河南省中原名校联盟2020—2021学年高三上学期第一次质量考评数学(理科) 含答案详解

河南省中原名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次质量考评数学（理）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}lg(1)A x y x ==-∣，{}20B x x =+>∣，则A B =（ ）A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(1,2)2．已知复数321i z i=-，则z 的共轭复数z =（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+3．已知sin θ=sin cos 44ππθθ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．13B ．16C ．18D ．1124．34(2)(2)x y x y -+的展开式中6xy 的系数为（ ）A ．32-B ．32C ．64D ．64-5．已知2log 3a =，()0.20.40log ,2b -=，1lg 3c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．已知实数x ，y 满足不等式组1221y x y x x ≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥⎩，则42z x y =+的最大值为（ ）A ．20B ．18C ．12D ．47．已知双曲线C 的方程为2221(0)x y b b-=>，其离心率e =，则双曲线C 的上焦点F 到其渐近线的距离为（ ）ABC．D．8．函数()14f x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()0,2π内的极小值为（ ）A ．32πB ．312π- C ．1π+ D ．2π+9．已知函数2,02()222,2x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，若()g x 为偶函数，且0x ≥时，()()g x f x = ，若()g x 在[,3]m(3)m <上的值域为[]4,0-，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[3,3)-B ．[3,0]-C ．[0,3)D ．[2,2]-10．在古代，正四棱台也叫“方亭”，竖着切去“方亭”两个边角块，把它们合在一起是“刍甍”（如图1中的几何体1111ABCD A B C D -为一个“刍甍”），图1是上底为a ，下底为b 的一个“方亭”，图2是由图1中的“方亭”得到的“刍甍”，已知“方亭”的体积为1V ，“刍甍”的体积为2V，若12a b =（约等于0．618，被称为黄金分割比例，且12恰好是方程210x x +-=的一个实根，台体的体积公式为()13V h S S =+），则21V V =（ ）ABC ．12D ．1411．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点（设点A 在第一象限），分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，若1AFA △为等边三角形，1BFB △的面积为1S ，四边形11A B BF 的面积为2S ，则12S S =（ ）A ．13B ．14C ．16D ．1712．已知函数2()f x x x t =-+（t 为常数）满足()2()4ff x x x -+=，()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()()f g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为m ，n ，则24m n t ++的值为（ ）A ．5-或15B ．9-或11C ．11-或9D ．5或15-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数5()ln f x x x =+的图象在1x =处的切线方程为__________．14．已知非零向量a ，b 满足223b a =，且(32)a a b ⊥+，则向量a 与b 的夹角为__________．15．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，且ABC △的面积为则223a c +的最小值为__________．16．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，其外接球的球心在三棱锥P ABC -的内部，且外接球的表面积为16π，若D 为BC 中点，则异面直线PD 与AB 所成角的余弦值为__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，若1310a a +=，且3a ，215a ，5a 成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若91922log log n n n b a a ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）如图，S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，点A ，B 在底面圆周上，且60AOB ∠=︒，点C ，D 分别为SB ，OB 的中点．（1）求证：AC OB ⊥；（2）若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值． 19．（本小题满分12分）在5月31日世界无烟日来临前夕，甲、乙两个单位随机抽取部分烟民进行调查，得到他们每月吸烟数量（单位：盒）的茎叶图如下所示．（1）若规定每月吸烟不超过10盒称为“初级烟民”’，否则称为“非初级烟民”．试根据所给的茎叶图，填写下列2×2列联表．并分析是否有95%的把握认为两个单位的烟民中的“初级烟民”所占比例有差别：（2）设吸烟盒数的平均数为x ，方差为2s ，若出现吸烟盒数不在(2,2)x s x s -+内的烟民，则需要对该烟民进行跟踪观察，根据所给数据分析在乙单位调査的烟民中，是否有需要跟踪观察的烟民．（参7.72≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．（本小题满分12分）如图，直线1:l y kx =与椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>交于M ，N 两点，与直线2:20l x y a -+=交于点P ，且椭圆E（1）若点M 在第二象限，且||||PM ON +的最小值为O 为坐标原点），求椭圆E 的方程； （2）若椭圆E 的方程为（1）中所求方程，且38k ≥，求||||OP MN 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数22()3ln (0)f x x ax a x a =+->． （1）若()f x 的极小值为22a ，求实数a 的值； （2）若2a =，求证：()(6)ln 8f x x x >--． 【选考题】请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin cos x y ϕϕϕ⎧=⎨=⎩（ϕ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()6πθρ=∈R ．（1）求直线l 被曲线C 截得的弦长；（2）设点P 的直角坐标为(1)-，直线与曲线C 交于A ，B 两点，求11||||PA PB +． 23．（本小题满分10分）【选修4-5:不等式选讲】已知函数()|1||24|f x x x =-++的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若0a <，0b >，且2a b m +=，求证：2295a b +≥． 中原名校2020—2021学年上期质量考评一高三理科数学·全解全析1．【答案】B【解析】由题意得{}10(,1)A x x =->=-∞∣，(2,)B =-+∞，故(2,1)A B =-．故选B ．2．【答案】C【解析】由题意，3222(1)22111(1)(1)2i i i i iz i i i i i --+-=====----+，故1z i =+．故选C ． 3．【答案】B 【解析】11sin cos sin 2cos244222πππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2111112sin 122236θ⎛⎫=-=⨯-⨯= ⎪⎝⎭，故选B ． 4．【答案】C【解析】由题意，展开式中含6xy 的项为：224043033363434(2)()(2)(2)()(2)64C x y C x y C x y C x y xy -⋅+-⋅=，故所求系数为64．故选C ．5．【答案】C【解析】由对数函数的质可得222log 2log 3log 4<<， 即12a <<；又0.40.4log 0.2log 0.41>=， 故()0.20.40log 0.21-<<，即01b <<；3331log 10log 92lg=>=，即2c >，故b a c <<．故选C ． 6．【答案】A【解析】不等式组1221y x y x x ≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥⎩表示的平面区域如下图的阴影部分所示，平移直线420x y +=可知，42z x y =+在点A 处取得最大值．由221y x y x =-⎧⎨=+⎩，可得(3,4)A ，故42z x y =+的最大值为432420⨯+⨯=．故选A ．7．【答案】B【解析】设双曲线C 实轴长为2a ，由题意，得1a =，1c ce a ===c =所以222312b c a =-=-=，上焦点F ，双曲线C 的方程为2212x y -=，所以双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x ±=．故上焦点F =B ．8．【答案】A 【解析】∵()11422f x x x x x x π⎫⎛⎫=-++=-++⎪ ⎪⎝⎭⎭sin cos 1x x x =-++，∴()cos sin 114f x x x x π⎛⎫'=++=++ ⎪⎝⎭，令()0f x '=，得sin 42x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 由(0,2)x π∈，得9,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴544x ππ+=或744x ππ+=，即x π=或32x π=．令()0f x '>，得sin 42x π⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，结合(0,2)x π∈，得0x π<<或322x ππ<<； 令()0f x '<，得sin 4x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，结合(0,2)x π∈，得32x ππ<<， ∴当32x π=时，()f x 取得极小值331222f ππ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭331122ππ-++=．故选A ． 9．【答案】B【解析】由题意，可以画出函数()g x 的大致图象如下．由(0)0g =，(3)(3)4g g -==-，结合图象可知30m -≤≤，故选B ．10．【答案】D【解析】设“方亭”的高为h ，则()22113V h a ab b =++， ()222211122226b a V V a h h a h b a ab -⎛⎫=--⨯⨯⨯=-- ⎪⎝⎭，∴()()22222221122161213a a h b a ab V b b V a a h a ab b b b ⎛⎫---- ⎪⎝⎭==⨯⎛⎫++++ ⎪⎝⎭．设12m =，则210m m +-=，即21m m +=， ∴()2221211*********m m V V m m -+-=⨯=⨯=+++．故选D ． 11．【答案】D【解析】由条件可得1160AFx AFA A FO ∠=∠=∠=︒，1130BFB OFB ∠=∠=︒，直线AB的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，与22y px =联立，消去y ，整理得2233504p x px -+=，解得6px =或32p x =，故32p A ⎛⎫⎪⎝⎭，,6p B ⎛ ⎝⎭，则12|||623p p p BF BB ==+=∣， 则1BFB △的面积为11262p p S ⎛⎫=⨯+⨯=⎪⎝⎭ 四边形11A B BF的面积为212S p p ⎛⎫=-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，故1217S S ==．故选D ． 12．【答案】A【解析】对于函数()g x ，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 故()g x 的最大值为2sin22π=，最小值为2sin 16π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 即()g x 的值域为[]1,2-． 因为2()f x x x t -+=，所以2()()4f x x x tf t ⎧=-+⎨=⎩，故24t t t -+=，即2t =±． ①当2t =时，2()2f x x x =-+， 故()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故(())f g x 的最大值为(2)m f =，最小值为12n f ⎛⎫=⎪⎝⎭， 即14(2)42m n f f ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭114421142⎛⎫+⨯-+= ⎪⎝⎭；②当2t =-时，2()2f x x x =--， 同理可得14(2)42m n f f ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭11042942⎛⎫+⨯--=- ⎪⎝⎭． 综上49m n +=-或11，所以245m n t ++=-或15，故选A ． 13．【答案】650x y --=【解析】由5()ln f x x x =+，得41()5f x x x'=+， 所以(1)516f '=+=，又(1)1ln11f =+=，故所求的切线方程为16(1)y x -=-，即650x y --=． 故答案为：650x y --=． 14．【答案】56π 【解析】因为(32)a a b ⊥+，所以2(32)320a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以23||2a b a ⋅=-． 又因为223b a =，所以||3||b a =，设a 与b 的夹角为θ，则[0,]θπ∈，223||32cos 2||||3||a ab a b a θ-⋅===-⋅，所以56πθ=．故答案为56π． 15．【答案】80【解析】由2cos 2c B a b =+及正弦定理可得2sin cos 2sin sin C B A B =+，∴2sin cos 2sin()sin C B B C B =++，即2sin cos sin 0BC B +=，又sin 0B >，故1cos 2C =-，故23C π=． 因为ABC △的面积为1sin 2ab C =即122ab ⨯=16ab =， 由余弦定理可得222222212cos 216162c a b ab C a b a b ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-=++ ⎪⎝⎭，所以2222233a c a a b +=++221641641680a b ab +=++≥+=，当且仅当2a b ==223a c +的最小值为80． 故答案为：80． 16．【解析】由外接球的表面积为16π，可得其半径为2，设ABC △的中心为O ，则外接球的球心一定在1PQ 上， 由正三棱锥P ABC -的底面边长为3，得1AQ = 在1Rt AOO △中，由勾股定理可得()2212PO -+22=，解得11PO =（舍去）或13PO =，又22211PA PO AO =+，故PA ==，取AC 中点E ，连接PE ，DE ，则DE AB ∥，故PDE ∠即为异面直线PD 与AB 所成角，在PDE △中，32DE =，PD PE ===，由余弦理可得22239939cos 2PD DE PE PDE PD DE +-+-∠===⋅．． 17．（本小题满分12分）【解析】（1）由3a ，215a ，5a 成等差数列，可得35230a a a +=，设数列{}n a 的公比为q ，则322230a q a q a +=，则330q q +=，设3()f q q q =+，则()f q 在R 上单调递增，而(3)30f =，故满足330q q +=的q 的值为3．由1310a a +=得21111910a a q a a +=+=，故11a =，故{}n a 的通项公式为13n n a -=． （2）由（1）可得19192992log log log 3log 32n n n n n b a a +++==⋅⋅()811811n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∴111111*********n S n n ⎛⎫=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭188111n n n ⎛⎫=⨯-=⎪++⎝⎭． 18．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意，得SO ⊥底面圆O ，点C ，D 分别为SB ，OB 中点， ∴CD SO ∥，∴CD ⊥底面圆O ， ∴OB 在底面圆O 上，∴OB CD ⊥． ∵60AOB ∠=︒，∴AOB △为正角形， 又D 为OB 中点，∴OB AD ⊥， 又ADCD D =，且 AD ， C D ⊂平面ACD ，∴OB ⊥平面ACD ，∵AC ⊂平面ACD ，∴AC OB ⊥．（2）如图，以D 为原点，DA ，DB ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A ，(0,0,2)C ，(0,1,0)O -，(0,1,4)S -，故(2)AC =-，(1,4)AS =--，(3,1,0)OA =， 设平面SOA 的法向量为(,,)n x y z =，由00n AS n OA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得400y z y ⎧-+=⎪+=，令1x =，得(1,3,0)n =-为平面SOA 的一个法向量， 设直线AC 与平面SOA 所成的角为θ， 则sin |cos ,|||||1n ACn AC nAC θ⋅-=〈〉==⋅14==， 即直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值为14． 19．（本小题满分12分）【解析】（1）填写的2×2列联表如下：所以222()22(8743)882.9333.841()()()()1111121030n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈<++++⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为两个单位的烟民中的“初级烟民”所占比例有差别． （2）由所给数据可知，乙单位调查的烟民吸烟盒数的平均数为：678111213172223311510x +++++++++==，乙单位调查的烟民吸烟盒数的方差为：222222222221(9)(8)(7)(4)(3)(2)2781659.610s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-++++=⎣⎦ ∴7.72s =≈，∴230.44x s +=，而3130.44>，∴在乙单位抽取的烟民中，有需要跟踪观察的烟民．20．（本小题满分12分）【解析】（1）设椭圆E 的焦距为2c ，由题意2c a =， ∴22223444a c a b ==-，∴224b a =，∴2a b =，由椭圆的对称性可得||||OM ON =， 故||||||||||PM ON PM OM OP +=+=，||OP 的最小值为点O 到直线2:20l x y a -+=的距离，=2a =，1b =，椭圆E 的方程为2214x y +=． （2）由2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得()22414k x +=，即x =，∴||MN ⎛⎫=-= ⎝， 由（1）知2a =，∴2:40l x y -+=，联立40y kx x y =⎧⎨-+=⎩，解得4141x k ky k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，即44,11k P k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，∴||OP ==∴||||OP MN ====令83k t -=，得38t k +=，由38k ≥，得0t ≥， ∴2228364(1)1025318k t tk t t t -==--++⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当0t =时，26401025tt t =-+，此时，||2||OP MN ==；当0t ≠时，2646425102510t t t t t=-++-，∵2510100t t+-≥=，当且仅当5t =时等号成立， ∴64(0,)2510t t∈+∞+-，此时||(2,)||OP MN ∈+∞． 综上可知，||||OP MN 的取值范围是[2,)+∞． 21．（本小题满分12分）【答案】（1）由题意，22()3ln f x x ax a x =+-的定义域为(0,)+∞，且2221323()(23)()2(0)a x ax a x a x a f x x a x x x x+--+'=+-==>， 由()0f x '<得0x a <<，由()0f x '>得x a >，∴()f x 在区间()0,a 上单调递减，在区间(),a +∞上单调递增， ∴()f x 的极小值为22222()3ln 23ln f a a a a a a a a =+-=-，令22223ln 2a a a a -=，得23ln 0a a =， ∵0a >，∴ln 0a =，∴1a =． （2）当2a =时，2()212ln f x x x x =+-，设()()(6)ln g x f x x x =--，则22()212ln (6)ln 26ln ln g x x x x x x x x x x x =+---=+--，则262ln 6()22ln 1(0)x x x x g x x x x x x+--'=+---=>， 设2()2ln 6(0)h x x x x x x =+-->， 则()41(ln 1)4ln h x x x x x '=+-+=-，设()4ln m x x x =-，则141()4(0)x m x x x x-'=-=>， 由()0m x '<可得104x <<，由()0m x '>可得14x >，即()m x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增， ∴11()1ln 12ln 2044m x m ⎛⎫≥=-=+>⎪⎝⎭，即()0h x '>， ∴()h x 在()0,+∞上单调递增． ∵(1)30h =-<，(2)42ln 20h =->， ∴()h x 存在唯一的零点0x ，且0(1,2)x ∈．由()2000002ln 60h x x x x x =+--=，得0006ln 21x x x =-+， 当()00,x x ∈时，()0h x < ，即()0g x '<， 当()0,x x ∈+∞时，()0h x > ，即()0g x '>， ∴()2000000()26ln ln g x g x x x x x x ≥=+--()20000062621x x x x x ⎛⎫=+-+-+ ⎪⎝⎭20003611x x x =--+， 易得()g x 在区间()1,2上单调递减， 故()2036211282g x >--⨯+=-， ∴()()(6)ln 8g x f x x x =-->-，即()(6)ln 8f x x x >--．（解法二）当2a =时，2()212ln f x x x x =+-，要证()(6)ln 8f x x x >--只要证2212ln (6)ln 8x x x x x +->--， 即证228(6)ln x x x x ++>+，∵0x >，∴只要证228ln 6x x x x ++>+，下面证明22862x x x x ++>+①，且ln 2xx >②， ∵22216(1)15150x x x -+=-+≥>， ∴2224166x x x x ++>+，结合0x >，得22862x x xx ++>+， 即当0x >时，①成立； 令()ln 2x h x =-，则112()22x h x x x-'=-=， 当02x <<时，()0h x '< ，当2x >时，()0h x >， ∴函数()h x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ∴函数()h x 的最小值为2(2)ln 21ln 22h =-=-， 又1ln 21ln 0e ->-=， ∴()0h x >， ∴②成立．综合①②可知228ln 62x x xx x ++>>+， ∴()(6)ln 8f x x x >--成立．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）由22cos 2sin cos x y ϕϕϕ⎧=⎨=⎩，得1cos 2sin 2x y ϕϕ-=⎧⎨=⎩，故曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+= 因为直线l 的极坐标方程为()6πθρ=∈R ，所以直线的直角坐标方程为0x -= 所以圆心C 到直线l 12=，所以直线l 被圆C 截得的弦长为=（2）易知点()1P -在直线l 上，直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 代入曲线C可得2211112t ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即24)40t t -+=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则124t t +=，124t t =，∴11||||||||||||PA PB PA PB PA PB ++===⋅ 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）由题意，得33,2()|1||24|5,2133,1x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪+>⎩，∴()f x 在区间(),2-∞-上单调递减，在区间[)2,-+∞单调递增， ∴()f x 的最小值(2)253m f =-=-+=． （2）（解法一）由柯西不等式可得()()2222221(2)ab a b ++≥+，由（1）得3m =，∴23b +=， ∴()2259a b +≥，∴2295a b +≥，当且仅当2a b =且23a b +=，即6535a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立．（解法二）由（1）得3m =，∴23a b +=， 两边平方，得22449a b ab ++=， ∵2242(2)4ab a b a b =⋅⋅≤+，∴()()2222229445a b a b a b ≤+++=+，∴2295a b +≥，当且仅当2a b =且23a b +=，即6535a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立．。