin 12arcsin++=+⎰⎰x d xxdx x x .212arcsin )1(112arcsin1c x xxx dx x x x x ++++=+++=⎰）（分部积分例15．解令,)21(12,211,12222dt t t t dx t t x t x x x +++=+-=⇒+-=++ .)1212(231212ln 231ln 2])12(23)12(231[2)21(12222222c x x x x x x x x x dt t t t dt t t t t I ++++++++++-+++=+-+-=+++=⎰⎰例16．解 .sin 2cos 5]cos 2sin 5[x x x x +='- 被积函数的分子是x x sin ,cos 的线性组合，故有.1,2,cos )25(sin )25()cos 2sin 5()cos 2sin 5(cos sin 12==⇒-++='-+-=+B A x A B x B A x x B x x A x x 于是.cos 2sin 5ln 2cos 2sin 5)cos 2sin 5()cos 2sin 5(2cos 2sin 5cos sin 12c x x x dx xx x x x x dx x x x x +-+=-'-+-=-+⎰⎰ 例17．解 ⎰⎰⎰-=-+-=+=4cos 13)(cos sin 3sin 2cos 22t dtx x d x xdx t x .cos 2cos 2ln 41]2121[41c xx dt t t ++-=+--=⎰ 例18．⎰⎰+=+x xdxx dx 222cos )2cos 1(cos 21 .3tan arctan 313arctan 313tan 3)(tan 2cos 1)(tan 222c x c t t dtx x d xx d +=+=+=+=+⎰⎰⎰ 例19．.)1ln(18189623266332366c x x x x x dx xx x t x +++-+-=⋅⋅⋅=+-=⎰例20．.15arctan 21515ln153215c x xx x x x dx x xx t x x+-------+-=⋅⋅⋅=---=--⎰例21．.]1ln [arctan 2112sin 22c x x x x x dx tx t +-++=⋅⋅⋅=-+=≤⎰π 例22．,11ln 21211222tan 232c x x x x x dxx tx t +++-+-=⋅⋅⋅=+=<⎰π例23．⋅⋅⋅=+-=⎰t e x x xe e dx232换元后有理函数积分例24．.1arcsin arcsin 2c x x x xdx +-+=⎰分部积分例25．.)(c e dx e e dx exxx e xe xe +==⎰⎰+例26．”）妙用“1(cos sin 1ln cos sin 1)cos sin 1(cos sin 12cos c x x x x x x d x x xdx ++=++=+⎰⎰例27..)13()(2dx e x x e x x x x +++⎰.])[(32])[()()13(])[(23222322c e x x e x x d e x x e x x e x x x x x e ++=++=∴++='+⎰原式例28..11)1(arctan .)1(arctan 2111arctan22x x c x dx x x +-='+-=+⎰例29.=++-=+⎰⎰xb x a x b x a d a b dxx b x a x22222222222222sin cos )sin cos (1sin cos 2sin .2sin )()sin cos (.sin cos 2222222222222x a b x b x a c x b x a ab -='+++-例30.)ln ()ln (1)ln (ln 1)ln (ln 12222x xx d xx x dxxx x x xdx x x x ---=--=--⎰⎰⎰ .ln ln 1c x x xc xx x +-=+-=例31．.1212ln2211)1(22sin 22c xx xx xdxt x +---+-=-+⎰=例32．.111)1(22tan 2323c x x dx x x tx ++++=+=⎰例33．.313222sec 0422c x a x a dx x a x t a x a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=>⎰例34dt tt t dt t t x dxtx ⎰⎰⎰--=+=-+=22sin 2cos 1cos cos cos 1cos 11.arcsin 112c x x x x ++-+-=例35．.ln 212ln 141)1(2)1()2(72717c x x dt t ttx x dxtx +++-=-⋅+=+⎰⎰=例36．.13)12(2)431(]43)21[()1(2232121232232c xx x t tdt x dxx x dx tx ++++=+-=++=++⎰⎰⎰=+例37．.22)(212)2(2222c e x x dx e x x x e x dx x e x x xx x ++-='+++-=+⎰⎰ 例38．.)2ln(201ln 21)2()2(101010910c x x x x dx x x x dx ++-=+=+⎰⎰ 例39．.1ln 72ln )2()1()1()1(71076777c x x x x dx x x x x dx x ++-=+-=+-⎰⎰ 例40．.)1ln (1)()111(111112c x x nx d x n dx x x x x dx x n n n n n n n n n ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰-- 例41．.)1(121003dx x x ⎰-+9899111003)1(493)1(1331)1(12----=-+=-⎰x x dx x x u x例51．求,))((dx x b a x ⎰-- 其中.b a < 解由配方得2,)2())((22a b R b a x R x b a x -=+--=--其中，令,2b a u x ++=则有原式 .))((4)(2)(2arcsin )(41cos sin 22)2sin 412(22cos 1cos 2222222sin 22c x b a x b a x ab b a x a bc t t R t R c t t R dt t R tdt R du u R t R u +--+-+-+--=++=++=+==-=⎰⎰⎰= 例52．设)(x f 有一个原函数,sin xx 求.)(⎰'dx x f x 解用分部积分法有 (*))()()()(⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=='⎰⎰⎰dxx f x xf x xdf dx x f x.sin cos ]sin [])([)(sin )(211xx x x c x x dx x f x f c x x dx x f -='+='=⇒+=⎰⎰ 代入（*）有 1sin sin cos )(c x x x x x dx x f x ---='⎰，即 .sin 2cos )(c x x x dx x f x +-='⎰。

不定积分的典型例题50题

cos 2 xdx
例 14． arcsin 2 x dx arcsin 2 x d ( x 1) 1 x 1 x 例 15． I 例 16．
dx x x2 x 1 .
12 sin x cos x dx. 5 sin x 2 cos x sin xdx . 例 17． 3 sin 2 x
1 dx. 例 13． I 1 x3
d (1 sin x cos x) 1 sin x cos x ln 1 sin x cos x c (妙用“ 1”） 2 x x ( x x ) e ( x 3 x 1 ) e dx . 例 27.
例 26．
1 sin x cos x
(x
4
x dx. 1) ( x 4 x 2 )
2
例 4. 例 5.
x15 x8 1 x8 1 1 8 7 dx x dx dx ( x8 1)2 ( x8 1)2 8 ( x8 1) 2
1 cos x dx. 1 cos x sin x
dx. 分子分母同乘（ x 1 x ）
1
1 x2
x 1

1 cost dt
cost
cost cos t dt 1 sin xdx 2 1 cos t x x x 2 2 x 例 45． dx sin 2 cos 22sin sin x cos x cos dx 2 dx 2 csc 2 xdx cot x c 3 sin 3 x 2 sin2 x
例 6. x 2 x 2 1dx
1 1 1 1 dx [ ]dx 例 8. 4 2 1 x 2 1 x 1 x2

考研试题分析四(不定积分)

考研试题分析四（不定积分）例1．（1999年高数一至四）设是连续函数，是的原函数，则 )(x f )(x F )(x f （A ）当是奇函数时，必是偶函数。

)(x f )(x F （B ）当是偶函数时，必是奇函数。

)(x f )(x F （C ）当是周期函数时，必是周期函数。

)(x f )(x F （D ）当是单调增函数时，必是单调增函数。

)(x f )(x F [答案] （A ）.[分析] 可以选取较简单的函数，逐个检验。

[解答]取（奇函数，单调增函数），有x x f =)(C x x F +=221)(不是单调增函数,故(D)错误。

取（偶函数），有2)(x x f =C x x F +=331)(不是奇函数，故(B)错误。

取（周期函数），有x x f cos )(=C x x F +=sin )(也是周期函数，但取1cos )(+=x x f （周期函数），有C x x x F ++=sin )(不是周期函数，故(C)错误。

排除法确定（A ）正确。

.例2．(2004年高数一)已知，且则xx xe e f −=′)(,0)1(=f =)(x f .[答案]x 2ln 21 [分析] 已知条件与的导数有关, 所求的是的表达式, 若能求出的导数, 则其导数的不定积分即为.)(x f )(x f )(x f )(x f [解答] 设, 则, 从而t ex=t x ln =.ln )(tt t f =′ 因所以有.)()(C x f dx x f +=′∫.)(ln 21ln ln ln 212C x f C x x xd dx x x +=+==∫∫ 故.ln 21)(212C C x x f −+=由于,0)1(=f 故取,021=−C C 所以x x f 2ln 21)(=例3．(1992年高数二) 求.123∫+xdx x[答案] .)1()1(31212232C x x ++−+[分析一] 本题中难积的部分是.12x +如果将视作整体,则分子部分可设法凑成21x +).1(2x d +[解一]C x x x d xx x d x x x d x x x dx x ++−+=++−+=++−+=++=+∫∫∫∫21223222222222223)1()1(31)1()111(21)1(1211)1(121[分析二] 注意到被积函数中含有的形式,故可考虑用三角代换法. 22x a +[解二] 令22(ππ<<−=t tgtx , 则tdt dx 2sec =C x x C t t t d t t td tg tdt t t tg x dxx ++−+=+−=−===+∫∫∫∫2122323222323)1()1(31sec sec 31sec )1(sec sec sec sec 1 例4．(1997年高数二)=−∫)4(x x dx[答案] .2arcsin2C x+或.22arcsin C x +− [分析一] 本题分母中分离出.x 与分子可结合为.2x d xdx =而分母中余下的部分可化为.)(42x −[解一]C x x x d x dxxx x dx +=−=−=−∫∫∫2arcsin 2)(4241)4(2.[分析二] 本题分母中根号下部分可配成完全平方形式: .)2(42−−x 而分子可凑成).2(−x d [解二]C x x x d x x dx +−=−−−=−∫∫22arcsin)2(4)2()4(2. 例5．(1993年高数一) 求.1dx e xe xx ∫−[答案].141412C e arctg e e x xx x +−+−−−[分析] 本题中难积的部分是.1−x e 如果将视作整体,则分子部分须设法凑成的形式，但本题分子部分是，故须将1−xe dx e e d x x =−)1(dx xe x 1−xe 视作整体，作变量替换。

高数竞赛习题(不定积分、定积分)

省高数竞赛学生报名网址：/mathcpt/第一讲不定积分例1. 求下列不定积分（1）⎰+dx e x e x（2）⎰--dx e x x x 22)1(（3）⎰++⋅+dx e x x e x x x x )13()(22 例2.（1）dx e x x xx x ⎰⋅+-)cos 1(cos sin cos sin 2（2）⎰--dx x x x2)ln (ln 1例3. （1）⎰+)2(7x x dx（2）⎰++232)1(x x dx例4.（1）⎰++xx x dx4212（2）⎰+++6321x x x ee e dx例5. （1）dx e xx x⎰++cos 1sin 1 （2）⎰++dx x e x x2)2()1( （3）⎰+dx x e x x22)2( 例6. 设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=)(x f dx____________ 例7. （1）6532+-+x x x（2）2)1(1-x x（3）)1)(21(12x x ++例8. (1) dx x x x x x x ⎰++--++)22()1(3612332 (2) ⎰+dx x x 91例9.（1）⎰-+dx x x 1003)1(12 （2） ⎰++dx x x x 234811例10. ⎰+++dx x x 3111例11. ⎰++3cos sin 2x x dx例12.（1）⎰x x dx53cos sin（2）⎰+dx x sin 1例13. （1）⎰+dx x xsin 1sin （2）⎰++dx xxx cos 1sin例14. （1）dx x x x ⎰3cos 2cos 4sin （2）⎰xdx x 42cos sin例15. （1）⎰+xdx x x arctan 122（2）⎰dx ee arc xxcot例16. dx x f x f x f x f x f ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''-')()()()()(32例17. ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<=121011)(x x x x x x f 求⎰dx x f )(第二讲定积分例1. ],[)(b a C t g ∈，⎰=xa dt t g x f )()(，证明：至少],[b a ∈∃ξ，使)()(ξg ab b f =-. 例2. （1）⎰-aa dx xa x 2422 （2）⎰--2ln 021dx e x（3）⎰---201010cos sin 4cos sin πdx xx xx例3. 估值（1）⎰333arctan xdx x （2）⎰+--13224xx x dx例4. 求导数（1）由方程1sin 220=+⎰⎰x yt dt tt dt e ，确定y 为x 的函数，求dx dy（2）⎰-=x dt t x f x F 0)()(例5. 设当0>x 时，)(x f 可导，且满足)0()(11)(1>+=⎰x dt t f xx f x，求)(x f例6. )(x f 为连续函数，且⎰+=10)(2)(dt t f x x f ，则=)(x f ____________例7. 求极限（1）⎰-+∞→x t xx dt et xe 0222lim（2）xdt t x x ⎰∞→0sin lim例8. 求积分（1）⎰-20)1(dx x f ，其中⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=+0110)(11x e x x f x x ，例9.（1）⎰-10dt x t t ，（2）b a dx x ba <⎰,例10. ⎰--=x a y a y dy e x f 0)2()(，求⎰adx x f 0)(例11. （1）)(x f 在),(∞+-∞上连续，且x ∀，有)()()(y f x f y x f +=+，求⎰-+112)()1(dx x f x（2）⎰--+=4421sin ππdx e xI x例12. （1）⎰++--42)3ln()9ln()9ln(dx x x x（2）dx e e e I xx x⎰+=20cos sin sin π例13. （1） ⎰+=π023c o s 1s i n dx xxx I （2）⎰+40)tan 1ln(πdx x例14. 已知A dx x x =+⎰π02)2(cos ，求⎰+201cos sin πdx x x x例15. )(x f 是连续函数，证明：（1）⎰⎰=20023)(21)(a a dx x xf dx x f x（2）dx x f dx x f ⎰⎰=2020)cos (4)cos (ππ（3）⎰⎰⎰++=+1001)(ln )()1(ln)(ln dt t f dt t f t f dt t x f x（4）设n 为正整数，证：⎰⎰=2020cos 21sin cos ππxdx xdx x n nnn例17. 若)(x f 连续，则⎰⎰⎰-=xxudu u f u x du dt t f 000)()(])([.例18. )(),(x g x f 在],[b a 上连续，证：至少),(b a ∈∃ξ，使得⎰⎰=ξξξξabdx x f g dx x g f )()()()(例19. ],[)(b a C x f ∈，证明：⎰⎰-≤b a ba dx x f ab dx x f )()())((22例20. ],[)(b a C x f ∈，且严格单调增，证：⎰⎰<+ba b a dx x xf dx x f b a )(2)()(.例21. )(x f 在],[b a 上可导，且0)(,)(=≤'a f M x f ，证：2)(2)(a b Mdx x f ba -≤⎰例22. 设)(x f 在],[b a 上不恒等于零，且其导数)(x f '连续，且有0)()(==b f a f ，证：],[b a ∈∃ξ，使⎰-≥'b adx x f a b f )()(4)(2ξ例23. 在],0[a 上，0)(>''x f ，证)2()(0aaf dx x f a ≥⎰例24. )(x f '在],0[a 连续，且0)0(=f ，证2)(2Ma dx x f a≤⎰，其中，)(max 0x f M ax '=≤≤.反常积分例1. （1）⎰∞++02)1(1dx e x （2）⎰∞+∞-++942x x dx（3）⎰∞++022)1(ln dx x x x （4）⎰-e dx x x 12)(ln 11 例2. ⎰∞++03)1(x x dx定积分应用例1. 求由曲线x x y e x xx y axa 21)(,1lim)(221=-+=+∞→，及1=x 所围图形的面积。

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不定积分例题
例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （）
A 、x e 2-
B 、2-x e 2-
C 、4-x e 2-
D 、4x e 2-
分析：因为)(x f 的一个原函数是x e 2-
所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2-
答案：B
例2、已知⎰+=c x dx x xf sin )(，则=)(x f （）
A 、x
x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析：对⎰+=c x dx x xf sin )(两边求导。

得x x xf cos )(=，所以=
)(x f x x cos 答案：C
例3、计算下列不定积分
1、dx x x 23)1(+
⎰ 2、dx x
e e x x x )sin 3(2-+⎰ 分析：利用基本积分公式积分运算性质进行积分，注意在计算时，对被积函数要进行适当的变形
解：1、dx x x 23)1
(+⎰dx x x x )12(3
++=⎰ c x x x dx x dx x xdx +-+=++=⎰
⎰⎰22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+⎰dx x
dx e x ⎰⎰+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x
⎰-21
2、dx e e x x ⎰+2)
1( 分析：注意到这几个被积函数都是复合函数，对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法，在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ϕ=，设法将对x 求积分转化为对)(x u ϕ=求积分。

解：1、dx x x
⎰-21c x x d x +--=---=⎰222
1)1(1121 2、dx e e x x ⎰+2)
1(c e e d e x x x ++-=++=⎰11)1()1(12 例5、计算⎰+xdx x sin )1(
分析：注意到这些积分都不能用换元积分法，所以要考虑分部积分，对于分部积分法适用的函数及u ，v '的选择可以参照下列步骤①凑微分，从被积函数中选择恰当的部分作为dx v '，即dv dx v ='，使积分变为⎰udv ；②代公式，⎰udv ⎰-=vdu uv ，计算出dx u du '=；③计算积分⎰vdu
解：⎰+xdx x sin )1(⎰⎰⎰--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin
⎰+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (。