河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测数学(理)试题
2020-2021学年河南省百校联盟高三(上)9月质检数学(理科)试题word版含解析
2020-2021学年河南省百校联盟高三（上）9月质检数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，5}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁R N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，5} D．{﹣1，1}2．（5分）设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a=（）A．4 B．3 C．2 D．13．（5分）在等差数列{a n}中，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a3成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（）A．3 B．C．4 D．5．（5分）若输入a=16，A=1，S=0，n=1，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．8 B．7 C．6 D．56．（5分）已知将函数f（x）=tan（ωx+）（2＜ω＜10）的图象向右平移个单位之后与f（x）的图象重合，则ω=（）A．9 B．6 C．4 D．87．（5分）6名同学站成一排照毕业相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为（）A．60 B．96 C．48 D．728．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．8π+2 B．10π+2 C．6π+2 D．12π+29．（5分）已知f（x）=2x﹣2﹣x，a=（），b=（），c=log2，则f（a），f（b），f（c）的大小顺序为（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（b）＜f（c）＜f（a）10．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1和AB的中点，平面B1EF棱AD交于点P，则PE=（）A．B．C．D．11．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为（）A．12 B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）若向量，满足||=2||=2，|﹣4|=2，则向量，的夹角为．14．（5分）若（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数为30，则（3x2+1）dx= ．15．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=3|x|+y的最小值为．16．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A，B是圆（x+c）2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=，cosAsinB+（c﹣sinA）cos（A+C）=0．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为，求sinA+sinC的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有S n=a n+n﹣3成立．（1）求证：存在实数λ使得数列{a n+λ}为等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和T n．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为等腰梯形，E为PD中点，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AC⊥BD，AD=2BC=4．（1）证明：平面EBD⊥平面PAC；（2）若直线PD与平面PAC所成的角为30°，求二面角A﹣BE﹣P的余弦值．20．（12分）小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A、B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A、B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A、B、C猜中的概率分别为，，，且A、B、C是否猜中互不影响．（1）求A恰好获得4元的概率；（2）设A获得的金额为X元，求X的分布列；（3）设B获得的金额为Y元，C获得的金额为Z元，判断A所获得的金额的期望能否超过Y的期望与Z的期望之和．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的下顶点为P，如图所示，点M为直线x=2上的一个动点，过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM，且与C交于A，B两点，与OM交于点N，四边形AMBO和△ONP的面积分别为S1，S2．求S1S2的最大值．22．（12分）设函数f（x）=lnx+﹣x．（1）当a=﹣2时，求f（x）的极值；（2）当a=1时，证明：f（x）﹣+x＞0在（0，+∞）上恒成立．2020-2021学年河南省百校联盟高三（上）9月质检数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，5}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁R N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，5} D．{﹣1，1}【分析】化简集合N，求出∁R N，再计算M∩∁R N．【解答】解：∵全集为R，集合M={﹣1，0，1，5}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2}，∴∁R N={x|﹣1＜x＜2}，∴M∩∁R N={0，1}．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a=（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．【解答】解：∵a+=a+是纯虚数，∴a=2．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）在等差数列{a n}中，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a3成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】先根据d=4，分别求出a2=6，a3=10，则a1，a2，a3不成等比数列，再根据若a1，a2，a3成等比数列，求得d=0，再根据充分必要条件的得以判断即可．【解答】解：a1=2，公差为d，则“d=4”，则a2=2+4=6，a3=2+8=10，则a1，a2，a3不成等比数列，若a1，a2，a3成等比数列，∴（2+d）2=2（2+2d），解得d=0，故“d=4”是“a1，a2，a3成等比数列”既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，等差数列的定义，等比数列的定义，属于中档题．4．（5分）已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（）A．3 B．C．4 D．【分析】设点A的坐标为（x1，y1），求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：设点A的坐标为（x1，y1），抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，∵点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，∴=，∵y12=4x1，∴解得x1=或x1=4，∵|AF|＞2，∴x1=4，∴A点到原点的距离为=4，故选：B．【点评】本题主要考查抛物线性质和定义的应用，利用抛物线的定义建立方程关系是解决本题的关键．5．（5分）若输入a=16，A=1，S=0，n=1，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】模拟程序框图的运行过程，当S≥60时终止循环，输出n的值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入a=16，A=1，S=0，n=1，S=0+16+1=17，S＜60，n=2，A=2，a=8，S=17+8+2=27，S＜60，n=3，A=4，a=4，S=27+4+4=35，S＜60，n=4，A=8，a=2，S=35+8+2=45，S＜60，n=5，A=16，a=1，S=45+16+1=62，S≥60，终止循环，输出n=5．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．6．（5分）已知将函数f（x）=tan（ωx+）（2＜ω＜10）的图象向右平移个单位之后与f（x）的图象重合，则ω=（）A．9 B．6 C．4 D．8【分析】由题意得到tan（ωx﹣+）=tan（ωx+），根据周期性求得ω．【解答】解：f（x）=tan（ωx+）（2＜ω＜10）的图象向右平移个单位之后与f（x）图象重合，所以tan（ωx﹣+）=tan（ωx+），所以ωx+=ωx++kπ，解得ω=﹣6k，k∈Z，又2＜ω＜10，所以ω=6；故选：B【点评】本题考查了正切函数的图象；关键是由题意得到函数为同一个函数，利用周期性得到所求．7．（5分）6名同学站成一排照毕业相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为（）A．60 B．96 C．48 D．72【分析】根据题意，分3步进行分析，①、因为乙和丙相邻，用捆绑法分析可得其情况数目，②、丁和戊相邻，同理可得情况数目，③、将这两个整体与剩下的2人排列，因为甲不站在两侧，则甲有2个位置可选，分析可得其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析，①、因为乙和丙相邻，将其看成一个整体，考虑两人的顺序，有A22=2种情况，②、同理，丁和戊相邻，也有2种情况，③、将这两个整体与剩下的2人排列，因为甲不站在两侧，则甲有2个位置可选，则共有2×A33=12种情况，则不同的站法种数为2×2×12=48种；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的运用，因为涉及的限制条件比较多，所以注意认真分析题意，认清问题是排列还是组合问题，还要注意相邻问题需要用捆绑法．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．8π+2 B．10π+2 C．6π+2 D．12π+2【分析】由三视图知该几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了个半圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的表面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了个半圆柱，球的半径是1，圆柱的底面圆半径是1，母线长是3，∴几何体的表面积S=+π×1×3+π×1×2+π×12+2×1=8π+2，故选：A．【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9．（5分）已知f（x）=2x﹣2﹣x，a=（），b=（），c=log2，则f（a），f（b），f（c）的大小顺序为（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（b）＜f（c）＜f（a）【分析】由f（x）=2x﹣2﹣x是增函数，利用指数函数和对数函数的单调性能比较三个数f（a），f（b），f （c）的大小．【解答】解：∵f（x）=2x﹣2﹣x是增函数，0＜a=（）＜=1，b=（）＞=1，c=log2＜log21=0，∴f（c）＜f（a）＜f（b）．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的单调性的合理运用．10．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1和AB的中点，平面B1EF棱AD交于点P，则PE=（）A．B．C．D．【分析】由面面平行的性质定理可得EQ∥B1F，故D1Q=，B1Q∥PF，故AP=．求出DP，即可得出结论．【解答】解：由面面平行的性质定理可得EQ∥B1F，故D1Q=，B1Q∥PF，故AP=．∴DP=，∴PE==，故选：D．【点评】本题考查面面平行的性质定理，考查学生的计算能力，确定P的位置是关键．11．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为（）A．12 B．C．D．【分析】题意知a n＞0和公比q＞0，由通项公式代入式子：2a4+a3﹣2a2﹣a1同理化简2a5+a4，再把上式代入用q来表示且化简，设=x构造函数y==x﹣x3，再求导、求临界点和函数单调区间，求出函数的最大值，代入2a5+a4化简后式子求出最小值．【解答】解：∵各项均为正数的等比数列{a n}中，2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，∴由题意知等比数列{a n}中a n＞0，则公比q＞0，，∴a1（2q3+q2﹣2q﹣1）=8，则a1（2q+1）（q2﹣1）=8，则a1（2q+1）=，∴2a5+a4==q3a1（2q+1）==，设=x，则y==x﹣x3，由y′=1﹣3x2=0，得x=﹣或x=．x∈（﹣∞，﹣）时，y′＜0；x∈（﹣，）时，y′＞0；x∈（，+∞）时，y′＜0．∴y=x﹣x3的减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），增区间为（﹣，）．∴当x=时，y max==，∴2a5+a4的最小值为=12．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，换元法、构造函数法，以及导数与函数单调性、最值的应用，属于数列与函数结合较难的题，考查了学生分析问题和解决问题的能力．12．（5分）已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（）A． B．C． D．【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可【解答】解：∵函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，而函数y=kx﹣1关于直线y=﹣1的对称图象为y=﹣kx﹣1，∴f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，作函数f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象如下，易知直线y=﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），设直线AC与y=xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），y′=lnx﹣1，故lnx﹣1=，解得，x=1；故k AC=﹣1；设直线AB与y=x2+x相切于点B（x，x2+x），y′=2x+，故2x+=，解得，x=﹣1；故k AB=﹣2+=﹣；故﹣1＜﹣k＜﹣，故＜k＜1；故选：A．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）（2016秋•城区校级月考）．【分析】可知，对两边平方进行数量积的运算即可求出，从而便可得出的夹角．【解答】解：根据条件：；∴===28；∴=；∴．故答案为：．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，已知三角函数值求角，以及向量夹角的范围．14．（5分）若（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数为30，则（3x2+1）dx= 10 ．【分析】根据题意求出（x+）10展开式中含x4项、x6项的系数，得出（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数，再列出方程求出a的值，利用定积分求出结论．【解答】解：（x+）10展开式的通项公式为：T r+1=•x10﹣r•x﹣r=•x10﹣2r；令10﹣2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为；令10﹣2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为；所以（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数为：﹣a=30，解得a=2．∴（3x2+1）dx==10．故答案为10．【点评】本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，考查定积分知识的运用，是中档题．15．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=3|x|+y的最小值为．【分析】由线性约束条件画出可行域，转化目标函数为分段函数，根据角点法，求出目标函数的最小值．【解答】解：作出不等式组，表示的平面区域，如图所示：z=3|x|+y，，得A（﹣1，0），此时z=3，可得B（0，2），此时z=2．由可得C（，），此时z=x﹣4y+1=0，此时z=z=3|x|+y的最小值为．故答案为：．【点评】在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．16．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A，B是圆（x+c）2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为．【分析】连接BF1，AF2，由双曲线的定义，可得|AF2|=2a+2c，|BF2|=2c﹣2a，在△AF1F2中，和△BF1F2中，运用余弦定理求得cos∠AF1F2，os∠BF2F1，由F1A∥F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2=π，即有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：连接BF1，AF2，由双曲线的定义，可得|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，由|BF1|=|AF1|=2c，可得|AF2|=2a+2c，|BF2|=2c﹣2a，在△AF1F2中，可得cos∠AF1F2==，在△BF1F2中，可得cos∠BF2F1==，由F1A∥F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2=π，即有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0，可得+=0，化为2c2﹣3ac﹣a2=0，得2e2﹣3e﹣1=0，解得e=（负的舍去），故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=，cosAsinB+（c﹣sinA）cos（A+C）=0．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为，求sinA+sinC的值．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数以及三角形的内角和，转化求解B的正切函数值，即可得到结果．（2）利用三角形的面积求出ac，利用余弦定理求出a+c，利用正弦定理求解即可．【解答】解：（1）由cosAsinB+（c﹣sinA）cos（A+C）=0，得cosAsinB﹣（c﹣sinA）cosB=0，即sib（A+B）=ccosB，sinC=ccosB，，因为，所以，则tanB=，B=．（2）由，得ac=2，…（6分）由及余弦定理得，…（8分）所以a+c=3，所以…（10分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有S n=a n+n﹣3成立．（1）求证：存在实数λ使得数列{a n+λ}为等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的定义通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵S n=a n+n﹣3，∴a1=S1=+1﹣3，解得a1=4．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n+n﹣3﹣，化为a n=3a n﹣1+2，变形为：a n+1=3（a n﹣1+1），因此取λ=1，则数列{a n+1}为等比数列，首项为5，公比为3．（2）由（1）可得：a n+1=5×3n﹣1，可得a n=5×3n﹣1﹣1，∴na n=5n×3n﹣1﹣n．数列{na n}的前n项和T n=5（1+2×3+3×32+…+n×3n﹣1）﹣．设A n=1+2×3+3×32+…+n×3n﹣1，∴3A n=3+2×32+…+（n﹣1）×3n﹣1+n×3n，﹣2A n=1+3+32+…+3n﹣1﹣n×3n=﹣n×3n，∴A n=．∴T n=﹣．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、递推公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为等腰梯形，E为PD中点，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AC⊥BD，AD=2BC=4．（1）证明：平面EBD⊥平面PAC；（2）若直线PD与平面PAC所成的角为30°，求二面角A﹣BE﹣P的余弦值．【分析】（1）推导出PA⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面EBD⊥平面PAC．（2）设AC和BD相交于点O，连接PO，则∠DPO是直线PD与平面PAC所成的角，从而∠DPO=30°，以O为原点，分别以OB，OC为x，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣P的余弦值．【解答】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，…（1分）又因为AC⊥BD，PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，…（3分）而BD⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面PAC…（4分）解：（2）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（1）知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直线PD与平面PAC所成的角，从而∠DPO=30°，在Rt△POD中，由∠DPO=30°，得PD=2OD，因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，所以，所以，…（7分）以O为原点，分别以OB，OC为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则…（8分）所以=（﹣，﹣2，0），=（﹣2，﹣，2），=（﹣，﹣2，4），=（3，0，0），设平面ABE的一个法向量为=（x1，y1，z1），由=0，，得，令x1=2，得=（2，﹣1，），…（9分）设平面BDP的一个法向量为=（x2，y2，z2），由•=0，•=0，得，令，得=（0，，1），所以cos＜＞==，…（11分）因为二面角A﹣BE﹣P的平面角为锐角，所以二面角A﹣BE﹣P的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A、B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A、B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A、B、C猜中的概率分别为，，，且A、B、C是否猜中互不影响．（1）求A恰好获得4元的概率；（2）设A获得的金额为X元，求X的分布列；（3）设B获得的金额为Y元，C获得的金额为Z元，判断A所获得的金额的期望能否超过Y的期望与Z的期望之和．【分析】（1）由相互独立事件概率乘法公式能求出A恰好获得4元的概率．（2）X的可能取值为0，4，6，12，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（3）Y的可能取值为0，4，6；Z的可能取值为0，4．分别求出相应的概率，由此能求出A所获得的金额的期望能超过Y的期望与Z的期望之和．【解答】解：（1）A恰好获得4元的概率为…（2分）（2）X的可能取值为0，4，6，12，，，…（5分）所以X的分布列为：X 0 4 6 12P…（6分）（3）Y的可能取值为0，4，6；Z的可能取值为0，4．因为，…（8分），…（9分）所以，所以，又，…（11分）由于EX＞EY+EZ，所以A所获得的金额的期望能超过Y的期望与Z的期望之和．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的下顶点为P，如图所示，点M为直线x=2上的一个动点，过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM，且与C交于A，B两点，与OM交于点N，四边形AMBO和△ONP的面积分别为S1，S2．求S1S2的最大值．【分析】（1）由在椭圆C上，可得；又椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，可得：=2，联立解出即可得出．（2）由（1）可知F（1，0），设M（2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则当t≠0时，，，直线AB的方程为2x+ty﹣2=0（t≠0），与椭圆方程联立：（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，利用根与系数的关系、弦长公式可得|AB|，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵在椭圆C上，∴，又∵椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，∴，解得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．（2）由（1）可知F（1，0），设M（2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则当t≠0时，，所以，直线AB的方程为，即2x+ty﹣2=0（t≠0），由得（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，则△=（﹣16）2﹣4（8+t2）（8﹣2t2）=8（t4+4t2）＞0，，，又，∴，由，得，∴，∴，当t=0时，直线，∴当t=0时，．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）设函数f（x）=lnx+﹣x．（1）当a=﹣2时，求f（x）的极值；（2）当a=1时，证明：f（x）﹣+x＞0在（0，+∞）上恒成立．【分析】（1）利用导数求出原函数的单调性，即可求出f（x）的极值；（2）证明f（x）﹣+x＞0在（0，+∞）上恒成立，即证，实际是比较左边函数的最小值与右边函数的最大值，利用导数求出左边函数的最小值与右边函数的最大值；【解答】解：（1）当a=﹣2时，，∴当x∈（0，2）时，f'（x）＞0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＜0．∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；∴f（x）在x=2处取得极大值f（2）=ln2﹣3，f（x）无极小值；（2）当a=1时，，下面证，即证，设g（x）=xlnx+1，则g'（x）=1+lnx，在上，g'（x）＜0，g（x）是减函数；在上，g'（x）＞0，g（x）是增函数．所以，设，则，在（0，1）上，h'（x）＞0，h（x）是增函数；在（1，+∞）上，h'（x）＜0，h（x）是减函数，所以，所以h（x）＜g（x），即，所以，即，即在（0，+∞）上恒成立．【点评】本题主要考查了导数在函数单调性中的应用、函数的最值以及构造新函数等综合知识点，属中等题．。
河南省名校联盟2020届高三数学11月教学质量检测试题 理(含答案)
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（1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最大值．
-4-
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
已知 a，b 为正数，且满足 a＋b＝1．
（1）求证：（1＋ 1 ）（1＋ 1 ）≥ 9 ；
a
b
（2）求证：（ a ＋ 1 ）（ b ＋ 1 ）≥ 25 ．
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河南省八市重点高中联盟2021届高三数学9月领军考试试题 理(含解析).doc
河南省八市重点高中联盟2021届高三数学9月领军考试试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}2|2A x x x =，{|14}B x x =<<，则A B =（ ）A. (,4)-∞B. [0,4)C. (1,2]D. (1,2)【答案】C 【解析】 【分析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：∵A {x |0x 2}=≤≤，B {x |1x 4}=＜＜，∴A B 12]⋂=（，． 故选：C ．【点睛】考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.已知复数z 的共轭复数为z ，若11z z i-=+，则z 在复平面内对应的点为（ ） A. (2,1)-- B. (2,1)-C. (2,1)-D. (2,1)【答案】A 【解析】 【分析】设R z x yi x y =+∈（，），代入11z z i-=+，整理后利用复数相等的条件列式求得x y ，的值，则答案可求．【详解】解：设R z x yi x y =+∈（，），由11z z i-=+，得()()11x yi i x yi -+=+-, 即()()1x y x y i x yi ++-=-+，则1x y x x y y+=-⎧⎨-=⎩，解得2,1x y =-=-.∴z 在复平面内对应的点为()2,1--， 故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．3.已知命题:p x y ∃<，使得x x y y ，则p ⌝为（ ）A. x y ∃≥，使得x xy yB. x y ∀，x x y y <C. x y ∃<，使得x x y y <D. x y ∀<，总有x x y y <【答案】D 【解析】 【分析】利用特称命题的否定性质即可得到. 【详解】因为命题:p x y ∃<，使得x xy y所以命题p ⌝：x y ∀<，总有x x y y < 故答案为D【点睛】本题主要考查了特称命题否定的形式，属于基础题.4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2021中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A. 134 B. 135 C. 136 D. 137【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数.【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.5.函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性可排除B ，结合导数对函数2ln x x y x=在(0,)+∞的单调性即可得出答案。
河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测数学(理)试题(wd无答案)
河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测数学（理）试题一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 设（为虚数单位），则（）A．1B．C．D．(★) 3. 某工厂生产，，三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知 B种型号产品抽取了60件，则（）A．3B．4C．5D．6(★) 4. 在展开式中，含的项的系数是（）A．220B．-220C．100D．-100(★★★) 5. 已知，则（）A．B．C．D．(★★) 6. 2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹.造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命.现从5张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”“杜鹃花”的这5个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取3张，则“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内的概率为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知是奇函数，且实数满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 8. 将函数的图象向左平移个单位长度，若所得图象与原图象关于轴对称，则（）A．B．0C．D．(★★★)9. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（取，精确到0.1）A．B．C．D．(★★) 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，且三边互不相等，若，，，则的面积是（）A．B．C．D．1(★★★★) 12. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 已知实数，满足不等式组则的最小值为_______．(★★) 14. 若平面向量与的夹角为，，，则________.(★★★) 15. 已知双曲线的左右焦点为、，过左焦点作垂直于轴的直线交双曲线的两条渐近线于、两点，若是钝角，则双曲线离心率的取值范围是______.(★★★) 16. 已知半径为4的球面上有两点，，且，球心为，若球面上的动点满足：与所在截面所成角为60°，则四面体的体积的最大值为________.三、解答题(★★) 17. 已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．(★★★) 18. 在棱长为1的正方体中，为的中点，过，，的平面交于点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.(★★★) 19. 某学校高三甲、乙两班同学进行拔河比赛，各局比赛相互之间没有影响.（1）若单局比赛甲班胜乙班的概率为，比赛采用“3局2胜”制，即先胜两局的班获胜，那么甲、乙两班获胜的概率是否相等?并说明理由；（2）设单局比赛甲班胜乙班的概率为，若比赛6局，甲班恰好获胜3局，当甲班恰好获胜3局的概率最大时，求的值；（3）若单局比赛甲班胜乙班的概率为（2）中的甲班恰好获胜3局的概率取最大值时的值，比赛采用“5局3胜”制，设为本场比赛的局数，求的数学期望.(★★★) 20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为，坐标原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一点作两条直线分别与椭圆相交于点，（异于点），试判断以和为对角线的四边形是否为菱形?若是，求出直线的方程；若不是，请说明理由.(★★★★) 21. 已知函数.（1）判断方程的根个数；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线和曲线的直角坐标方程；（2）设直线和曲线交于，两点，直线，，的斜率分别为，，，求证：．(★★★) 23. 已知函数．（1）当时，解不等式．（2）若对任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．。
河南省名校联盟2020-2021学年高三11月教学质量检测数学(理)试题
河南省名校联盟2020-2021学年高三11月教学质量检测数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|20}A x x =-<，2{|20}B x x x =--<，则AB =（ ）A ．()2-∞，B ．()1-∞，C ．(21)-，D ．(12)-， 2．复平面内表示复数1212iz i-+＝的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设两个单位向量,a b 的夹角为23π，则34a b +=（ ）A ．1B CD ．74．设有不同的直线a ，b 和不同的平面α，β，给出下列四个命题： ①若//a α，//b α，则//a b ； ②若//a α，//a β，则//αβ； ③若a α⊥，b α⊥，则//a b ； ④若a α⊥，a β⊥，则//αβ． 其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（ ）A ．这14天中有7天空气质量优良B ．这14天中空气质量指数的中位数是103C ．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好D ．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中（ ） A ．甲不是海南人 B ．湖南人比甲年龄小 C ．湖南人比河南人年龄大 D ．海南人年龄最小7．已知数列{}n a 对于任意正整数m ，n ，有m n m n a a a +=+，若201a =，则2020a =（ ） A ．101B ．1C ．20D ．20208．函数()3sin 3x f x x =+的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是C 上一点，满足212PF F F ⊥，Q 是线段1PF 上一点，且12FQ QP =，120F P F Q ⋅=，则C 的离心率为（ ）A B 1 C ．22- D ．610．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是偶函数，则（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．(3)f x +是偶函数D ．()(2)f x f x =+11．将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ） A ．2640种B ．4800种C ．1560种D ．7200种12．已知函数()sin sin2f x x x =⋅，下列结论中错误的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(,0)2π对称B ．()y f x =的图像关于直线x π=对称C ．()f x 的最大值为2D ．()f x 是周期函数二、填空题13．若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________．14．已知1F ，2F 分别为双曲线:C 22221x y a b－＝()00a b >>，的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与C 在第一象限内的交点，若线段1PF 的中点Q 在C 的渐近线上，则C 的两条渐近线方程为__________．15．若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线，也是曲线1x y e =-的切线，则b =__________．16．设等比数列{}n a 满足32a =，10256a =，则数列2{4}n n a 的前n 项和为__________．三、解答题17．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且cos 4a B =，sin 3b A =． (1)求a ；(2)若ABC ∆的面积为9，求ABC ∆的周长．18．《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，1AC AA =60ABC ∠=︒．(1)证明：三棱柱111ABC A B C -是堑堵； (2)求二面角1A A C B --的余弦值．19．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(10)F ，的距离减去它到y 轴距离的差都是1．(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =，求直线l 的方程． 20．已知函数sin2()(n )l 1f x x x =-+，sin )2(g x x x =-． (1)求证：()g x 在区间(0,]4π上无零点；(2)求证：()f x 有且仅有2个零点．21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．(1)求0P ，1P ，2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P -和1n P -表示n P ； (2)求证：1{}12100()n n P P n --=⋯，，，为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121t x t t y t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－＝，＋＝＋(t 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 40ρθθ＋＝．(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最大值． 23．已知a ，b 为正数，且满足1a b +=． (1)求证：11(1)(1)9a b ++； (2)求证：1125()()4a b a b ++．参考答案1．D 【解析】 【分析】先求出集合={|12}B x x -<<，再与集合A 求交, 【详解】本题主要考查集合的运算和一元二次不等式的解法． 因为{|20}={|2}A x x x x =-<<，2{|20}B x x x =--<={|12}x x -<<，所以{|12}B x x A -<<⋂=． 故选：D 【点睛】本题考查解二次不等式，考查集合的交集。
【数学】河南省百校联盟2020届高三9月联合检测 数学(理)(PDF版)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合
M＝{x｜x2－3x－4＜0}，N＝{
x
｜
1 3－x
＞0
}，则
M∩N
等于
A．{x｜－4＜x＜3}
B．{x｜－1＜x＜3}
C．{x｜3＜x＜4}
D．{x｜1＜x＜3}
2．设复数
z
满足
若冬至的日影长为 13．5 尺，现在我们用如图所示的程序框图来
求解这十二个节气日影长的和，执行该程序框图，则输出的结果
是
A．94 尺
B．95 尺
C．96 尺
D．97 尺
9．在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥底面 ABC，AB⊥BC，E，F 分别为棱
PB，PC 的中点，过 E，F 的平面分别与棱 AB，AC 相交于点 D，
（1）求角 B 的大小；
3 sin B－2 cos2 A＋C ＝0 ． 2
（2）若 sin2B＝2sinAsinC，且△ABC 的面积为 4 3 ，求△ABC 的周长．
19．（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AC＝1，且 AB⊥AC，点 M 在棱 CC1 上，
z z＋2
＝i
，则
z＋2
在复平面内对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限 3．已知 a＝log26，b＝log53，c＝20．8，则
A．b＜a＜c
D．第四象限 B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
4．2019 年 7 月 1 日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、
【数学】河南省百校联盟2020届高三9月联合检测 数学(文)(PDF版)
，若该甜品店从五种“网
红甜品”中随机卖出 2 种不同的甜品，求至少有一种甜品获利超过 x 的概率．
22．（本小题满分 12 分）
已知函数 f（x）＝ 1 x（1－ax）－lnx（a∈R）． 2
（1）当 a＝－ 1 时，求 f（x）的单调区间； 2
（2）当 x∈（1，＋∞）时， f x ＞－ax－ 1 ln x 恒成立，求实数 a 的取值范围
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知复数 z＝12＋－2ii ，则复数 z 的虚部为
A．－1
B．－i
C．1
D．i
2．已知集合 M＝{x∈Z｜（x＋1）（x－4）＜0}，N＝{x｜3－x＞0}，则 M∩N 等于
A．{0，1，2，3}
A．2
B．3
C．2 或 3
D．3
8．已知非零向量 a，b 满足｜a｜＝k｜b｜，且 b⊥（a＋2b），若 a，b 的夹角为 2 ，则实 3
数 k 的值为
A．4
B．3
C．2
D．1
2
9．《周髀算经》向来被认为是中国最古老的天文学及数学著作，《周髀算
经》的内容是以商高与周公的问答形式陈述而成，主要阐明当时的
19．（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AC＝AA1＝2， 且 AB⊥AC，点 M、N 分别为棱 CC1 和 BC 的中点． （1）证明：证明 A1C∥平面 ANB1； （2）求点 M 到平面 ANB1 的距离．
1
20．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，直线 l：y＝x＋1 与抛物线 C 相切于点 P， 过点 P 作抛物线 C 的割线 PQ，割线 PQ 与抛物线 C 的另一交点为 Q，A 为 PQ 的中点．过 A 作 y 轴的垂线与 y 轴交于点 H，与直线 l 相交于点 N，M 为线段 AN 的中点． （1）求抛物线 C 的方程； （2）求证：点 M 在抛物线 C 上．
2020年9月河南省名校联盟2021届高三毕业班质量检测数学(理)试题
6 绝密★启用前
河南省名校联盟
2021届高三毕业班上学期9月联考质量检测
数学(理)试题
2020年9月
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本试卷主要命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{x ｜x 2－x ≤0},N ＝{－1,0,1,2},则M ∩N ＝
A ．{－1,0,1}
B ．{－1,0}
C ．{0,1}
D ．{1,2}
2．设11i z i
＝－＋（i 为虚数单位）,则｜z ｜＝ A ．1 B
．
2 C ．12 D ．14 3．某工厂生产A,B,C 三种不同型号的产品,某月生产这三种产品的数量之比依次
为2：a ：3,现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本,已知B 种型号产品抽取了60件,则a ＝
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．在（2－x ）6（x ＋1）展开式中,含x 4的项的系数是
A ．220
B ．－220
C ．100
D ．－100。
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河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测
数学（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．
2. 设（为虚数单位），则（）
A．1
B．C．D．
3. 某工厂生产，，三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知B种型号产品抽取了60件，则（）
A．3 B．4 C．5 D．6
4. 在展开式中，含的项的系数是（）
A．220 B．-220 C．100 D．-100
5. 已知，则（）
A．B．C．D．
6. 2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹.造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命.现从5张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”“杜鹃花”的这5个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相
同）中随机选取3张，则“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内的概率为
（）
A．B．C．D．
7. 已知是奇函数，且实数满足，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
8. 将函数的图象向左平移个单位长度，若所得图象与原图象关于轴对称，则（）
A．B．0
C．D．
9. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
10. 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，
四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需
原料的质量约为（）（取，精确到0.1）
A．B．C．D．
11. 在中，内角，，的对边分别为，，，且三边互不相等，若，，，则的面积是（）
D．1
A．B．C．
12. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
13. 已知实数，满足不等式组则的最小值为
_______．
14. 若平面向量与的夹角为，，，则________.
15. 已知双曲线的左右焦点为、，过左焦点作垂
直于轴的直线交双曲线的两条渐近线于、两点，若是钝角，则双曲线离心率的取值范围是______.
16. 已知半径为4的球面上有两点，，且，球心为，若球面上的动点满足：与所在截面所成角为60°，则四面体的体积的最大值为________.
三、解答题
17. 已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
18. 在棱长为1的正方体中，为的中点，过，，的平面交于点.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
19. 某学校高三甲、乙两班同学进行拔河比赛，各局比赛相互之间没有影响.
（1）若单局比赛甲班胜乙班的概率为，比赛采用“3局2胜”制，即先胜两局的班获胜，那么甲、乙两班获胜的概率是否相等?并说明理由；
（2）设单局比赛甲班胜乙班的概率为，若比赛6局，甲班恰好获胜
3局，当甲班恰好获胜3局的概率最大时，求的值；
（3）若单局比赛甲班胜乙班的概率为（2）中的甲班恰好获胜3局的概率取最大值时的值，比赛采用“5局3胜”制，设为本场比赛的局数，求的数学期望.
20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为，坐标原点到直线的距离
为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上一点作两条直线分别与椭圆相交于点，（异于点
），试判断以和为对角线的四边形是否为菱形?若是，求出直线的方程；若不是，请说明理由.
21. 已知函数.
（1）判断方程的根个数；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系，直
线的极坐标方程为．
（1）求直线和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线和曲线交于，两点，直线，，的斜率分别为，，，求证：．
23. 已知函数．
（1）当时，解不等式．
（2）若对任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．。