河南省名校联盟2020届高三尖子生3月调研考试理科数学及答案
2023年河南省名校青桐鸣高考数学联考试卷(理科)(3月份)+答案解析(附后)
2023年河南省名校青桐鸣高考数学联考试卷（理科）（3月份）1. 已知复数z满足，则( )A. 1B.C. 2D.2. 已知集合，，则( )A.A B.B C. D.3. 某研究所收集、整理数据后得到如下列表：x23456y3791011由两组数据可以得到线性回归方程为，则( )A. B. C. D.4.已知，，，则这三个数的大小关系为( )A. B. C. D.5. 已知数列满足，其前n项和为，若，则( )A. B. 0 C. 2 D. 46. 已知函数若，则实数( )A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知第二象限角满足，则( )A. B. C. D.8. 下列选项正确的是( )A. B.C. 的最小值为D. 的最小值为9.已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点O为该三角形的( )A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心10.已知正四棱柱中，，点M为的中点，若P 为动点，且，则P点运动轨迹与该几何体表面相交的曲线长度为( )A. B. C. D.11. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若外接圆的面积为，则面积的最大值为( )A. B. C. D.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，直线与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则的面积为( )A. B. C. D.13. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______ .14. 已知，函数都满足，又，则______ .15. 已知函数的图象关于点中心对称，其最小正周期为T，且，则的值为______ .16. 已知函数，若不等式有且仅有1个整数解，则实数a 的取值范围为______ .17. 已知数列满足，，求数列的通项公式；若数列，为数列的前n项和，求18. 我国某医药研究所在针对某种世界疾病难题的解决方案中提到了中医疗法，为证实此方法的效用，该研究所购进若干副某种中草药，现按照每副该中草药的重量大小单位：克分为4组：并绘制频率分布直方图如图所示：估计每副该中草药的平均重量同一组中的数据用该区间的中点值作代表；现从每副重量在内的中草药中按照分层抽样的方式一共抽取6副该中草药，再从这6副中草药中随机取出2副进行分析，求取出的2副中仅有1副重量在中的概率.19. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为矩形，，平面ABCD，H为DC的中点.求证：平面平面POC；已知二面角的平面角为，求20. 已知抛物线C：的焦点为F，点E在C上，以点E为圆心，为半径的圆的最小面积为求抛物线C的标准方程；过点F的直线与C交于M，N两点，过点M，N分别作C的切线，，两切线交于点P，求点P的轨迹方程.21. 已知函数求曲线在处的切线在x轴上的截距；当时，证明：函数在上有两个不同的零点，，且当时，22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的参数方程是为参数求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；已知曲线C与直线l相交于A，B两点，则的值.23. 已知函数求函数的最小值；设，，若的最小值为m，且，求的最大值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：根据题意，设，a，，所以，所以所以或，所以复数或，所以故选：根据复数的四则运算可求得z，即可求得本题主要考查复数模公式，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由，即，所以，所以由，得，所以，解得，所以，所以故选：首先解对数不等式及一元二次不等式，求出集合A、B，再根据交集的定义计算，即可判断．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，，，由于样本中心点在回归直线上，所以，所以故选：先求出样本点，代入回归方程求解．本题考查线性回归直线的性质，方程思想，属基础题．4.【答案】B【解析】解：因为，，，所以故选由已知结合指数函数及对数函数，正弦函数的单调性分别确定a，b，c的范围，进而可比较a，b，c的大小．本题主要考查了函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：，数列为等差数列，则，即，，解得故选：先利用等差中项判定数列为等差数列，再利用等差数列前n项和公式、等差数列的性质，即可得出答案．本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，当时，，不符合题意；当时，，解得；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意．故选：根据a的范围，即可确定单调范围，进而代入即可分情况求解．本题主要考查分段函数及其应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，第二象限角满足，又，所以，故，所以，，故选：由三角函数基本关系可求出，，由倍角公式可求出，，代入和差的正弦公式即可求解．本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式，和差角公式的应用，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：当与为负数时，显然不成立，选项A不正确；因为x不一定为正数，当x为负数时，显然不成立，选项B不正确；令所以的最小值为3，当且仅当时，取到最小值，选项C不正确；，因为，所以，当且仅当时，取到最小值，选项D正确．故选：结合选项，利用特殊值或函数的单调性进行求解．本题主要考查了基本不等式及应用条件的检验，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：根据题意，，即，所以，则向量在向量上的投影为的一半，所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，所以点O为该三角形的外心．故选：由，利用数量积的定义得到，从而得到点O在边AB的中垂线上，同理得到点O在边AC的中垂线上判断．本题主要考查三角形五心，考查向量数量积的运算，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由题意分析点P的轨迹为以M为圆心，以为半径的球，此球面与正四棱柱上下底面交线为半径1的两个圆，与面和面的交线为半径为1的半圆，长度为故选：由题意分析点P的轨迹为以M为球心，以为半径的球，所以在正四棱柱的表面上找到M的距离为的点的集合．本题主要考查轨迹方程的求法，棱柱的结构特征，考查运算求解能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：由已知及正弦定理得，所以，所以，又，所以由的外接圆面积为，得外接圆的半径为由正弦定理得，所以，所以，解得，所以的面积，当且仅当时等号成立．故选：利用边角转化结合余弦定理可得，根据面积公式和基本不等式可求答案．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：因为，所以，设，，在中，由余弦定理得，即，所以，根据椭圆定义有：，所以，所以，因为，因为P在第一象限，所以，代入椭圆中，得，因为，所以，所以直线，联立，可得，显然，则，因为，所以，所以故选：设，，在中，由余弦定理结合椭圆定义可得mn，根据面积相等，即可得P点纵坐标，进而得P点坐标，根据点坐标即可得直线PQ方程，与椭圆联立可得Q点纵坐标，进而求得三角形面积．本题主要考查了直线与椭圆的综合问题，属于中档题，关于焦点三角形问题的思路有：设出两个焦半径为m，n，求得；先由余弦定理建立m，n等式；再由椭圆定义建立，两式联立可得，mn；再根据等面积法，即可求得P点坐标．13.【答案】【解析】解：双曲线的离心率为，，又，，由，得，双曲线方程为，该双曲线的渐近线为故答案为：根据离心率得，进而可得，即可求解渐近线．本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属基础题．14.【答案】【解析】解：根据题意，，显然，所以，所以，所以函数的周期为6，所以故答案为：根据得到，再利用函数周期性求值即可．本题主要考查了函数的周期在函数求值中的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：，因为图象关于点中心对称，所以，所以，所以，又因为最小正周期为T，且，所以可得，则，所以当时，的值为故答案为：先化简，然后由关于点中心对称可得到，结合即可求解．本题主要考查三角函数解析式的确定，考查余弦函数的性质，属于中档题．16.【答案】【解析】解：易知的定义域为，由有且仅有1个整数解，所以不等式有且仅有1个整数解．设，则，当时，，为增函数；当时，，为减函数．又，则当时，；当时，设，则直线恒过点，在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图象，如图所示，由图象可知，，要使不等式有且仅有1个整数解，则，解得，实数a的取值范围为故答案为：在同一直角坐标系中，作出函数与直线的图象，根据恒过点和有且仅有一个整数解得不等式，从而解得a的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：根据题意，，，，则，，，…，，，利用累乘法可得，，根据题意，【解析】将递推式变形为，利用累乘法求解通项公式；利用结论化简得，利用裂项相消法求和计算即可．本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查裂项求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：根据题意可得克，所以每副该中草药的平均重量约为32克；因为重量在的频率为，重量在的频率为，所以按照分层抽样的方式，取出的6副该中草药中重量在中的有4副，重量在中的有2副，所以从这6副中草药中随机取出2副有种方法，满足取出的2副中仅有1副重量在中记为事件有种方法，所以，故取出的2副中仅有1副重量在中的概率为【解析】根据频率分布直方图中平均数的估算公式即可求解；由这两组的频率关系结合分层抽样可以求得中草药中重量在中的有4副，重量在中的有2副，进而根据古典概型的计算公式即可求解．本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．19.【答案】证明：，H为DC中点，，平面ABCD，平面ABCD，，，平面POC，平面POC，平面POC，又平面DPO，平面平面解：以O为原点，OB，OP所在直线分别为y轴、z轴，作x轴平面APB，如图所示．设，则，，，，，由知，为平面POC的一个法向量，设为平面PBC的法向量，则，即，取，可得，则解得，又，，【解析】根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理、线面垂直的性质、面面垂直的判定定理进行证明即可；建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可．本题主要考查了平面与平面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求二面角，属于中档题．20.【答案】解：设点，，则，因为以E为圆心，以为半径的圆的最小面积为，所以，所以负值舍去，解得，所以抛物线C的标准方程为；设，，易得，由题意知直线MN的斜率一定存在，则设直线MN的方程为，联立得，，所以，，由，得，则切线的斜率为，则切线的方程为，即①．同理可得切线的方程为②．①-②得，代入①得，，所以点P的轨迹方程为【解析】当圆心在原点时，此时半径为，圆的面积最小是解题的关键；设出直线MN的方程，利用导数与切线方程的关系求出切线，联立两条切线方程求出交点即可求解．本题主要考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，利用设而不求的方法，设出直线方程与圆锥曲线联立消元得出韦达定理，通过转化化简用韦达定理表示出问题，是处理直线与圆锥曲线位置关系必须要掌握的方法，属于中档题．21.【答案】解：，又，所以，则曲线在处的切线方程为，令得，，故切线在x 轴上的截距为证明：要证函数在上有两个不同的零点，，只需证方程在上有两个不同的实数解，即证方程在上有两个不同的实数解，设，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以存在，使得；又，，所以存在，使得，故函数在上有两个不同的零点，由上易知，，，两式相加得，两式相减得，，则，令，则，所以，设，则，所以在上单调递减，则，故当时，【解析】分别求得，，写出切线方程；将证函数在上有两个不同的零点，，转化为方程在上有两个不同的实数解，令，利用导数法证明；由，，两式相加和相减联立得到，令，则，则，设，利用导数法证明即可．本题考查导数的综合应用，构造函数证明不等式，利用导数求曲线的切线，属难题．22.【答案】解：曲线C的参数方程是为参数，消去参数可得，，即，故曲线C的普通方程为，曲线l过点，倾斜角为，则直线l的参数方程为联立直线l的参数方程与曲线C的普通方程可得，，化简得，直线l相交于A，B两点，设点A对应的参数为，点B对应的参数为，故，则【解析】根据曲线C的参数方程，消去参数，即可求解，再结合参数方程的定义，即可求出直线l的参数方程；根据已知条件，结合直线参数方程的几何意义，即可求解．本题主要考查参数方程的应用，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：依题意得当时，可得函数取最小值由可得，，根据柯西不等式可得，，，当且仅当时等号成立，的最大值为【解析】得到求解；由，得到，再利用柯西不等式求解．本题主要考查函数最值的求法，柯西不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．。
2020年河南省高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(含答案解析)
2020年河南省高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知a,b∈R，复数z=a−bi，则z2=()A. a2+b2−2abiB. a2−b2−2abiC. a2−b2D. a2+b22.集合A={x∈Z||x|≤2}，B={−1,0，2}，C={−1,0，1，3}，则(∁A B)∪C=()A. {−1,0，1，3}B. {−1,0，1，2，3}C. {−2,−1,0，1，3}D. {−2,−1,0，1，2，3}3.若|m⃗⃗⃗ |=2，m⃗⃗⃗ ·n⃗=8，m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为60°，则|n⃗|的值为()A. 5B. 6C. 7D. 84.若双曲线C：x22−y23m=λ的一条渐近线方程为2x+3y=0，则m=()A. 32B. 23C. 827D. 2785.已知某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，如图所示，则该几何体的体积为()A. 1B. 13C. 16D. 1126.已知随机变量ξ服从正态分布N(2018,σ2)(σ>0)，则P(ξ<2018)等于()A. 11009B. 12018C. 14D. 127.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示，则f(5π6)= ()A. −√22B. √22C. √32D. −√328. 函数f(x)=ln|x−1||1−x|的图象大致为( ) A. B.C. D.9. 设不等式组{x −y +4≥0x +y ≥0x ≤1表示的平面区域为Ω1，不等式组{−2≤x ≤1−1≤y ≤5表示的平面区域为Ω2.在区域Ω2内随机取一点，则该点是取自于区域Ω1的概率是( )A. 12B. 13C. 23D. 34 10. 函数f(x)=x +3x 的零点所在的区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)11. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，直线l ：y =k(x −1)与抛物线C 交于A 、B 两点，若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB|=( )A. 163B. 4C. 3D. 169 12. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：已知x ∈[150,300]且x 是整数，则满足能被3除余1且被5除余3的所有x 的取值的和为( )．A. 2020B. 2305C. 4610D. 4675二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. x(2x −1)6展开式中的x 4项的系数为______．14. 函数f(x)=√x 的值域为________．15. 已知等比数列{a n }为递增数列，设其前n 项和为S n ，若a 2=2，S 3=7，则a 5的值为________．16. 在边长为2的正方形AP 1P 2P 3中，点B ，C 分别是边P 1P 2，P 2P 3的中点，沿AB ，BC ，CA 翻折成一个三棱锥P −ABC ，使P 1、P 2、P 3重合于点P ，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足asinA =√3cosB(1)求∠B．(2)若点M为BC中点，且AM=AC，求sin∠BAC的值．18.在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，DC⊥AD，PA⊥平面ABCD，2AD=BC=2√3，∠DAC=30°，M为PB中点．(1)证明：AM//平面PCD；(2)若二面角M−PC−D的余弦值为−√64，求PA的长．19.如图是某市11月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200，表示空气质量重度污染，该市某校准备举行为期3天(连续3天)的运动会，在11月1日至11月13日任选一天开幕(Ⅰ)求运动会期间至少两天空气质量优良的概率；(Ⅱ)记运动会期间，空气质量优良的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为√32，点A为椭圆C的左顶点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设圆M：x2+(y−2)2=r2(0<r<2)，过点A作圆M的两条切线分别交椭圆C于点B和D，求证：直线BD过定点．21.已知函数f(x)=ax−1x2+1，a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a=1，证明：当x∈[1,+∞)时，f(x)≤lnx2．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=3+5cosθy=−4+5sinθ(θ为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l与曲线C相交于M，N两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=ln(3−|x−1|−|2x+1|)．(Ⅰ)求函数f(x)的定义域D；(Ⅱ)证明：当a，b∈D时，|a+b|<|1+ab|．【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查了复数的运算，属于基础题．解：∵a,b∈R，复数z=a−bi，∴z2=(a−bi)2=a2−b2−2abi故选B．2.答案：C解析：本题考查集合的综合运算，属于基础题．先化简A，再求∁A B，最后求并集即可．解：因为A={x∈Z||x|≤2}={−2,−1,0，1，2}，B={−1,0，2}，所以∁A B={−2,1}，又C={−1,0，1，3}，所以(∁A B)∪C={−2,−1,0,1,3}．故选C．3.答案：D解析：本题考查向量数量积的运算，属于基础题.代入向量的数量积公式求解即可．解：因为，所以．故选D．4.答案：C解析：本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力，属于基础题．利用已知条件列出关系式，转化求解即可．解：由题意知双曲线的渐近线方程为y=±√3m2x(m>0)，2x+3y=0可化为y=−23x，则√3m2=23，解得m=827．故选C．5.答案：C解析：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，利用三视图的数据求解几何体的体积，可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．解：由题意可知几何体的直观图如图：是正方体的一部分，D−ABC，几何体的体积为：13×12×1×1×1=16．故选C．6.答案：D解析：本题考查的是正态分布曲线的性质．根据正态分布的性质可得分布列关于ξ=2018对称，又所有概率和为1，即可得出答案．解：因为随机变量ξ服从正态分布N(2018,σ2)(σ>0)，所以分布列关于ξ=2018对称，又所有概率和为1，所以P(ξ<2018)=12，故选D．7.答案：B解析：解：由图象可知：T =2×2π3=2πω，解得ω=32． 且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2． ∴f(x)=sin(3π2x −π2)，∴f(5π6)=sin(3π2×5π6−π2)=sin 3π4=√22． 故选：B ．由图象可知：T =2×2π3=2πω，解得ω=32.且f(2π3)=sin(32×2π3+φ)=1，取φ=−π2.即可得出． 本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：D解析：解：f(x)=ln|x−1||1−x|的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，且图象关于x =1对称，排除B ，C ， 取特殊值，当x =12时，f(x)=2ln 12<0，故选：D ．求出函数的定义域，得到函数的函数的对称轴，再取特殊值即可判断．本题考查了函数图象的识别，属于基础题．9.答案：A解析：如图，区域Ω1的面积是9，区域Ω2的面积是18，所以所求概率为10.答案：B解析：解：由函数的解析式可得f(−1)=−1+13=−23<0，f(0)=0+1=1>0，∴f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x +3x 的零点所在的区间为(−1,0)，故选：B ．由函数的解析式可得f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x +3x 的零点所在的区间．本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．11.答案：A解析：本题考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题． 根据题意，可得抛物线焦点为F(1,0)，由直线l 方程为y =k(x −1)，与抛物线方程联解消去y ，得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0.再设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由根与系数的关系和|AF|=3|BF|，建立关于x 1、x 2和k 的方程组，解之可得k 2值，再根据|AB|=x 1+x 2+p 即可求出．解：∵抛物线C 方程为y 2=4x ，可得它的焦点为F(1,0)，由{y =k(x −1)y 2=4x消去y 可得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=2+4k ，x 1x 2=1，(∗)∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(1−x 1,−y 1)=3(x 2−1,y 2)∴1−x 1=3(x 2−1)，∴x 1=−3x 2+4，代入(∗)得−2x 2+4=2+4k 2，且(−3x 2+4)x 2=1，消去x 2得k 2=3，∴|AB|=x 1+x 2+p =2+43+2=163，故选：A ．12.答案：B解析：【试题解析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，属于中档题．满足能被3除余1且被5除余3正整数构成首项为13，公差3×5=15的等差数列，求其通项公式，由x∈[150,300]且x是整数求得n值，再由等差数列的前n项和求解．解：满足能被3除余1且被5除余3正整数构成首项为13，公差3×5=15的等差数列，记数列{a n}.则a n=13+15(n−1)=15n−2，∵x∈[150,300]，∴150≤15n−2≤300，解得15215≤n≤30215．故n从11开始，到20结束，∴a11=163，a20=298′∴该数列各项之和为10(a11+a20)2=10(163+298)2=2305，故选：B．13.答案：−160解析：解：x(2x−1)6展开式中的x4项的系数为C63⋅23⋅(−3)3=−160，故答案为：−160．由题意利用二项展开式的通项公式，求得x(2x−1)6展开式中的x4项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.答案：(0,+∞)解析：本题考查函数的值域，属简单题.注意到函数的定义域为(0,+∞)，故而值域也为(0,+∞)．解：由y=1t，t=√x>0，得y>0．15.答案：16解析：本题主要考查等比数列的通项公式、数列的增减性，考查考生的运算求解能力．属于中档题.利用等比数列计算a1与q，在利用递增数列得q=2计算a5.解：设等比数列{a n}的公比为q，则由题意得{a1q=2,a1+a1q+a1q2=7,得{a1=4,q=12或{a1=1,q=2,因为数列{a n}为递增数列，所以{a1=1,q=2,所以a5=a1q4=16．故答案为16．16.答案：6π解析：本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、三棱锥的外接球和球的表面积公式等知识，属于中档题．根据题意，得折叠成的三棱锥P−ABC三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，可得三棱锥P−ABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此得解．解：根据题意，得三棱锥P−ABC中，AP=2，BP=CP=1，∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴三棱锥P−ABC的外接球的直径2R=√AP2+BP2+CP2=√6，可得三棱锥P−ABC的外接球的半径为R=√62，三棱锥P−ABC的外接球的表面积为S=4πR2=4π×(√62)2=6π，17.答案：(1)B=π3；(2)sin∠BAC=√217．解析：分析：(1)由正弦定理、商的关系化简asinA =b√3cosB，求出tan B的值，由内角的范围求出角B的值；(2)设AB=c、BC=a，在△ABC、△ABM中由余弦定理求出AC、AM，由条件建立方程化简后得到a与c的关系式，代入式子求出AC，在△ABC中由正弦定理求出sin∠BAC的值．解：(1)由题意得，asinA =b√3cosB，则根据正弦定理得，sinAsinA =sinB√3cosB，所以tanB=√3，又0<B<π，则B=π3；(2)设AB=c、BC=a，在△ABC中，由余弦定理得AC2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac，在△ABM中同理可得AM2=(a2)2+c2−2⋅a2ccosB=a24+c2−12ac，因为AM=AC，所以a2+c2−ac=a24+c2−12ac，化简得3a=2c，代入AC2=a2+c2−2accosB得，AC2=a2+(3a2)2−a⋅3a2=74a2，则AC=√72a，在△ABC中，由正弦定理得ACsinB =BCsin∠BAC，则sin∠BAC=BCsinBAC =a×√32√72a=√217．本题考查正弦、余弦定理应用，考查化简、变形能力，注意内角的范围，属于中档题．18.答案：(本小题满分12分)解：取PC 的中点为N ，连结MN ，DN (1)∵M 是PB 的中点，∴MN//BC,MN =12BC∵AD//BC ，且BC =2AD ，∴NM//AD 且NM =AD ，∴四边形AMND 为平行四边形，∴AM//ND ． 又∵AM ⊄平面PCD ，ND ⊂平面PCD 所以AM//平面PCD.(6分)(2)以A 为坐标原点，AN 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设PA =t(t >0)，∵∠DAC =30°，∴CD =1，由题意可求得：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−t)．设m⃗⃗⃗ =(x,y,−1)为平面PMC 的法向量，n ⃗ =(x′,y′,1)为平面PCD 的法向量，则有：{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{x +√3y +t =02√3y =0⇒{x =−t y =0， 所以m⃗⃗⃗ =(−t,0，−1)， 可得{n⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒{x′+√3y′−t =0x′=0⇒{x′=0y′=3， 所以n ⃗ =(0,√33t,1)，∵二面角M −PC −D 的余弦值为−√64，∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√t 2+1⋅√3+1=−√64化简得t 4+4t 2−5=0，所以t =1， 即PA =1(12分)解析：取PC 的中点为N ，连结MN ，DN(1)证明四边形AMND 为平行四边形，得到AM//ND.即可证明AM//平面PCD ．(2)以A 为坐标原点，AN 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设PA =t(t >0)，求出平面PMC 的法向量，平面PCD 的法向量，利用二面角M −PC −D 的余弦值为−√64，求解即可．本题考查直线与平面平行的判定定理以及二面角的平面镜的应用，考查计算能力以及空间想象能力．19.答案：解：(Ⅰ)该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是P 2=713． (Ⅱ)随机变量ξ所有可能取值有：0，1，2，3； P(ξ=0)=113，P(ξ=1)=513，P(ξ=2)=613，P(ξ=3)=113， 所以随机变量ξ的分布列是：随机变量ξ的数学期望是Eξ=0×113+1×513+2×613+3×113=2013．解析：(Ⅰ)说明该校运动会开幕日共有13种选择，列出运动会期间至少两天空气质量优良的数目，然后求解概率．(Ⅱ)随机变量ξ所有可能取值有：0，1，2，3，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望． 本题考查古典概型的概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．20.答案：解：(1)由椭圆的定义2a =4，则a =2，e =c a =√32，则c =√3，所以b 2=a 2−c 2=1， 因此椭圆C 的标准方程x 24+y 2=1；(2)证明：设切线AB ，CD 的方程为y =k(x +2)(k ≠0)， 则√k 2+1=r ，即(4−r 2)k 2−8k +4−r 2=0， 设两切线AB ，AD 的斜率为k 1，k 2，则k 1k 2=1，联立{y =k(x +2)x 24+y 2=1，得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0， 设B(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则x 1=2−8k 121+4k 12，y 1=4k11+4k 12，同理得x 2=2−8k 221+4k 22=2k 12−8k 12+4，y 2=4k 21+4k 22=4k1k 12+4，所以直线BD 的斜率k BD =4k 1k 12+4−4k 11+4k 122k 12−8k 12+4−2−8k 121+4k 12=3k 14(1+k 12)．则直线BD 的方程为y −4k 11+4k 12=3k 14(1+k 12)(x −2−8k 121+4k 12)，整理得y =3k 14(1+k 12)(x +103)，故直线BD 过定点(−103,0)．解析：本题考查椭圆的标准方程及性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题，(1)根据椭圆的定义，利用椭圆的离心率公式即可求得c 和b ，即可求得椭圆的标准方程； (2)设切线方程，根据点到直线的距离公式等于半径，求得k 1k 2=1，将直线方程代入椭圆方程，求得B 和D 点坐标，求得直线BD 的方程，即可判断直线BD 过定点．21.答案：解：(1)f′(x)=a(x 2+1)−(ax−1)⋅2x(x 2+1)2=−(ax 2−2x−a)(x 2+1)2当a =0时，f′(x)=2x(x 2+1)2，当x <0时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x >0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增． 当a ≠0时，令f′(x)=0得 ax 2−2x −a =0(∗)因为△=4+4a 2>0所以方程(∗)有两根，由求根公式得x 1=1−√a2+1a ，x 2=1+√a2+1a当a >0时，x 1<0<x 2，当x <x 1或x >x 2时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x 1<x <x 2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在(−∞,x 1)和(x 2,+∞)上单调递减，在(x 1,x 2)上单调递增． 当a <0时，x 2<0<x 1，当x <x 2或x >x 1时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x 2<x <x 1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)在(−∞,x 2)和(x 1,+∞)上单调递增，在(x 2,x 1)上单调递减． 综上所述，当a =0时，f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增； 当a >0时，f(x)在(−∞,x 1)和(x 2,+∞)上单调递减，在(x 1,x 2)上单调递增；当a <0时，f(x)在(−∞,x 2)和(x 1,+∞)上单调递增，在(x 2,x 1)上单调递减． (2)当a =1时，f(x)=x−1x 2+1， 由题意知，要证x−1x 2+1≤lnx 2在[1,+∞)上恒成立，即证明(x 2+1)lnx ≥2x −2，即(x 2+1)lnx −2x +2≥0在[1,+∞)上恒成立．设g(x)=(x 2+1)lnx −2x +2，则g′(x)=2xlnx +x +1x −2，因为x ≥1，所以2xlnx ≥0，x +1x≥2⋅√x ⋅1x=2(当且仅当x =1时等号成立)，即g′(x)≥0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，g(x)≥g(1)=0， 所以f(x)≤lnx 2在[1,+∞)上恒成立．解析：本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．(1)求出导函数通过a 的取值，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可． (2)当a =1时，f(x)=x−1x 2+1，要证x−1x 2+1≤lnx 2，即证明(x 2+1)lnx ≥2x −2，(x 2+1)lnx −2x +2≥0在[1,+∞)上恒成立，设g(x)=(x 2+1)lnx −2x +2，利用函数的导数，判断函数的单调性然后推出结果．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3+5cosθy =−4+5sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −3)2+(y +4)2=25，转换为极坐标方程为ρ2+8ρsinθ−6ρcosθ=0，化简为ρ=6cosθ−8sinθ． (2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l ，整理得参数方程为{x =2+√22t y =√22t(t 为参数)，把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得：t 2+3√2t −8=0， 所以t 1+t 2=−3√2，t 1t 2=−8， 所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√18+328=5√28．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：(I)解：令3−|x −1|−|2x +1|>0得|x −1|+|2x +1|−3<0，∴{x ≤−121−x −2x −1−3<0或{−12<x <11−x +2x +1−3<0或{x ≥1x −1+2x +1−3<0．解得−1<x ≤−12或−12<x <1， ∴f(x)的定义域为(−1,1)． (II)证明：由(I)知a ，b ∈(−1,1)， ∴(a 2−1)(b 2−1)>0， ∴a 2b 2+1>a 2+b 2，∴a 2b 2+1+2ab >a 2+b 2+2ab ， ∴(ab +1)2>(a +b)2， ∴|a +b|<|1+ab|．解析：(I)讨论x 的范围，去绝对值符号解不等式； (II)根据(a 2−1)(b 2−1)>0展开化简变形即可得出结论． 本题考查了绝对值不等式的解法，不等式的证明，属于中档题．。
河南省2020 年高三第三次模拟考试理科数学试卷-含答案
）
SABO
A．1
B． 2
C． 3
D． 4
10．半正多面体(semiregular solid) 亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多
边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是
一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形
和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长
3
上单调递增， f (log2 9) f (2 2 ) f ( 5) ，即 b a c ，故选：C.
7.【答案】B
b 在 a 上投影为 2 ，即
b
cos
a ,
b
2
b
0
cos a,b 0 又
cos
a,
b
1,
0
b 2
超标的概率均为 p(0 p 1) ，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立. （1）当 p 1 时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；
2
（2）若每套环境监测系统运行成本为 300 元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费 用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要 100 万元.现以此方案实施，问该企 业的环境监测费用是否会超过预算(全年按 9000 小时计算)？并说明理由.
BAC BAA1 60 ，A1AC 的角平分线 AD
交 CC1 于 D .
（1）求证:平面 BAD 平面 AA1C1C ；
（2）求二面角 A B1C1 A1 的余弦值.
19．已知椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的离心率为
2020年3月高三第三次在线大联考 理科数学-(新课标Ⅰ卷)(全解全析答案)
2020年3月高三第三次在线大联考（新课标Ⅰ卷）理科数学 全解全析1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 CDBDBBABDBDC1．C 【解析】因为{|20}{|2}A x x x x =-≥=≤，{|ln(1)}{|1}B x y x x x =∈=+=∈>-Z Z ，所以{0,1,2}A B =I .故选C ．2．D 【解析】因为满足|i ||i |z z -=+的点Z 为复平面内到点(0,1)和(0,1)-的距离相等的点的集合，所以(,)Z x y 的轨迹为x 轴，其方程为0y =.故选D ．3．B 【解析】因为95593S a a ==，所以50a =，则5454S S a S =+=.故选B ．4．D 【解析】由统计图可知，各月同比全部上涨，平均涨幅为(1.7 1.5 2.3 2.5 2.7 2.7 2.8 2.8++++++++ 3.0 3.8 4.5 4.5 5.4)131% 3.09%++++÷⨯≈，超过3%，故A 正确；各月环比有涨有跌，平均涨幅为(0.5+ 1.00.40.10.00.10.40.70.90.90.40.0 1.4)131%0.446%-++-+++++++÷⨯≈，超过0.3%，故B 正确；同比涨幅最大的是2020年1月，环比涨幅最大的也是2020年1月，故C 正确；环比跌幅最大的是2019年3月，同比涨幅最小的是2019年2月，故D 错误，故选D ．5．B 【解析】初始：1k =，2T =，第一次循环：2282 2.8133T =⨯⨯=<，2k =，继续循环；第二次循环：8441282.833545T =⨯⨯=>，3k =，此时 2.8T >，满足条件，结束循环， 所以判断框内填入的条件可以是3?k ≥，所以正整数m 的最小值是3，故选B ．6．B 【解析】作出不等式组2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设2z x y =+，则2y x z =-+，平移该直线，当直线2y x z =-+经过点A 时，z 取到最大值，由220220x y x y -+=⎧⎨--=⎩得22x y =⎧⎨=⎩，即(2,2)A ，则max 426z =+=；当直线2y x z =-+经过点C 时，z 取到最小值，易得(1,1)C --，则min 213z =--=-，所以2x y +的取值范围是[3,6]-.故选B ．7．A 【解析】因为5()2sin()52sin ()()3333x x x xx x x xf x f x ---+-+-===--，所以)(x f 是偶函数，排除B,D ，因为ππ5π(π)033f -=>-，排除C ，故选A. 8．B 【解析】2222221112(1)32(1)31111y t t t t t t =-+=++-≥+⋅-=-+++，当且仅当22111t t +=+，即0t =时，取等号，y 取得最小值为1-，此时，(1,0),(2,1)=-=-a b ，则25cos ,||||15⋅===-⋅⨯a b a b a b .故选B ．9．D 【解析】当43n k =-或42n k =-时，1[]2(1)1n --=；当41n k =-或4n k =时，1[]2(1)1n --=-，所以4342k k a a --+2222414(43)(42)(41)(4)3212k k a a k k k k k -++=-+----=-+，所以数列{}n a 的前60项和60S =32123215121536602-+-⨯+⨯=-.故选D ．10．B 【解析】2261cos22π()6sin cos 2cos sin 222sin(2)26x f x x x x x x +=+-=+⋅-=+，将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到π()2sin(4)6g x x =+的图象.对于①，π4ππ()2sin()2336g =+=-，故函数()g x 的图象不关于点π(,0)3成中心对称，所以①错误；对于②，由(π,π)x ∈-得π23π25π4(,)666x +∈-，结合函数图象可得()g x 在(π,π)-上有8个极值点，所以②正确；对于③，由ππ24x -≤≤-，得11ππ5π4666x -≤+≤-，则2()2g x -≤≤，所以()g x 的最大值为2，最小值为2-，所以③正确；对于④，当ππ44x -<<时，5ππ7π4666x -<+<，故函数()g x 在区间ππ(,)44-上不单调， 所以④错误.故选B ．11．D 【解析】连接,AC BD ，设AC BD H =I ，连接SH ，根据题意可得SH ⊥平面ABCD .设O 为四棱锥S ABCD -的外接球的球心，则O 在SH 上，连接OC ，设此四棱锥的外接球的半径为R ，则OS OC R ==，如图所示.因为正方形ABCD 21,2,1CH SC SH ===，所以,H O 重合，即四棱锥的外接球的半径为1R =，所以四棱锥的外接球的表面积为24π4πS R ==.故选D ．12．C 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为4x my =+，与24y x =联立得24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-，所以212121212(4)(4)(1)4()1616(1OA OB my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++=-u u u r u u u r22)16160m m +++=，所以OA OB ⊥，则222||||||OA OB AB +=,所以||||OA OB +≤|AB =（当且仅当||||OA OB =时等号成立），所以||||||OA OB AB +.故选C ．13．120- 【解析】由题意，5(21)x y +-的展开式中含22x y 的项为2222122531C C (2)C (1)120x y x y ⨯⨯⨯-=-，所以所求系数为120-. 14．9【解析】因为(0,π)α∈，所以ππ7π(,)666α+∈，又因为π1sin()063α+=-<，所以π7π(π,)66α+∈，所以πcos()63α+=-.则πππ1sin(2)2sin()cos()2()(3663ααα+=++=⨯-⨯. 15．2 【解析】设12||,||MF m MF n ==，12F MF θ∠=，则22242cos c m n mn θ=+-.又2m n a -=，即22224m n mn a +-=，解得21cos mn θ=-，所以12122cos ||||cos cos 1cos MF MF MF MF mn θθθ=θ⋅=⋅⋅==-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r211cos θ-，因为ππ[,]43θ∈，所以1cos 2θ≤12cos θ≤≤1111cos θ≤-≤，则2211cos θ≤≤-2=，所以12MF MF ⋅u u u u r u u u u r的最大值为2+. 16．【解析】设直线l 与函数()f x 及()g x 的图象分别相切于1(,)(0)A m m m <，2(,)B n n a +，因为21()f x x '=-，所以函数()f x 的图象在点A 处的切线方程为211()y x m m m -=--，即212y x m m=-+，因为()2g x x '=，所以函数()g x 的图象在点B 处的切线方程为22()y n a n x n --=-，即22y nx n a =-+，因为存在直线l 与函数()f x 及()g x 的图象都相切，所以22122n mn a m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，所以4124a m m =+， 令1(0)t t m =<，设41()2(0)4h t t t t =+<，则3()2h t t '=+，当t <()0h t '<，函数()h t单调递减；当0t <时，()0h t '>，函数()h t 单调递增，所以min()(h t h ==，所以实数a的最小值为 17．（本小题满分12分）【解析】（1）在Rt ABD △中，由cos ABD ∠2sin 3ABD ∠，所以3sin ADBD ABD==∠.（3分）在BCD △中，由余弦定理得2222232cos 3423425123BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=-，所以25123BC =-.（6分）（2）设CBD x ∠=，由C ADC ∠=∠，π6BDC ∠=可得5π6C x ∠=-，π6ABD x ∠=-， 在Rt ABD △中，因为2AD =，所以2πsin sin()6AD BD ABD x ==∠-，（8分）在BCD △中，由正弦定理得sin sin BD CDC CBD =∠，即45πsin sin()6BD x x =-， 所以24π5πsin sin()sin()66xx x =--，整理得24sin 2sin 10x x --=.（10分） 由sin 0x >得15sin x +=，所以15sin CBD +∠=.（12分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABMN ， 因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥，由2,23BC CN ==，得2222BN CN BC =-=，由2NA AB ==，可得AB AN ⊥，（3分） 在直角梯形ABMN 中, 可得22MN =，由4BM =，22BN MN ==，可得222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥， 因为BC BN B =I ，所以MN ⊥平面BCN ，因为MN ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BCN .（6分）（2）如图，以B 为坐标原点，,,BA BM BC 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系B-xyz ，则(0,0,0),(0,0,2),(2,0,2)B C D ,(0,4,0),(2,2,0)M N ,(2,2,0)MN =-u u u u r ,(2,2,2)CN =-u u u r ,(0,2,2)DN =-u u u r,设111(,,)x y z =n 是平面CMN 的法向量，则00MN CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r n n ，即111112202220x y x y z -=⎧⎨+-=⎩， 取11x =，得(1,1,2)=n .（8分）设222(,,)x y z =m 是平面DMN 的法向量，则0MN DN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r m m ，即2222220220x y y z -=⎧⎨-=⎩，取21z =，得(1,1,1)=m ，（10分）设二面角C MN D --的平面角为θ，则cos ||||θ⋅===n m n m由图可知二面角C MN D --.（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】（1）设c =，由12,l lπ2sin 3c 1c =，（2分） 由椭圆C 的离心率为12，得12c a =，所以2a =，b 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（5分）（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±，点12,F F 到直线l 的距离之积为3；（6分） 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立y kx m =+及22143x y +=，消去y 得222(34)84120k x kmx m +++-=，（8分） 因为直线l 与椭圆C 只有一个公共点，所以22222(8)4(34)(412)48(43)0km k m m k ∆=-+-=---=， 所以2243m k =+.点1(1,0)F -到直线l ：y kx m =+的距离1d =点2(1,0)F 到直线l ：y kx m =+的距离2d =，所以22221222|||43|311m k k k d d k k -+-===++，（11分） 综上可得，若直线l 与椭圆C 只有一个公共点，则点12,F F 到直线l 的距离之积为3.（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）（ⅰ）样本的平均数为1(23212219221917192117)2010⨯+++++++++=，样本的标准2=，因此20μ=，2σ=.（2分）（ⅱ）学校7点30分上课，若该学生7点04分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为26分钟，若该学生7点06分准时从家出发，则该学生到达教室所花时间最多为24分钟，由于11(26)(3)1[(1(33)]1(10.9974)0.998722P X P X P X μσμσμσ<=<+=-⨯--<<+=-⨯-=，11(24)(2)1[(1(22)]1(10.9544)0.977222P X P X P X μσμσμσ<=<+=-⨯--<<+=-⨯-=.（4分）所以该学生上学不迟到的概率的范围是(0.9772,0.9987).（6分）（2）把该学生这10天早上从家出发到教室所花的时间从小到大排列为17，17，19，19，19，21，21，22，22，23.在这10天中任取2天，所花时间的差的绝对值为Y ，则Y 的可能值为0,1,2,3,4,5,6，且22222322210C C C C 62(0)C 4515P Y +++====，11112221210C C C C 62(1)C 4515P Y +====， 111111232321210C C C C C C 14(2)C 45P Y ++===，1132210C C 62(3)C 4515P Y ====，11112231210C C C C 7(4)C 45P Y +===， 1122210C C 4(5)C 45P Y ===，1121210C C 2(6)C 45P Y ===，（10分）所以Y 的分布列是Y 的数学期望是22142742112()01234561515451545454545E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）因为()cos(1)(1ln )f x x x x =-+-，所以()()sin(1)ln (0)g x f x x x x '==--->，（1分） 设1()ln (0)h x x x x =-->，则22111()xh x x x x-'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 是减函数, 所以()(1)1h x h ≤=-，即1ln 1x x --≤-，所以1ln 1x x-≤-，当1x =时取等号.（4分） 因为sin(1)1x --≤，所以1()sin(1)ln 1ln g x x x x x=---≤-≤，等号不同时成立， 所以1()g x x<.（6分） （2）因为()sin(1)ln g x x x =---，所以1()cos(1)g x x x'=---， 当(0,1]x ∈时，1cos(1)0,0x x->>，()0g x '<，所以()g x 在(0,1]上是减函数，当(0,1]x ∈时()(1)0g x g ≥=， 即(0,1]x ∈时()0f x '≥，所以()f x 在(0,1]上是增函数；（8分）(1,1π)x ∈+时，1(0,π)x -∈，所以sin(1)0,ln 0x x --<-<，所以()0g x <，当[1π,)x ∈++∞时,sin(1)1,ln 1x x --≤-<-，所以()0g x <，所以当(1,)x ∈+∞时()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上是减函数， 综上，可得()f x 在(0,1]上是增函数，在(1,)+∞上是减函数.（12分） 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．（2分）由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．（5分） （2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，（7分）当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=所以|||||A B AB ρρ=-==（10分） 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）当2a =时，12,211()|21||21|4,2212,2x f x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，（2分）当12x <-或12x >时，|()|2f x =，所以1()1f x -≤≤可转化为1124211x x -≤-≤≤⎧≤⎪⎨⎪⎩，解得1144x -≤≤，所以不等式1()1f x -≤≤的解集为11[,]44-．（5分）（2）因为1(,0)2x ∈-，所以|21|21x x +=+，所以()2f x x >，即21|1|2x ax x +-->，即|1|1ax -<．当0a ≥时，因为1(,0)2x ∈-，所以|1|1ax -≥，不符合题意．（7分）当0a <时，解|1|1ax -<可得20x a<<，（8分） 因为当1(,0)2x ∈-时，不等式()2f x x >恒成立，所以12(,0)(,0)2a-⊆，所以212a ≤-，解得40a -≤<，所以实数a 的取值范围为[4,0)-．（10分）。
河南省名校联盟2020届高三下学期尖子生3月调研考试数学(理)试题 Word版含解析
河南名校联盟2020届高三尖子生三月调研考试理科数学卷一､选择题1.已知集合122xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，21log 2B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A. ∅B. {}12x x -<<C. {}02x x <<D. {}24x <<【答案】C 【解析】 【分析】解指数不等式求得集合A ，解对数不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集.【详解】{}1212xA x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}21log 022B x x x x ⎧⎫=<=<<⎨⎬⎩⎭，所以{}02A B x x ⋂=<<.故选：C ．【点睛】本小题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 3i i -=（ ）A. 1i +B. 22i +C. 1i -+D. 22i -+【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的模、除法运算化简所求表达式. ()()()()321211111i i i i ii i i i i i --===-=+++-. 故选：A ．【点睛】本小题主要考查复数的模和除法运算，属于基础题.3.已知a ，b 都是实数，那么“22log log a b >> ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性解不等式得到22log log a b >⇒>，取特殊值得到22log log a b >⇒/，从而得到“22log log a b >>件.【详解】因为22log log a b >，所以0a b >>>即22log log a b >⇒>反过来，因为当1,0a b ==时，2log b 22log log a b >>⇒/则“22log log a b >>故选:A【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的证明，属于基础题. 4.()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（ ）A. 30B. 10C. 30-D. 10-【答案】D 【解析】 【分析】利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得展开式中33x y 的系数.【详解】()5x y -的展开式中32x y ，23x y 的系数分别为25C ，35C -所以()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为2355210C C -=-.故选：D ．【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的运用，属于基础题.5.已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率与双曲线22222:1x y C a b-=的离心率的一个等比中项为2，则双曲线2C 的渐近线方程为（ ） A. 14y x =±B. 12y x =±C. 4y x =±D. 2y x =±【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项的性质列方程，化简后求得ba，进而求得双曲线2C 的渐近线方程.【详解】由题意得222222916a b a b a a -+⋅=，所以4716b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b a=，所以双曲线2C 渐近线方程为y x =. 故选：D ．【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.6.函数()sin f x x x =在[],2t t 上是减函数，则t 的取值范围是（ ）A. 7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 7,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】首先求得()f x 的单调减区间，根据()f x 在[],2t t 上是减函数，求得[]7,2,66t t ππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，由此求得t 的取值范围.【详解】()sin 3cos 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的递减区间是()72,262k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，又0t >，2t t π-<，所以0t π<<，所以[]7,2,66t t ππ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，所以7612t ππ≤≤. 故选：B ．【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，属于基础题. 7.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 3B. 5C. 9D. 16【答案】D 【解析】 【分析】运行程序进行计算，当4n =时结束循环，输出16S =.【详解】第一次循环，S 9=，2n =；第二次循环，4S =，3n =；第三次循环，16S =，4n =，结束循环，故输出S 的值为16．故选：D ．【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，属于基础题.8.一底面半径为2的圆柱形封闭容器内有一个半径为1的小球，与一个半径为2的大球，则该容器容积最小为（ ） A 24πB. 20πC. ()1282π+D. 162π【答案】C 【解析】 【分析】画出容器容积最小时几何体的截面图，由此计算出此时容器的高，进而求得该容器容积的最小值.【详解】当容器容积最小时，两个球相外切，且分别与两个底面相切，小球与容器的侧面相切，此时容器的高为()()22121221322+++--=+（其中()()221221+--表示如图12Rt O O A ∆的直角边1O A 的长），所以该容器容积最小值为()()223221282ππ⨯⨯+=+.故选：C ．【点睛】本小题主要考查与球有关的几何体体积最小值的计算，考查空间想象能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9.已知正项数列{}n a 的前n 项和为11,n n n nS S S a -+=，且124,,S S S 成等比数列，则5616...a a a +++=（ ）A. 2B. 4C. 12 12【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系式证得{}2n S 为等差数列，由此求得211n S S n =+-124,,S S S 成等比数列列方程，求得n S ，由此求得5616...a a a +++的值. 【详解】由1111n n n n n S S a S S --+==-得()22*112,n n S S n n N --=≥∈，所以{}2n S 为等差数列，且公差1d =，所以()2211n S S n =+-，n S =，由124,,S S S 成等比数列，得211S =+，所以211S =，=n S ，5616164...422a a a S S +++=-=-=.故选：A ．【点睛】本小题主要考查根据等比中项的性质，考查1n n n a S S -=-的运用，属于中档题.10.已知点,M N 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的两点，且线段MN 恰为圆()2220x y r r +=>的一条直径，A 为椭圆C 上与,M N 不重合的一点，且直线,AM AN 斜率之积为13-，则椭圆C 的离心率为（ ） A.13B.23【答案】D 【解析】 【分析】由题意知点,M N 关于原点对称，设出,,M N A 的坐标并代入椭圆方程，利用直线,AM AN 斜率之积为13-列方程，化简后求得22b a，由此求得椭圆离心率.【详解】由题意知点,M N 关于原点对称，设(),M s t ，则(),N s t --，设()00,A x y ，由22221s t a b+=，2200221x y a b +=相减得22202220t y b s x a-=--，所以222000222000AM ANt y t y t y b k k s x s x s x a ----⋅=⋅==-----，所以2213b a =，椭圆C 的离心率为3e ==.故选：D ．【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 11.已知圆C 与x 轴切于点()1,0，与y 轴正半轴交于点,A B ，且AB =设点P 是圆C 上与点,A B 不重合的点，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A. []1,3-B. 2⎡⎣C. 33⎡---+⎣D. []2,6-【答案】D 【解析】 【分析】设出圆的方程，根据圆C 与x 轴相切于点()1,0以及AB =由此求得圆C 的方程，进而求得,A B 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算化简PA PB ⋅，由此求得PA PB ⋅的取值范围.【详解】由题意，设圆C 方程为()()()22210x y b r r -+-=>，则r b =，2221r +=，所以2r，圆C 方程为()()222122x y -+-=，可得(0,2A +，(0,2B ，设(),P x y 则[]224122,6PA PB x y y x ⋅=+-+=∈-.故选：D ．【点睛】本小题主要考查圆的标准方程的求法，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题. 12.已知函数()4122xf x =-+的图象与()2sin g x x π=的图象在[]8,10-有k 个交点，分别记作()()()1122,,,,...,,k k x y x y x y 则()1kiii x y =+=∑（ ）A. 9B. 10C. 19D. 20【答案】C 【解析】 【分析】判断出()f x 和()g x 的图象都关于()1,0对称，结合两个函数图象求得k 的值，根据对称性求得()119kiii x y =+=∑.【详解】()11422121222212x x x x x f x ----=-==+++，由1212x xy -=+是奇函数，可得()f x 图象关于点()1,0对称，()2sin g x x π=的图象也关于点()1,0对称，函数()4122xf x =-+的图象与()2sin g x x π=的图象在[]8,10-有19个交点，其中1个为()1,0，其余9对关于点()1,0对称，所以119kii x==∑，10k i i y ==∑，所以()119ki i i x y =+=∑.故选：C ．【点睛】本小题主要考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 三､填空题13.已知正数,x y 满足约束条件28,3212,x y x y +≤⎧⎨+≤⎩则34x y +的最大值为______．【答案】18 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线34y x =-到可行域边界点()2,3B 位置，由此求得34x y +的最大值.【详解】作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，其中()2,3B ，设34z x y =+，则344z y x =-+，平移直线34y x =-至经过点B 时，直线344zy x =-+的纵截距最大，所以max 3461218z x y =+=+=．故答案为：18【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14.已知数列{}n a 满足112a =，()124n n na n a +=+，则8a =______． 【答案】2304 【解析】 【分析】根据递推关系式证得数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是等比数列，由此求得8a 的值.【详解】由()124n n na n a +=+得()()()12121n n a a n n n n +=+++，所以数列()1n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为14，公比为2的等比数列，所以7812894a =⨯⨯，82304a =．故答案为：2304【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，属于基础题.15.在ABC ∆中，内角,,A B C 内角所对的边分别为,,a b c ，若2cos cos cos c C a B b A =+，且3c =2a b -的取值范围是______．【答案】(3,23 【解析】 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式化简已知条件，求得cos C 的值，进而求得C ，利用正弦定理将2a b -表示为角的形式，结合三角函数值域的求法，求得2a b -的取值范围. 【详解】由2cos cos cos c C a B b A=+得()2sin cos sin cos sin cos sin sin C C A B B A A B C =+=+=，因为sin 0C ≠，所以1cos 2C =，3C π=， 所以2sin sin sin a b cA B C ===， 所以24sin 2sin 4sin 2sin 3sin 36a b A B A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为3C π=，所以203A π<<，662A πππ-<-<，1sin 126A π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，2a b -的取值范围是(．故答案为：(【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用三角函数的值域来求解边的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16.已知()32201925,0,4,0,x x x x f x x +⎧--<=⎨≥⎩则不等式()2782f x f x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的解集为______．【答案】()(),12,-∞-+∞【解析】 【分析】利用导数判断出()f x 在R 上的单调性，由此化简不等式，求得不等式的解集. 【详解】当0x <时()()'234340fx x x x x =-=->，320201912154+-⨯-<，所以()f x 在(),-∞+∞上是增函数，且()22320192201922388442x x f xf x +++⎛⎫=⨯==+ ⎪⎝⎭，所以()2227738201222f x f x x x x x x ⎛⎫+<⇔+<+⇔-->⇔<- ⎪⎝⎭或2x >．故答案为：()(),12,-∞-+∞【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数不等式的求法，属于中档题. 三､解答题17.已知数列{}n a ，{}n b 满足122n n b n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，143a =，36b =且{}n b 是等差数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）22441n n a n =-．（2）22221n n nS n +=+ 【解析】 【分析】（1）求得数列{}n b 的公差d ，由此求得数列{}n b 的通项公式，进而求得{}n a 的通项公式. （2）利用裂项求和法求得数列{}n a 的前n 项和n S ． 【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d ， 由143a =，36b =，得11322b a ==，所以()31122d b b =-=，所以()112n b b n d n =+=，222414122n nn a n n n==--．（2）因为2224111111414122121n n a n n n n ⎛⎫==+=+- ⎪---+⎝⎭，所以2111111221 (233521212121)n n n nS n n n n n n +⎛⎫=+-+-++-=+= ⎪-+++⎝⎭． 【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查裂项求和法，属于基础题.18.经十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了新个税法，新个税法规定：居民个人的综合所得，以每一纳税年度的收人额减除费用六万元以及专项扣除､专项附加扣除和依法确定的其他扣除后的余额，为应纳税所得额．某公司下属分公司有30名员工，把这30名员工2020年1月份的工资(把月工资额减去5000元作为应纳税所得额)编成如图的茎叶图(单位：百元)（1）求这30名员工中需缴纳个人所得税的员工的2020年1月份的工资(单位：百元)的中位数；（2）若从月应纳税超过5百元的员工中选3名参加个税法宣传活动，用X 表示所选员工中女员工的人数，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望． 【答案】（1）58．（2）分布列见解析，期望为910【解析】 【分析】（1）先根据茎叶图判断出需纳税的人数，再求得中位数.（2）利用超几何分布的分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望.【详解】（1）根据茎叶图可知：月工资在5000元以上的员工需缴纳个人所得税，共15人，这15人月工资的中位数为58百元.（2）月工资超过5百元的员工年度应纳税超过5百元，有10人，其中女员工3人，所以X 的取值依次为0,1,2,3．()373107024C p X C ===，()123731021140C C p X C ===，()21373107240C C p X C ===，()3331013120C p X C ===．所以X 的分布列为X123p7402140 740 1120721719012340404012010EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本小题主要考查根据茎叶图求中位数，考查超几何分布的分布列和数学期望的求法，考查生活中的数学应用，属于中档题.19.如图所示，在三棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，23AD =，2CBA CBD π∠=∠=，点E 为AD 中点．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCE ；（2）若点F 为BD 中点，求平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）答案见解析．（2）3131【解析】 【分析】（1）通过证明BC ⊥平面ABD ，证得BC AD ⊥，证得BE AD ⊥，由此证得AD ⊥平面BCE ，进而证得平面ACD ⊥平面BCE .（2）建立空间直角坐标系，利用平面BCE 和平面ACF 的法向量，计算出平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值.【详解】（1）因为2CBA CBD π∠=∠=，所以BC ⊥平面ABD ，因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥．因为AB BD =，点E 为AD 中点，所以BE AD ⊥． 因为BCBE B =，所以AD ⊥平面BCE ．因为AD ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BCE ．（2）以点B 为坐标原点，直线,BC BD 分别为x 轴，y 轴，过点B 与平面BCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,1,3A -，()2,0,0C ，()0,2,0D ，130,,2E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0F ， ()2,0,0BC =，130,,2BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,1,0CF =-，()0,2,3AF =-，设平面BCE 的一个法向量()111,,n x y z =，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即11120,130,2x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取11z =，则10x =，13y =-，所以()0,3,1n =-，设平面ACF 的一个法向量()222,,m x y z =，则0,0,m AF m CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2222230,20,y z x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩取22z =，则23x =，23y =，所以3,3,2m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角为θ，则()()()222222303312231cos cos 313031322n m θ⨯+-⨯+⨯=⋅==⎛⎫+-+⋅++ ⎪⎝⎭．所以平面BCE 与平面ACF 所成锐二面角的余弦值为3131．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知焦点为F 的抛物线()2:20C y px p =>与圆222:1O x y p +=+交于点()01,P y ．（1）求抛物线C 的方程；（2）在第一象限内，圆O 上是否存在点A ，过点A 作直线l 与抛物线C 交于点B (B 为第四象限的点)，与x 轴交于点D ，且以点D 为圆心的圆过点,,O A B ？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）24y x =．（2）不存在，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据()01,P y 在抛物线C 和圆O 上，求得p 的值，由此求得抛物线C 的方程. （2）假设存在点A ，根据圆的几何性质得到OA OB ⊥，点D 为线段AB 中点.设出直线OA 的方程，由此写出直线OB 的方程，分别与圆O 的方程联立，求得,A B 两点的坐标，进而求得D 点的坐标，根据D 的纵坐标为零列方程，由此判断出符合条件的点A 不存在.【详解】（1）由抛物线C 与圆O 交于点()01,P y ，点()01,P y 在圆O 上，即222011y p +=+，可得0y p =±，又()1,p ±在抛物线C 上，则22p p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）假设存在点A ，以点D 为圆心的圆过点,,O A B ， 则OA OB ⊥，点D 为线段AB 中点， 由题意知，直线OA 的斜率存在且大于0，设OA 的方程为()0y kx k =>，则OB 的方程为1=-y x k， 又圆O 方程为225x y +=，由22,5,y kx x y =⎧⎨+=⎩得x =A ，由21,4,y x k y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得24x k =，所以得()24,4B k k -，因为点D 为线段AB 中点，所以4k =，整理得216110k +=， 符合条件的k 不存在，所以满足条件的点A 不存在．【点睛】本小题主要考查抛物线的方程和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.21.已知函数()()()ln f x x x a a x R =---∈． （1）讨论()f x 的单调性； （2）判断方程()f x a =在,aa ea e a -⎡⎤++⎣⎦上的实根个数；【答案】（1）答案见解析．（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求得()f x 的定义域和导函数()'fx ，由此判断出()f x 的单调性.（2）利用()f x 的最小值判断出0a >，对a 分成01,1,1a a a <<=>三种情况进行分类讨论，结合()f x a =，判断出方程()f x a =在,aa ea e a -⎡⎤++⎣⎦上的实根个数.【详解】（1）()f x 的定义域为(),a +∞.由()()ln f x x x a a =---， 得()()1110x a f x x x a x a--'=-=>--， 所以当(),1x a a ∈+时()0f x '<，()f x 减函数；当()1,x a ∈++∞时()0f x '>，()f x 是增函数． （2）由（1）知，()()11f x f a ≥+=， 由a a e a e a -+>+，得a a e e -<，所以0a >． ①若01a <<，由()1f x ≥可得()f x a =在,aa ea e a -⎡⎤++⎣⎦上没有实数根；②若1a =，由1,aa a ea e a -⎡⎤+∈++⎣⎦可知，()f x a =在,a ae a e a -⎡⎤++⎣⎦上有1个实数根1a +；当1a >时()f x 在,1aea a -⎡⎤++⎣⎦上是减函数，在()1,aa e a ++上是增函数， 由()11f a a +=<，()()ln aa a a f e a e a e a a a e a a ---+=+-+--=+>，可得()f x a =在,1aea a -⎡⎤++⎣⎦上有一个实根，又()()ln aaaaf e a e a e a a a e a +=+-+--=- 设()2ag a e a =-，则()20ag a e '=->，所以()g a 在()1,+∞上是增函数，所以()()120g a g e >=->， 所以20a e a ->，a e a a ->，所以()f x a =在(1,aa e a ⎤++⎦上有1个实根，综上可得，若01a <<，()f x a =在,aa ea e a -⎡⎤++⎣⎦上没有实数根；若1a =，()f x a =在2,a a e a e a ⎡⎤++⎣⎦上有1个实数根；若1a >时()f x a =在(,a ae a e a -⎤++⎦上有2个实根．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究方程的根，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，点P 是曲线1C 上的动点，点Q 在OP 延长线上，且3PQ OP =． （1）求点Q 轨迹2C 的参数方程；（2）以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线3πθ=与曲线12,C C (与原点不重合)的交点分别为,A B ，求AB ．【答案】（1）4cos ,44sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩(α参数)．（2）【解析】 【分析】（1）由3PQ OP =得4OQ OP =，设(),Q x y ，则,44x y P ⎛⎫⎪⎝⎭，将P 点坐标代入曲线1C 的参数方程，化简后求得Q 的轨迹2C 的参数方程. （2）将12,C C 的参数方程消参，求得其对应的直角坐标方程，转化为极坐标方程，令3πθ=求得OA 和OB ，由此求得AB .【详解】（1）由点Q 在OP 延长线上，且3PQ OP =， 可得4OQ OP =，设(),Q x y ，则,44x y P ⎛⎫⎪⎝⎭， 由点P 是曲线1C 上动点，可得cos ,41sin ,4xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即4cos ,44sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩所以点Q 轨迹2C 的参数方程为4cos ,44sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)．（2）因为曲线12,C C 的参数方程分别为cos ,1sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩4cos ,44sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩ 消去参数α，得曲线12,C C 的直角坐标方程分别为2220x y y +-=，2280x y y +-=，由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线12,C C 的极坐标方程分别为2sin ρθ=，8sin ρθ=，所以2sin3OA π==8sin3OB π==所以AB OB OA =-=【点睛】本小题主要考查代入法求轨迹方程，考查利用极坐标的几何意义求弦长，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 23.已知()()21f x x x a a R =-++∈． （1）若1a =，求不等式()2f x >的解集； （2）若存在0x R ∈，对任意()0,1m ∈恒有()0141f x m m+>-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．（2）1917,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）当1a =时，利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得出不等式()2f x >的解集.（2）先求得()f x 的最小值为12a +，利用基本不等式求得1491m m+≥-，依题意得到192a +<，解绝对值不等式求得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，()13,,212112,1,23,1,x x f x x x x x x x ⎧≥⎪⎪⎪=-++=-+-<<⎨⎪-≤-⎪⎪⎩当12x ≥时，由()2f x >得32x >，所以23x >， 当112x -<<时，由()2f x >得22x -+>，所以10x -<<，当1x ≤-时，由()2f x >得32x ->，所以1x ≤-， 综上得()2f x >的解集为()2,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭． （2）因为()()11121222f x x x a x x a x x a a ⎛⎫=-++≥-++≥--+=+ ⎪⎝⎭， 当12x =时取等号，()1414141559111m m m m m m m m m m -⎛⎫+=+-+=++≥+=⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭． 依题意：存在0x R ∈，对任意()0,1m ∈恒有()0141f x m m+>-，则192a+<，1992a-<+<，即191722a-<<所以实数a的取值范围是1917,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式能成立、恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.- 1 -。
河南省TOP二十名校2023届高三3月调研模拟理科数学试题含解析
2022-2023学年高三年级TOP 二十名校调研模拟卷三高三理科数学试卷（答案在最后）注意事项：1.本试卷共4页，考试时间120分钟，卷面总分150分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上.3.全部答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}260M x x x =+-<，集合401x N x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋃=（）A.{}31x x -<<B.{}41x x -<<C.{}42x x -<< D.{}32x x -<<【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式求出集合M ，解分式不等式求出集合N ，再求并集可得答案．【详解】{}32M x x =-<<，{}41N x x =-<<，{}42M N x x ⋃=-<<.故选：C.2.关于复数1i1iz +=-的下列命题中1p ：1z z ⋅=-，2p ：1z =，3p ：i z =-，4p ：21z =，其中真命题为（）A.1p ，4p B.2p ，3p C.2p ，4p D.3p ，4p 【答案】B 【解析】【分析】化简复数z ，求出z ，z ，2z 可得答案.【详解】()()()21i 1ii 1i 1i 1i z ++===--+，1z ∴=，i z =-，对于命题1p ：i i 1⋅=-⨯=z z ，错误；对于命题2p ：1z =，正确；对于命题3p ：i z =-，正确；对于命题4p ：221z i ==-，错误.故选：B.3.某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15米.假设在该海湾某一固定点，大海水深d （单位：m ）与午夜后的时间t （单位：h ）之间的关系为()104πcos 3d t t =+，则下午5:00时刻该固定点的水位变化的速度为（）. A.23π3B.6πC.6π-D.π63-【答案】A 【解析】【分析】根据导数的实际意义，结合三角函数以及复合函数的导数计算，可得答案.【详解】由()π104cos3d t =+，则()4ππsin 33d x t '=-，所以下午5:00时刻该固定点的水位变化的速度为()4ππ4π2π4π17sin 17sin 5π3333323d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-⨯=-+=-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.4.已知一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，，(),n n x y ，根据这组数据的散点图分析x 与y 之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为4ˆ30.13.5yx =-+，则在样本点()9,53处的残差为（）A.38.1B.22.6C.38.1- D.91.1【答案】C 【解析】【分析】对于响应变量y ，通过观测得到的数据为观测值，通过线性回归方程得到ˆy的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.【详解】因为观测值减去预测值称为残差，所以当9x =时，30.413.5991.1ˆy=-+⨯=，所以残差为5391.1-38.1=-.故选：C.5.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则（）A.α∥β且l ∥αB.α⊥β且l ⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l //β，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论．6.已知数列{}n a 满足1,,22,,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若已知164a =，那么20S 的值为（）A.322B.295C.293D.270【答案】A 【解析】【分析】由递推公式分析可知数列{}n a 的前7项是首项为64，公比为12的等比数列，从第8项开始是首项为3，公差为2的等差数列，根据等比数列和等差数列求和公式可求出结果.【详解】∵164a =，由1,,22,,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数可知，数列{}n a 的前7项是首项为64，公比为12的等比数列，故67164()12a =⋅=为奇数，8723a a =+=为奇数，所以从第8项开始是首项为3，公差为2的等差数列，所以720164(1)1312213321212S -⨯=+⨯+⨯-322=.故选：A7.在ABC 中，D 是AB 边上的点，满足2AD DB =，E 在线段CD 上（不含端点），且(),AE x AB y AC x y =+∈R ，则2x y xy+的最小值为（）A.3+B.4+C.8+D.8【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量的线性运算推导出312x y +=，将代数式32x y +与2x y xy +相乘，展开后利用基本不等式可求得2x yxy+的最小值.【详解】因为D 是AB 边上的点，满足2AD DB =，则2AD DB =，所以，23CD AD AC AB AC =-=-，因为E 在线段CD 上（不含端点），则存在实数()0,1λ∈，使得23CE CD AB AC λλλ==-，所以，()22133AE AC CE AC AB AC AB AC λλλλ=+=+-=+- ，又因为(),AE x AB y AC x y =+∈R ，且AB 、AC 不共线，则231x y λλ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故312x y +=，因为()0,1λ∈，则220,33x λ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()10,1y λ=-∈，所以()221121134132882222x y x yx y xy x y x yy x ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝4=+当且仅当()340,0312x y x y y x x y ⎧=>>⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即当33312x y ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩时，等号成立，故2x y xy+的最小值为4+.故选：B.8.已知圆O 的直径4AB =，若平面内一个动点M 与点A 的距离是它与点B 倍，则MAB △的面积的最大值为（）A.64B.12C.D.【答案】D 【解析】【分析】以O 为原点，AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)M x y ，利用||||MA MB =求出点M 的轨迹方程，再根据圆的知识可求出结果.【详解】以O 为原点，AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则(2,0)A -，(2,0)B ，设(,)M x y ，因为||||MA MB ==整理得22(6)32x y -+=，所以点M 在以()6,0为圆心，以为半径的圆上，M 到直线AB 的距离的最大值为因此ABM 的面积的最大值为142⨯⨯=故选：D9.已知3ln ,log ,a b c ππ===，则,,a b c 的大小关系是（）A.b a c <<B.a b c<< C.c b a<< D.b<c<a【答案】A【解析】【分析】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.【详解】e 3π<< ，e 33log log log 31a b ππ∴=>=>=，即1a b >>，2ln ln,a c π==== ，下面比较2与2y x =与2xy =，由指数函数2x y =与幂函数2y x =的图像与单调性可知，当(0,2)x ∈时，22x x <；当(2,4)x ∈时，22x x >由(0,2)x =，故2<，故ln π<，即a c <，所以b a c <<，故选：A10.F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点，O 是坐标原点，直线33y x =与双曲线C 的左、右两支分别交于,P Q 两点，且FO PF =，则双曲线的离心率为（）A.1+ B.1+ C.713+ D.313+【答案】C 【解析】【分析】由题意可得30FPO POF ∠=∠=︒，则120OFP ∠=︒，过P 作PG x ⊥轴于点G ，可求出点P 的坐标，代入双曲线方程化简可求得离心率.【详解】因为直线33y x =与双曲线C 的左、右两支分别交于,P Q 两点，所以230QOF POF ∠=∠=︒，因为FO PF c ==，所以30FPO POF ∠=∠=︒，所以120OFP ∠=︒，过P 作PG x ⊥轴于点G ，在Rt PFG △中，PF c =，60PFG ∠=︒，所以13,22FG c PG c ==，所以点P 的坐标为33,22c c ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，因为点P 在双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上，所以222293441c c a b-=，化简得222222934b c a c a b -=，所以222222229()34()c a c a c a c a --=-，整理得422491640c a c a -+=，所以4291640e e -+=，所以2168189e ±==，因为1e >，所以)221899e ++==，所以13e +=，故选：C11.已知函数()c π6πos 6f x x x =-，当()()1214,11,1,4x x ∈--∈时，()()120f x f x +=，则12x x +的值为（）A.2π-B.3π- C.12- D.10-【答案】D 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，利用三角函数的对称性，结合整体思想，建立方程，可得答案.【详解】()ππππcos 2sin 6666f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为()()120f x f x +=，所以()()21f x f x =-，即21ππππ2sin 2sin 6666x x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21ππππ2sin 2sin 6666x x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭①，因为()114,11x ∈--，所以()111,14x -∈，则1ππ5π2π,662x ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭②，由()21,4x ∈，则2πππ0,662x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭③，根据上图，由①②③可得：12ππππ2π6666x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1210x x +=-.故选：D.12.已知平面四边形ABCD 中，3,AB BC CD AC AC CD ====⊥，将ABC 沿对角线AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为150︒，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为（）A.62πB.(25π+ C.93πD.(25π+【答案】C 【解析】【分析】取AC 的中点M ，AD 的中点G ，连接BM ，MG ，过点G 作OG ⊥平面ACD ，设点O 为三棱锥B ACD -的外接球的球心，半径为R ，由OB GM GO MB =-+，可得()22OB GM GO MB =-+ ，根据2222||OB OA x GA ==+ ，解得x ，可得22R OA =，即可得出三棱锥B ACD -的外接球的表面积．【详解】如图所示，取AC 的中点M ，AD 的中点G ，连接BM ，MG ，设点O 为三棱锥B ACD -的外接球的球心，过点G 作OG ⊥平面ACD ，连接OA ，OB ，设OG x =，球的半径为R ，3,AB BC CD AC AC CD ====⊥ ，232AD CD ∴==322GA =,M G Q 为,AC AD 中点，//,MG CD BM AC ∴⊥，332MB ∴=，1322GM CD ==又,MG CD ⊂平面ACD ，MG AC∴⊥∴二面角B AC D --的平面角为BMG ∠，∴BMG ∠=150︒0GO GM ∴⋅= ，3333cos 6024MB GO x x ⋅=⋅︒= ，33327cos150228MG MB ⋅=⨯︒=- ， OB OG GMMB GM GO MB =++=-+，∴22222()222OB GM GO MB GM GO MB GM GO GM MB GO MB =-+=++-⋅+⋅-⋅，229272733363022448424x x ⎛⎫=++-+⨯--⨯=-+ ⎪⎝⎭2222||OB OA x GA ==+ ，2263339422x x x ∴+-=+，解得32x =，2222533293((224R OA ∴==+=，∴三棱锥B ACD -的外接球的表面积为24π93πR =．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查了三棱锥外接球问题，考查空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题.解决本题的关键是利用空间中线面关系结合空间向量数量积的运算律，将外接球的半径转化为向量模长求解，设球心O 到平面ACD 的距离为x ，将向量拆分成OB GM GO MB =-+，并确定其中两两向量之间的数量积，利用向量运算得()22OB GM GO MB =-+ ，结合球的几何性质列方程求解半径即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在45(12)(1)x x +-的展开式中，按x 的升幂排列的第三项为_______.【答案】26x -【解析】【分析】依题意可得第三项为含2x 项，结合展开式的通项可求解．【详解】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，故所求的项为2x 项．整个式子中2x 项可由()412x +，()51x -的展开式中的常数项与二次项、一次项与一次项、二次项与常数项相乘得到，其中()412x +展开式的通项为()14C 2rr r T x +=（0,1,2,3,4r =），()51x -展开式的通项为()15C kkk T x +=-（0,1,2,3,4,5k =）；故所求为()()()()220211202454545C C C 2C C 2C 6x x x x x ⨯-+⨯-+⨯=-．故答案为：26x -．14.单位圆O 与x 轴正半轴交于点M ，A ，B 为单位圆上两点，1AB =，MOB α∠=且512,1313A ⎛⎫⎪⎝⎭，点B 位于第二象限，则2sin cos 2222ααα+=______.【答案】1213【解析】【分析】求出sin ∠MOA ，利用正、余弦的二倍角公式、两角差的正弦展开式化简已知条件可得答案.【详解】因为512,1313A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以12sin 13∠=MOA ，因为1===AB OA OB ，所以π3AOB ∠=，)21cos1sin cos sin2222222ααααα++=+-1sin22αα=-π12sin sin313α⎛⎫=-=∠=⎪⎝⎭MOA.故答案为：1213.15.已知抛物线24x y=的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线于,A B两点，过,A B分别向l引垂线，垂足分别为1A，1B，若1116A AFB BFSS=△△，那么11A FB内切圆的半径为______.【答案】52-【解析】【分析】不妨设A在第一象限，根据由抛物线定义以及1116A AFB BFSS=△△，推出4AFBF=，设11(,)A x y，22(,)B x y，1>0x，20x<，由4AF FB=求出14x=，21x=-，得到1(4,1)A-，1(1,1)B--，再根据直角三角形的面积可求出内切圆半径.【详解】不妨设A在第一象限，由抛物线定义可知1AA AF=，1BB BF=且11//AA BB.∴11πA AB B BA∠+∠=，因此11sin sinAAB BBA∠=∠.112212211sin21641sin2A AFB BFAF A ABS AF AFS BFBFBF B BA∠∴===⇒=∠△△，所以4AF FB=，设11(,)A x y，22(,)B x y，1>0x，20x<，因为(0,1)F，所以()1122,14(,1)x y x y--=-，所以12124144x x y y -=⎧⎨-=-⎩，所以1222124144x x x x -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，结合1>0x ，解得14x =，21x =-，因为准线:1l y =-，所以1(4,1)A -，1(1,1)B --，1A F ∴=1B F =115A B =.所以2221111||||||A F B F A B +=，所以11A FB 为直角三角形，设其内切圆半径r，那么()11522r ++=⨯.52r -∴=.故答案为：52-.16.已知函数()()()223e 1e 2e (0,R)xxf x x ax a a a =--++>∈，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x >，则实数a 的取值范围是_______.【答案】21331e,0,1e e 2⎛⎤+⎛⎫+- ⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦ 【解析】【分析】将题目转化为存在唯一的整数0x ，使得()0g x 在直线()()21h x a x =-+上方,得到()()()()1100g h h g ⎧>⎪⎨≥⎪⎩或()()()()3344g h h g ⎧>⎪⎨≥⎪⎩，解得答案.【详解】函数()()()223e 1e 2e (0,R)xxf x x ax a a a =--++>∈存在唯一的整数0x ，使得()00f x >，()()223e 21e xx a x --+<设()()223e e xx g x -=与()()21h x a x =-+,即存在唯一的整数0x ，使得()0g x 在直线()()21h x a x =-+上方,()()2e 52e xx g x -'=，当5,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>,()g x 在5,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当,25x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<,()g x 在,25x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，(),0,x g x ∞→+>()()22=1g h =,()13e g '=，若要存在唯一的整数0x ，使得()0g x 在直线()()21h x a x =-+上方，则()()()()1100g h h g ⎧>⎪⎨≥⎪⎩或()()()()3344g h h g ⎧>⎪⎨≥⎪⎩，代入得2e 1123e a a ->-⎧⎨-≥-⎩或231e 521e0a a a ⎧>+⎪⎪⎪≤+⎨⎪>⎪⎪⎩，解得21331e,0e e 12,a ⎛⎤+⎛⎫∈+- ⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦ ,故答案为：21331e,0,1e e 2⎛⎤+⎛⎫+- ⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦ .【点睛】关键点点睛:用导数求参数的范围问题，将题目转化两个函数的交点问题求解是解题的关键.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知5sin 3tan ,b A a B D =是AC 边上一点，2,2AD DC BD ==.（1）求cos B ；（2）求BA BC ⋅的最大值.【答案】（1）35（2）278【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再由同角三角函数的商数关系，得解；（2）由2AD DC =，知1233BD BA BC =+ ，将其两边平方后，结合基本不等式，计算可得458ac ≤，再由平面向量数量积的运算法则，得解．【小问1详解】由正弦定理及5sin 3tan b A a B =知，5sin sin 3sin tan B A A B =，因为sin 0A >，所以5sin 3tan B B =，所以sin 3cos tan 5B B B ==．【小问2详解】因为2AD DC =，所以2212()3333BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC =+=+=+-=+，又2BD =，所以222222121441434()4339999959BD BA BC BA BA BC BC c ca a =+=+⋅+=+⋅+= ，整理得2251220180c ac a ++=，所以2212180(520)18018020ac c a ac =-+≤-=-，所以458ac ≤=，即22c a ==时，等号成立，所以334527cos 5588BA BC ac B ac ⋅==≤⨯= ，故BA BC ⋅ 的最大值为278．18.已知三棱柱111ABC A B C -中，1112,2,90,AB AC A A A B A C BAC E =====∠=︒是BC 的中点，F 是线段11A C 上一点.（1）求证：AB EF ⊥；（2）设P 是棱1AA 上的动点（不包括边界），当PBC 的面积最小时，求直线1PC 与平面11AA B B 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）24221【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”证明线线垂直，结合勾股定理证明直线垂直，从而由线面垂直判定定理得1A E ⊥平面ABC ，利用线面垂直的性质进行证明即可；（2）根据三角形的面积最小，得到P 是1A A 的中点，建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【小问1详解】证明：连接11,,A E AE EC 90BAC ∠=︒ ，2AB AC ==，E 是BC 的中点AE BC∴⊥1222,22BC AE BE EC BC ∴======1112A A A B A C === ，E 是BC 的中点1A E BC ∴⊥，2211422A E A B BE ∴=-=-=22211A A AE A E ∴=+，1AE A E ∴⊥,,AE BC E AE BC ⋂=⊂ 平面ABC1A E ∴⊥平面ABC ，AB ⊂ 平面ABC ，1A E AB ⊥，在三棱柱111ABC A B C -中，11//A C AC ，AB AC ⊥ ，11AB AC ∴⊥，1111A E A C A ⋂= ，111,A E A C ⊂11A C EAB ∴⊥平面11A C E ，EF ⊂ 平面11A C E ，AB EF ∴⊥．【小问2详解】连接PE ，由（1）可知1A E BC ⊥，AE BC⊥11,,AE A E E AE A E ⋂=⊂ 平面1A AE ，BC ∴⊥平面1A AE PE ⊂Q 平面1A AE ，BC PE∴⊥12BCP S BC PE ∴=⋅= ，要使PBC 的面积最小，则PE 最小，又1AE A E ==，∴△1A AE 是等腰直角三角形即1PE A A ⊥时，PE 最小，P ∴是1AA 的中点，如图，建立以E 为坐标原点，EA ，EB ，1EA 所在直线分别为x ，y ，z轴的空间直角坐标系：则A，(B，C ，1(0A，设1(C x ,y ,)z ，则11AC AC =，即(,,x y z =，得x =，y =，z =，即1C，(0,,)22P，则1,22PC =-，1(0,AA =，(AB =,0)，设平面11AA B B 的法向量为(m x =,y ,)z ，由100m AA m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00⎧+=⎪⎨=⎪⎩，即y z x y =⎧⎨=-⎩，令1x =，则1y =-，1z =-，即(1,1,1)m =-- ，设直线1PC 与平面11AA B B 所成角为θ，则sin |cos m θ=<,111|21m PC PC m PC ⋅>==，即直线1PC 与平面11AA B B所成角的正弦值为21．19.某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据：日销售量/十盒78910天数812164假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.（1）记每两天中销售草莓的总盒数为X （单位：十盒），求X 的分布列和数学期望；（2）以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？【答案】（1）分布列见解析，数学期望17.44（2）选择每两天进17十盒【解析】【分析】（1）首先计算日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率，根据题意写出随机变量X 的所有取值并计算概率可得分布列，进一步计算可得期望值；（2）分别计算每两天进16十盒，17十盒两种方案下利润的期望值，比较即可作出决策．【小问1详解】日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为：1321,,,510510，根据题意可得：X 的所有可能取值为14，15，16，17，18，19，20，111(14)5525P X ==⨯=，133(15)251025P X ==⨯⨯=，12331(16)25510104P X ==⨯⨯+⨯=，32117(17)2210551025P X ==⨯⨯+⨯⨯=，312211(18)210105550P X ==⨯⨯+⨯=，212(19)251025P X ==⨯⨯=，111(20)1010100P X ==⨯=，所以X 的分布列为：X14151617181920P1253251472511502251100所以1317112()14151617181925254255025E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12017.44100+⨯=；【小问2详解】当每两天进16十盒时，利润为13(1410210)(1510110)2525⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯13161011562525⎛⎫+⨯⨯--= ⎪⎝⎭，当每两天进17十盒时，利润为13(1410310)(1510210)2525⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯291329(1610110)171011571002525100⎛⎫+⨯-⨯⨯+⨯⨯---= ⎪⎝⎭，157156>，所以每两天进17十盒利润较大，故应该选择每两天进17十盒．20.圆22(16x y ++=，圆心为A ，点)B，作圆上任意一点M 与B 点连线的中垂线，交AM 于N .（1）求N 的轨迹C 的方程；（2）设P 为曲线C 上任意一点，直线,PA PB 分别交曲线C 于,Q R 两点，,PA AQ PB BR λμ==，求λμ+的值.【答案】（1）2214x y +=（2）14【解析】【分析】（1）作出辅助线，根据椭圆的定义得到N 的轨迹C 为以,A B 两点为焦点，长轴长为4的椭圆，求出椭圆方程；（2）设出(),P m n ，得到直线PA 的方程，联立椭圆方程，得到(2214nm n y ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦，进而得到(2224nm n y ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，由PA AQ λ= 得到1n y λ=-，同理得到2ny μ=-，从而得到14λμ+=.【小问1详解】连接NB ，则MN NB =，其中()A，则AB =所以4AN NB AN MN AM AB +=+==>，故N 的轨迹C 为以,A B 两点为焦点，长轴长为4的椭圆，其中24,2a c ==，故2,a c ==2221b a c =-=，所以C 的方程为2214x y +=；【小问2详解】设(),P m n ，则2244m n +=，设()()1122,,,Q x y R x y ，因为()A，)B，直线PA的方程为y x =+，所以3m x y n+=-，与椭圆方程联立得2244m y y n ⎛++= ⎝，即(2222410m n m y y n n++--=，故()21224n ny m n =-++，所以(2214n m n y ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，同理可得(2224n m n y ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，因为PA AQ λ= ，所以)()11,m n x y λ--=-，故1n y λ=-，同理可得2ny μ=-，所以((2222221244286n n m n m n m n y y λμ⎡⎤⎡⎤+=--=+++-+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()2224614m n =++=.【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，特别重视圆锥曲线的定义在求轨迹方程中的应用，只要动点满足已知曲线的定义，就可直接得到所求轨迹方程，求解过程中要注意一些轨迹问题中包含隐含条件，也就是曲线上的点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标.21.已知函数()2e xf x x ax =--，R a ∈．（1）若()f x 为R 上的增函数，求a 的取值范围；（2）若()23f x x x b ≥-++在x ∈R 内恒成立，R b ∈，求2a b +的最大值．【答案】（1）(]22ln 2-∞-，（2）2e 6-．【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意()e 20xf x x a '=--≥在R 上恒成立，参变分离得到e 2x a x -≤，令()e 2xu x x =-，x ∈R ，利用导数求出函数的最小值，即可得解；（2）依题意可得()e 3xb a x ≤-+恒成立，则()2e 32xa b a x a +≤-++，令()()e 32xg x a x a =-++，利用导数说明函数的单调性，得到()()()()()min ln 3333ln 3g x g a a a a =+=+-++，再令30a t +=>，()3ln 6h t t t t =--，求出()h t 的最大值，即可得解.【小问1详解】因为()2e xf x x ax =--，R a ∈，则()e 2x f x x a '=--，()f x 为R 上的增函数，()e 20x f x x a '∴=--≥在R 上恒成立，e 2x a x ∴≤-，令()e 2xu x x =-，x ∈R ，()e 2x u x '=-，令()e 20xu x '=-=，解得ln 2x =，可得函数()u x 在(),ln 2-∞上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，ln 2x ∴=时，函数()u x 取得极小值即最小值，()ln 222ln 2u =-，22ln 2a ∴≤-，a ∴的取值范围是(],22ln 2-∞-．【小问2详解】()23f x x x b ≥-++在x ∈R 内恒成立，()R e 30x b a x b ∈⇔-+-≥在x ∈R 内恒成立，化为()e 3xb a x ≤-+，()2e 32x a b a x a ∴+≤-++，令()()e 32xg x a x a =-++，x ∈R ，R a ∈，()()e 3x g x a '=-+，x ∈R ，当30a +≤时，()0g x '>，函数()g x 在R 上单调递增，x →-∞时，()g x →-∞时，不符合题意，舍去；当30a +>时，令()0g x '=，解得()0ln 3x a =+，函数()g x 在()(),ln 3a -∞+上单调递减，在()()ln 3,a ++∞上单调递增，()ln 3x a ∴=+时，函数()g x 取得极小值即最小值，()()()()()()ln 333ln 32333ln 3g a a a a a a a a +=+-+++=+-++，令30a t +=>，则()()333ln 33ln 6a a a t t t +-++=--，令()3ln 6h t t t t =--，则()3ln 12ln h t t t '=--=-，令()2ln 0h t t '=-=，解得2e t =，所以当20e t <<时()0h t '>，则()h t 单调递增，当2t e >时()0h t '<，则()h t 单调递减，所以当2e t =时，函数()h t 取得极大值即最大值，()2222e3e 2e 6e 6h =--=-，2a b ∴+的最大值为2e 6-．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．（二）选考题：共10分.请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为44cos ,4sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩P 为1C 上的动点，点Q 满足12OQ OP = ，设点Q 的轨迹为曲线2C ，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线2C 的极坐标方程；（2）直线θα=（ρ∈R ，0πα≤<），与曲线2C 交于点A （不同于原点），与曲线C ：ρθ=-交于点B （不同于原点），求AB 的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=（2）max AB =【解析】【分析】（1）先求出点Q 的参数方程，化为普通方程，最后求出极坐标方程；（2）由点A 、B 的极坐标直接求两点间的距离，再由三角函数的最值求解.【小问1详解】设()44cos ,4sin P αα+，(),Q x y .则()44cos ,4sin OP αα=+ ，(),OQ x y = .由12OQ OP = ，()144cos 22cos ,214sin 2sin ,2x y αααα⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩∴曲线2C 直角坐标系方程为()2224x y -+=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∴曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.【小问2详解】设()1,A ρα，()2,B ρα则14cos ρα=，2ρα=-，12π4cos 6AB ρρααα⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭，当ππ62α+=时，max AB =.【选修4-5：不等式选讲】23.已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，求证：（1）222a b c +++++≤；（2）()33323a b c ab bc ac abc ++≥++-.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用柯西不等式证明即可；（2）利用基本不等式证明即可.【小问1详解】(()()2222222111111++≤++++()()3331312a b c =+++=⨯+=.≤（当且仅当a b c ==等号成立）.222a b c +++++≤；【小问2详解】()3333333332a b c a b a c b c ++=+++++()()()()()()222322a b a ab b a c a ac c b c b bc c =+-+++-+++-+()()()ab a b ac a c bc b c ≥+++++()()()111ab c ac b bc a =-+-+-3ab ac bc abc =++-（当且仅当a b c ==时取等号）.。
2020届河南名校(四校)高三3月联合考试理科数学试卷含解析
8:8lL 为，该单位员工日均健步走步数近似服从正态分
二－－－－ ← －－ ← －－←
i1 布，计算得其方差为 6.25.由此估计，在这段时间：： 「－ －「－－「－－ 「－
内，该单位员工中 日均健步走步数在2 千步至
02 4 6
步数／千步
4.5 千步的人数约为
附：若随机变量Z服从正态分布N巾，σi ），则PCµ σ ＜Z ＜µ＋ σ） ＝ 0.6826,P(µ
C.4
D.5
5.函数J(x) =2x ＋x一+乙l的图象大致为
Jy
=1L------We
→ 。 ：汇
X
J
习
__)! y
X
：汇
A
B
C
D
数学（理科）试题第1页（共5页）
6.元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松 竹并生 ”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源 于“松竹并生 ”问题的 一个程序框图，则计算机输出的结果是
用系统抽样法从这36名教师中抽取一 个容量为9 的样本，已知在第一 组用抽签法抽 到的年龄数据为48，则抽取的 9名教师年龄的中位数是 15. 若过点A（α，0）的任意 一 条直线都不与曲线C: y = xex 相切，则 G 的取 值范围是
16.在l:,ABC 中，已知顶点A(O,l），顶点B、C在z轴上移动，且BI CI = 2，设点M为 l:,ABC 的外接圆圆心，则点M到直线l :2x-2y-5 = 0 的距离的最小值为
4.C 【解析】由己知，alg 2 二clg 6,big3 二clg 6，则
α十b
C
lg lg
26十llgg
河南省六市重点高中2020届高三年级3月联合检测理综试题及答案
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2020届高三年级3月联合检测
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