西南名校联盟2021届高三高考适应性月考卷(五)数学(文)试题文数答案

西南名校联盟高考适应性月考卷12月考

文科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D

B

D

C

A

B

A

C

D

C

B

A

【解析】

1．因为{101}A =-，

，，所以满足条件B A 的集合B 的个数为3217-=，故选D ．

2．1

2

()f x x

x

-

==

，()f x 的定义域为(0)+∞，

，因此A ，C ，D 错误；又()0f x >，所以()f x 的图象恒在x 轴上方，B 正确，故选B ．

3．该程序框图对应的分段函数2

9010x x y x x +>?=?-?，，，，≤当8y =时，098x x >??+=?，

或2018x x ??-=?

≤，，解得3x =-，故选D ．

4．试验发生包含的事件总的时间长度为24小时，其中播放音乐时间为245613--=（小时），所以某人随机在某一时刻打开该广播收听到音乐或新闻的概率为

1353

244

+=，故选C ． 5．因为c 为单位向量，所以2

2

2222112113939c a kb a ka b k b k ??

=+=++=+= ???

，又0k >，所以

22

k =

A ． 6．因为当0tan tan 1A

B <<时，tan 0A >，tan 0B >，所以tan tan[π()]tan()

C A B A B =-+=-+

tan tan 01tan tan A B

A B

+=-

<-，则C 为钝角；但当A 为钝角时，tan tan 0A B <，故选B ．

7．由()f x 的导函数图象可知，()f x 在()a b ，

，()c e ，上单调递增，在()b c ，上单调递减，所以()()f a f b <，B 错误；()(0)()f b f f c >>，C ，D 错误；()()()f c f d f e <<，A 正确，故选A ．

8．如图1，设焦点F 关于直线3

y 的对称点为P ，

C 的左焦点为F '，PF 与直线3

y =

的交点为Q ，则由Q ，O 分别为PF ，FF '的中点，可得OQ PF '∥，所以90F PF OQF '∠=∠=?，则OP OF =，又

图1

3

tan QOF ∠=

，所以30QOF ∠=?，则60POF ∠=?，又因为P 在渐近线上，所以tan 3b

POF a

∠=

，即3b a =．经检验，只有C 选项满足条件，故选C ． 9．由121n n a a +=+，可得112(1)n n a a ++=+，令1n n b a =+，则{}n b 为以11a +为首项，2为公比的等

比数列，所以12n n n b a =+=，则864864211111222a a a a ++++++++=+++ 221341+=，故选D ．

10．如图2，设截面为α，设BD

AM O =，P 为1DD 的靠近于1D 的三等分点，

N 为1CC 的靠近于C 的三等分点，由1BD α∥可得平面1BDD 与α的交线平行于1BD ，所以α

平面1DBD OP =，又平面α与两平行平面11AA D D ，

11BB C C 的交线应互相平行，∴α平面11BB C C MN =，由MN AP ∥且MN AP ≠可得截面AMNP

为梯形，故选C ．

11．因为22|||i |1z x y x y =++=，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；

又22|12i ||(1)(2)i |(1)(2)z x y x y +-=++-=++-，所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -，的距离，所以min |12i |z +-为||51OA r -=，故选B ．

12．因为120x x ≠，所以

22

1211222

221

()()()()f x f x x f x x f x x x

∈ ???，时，2()2cos sin (2cos sin )g x x x x x x x x x '=-=-，令()2cos h x x =- sin x x ，

则()3sin cos h x x x x '=--，则()0h x '<在π04?? ???，上恒成立，所以()h x 在π04??

???，上单调递减，又

ππ22044h ???

?=-> ? ????

?，所以()0g x '>在π04x ??∈ ???，上恒成立，所以()g x 在π04?? ???，上单调递

增．再结合()g x 为偶函数，从而当1x ，2ππ0044x ????

∈- ? ?????

，，且1()g x < 2()g x 时必有12||||x x <，即22

12x x <，故选A ．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号 13 14

15

16

答案 2

1

2

- 13a -≤≤

59

【解析】

13．因为ln ||0x =，当且仅当1x =±，所以()ln ||f x x =有两个零点．

图2

14．如图3，作出可行域，则3

y

k x =

-表示可行域内的动点()x y ，与定点(30)P ，

连线的斜率，所以当且仅当动点取点(11)A ，

时，min 1

2

z =-． 15．由于A ，B 均在直线l ：2y x =上，又l 与椭圆C 的交点分别为(12)M ，，(12)N --，，且||||25MN AB ==A 或点B 在线段MN 上，均能保证线段AB 与椭圆有公共点，

即11a -≤≤或121a --≤≤，所以13a -≤≤．

16．方法一：不妨设△ABC 的外接圆半径为5．如图4，取点(30)B ，

，(30)C -，，(09)Q ，，并作△BQC 的外接圆P ⊙，则点P 为(04)，，则

此时BQC OPC ∠=∠且4cos 5OPC ∠=

，所以4

cos 5

A =当且仅当点A 是优弧BC 上除

B ，

C 以外的点．当△ABC 为锐角三角形时，过点P 作

B C BC ''∥，其中B C ''分别交AB ，AC 于点B '，C '，AP 的延长线交

BC 于点R ．设AP x AB y AC ''''=+，则由B '，P ，C '共线，可得1x y ''+=．设||||||

||||||

AB AC AP k AB AC AR ''===，则AP x AB y AC x k AB y k AC ''''''=+=+=xAB y AC +，所以x x k '=，y y k '=，()x y k x y k ''+=+=，所以为使k 取最大值，只需使

||

||

AP AR 最大．过A 作x 轴的垂线交B C ''，BC 分别于点M ，N ，则||||=||||AP AM AR AN ，又

||||||||||

AM AM AN AM MN =+ 1

||1||MN AM =

+，所以当||5AM r ==时，max ||15

4||915

AP AR ==

+．

方法二：作出△ABC 的外接圆，则由AP xAB y AC =+可得()AP x AP PB =++ ()y AP PC +，所

以(1)(*)x y AP xPB yPC --=+，则101x y x y -->?+<，设外接圆的半径为R ，则对(*)两

边平方可得2222222(1)2cos x y R x R xyR BPC y R --=+∠+．又2

7

cos 2cos 125

BPC A ∠=-=

，所以上式整理可得3622125xy x y =+-．因为0x >，0y >，所以由均值不等式可得2

()4

x y xy +≤．令

t x y =+，则2950250t t -+≥，解得5t ≥(舍去)或59

t ≤，其中“=”成立当且仅当x y =，所以

max 5()9

x y +=

． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

解：（1）∵OM MB ⊥，又C 为OB 的中点，

图

3 图4

∴||

||||22

OB MC OC ==

=． 又||||OM MC =，∴△OMC 为边长为2的等边三角形， ∴(13)M ，，3A = 又2π2ππ42

T ω=

==， ∴π

()3sin

2

f x x ． ………………………………………………………（6分）

（2）ππ

π()3sin (1)3sin 44

4g x x x ????=+=+ ???????，

令

πππ3π

2π2π()2442

k x k k +++∈Z ≤≤， 得1858()k x k k ++∈Z ≤≤，

∴()g x 在R 上的单调减区间为[1858]()k k k ++∈Z ，

．

……………………………………………（12分）

18．（本小题满分12分）

解：（1）从A ，B ，C ，D ，E 中选择2个采样地，

所有选择方式为AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE （共10种）， 其中BC ，CD 可满足标本数量至少达到总标本数量的一半.

令P 为两个采样地所含标本数量至少达到总标本数量一半的概率，则21

105

P ==．

………………………………………………………（6分）

（2）由表格数据可得，5

152

2

21

55008.5597229.7

3.336005279

5i

i

i i i x y

x y

b x x

==--?=

=

=-=--?-∑∑， ∴36 3.327125.1a y bx =-=+?=，

∴y 与x 的线性回归方程是 3.3125.1y x =-+．

∴当30x =时，26.1y =，即纬度为30度时，大绒鼠的平均体长为26.1厘米．

………………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

（1）证明：如图5，连接PO ，OQ ，PQ ， ∵PB PD =，O 为BD 的中点， ∴PO DB ⊥． 同理，QO DB ⊥，

图5

又PO OQ O =，PO ，OQ ?平面POQ ， ∴BD ⊥平面POQ ． 又BD ?平面ABCD ， ∴平面POQ ⊥平面ABCD ．

……………………………………………（5分）

（2）解：如图，分别过P ，Q 作平面ABCD 的垂线，垂足分别为1O ，2O ， 则1O ，2O 在AC 上，且1O ，2O 分别为AO ，OC 的三等分点， 且1

PO 2QO ，112PO O O ⊥，

∴四边形12PO O Q 为矩形， ∴PQ AC ∥．

且121223

2232333PQ O O AO AO ==?==??=，

∴2

222211124323

43PO AP AO AP O O ??=-=-=-= ? ???

， 取BC 的中点E ，则221621

33QE QB BE =-=-=， 又由（1），平面POQ ⊥平面ABCD ， 而平面POQ

平面ABCD AC =，BO AC ⊥，

∴BO ⊥平面PQC ．

设点P 到平面QBC 的距离为d ，

则由P QBC B PQC V V --=，可得11

33QBC PQC S d S BO =△△ ，

即1111

332QE BE d PQ PO BO =? ， 即

21123

32332d ?=???， 解得27

d =．

……………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>， ∵点A 在抛物线上， ∴00242px x p

=?=

， ∴点A 到准线的距离为2025

540222

p p x p p p +

=+=?-+=，

解得4p =或1，

∴当4p =时，C ：28y x =，122A ??

???

，；

当1p =时，C ：22y x =，(22)A ，．

…………………………………………………（4分）

（2）∵4p <，∴C ：22y x =，

设MN ：1x my =+，代入抛物线方程可得2220y my --=， 设11()M x y ，，22()N x y ，， 则1212

22y y m y y +=??

=-?，

，

∴||MN = 又∵PQ MN ⊥，∴PQ ：1

1x y m

=-

+，

∴||PQ =

∴1||||2MNPQ S MN PQ =

=四边形

2

(2)m =+ 2

52m =

+

∵2

21

2m m

+

≥，其中“=”成立当且仅当21m =， ∴12MNPQ S 四边形≥，

∴当1m =±时，MNPQ S 四边形取得最小值为12．

……………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

证明：（1）令2525()()ln 33

g x f x x x x =+-=+-， 则22122

()x g x x x x

-'=

-=， ∴当2x >时，()0g x '>， ∴()g x 在(2)+∞，

上单调递增．

又2(2)ln 23

g =-

，

而2

2

ln 233e e 2e -=-，328=，2

323(e )e = 2.83e =>， ∴2

(2)ln 203

g =-

>， ∴25

()3f x x -+<在(2)+∞，

上恒成立． 令()()ln 22

x x h x f x x =-

=-，则112()22x h x x x -'=-=，

∴当2x >时，()0h x '<， ∴()h x 在(2)+∞，

上单调递减． 又(2)ln 210h =-<， ∴()2

x

f x <

在(2)+∞，

上恒成立． 综上，当2x >时，25()32x

f x x -+<<恒成立．

……………………………………………（6分）

（2）∵22ln 22n n ?

?+ ?+?

?，而2

2222n n +>+，（*） 所以令（*）中不等式的2222242

222n n x n n n n

++=+=++，

则有222251

12132n n n a n n n n

+-+<<++++，

则一方面，222

22

25521121

2133213(1)n n n n n a n n n n n +++->-+=-=+>+++++ 213(1)(2)n n +++211

312

n n =+-++， ∴21111

1121132334

12322n S n n n n n ??>+-+-++-=+- ?

+++??…2112132336n n >+-=+． 另一方面，111111(2)22n a n n n n ??

<+

=+- ?++??

，

∴111111111111232422212n S n n n n n n ????

<+-+-++-=++-- ? ?+++????…

3111342124

n n n n ??=+

-+<+ ?++??， 综上，有213364

n n S n +<<+．

……………………………………………（12分）

22．（本小题满分10分）【选修4?4：坐标系与参数方程】

解：（1）由条件可得cos 1x α=+，sin y α=， 又22cos sin 1αα+=，∴22(1)1x y -+=， 即2220x y x +-=为曲线C 的普通方程，

将222cos sin x y x y ρθρθρ?=?

=??+=?，，，代入C 的普通方程，可得22cos 0ρρθ-=， 即2cos ρθ=为曲线C 的极坐标方程．

…………………………………（5分）

（2）将1θθ=分别代入曲线C 与直线l 的极坐标方程， 可得1||2cos A OA ρθ==，

11||π2sin 4B OB ρθ==

?

?+ ?

?

?，

∴1||||2(sin OA OB =

= ．

又1ππ43θ?

?

∈ ???

，，

∴1tan (1θ∈

，

∴||||OA OB ?∈ ??

． ………………………………………………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4?5：不等式选讲】 （1）解：若1c =，则2a b +=，2b a =-， ∴()|||2||||42|f x x a x b x a x a =-+-=-+-+，

由绝对值三角不等式可得，()|()(42)||43|f x x a x a a ---+=-≥， 其中“=”成立当且仅当()(42)0x a x a --+≤， ∴min ()|43|f x a =-，

∴()|||2|2|43|2f x x a x b a =-+-?-≥≥，

∴432a -≥或432a --≤，即2

3a ≤或2a ≥．

…………………………………………………（5分）

（2）证明：∵222a b ab +≥， 222b c bc +≥

222c a ca +≥，

∴2222()2()a b c ab bc ca ++++≥， ∴222a b c ab bc ca ++++≥，

2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++≥3()ab bc ca ++，

∴2

()33a b c ab bc ca ++++=≤

， 其中“=”当且仅当1a b c ===． ………………………………………………（10分）