西南名校联盟高三2021年元月考试(理科数学)试题
2021届西南名校联盟高三下学期4月高考适应性考试数学(理)试题(解析版)
2021届西南名校联盟高三下学期4月高考适应性考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|,}x M y y e x R ==∈， {|sin ,}N y y x x R ==∈，则M N ⋂=（ ） A ．{|01}y y << B ．{|01}y y ≤≤ C ．{|11}y y -≤≤ D ．{|01}y y <≤【答案】D【分析】根据指数函数和正弦函数的值域可求得集合M 、N ，再由集合的交集运算可得选项.【详解】∵{|>0}M y y =，{|11}N y y =-≤≤，∴{|01}M N y y =<≤，故选：D.2．若复数z 满足()125z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．2- C ．1- D ．1【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数z ，进而可得出复数z 的虚部. 【详解】由()125z i +=可得()()()512512121212i z i i i i -===-++-，因此，复数z 的虚部为2-， 故选：B.3．在菱形ABCD 中，2AB =， 60ABC ∠=︒，若P 为CD 的中点，则AC AP →→⋅=（ ） A ．3 B ．6 C ．5 D ．4【答案】A【分析】根据向量的模长，两向量的夹角余弦求AC AP →→⋅即可. 【详解】由题有||AP →=，||2AC →=，30PAC ∠=︒，∴||||cos 23AC AP AC A PAC P →→→→=∠==， 故选A.4．已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 均为等差数列，若1110a b c ++=，2221a b c ++=，则n n n a b c ++=（ ） A ．2n - B ．1n + C ．n D ．1n -【答案】D【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得选项.【详解】由题有数列{}n n n a b c ++是以0为首项、1为公差的等差数列，故0(1)1n n n a b c n ++=+-⨯ 1n =-，故选：D.5．若命题“p q ∧” 与命题“p q ⌝∨”都是假命题，则（ ） A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真 D ．p 假q 假【答案】B【分析】由给定条件结合逻辑联结词联结的命题真值表即可得解. 【详解】因命题“p q ∧”为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，若p 为假命题，则p ⌝为真命题，则p q ⌝∨为真命题与命题“p q ⌝∨”是假命题矛盾， 故必有p 为真命题，q 为假命题. 故选：B6．已知点(,)M x y 的坐标满足24x y ≤-≤，48x y ≤+≤，则2x y -的最大值为（ ） A ．10 B ．5 C ．7 D ．8 【答案】A【分析】根据不等式得可行域，再平移直线2t x y =-到点A 可得最大值. 【详解】画出24x y ≤-≤，48x y ≤+≤所表示的平面区域，如图所示， 平移直线2t x y =-到点A 可得最大值.由48y x y x =-⎧⎨=-+⎩ 得62x y =⎧⎨=⎩，，即(6,2)A ，max (2)10x y -=，故选：A .7．如图，已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A BC D -的棱BC ，1CC 的中点，设α为二面角1--D AE D 的平面角，则sin α=（ ）A ．23B ．23C ．5D ．23【答案】C【分析】在平面ABCD 内过点D 作DH AE ⊥于点H ，连接1D H ，DE ，得出1D HD ∠即是二面角1D AE D --的平面角，利用等面积可得5DH =，在1Rt D DH △中即可求解.【详解】如图，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2， 在平面ABCD 内过点D 作DH AE ⊥于点H ，连接1D H ，DE 则1D HD ∠即是二面角1D AE D --的平面角，且22215AE =+=，由1122222ADES AE DH =⨯⨯=⋅⋅= 解得5DH =，∴15D H =，∴115sin D D D H α==，故选:：C.8．在二项式6(1)x +的展开式中，任取两项的系数相加，得到不相同的结果的种数有（ ） A ．10种 B ．7种 C ．8种 D ．9种【答案】C【分析】列举出二项式所有的展开式中系数，写出不同的求和结果，即可得到不同的种类数.【详解】二项式6(1)x +的展开式的系数分别为061C =，166C =，2615C =，3620C =，4615C =，566C =，661C =，不同的结果有2，7，12，16，21，26，30，35，故选：C .9．已知左、右焦点分别为1F ，2F 的双曲线222:1(0)16x y C a a -=>上一点P 到左焦点1F 的距离为6，点O 为坐标原点，点M 为1PF 的中点，若||5OM =，则双曲线C 的渐近线方程为 （ ） A ．2y x =± B ．43y x =±C ．45y x =±D ．4y x =±【答案】A【分析】由题意，可得2||106PF =>，所以得12||||42-==PF PF a ，求得2a =，可得双曲线的渐近线方程.【详解】由||5OM =，得2||106PF =>，∴点P 在双曲线左支上，故12||||42-==PF PFa ，∴2a =，得双曲线方程为221416x y -=，∴双曲线C 的渐近线方程为2y x =±. 故选：A .10．最近几年网络经济发展迅速，快递行业为大家购物带来了便捷，某学生网购的物品由快递员在学校大课间10:0010:40-的时间内直接送达其就读学校门前等候学生自主取件，如果快递员和学生在学校大课间任何时刻到达学校门前是等可能的，因某种原因快递员在学校门前只等待6分钟就会离开，学生到学校门前只等待8分钟就会离开，则学生能够在大课间取到所购物品的概率为（ ）A ．57160 B ．49160 C ．51160D ．53160【答案】C【分析】设快递员、学生两人到达学校门前的时刻分别为x ，y ， 根据题设信息列出不等关系，由线性规划知识确定总的区域， 再确定事件“学生能够在大课间取到所购物品”表示的区域， 最后根据几何概型的概率公式求解概率即可.【详解】设快递员、学生两人到达学校门前的时刻分别为x ，y . ∴10：0010x ≤≤：40，10：0010y ≤≤：40，如图，试验的全部结果构成的区域为正方形，正方形面积为240， 学生能够取到物品的条件是6y x -≤且8x y -≤， 设事件A =“学生能够取到物品”， ∴221140343432325122()40160P A -⨯⨯-⨯⨯==， 故选:C【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．11．某车间王师傅、张师傅因工种不同上班规律如下，王师傅休息一天后连续两天上班，再休息一天，张师傅休息一天后连续四天上班，再休息一天，在第一天，王师傅、张师傅都休息，从第1个星期到第15个星期内，记第n 个星期王师傅上班天数为()f n ，张师傅上班天数为()g n ，用a ，b ，c ，d 分别表示()()g n f n -等于2，1，0，1-的个数，则(a ，b ，c ，d )=（ ） A ．(4,7,4,0) B ．(3,7,4,1) C ．(3,7,5,0) D ．(3,8,4,0)【答案】D【分析】由已知得出每个星期王师傅上班天数和每个星期张师傅上班天数，由此可得出选项.【详解】每个星期王师傅上班天数依次为4,5,5,4,5,5,…，每个星期张师傅上班天数依次为5,6,5,6,6,5,6,5,6,6,…，因此()()g n f n -依次为1,1,0,2,1,0,2,0,1,2,0,1,1,1,1所以()(3840)a b c d =，，，，，，，故选：D.12．已知函数()ln 3f x a x x =-，当(0,)x ∈+∞时，(1)3x f x e ax ++≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．0 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B【分析】首先将不等式(1)3x f x e ax ++≥转化为(1)(e )x f x f +≥，又(0)x ∈+∞，时，11e x x <+<，问题转化为()f x 在(1)，+∞上递减，所以当1x >时，()0f x '≤恒成立，最后参变分离得到参数a 的最大值.【详解】∵(1)3e lne 3e (e )x x x x f x ax a f +-=-=≥在(0)x ∈+∞，时恒成立， 而(0)x ∈+∞，时，11e x x <+<，∴()f x 在(1)，+∞上递减， ∴当1x >时，3()30a a xf x x x-'=-=≤恒成立， 即1x >时，3≤a x 恒成立， 故3a ≤，∴实数a 的最大值为3， 故选B.【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．二、填空题 13．函数()cos 2xy x R π=∈的最小正周期是_______________________.【答案】4【分析】利用余弦型函数的周期公式可求得结果. 【详解】函数()cos 2xy x R π=∈的最小正周期是242T ππ==.故答案为：4.14．已知a ，b ，c 分别是椭圆E 的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x 的方程220ax bx c ++=无实根，则椭圆E 的离心率e 的取值范围是_______________________.【答案】1⎫⎪⎪⎝⎭【分析】根据判别式为负可求,,a b c 的关系，从而可求离心率e 的取值范围. 【详解】由题有2440b ac ∆=-<，即220a c ac --<， 故210e e +->，得12e <或12e >，而01e <<，1e <<.故答案为：1,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭15．如图是某个铁质几何体的三视图，其中每个小正方形格子的边长均为1个长度单位，将该铁质几何体熔化，制成一个大铁球，如果在熔制过程中材料没有损耗，则大铁球的表面积为_______________________.【答案】16π【分析】由已知得该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，根据圆锥和球体的体积公式可得答案.【详解】该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，体积之和为3241π1π233⨯+⨯ 327π3⨯=， 设制成的大铁球半径为R ，则3432ππ33R =，得2R =，故大铁球的表面积为24π16πR =.故答案为：16π.三、双空题16．若2*240422()n n n n N +-∈≤≤，集合{1,2,3,,}A n =，集合B A ⊆且B ≠∅，现将满足条件的每一个集合B 中的最小元素取出，然后将取出的所有元素相加，相加的结果记为S ，那么n =______，S =_______________________. 【答案】64 65266-【分析】由不等式求解得64n =，根据集合B A ⊆且B ≠∅，分类讨论判断最小元素为1，2，3，……，对应的情况，然后求和，再利用错位相减法计算S .【详解】∵2*240422()n n n n N +-∈≤≤，解得64n =，∴{12364}A =⋅⋅⋅，，，，，对于数1，集合{2364}⋅⋅⋅，，，有子集632个，∴以1作为最小元素被计算的次数为632，总和为6312⨯，同理以2作为最小元素被计算的次数为622，总和为6222⨯，以3作为最小元素被计算的次数为612，总和为6132⨯，依此类推，故所求结果6362611122232632S =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯0642+⨯，则626101112226326422S =⨯+⨯++⨯+⨯…，∴636261*********S =+++++- (641)642332⨯=-，得65266S =-. 故答案为：64；65266-；【点睛】一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解．四、解答题17．已知函数2()sin sin 2cos ,662x f x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的值域；（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 的对边，若2a =且()0f A =，ABC ABC 的周长.【答案】（1）[3,1]-；（2）6.【分析】（1）根据两角和差的正弦公式、辅助角公式化简函数的解析式，最后根据正弦型函数的性质进行求解即可；（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】解：（1）11()cos cos (cos 1)22f x x x x x x =++--+cos 12sin 16x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.由1sin 16x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，得π32sin 116x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭≤≤，可知函数()f x 的值域为[31]-，.（2）由()0f A =，得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为(0,)A π∈，所以5(,)666A πππ-∈， ∴66A ππ-=，故3A π=.∵2a =，3A π=，ABC∴11sin sin 223S bc A bc π===，故4bc =.又2222cos a b c bc A =+-，即22212242b c =+-⨯⨯，即228b c +=，故4b c +，∴ABC 的周长为6a b c ++=.18．高考在即，进行适量的体育锻炼有助于缓解考试压力，为了解高三年级同学们每天放学后主动参加体育锻炼的情况，随机调查了50名高三学生，通过调查把这50人每天锻炼的时间(单位：分钟)绘制成频数分布表，如下表所示： 锻炼时间 [0,20][20,40] [40,60] [60,80] [80,100][100,120]人数810121172若把每天锻炼时间在60分钟以上(含60分钟)的同学称为“ 锻炼助考生”，余下的称为“非锻炼助考生”，根据统计结果中男女生“ 锻炼助考生”和“非锻炼助考生”的数据，制作成如下图所示的等高条形图.（1）根据抽样结果估计该校高三学生每天放学后的平均锻炼时间(同一组数据用该区间的中点值作为代表)；（2）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“锻炼助考生”跟性别有关?男生 女生 总计 锻炼助考生 非锻炼助考生 总计附：参考公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++， 其中n a b c d =+++.参考临界值表：20()P k k ≥0.100 0.050 0.010 0.0010k2.7063.841 6.635 10.828【答案】（1）52分；（2）列联表见解析，没有.【分析】（1）根据频率分布表中的数据，结合平均数的计算公式，即可求解； （2）根据频率分布表中的数据，得出22⨯的列联表，求得2K 的值，结合附表，即可得到结论.【详解】（1）由频数分布表中的数据，可得该校高三学生每天放学后的平均锻炼时间为： 8101211721030507090110505050505050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1.661215.412.6 4.452+++++=(分).（2）由频数分布表得，“锻炼助考生”的人数是117220++=人， 根据等高条形图作出2×2列联表如下： 男生 女生 总计锻炼助考生 6 1420 非锻炼助考生18 1230 总计242650可得250(6121814)2254.327 6.6352030242652K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以没有99%的把握认为“锻炼助考生”跟性别有关.19．如下图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，侧面PCD 为等腰三角形，且120PCD ∠=︒，PD 的中点为E .（1）求证：CE ⊥平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PAB 所成二面角的平面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（227【分析】（1）由题意可得CE PD ⊥，再由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面PCD ，从而可得AD CE ⊥，再由线面垂直的判定定理即可证明.（2）在平面PCD 内过点C 作CH CD ⊥交PD 于点H ，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系，CE 为平面PAD 的一个法向量，再求出平面P AB 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】（1）证明：∵点E 是PD 的中点，PCD 为等腰三角形， ∴CE PD ⊥.∵平面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，AD CD ⊥， ∴AD ⊥平面PCD . 又CE ⊂平面PCD ， ∴AD CE ⊥， 而ADPD D =，∴CE ⊥平面PAD.（2）如图，在平面PCD 内过点C 作CH CD ⊥交PD 于点H ， ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ， ∴CH ⊥平面ABCD ，∴以C 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系， 设正方形ABCD 的边长为4a ，则4PC a =， ∴(440)A a a ，，，(040)B a ，，，(2023)P a -，，. ∵CE ⊥平面PAD ，∴CE 为平面PAD 的一个法向量，得(03)CE a =，，，(400)AB a =-，，，(2423)BP a a a =--，，. 设平面P AB 的一个法向量为()n x y z =，，，()()()()4,0,0,,02,4,23,,0AB n a x y z BP n a a a x y z ⎧⋅=-⋅=⎪∴⎨⋅=--⋅=⎪⎩得020x x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩，，令y =0x =，2z =，∴平面P AB 的一个法向量为(032)n =，，，∴cos ||||CE n CE n CE n =<，>==∴平面P AD 与平面P AB 【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角.20．已知函数()()ln f x ax x =-，()()()21ln 18g x x x x x =+++-.（1）当()0,x e ∈时，函数()f x 有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围； （2）当()0,2x e ∈时，()g x k <恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()1,e e e-；（2）[)0,+∞. 【分析】（1）利用导数可求得()f x 单调性，知()max ln 10f x a =->，可求得a e >；结合零点存在定理可知()0f e <，解得1e a e -<，由此可确定a 的取值范围； （2）令()()h x g x '=，由()0h x '>可知()g x '在()0,2e 上单调递增，由()()0g g x ''<<()2g e '可确定()00,2x e ∃∈，使得()00g x '=，由此得到()g x 单调性，利用放缩可知()20g e <，由此知()()00g x g <=，由此可求得k 的取值范围. 【详解】（1）0x，0a ∴>，()ln ln f x x x a ∴=-+，则()()1110xf x x x x-'=-=>， ∴当()0,1x ∈时，()0f x '>；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<；()f x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 1ln 1f x f a ∴==-，要使()f x 有且仅有两个零点，必须有ln 10a ->，解得：a e >； 当a e >时，101ae<<，则1111ln ln 10f a ae ae ae ae ⎛⎫=-+=--< ⎪⎝⎭，令()ln ln 0f e e e a =-+<，解得：1e a e -<； 综上所述：当()1,e a e e-∈时，函数()f x 在()0,e 上有且仅有两个零点；（2）()()()ln 1128ln 127g x x x x x '=+++-=++-， 令()()ln 127h x x x =++-，则()123211x h x x x +'=+=++， 当()0,2x e ∈时，()0h x '>，()h x ∴，即()g x '在()0,2e 上单调递增，()()()02g g x g e '''∴<<，即()()7ln 2147g x e e '-<<++-， ()ln 21470e e ++->，()00,2x e ∴∃∈，使得()00g x '=，∴当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,2x x e ∈时，()0g x '>；()g x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,2x e 上单调递增，又()00g =，()()()()222221ln 2141621ln 416g e e e e e e e e e=+++-<++-()22234122474 2.8 1.57 6.76702e e e ⎛⎫=-+=--<⨯--=-< ⎪⎝⎭，∴当()0,2x e ∈时，()0g x <恒成立，∴实数k 的取值范围为[)0,+∞；【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据零点个数求解参数范围、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是将问题转化为函数最值的求解问题，利用导数求得函数的最值后即可得到参数的取值范围.21．已知抛物线22y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点(4,2)M 为平面上的定点，点B ，C 是y 轴上不同的两点.（1）求||||PF PM +的最小值，并求此时P 点的坐标；（2）若圆22(1)1x y -+=是PBC 的内切圆，求PBC 的面积的最小值.【答案】（1）92，(2,2)；（2）8.【分析】（1）过点P 作准线l 的垂线，垂足为E ，过点M 作准线l 的垂线，垂足为N ，直线MN 与抛物线的交点为0P ，得到||||||||||PF PM PE PM ME +=+≥||MN ≥，联立方程组，即可求解.（2）由直线PB 的方程为00y by b x x --=，根据圆心(10)，到直线PB 的距离为1，化简得到2000(2)20x b y b x -+-=，同理得到2000(2)20x c y c x -+-=，得出,b c bc +，进而求得002||2x b c x -=-，结合面积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，抛物线22y x =的准线l 为12x =-，过点P 作准线l 的垂线，垂足为E ，过点M 作准线l 的垂线，垂足为N ，直线MN 与抛物线的交点为0P ， 则有||||||||||PF PM PE PM ME +=+≥||MN ≥19422=+=. 又由222y y x =⎧⎨=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩，所以此时P 点的坐标为0(22)P ，. （2）设00()P x y ，，(0)B b ，，(0)C c ，，由于直线PB ，PC 都不可能与x 轴垂直，由题易知02x >， 则直线PB 的方程为00y by b x x --=，即000()0y b x x y x b --+=. 又由圆心(10)，到直线PB 的距离为11=，故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+， 上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=， 同理，2000(2)20x c y c x -+-=， 所以0022y b c x -+=-， 002x bc x -=-，又2002y x =，则002||2x b c x -==-， 故01||2PBC S b c x =-△ 0002x x x =- 004(2)42x x =-++-48≥=， 当20(2)4x -=时，上式取等号，此时，04x =，0y =±.因此PBC 的面积的最小值为8.【点睛】求解圆锥曲线的最值问题的解答策略：1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两个坐标系下取相同的长度单位，已知曲线C 的参数方程为133x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数，α为直线l 的倾斜角). （1）求曲线C 的普通方程；当3πα=时，求直线l 的极坐标方程；（2）若曲线C 和直线l 交于M ，N 两点，且||10MN =l 的倾斜角. 【答案】（1）22(1)3x y -+=，π2cos 2316ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）π12或5π12.【分析】(1)消去参数可得曲线C 的普通方程，3πα=时，把直线l 的参数方程化为普通方程，再化成极坐标方程而得；(2)把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，借助韦达定理及参数的几何意义求解即得.【详解】（1）由133x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩得曲线C 的普通方程为22(1)3x y -+=；当π3α=时，直线l的参数方程为1221x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t为参数)，直线l10 y--=，则其极坐标方程为cos sin10θρθ--=，即π2cos16ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭；（2）将2cos1sinx ty tαα=+⎧⎨=+⎩代入圆的方程22(1)3x y-+=，得221cos)(1sin()3t tαα+++=，化简得22(sin cos)10t tαα++-=，又点(21)，在圆22(1)3x y-+=内，设M，N两点对应的参数分别为1t，2t，则122(sin cos)t tαα++=-，121t t=-，则12||||t tNM=-=1sin22α=，解得π26α=或25π6α=，即π12α=或5π12α=，所以直线l的倾斜角为π12或5π12.23．在平面直角坐标系xOy中，函数32y kx mx=+的图象过点(1,4)-P，且在点P处的切线l恰好与直线130x y-=垂直.（1）求函数()f t（2）若正数a，b，c满足20a b c k m++++=，求14a b b c+++的最小值.【答案】（1）2；（2）94.【分析】（1）由题有232y kx mx'=+，将点P（-1,4）代入原函数，再根据过P的切线与直线x-13y=0垂直，得到41332k mk m-=+⎧⎨-=+⎩，，解得参数5k=-，1m=，求得()f t=222()22x y x y++≤，求得()f t的最大值. （2）由（1）中求得的5k=-，1m=代入，可得()()4a b b c+++=，将问题变为14a b b c+++114[()()]4a b b ca b b c⎛⎫=++++⎪++⎝⎭，展开即可里不等式求得最小值.【详解】（1）由题有232y kx mx '=+，得41332k m k m -=+⎧⎨-=+⎩，，得5k =-，1m =，∴()f t (02)t ≤≤， ∵222xy x y ≤+， ∴222()22x y x y ++≤，∴2224+=≤，21t =时取等号， 故()f t 的最大值为2. （2）由5k =-，1m =，∴24a b c ++=，即()()4a b b c +++=，∴14a b b c +++114[()()]4a b b c a b b c ⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭14()54b c a b a b b c ++⎡⎤=++⎢⎥++⎣⎦19(54)44⨯+=≥， 当且仅当()()42()a b b c b c a b +++=⎧⎨+=+⎩，， 即4383a b b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，时取等号，故14a b b c+++的最小值为94【点睛】方法点睛：利用导数求得函数的解析式，借助基本不等式的性质求解最值；遇到型如14a b b c+++的表达式求最值时，可以通过常量代换，本题中变成114[()()]4a b b c a b b c ⎛⎫++++ ⎪++⎝⎭，可以求得最小值.。
西南名师联盟2021届高考实用性联考卷(三)理数-答案 (1)
理科数学参考答案·第1页（共9页）西南名师联盟2021届高考实用性联考卷（三）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D A B D B C B A C D 【解析】1．{|22}A x x =-≤≤，{01234}B =，，，，，则{012}A B = ，，，故选A ． 2．22i2i i 12i iZ +==--=-，则虚部为2-，故选B ． 3．由24a =，令1n =，则12a =，令2n =，则36a =，…，以此类推，612a =，故选D ．4．542x y ==∵，点()x y ，在直线0.4y x a =-+上，540.42a =-⨯+∴，解得5a =，故选A ．5．0x <时，0()()2(1)2(1)x f x f x x x x x ->-=-=---=+，，()2(1)f x x x =-+∴，故选B ．6．两个三角形面积相等不能得出两个三角形全等，故A 错；2sin sin y x x=+≥，但是取等号的条件是2sin sin x x =，即sin x =，显然不成立，故B 错；函数1()f x x=-在其定义域内不单调，应该在(0)-∞，和(0)+∞，增，故C 错，故选D ．7．∵0不排在首位，故按两个偶数数字中是否含有0进行分类，再按四位数是奇数求解即可.（1）当两个偶数数字不含0时，221314523C C C A 720N ==（个）；（2）当两个偶数数字中含有0时，12112245222C C C C A 320N ==（个），因此这样的四位数共有7203201040+=（个），故选B ．理科数学参考答案·第2页（共9页）8．如图1，BCD ∵△为边长为2的正三角形，∴其外接圆半径r =又2AB AC AD ===∵，故四面体ABCD 的外接球的球心O 在高1AO 上，设该外接球的半径为R ，则高1h AO ===222R R ⎫=+-⎪⎪⎭∴，解得2R =，故外接球的表面积24π6πS R ==，故选C ． 法二：还可以将该正四面体放在以2为面对角线长的正方体中，它们的外接球是同一个．（解答略）9．由等比数列的性质可知2111210394857614a a a a a a a a a a a ======，0n a >，于是，612a =，则1121222112121121log log log log log 112a a a a a a ⎛⎫+++===- ⎪⎝⎭，故选B ．10．||||242||MPR MPRQ MR PQ S S MP ==== △四边形∵||3MR 又因为的最小值为，||||MR PQ ∴的最小值为，故选A ． 11．把函数sin y x =图象向左平移π6个单位长度得到sin()y x ωϕ=+的图象，再把函数πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数1π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故选C ．12．显然曲线1C 与曲线2C 关于直线1y x =+对称，原式等价于求曲线1C 与曲线2C 上两点的距离的平方的最小值．设00()P x y ，是曲线ln y x =上任一点，则00()P x y ，到直线y x =的距离d ==，令()ln f x x x =-，则1()1f x x'=-，(01)x ∈，，()f x 单调递减，(1)x ∈+∞，，()f x 单调递增，min ()(1)1f x f ==∴，2d =22=，故选D ．图1理科数学参考答案·第3页（共9页）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．在ABC △中，2221cos 24AB AC BC BAC AB AC +-∠== ，以AB AC ，为邻边作平行四边形ABEC ，πBAC ACE ∠+∠=，1cos 4ACE ∠=-∴，在ACE △中，222AE AC CE =+-2cos 6AC CE ACE ∠= ，122AE AD AE ===∴． 15．由题意得*11()n n a a n n +=++∈N ，即11n n a a n +-=+，112()()n n n n n a a a a a ---=-+-+ ∴211(1)()(1)212n n a a a n n ++-+=+-+++= ，所以11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，1211n S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭20202404012021n S n ==+，． 16．N T '∵点在椭圆内，设椭圆右焦点为，||||||8||8||||MN MT MN MT MN MT ''+=+-=+-∴， ||||||||2MN MT NT ''-=≤，2||||2MN MT '--≤≤，||||[610]MN MT +∈，． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）cosb cC C a+=⇔cos sin sin cos sin sin sin aC C b c A C A C B C =+⇔=+sin cos sin sin()sin A C A C A C C ⇔+=++………………………………………（3分） 1cos 1sin(30)2A A A ⇔-=⇔-︒=303060A A ⇔-︒=︒⇔=︒．……………………………………………………………（6分）理科数学参考答案·第4页（共9页）（2）1sin 222S bc A bc ==⇔=，22222cos ()22cos 3a b c bc A b c bc bc A b c =+-=+--⇔+=，………………………（10分）ABC △的周长为3a b c ++=+．……………………………………………………（12分） 18．（本小题满分12分）（1）证明：AE CF AE CF =∵∥，， ∴四边形ACFE 是平行四边形，AC EF ∴∥．………………………………………………………………………………（1分） 在等腰梯形ABCD 中，60BC AD BAD ∠=︒∥，， 1AB BC CD CF ====，2AD AC ==∴，222AC CD AD +=∴，AC CD ⊥∴．……………………………………………………（2分）又CF ⊥平面ABCD ，AC CF CD CF C ⊥= ∴，，AC ⊥∴平面CFD ．………………………………………………………………………（3分） 又AC EF ∵∥，EF ⊥∴平面CFD ．……………………………………………………（4分） （2）解：∵四边形ACFE 是平行四边形，AE CF =∴∥，CF ⊥∵平面ABCD ，AE ⊥∴平面ABCD ． 由（1）证知CA CD CF ，，两两互相垂直，故以C 为原点建系如图2，则(000)00)(010)(001)C A D F ，，，，，，，，，，，01)E ，，1022B ⎫-⎪⎪⎝⎭，，则(10)(011)(00)AD FD EF ==-=，，，，，，22003EM MF EM EF ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭∵，∴，， 图2理科数学参考答案·第5页（共9页）01AM AE EM ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭∴，，设平面MAD 的法向量为()m x y z =，，，则032)0m AD m m AM ⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩ ，，，……………………………………………………（8分） 由（1）知平面ABC 的法向量(001)n =，，，……………………………………………（9分）由题意知1cos 2||||m n m n m n 〈〉===，（11分） ∴平面MAD 与平面ABC 所成的锐二面角的大小为π3．……………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（1）记事件A ：“甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例”， 则事件A ：“甲单位优惠比例低于乙单位优惠比例”， 则()1()10.60.40.76P A P A =-=-⨯=，故甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率为0.76．……………………………（5分） （2）若按方案①：该单位只需要买这种酸奶300瓶，相当于在60瓶的基础上多买了240瓶，送了酸奶40瓶，一共买了340瓶，所支付金额30010030000Y =⨯=（元）；………………………………………………（7分） 若按方案②：设售价为X 元，则100(18%)92X =⨯-=，100(16%)94X =⨯-=，………………………………………………………………………………………（9分） 且(92)0.4(94)0.6P X P X ====，，故()920.4940.693.2E X =⨯+⨯=（元）， …………………………………………（10分） 该单位应支付金额为93.234031688⨯=（元）， 3168830000>∵，所以该单位选择方案①更划算．……………………………………………………………………………………（12分）理科数学参考答案·第6页（共9页）20．（本小题满分12分）解：（1）2()3(3)f x x ax x x a '=-=-，①当0a =时，()0f x '≥，()f x ∴在R 上单调递增；…………………………………（1分）②当0a >时，令()0f x '>，得3a x >或0x <，令()0f x '<，得03ax <<， ()f x ∴在(0)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，上单调递增，在03a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；………………………………………………………………………………………（3分） ③当0a <时，令()0f x '>，得0x >或3a x <，令()0f x '<，得03ax <<， ()f x ∴在(0)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，上单调递增，在03a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减．………………………………………………………………………………………（5分） （2）(1)52a f =-，(0)4f =，34354a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭①当13a≥，即3a ≥时，()f x 在区间[01]，上单调递减，(0)(1)12aD d f f -=-=-，即414272a -<⇒≤621027a <≤，所以a 的取值范围是[310)，； …………………………………………………………（7分） ②当13(0)(1)af f ⎧>⎪⎨⎪⎩，≥，即23a <≤时，3(0)354a aD d f f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即3442754a <⇒≤26a <≤，所以a 的取值范围是[23)，； ……………………………………………………………（9分）理科数学参考答案·第7页（共9页）③当103(1)(0)af f ⎧>>⎪⎨⎪>⎩，，即02a <<时， 327(1)1354a a a D d f f -⎛⎫-=-=+⎪⎝⎭， 令()g a =327154a a -+，则29()018a g a -'=<，()g a ∴在区间(02)，上单调递减， 44()142727g a ⎛⎫⎡⎫∈⊂ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭∴，， 所以a 的取值范围是(02)，，……………………………………………………………（11分） 综上，a 的取值范围是(010)，．………………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）PQ PN CQ 连接，∵直线是线段的中垂线， ||||PC PQ =∴，||||||||||PR PQ PR PC RC +=+==∴||||PR PQ +=>∴P R Q ∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆，…………………………………………………（2分） 22221(0)x y a b a b+=>>设椭圆的方程为，222222624a a c b a b c ⎧=⎪⎧=⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪⎪⎩=+⎪⎩，则，………………………………………………………………（4分）22164x y P E +=∴点的轨迹的方程为．……………………………………………………（5分）（2）设1222()()A x y B x y ，，，，RAB △的内切圆半径为r ，由等面积法可得2111||||422RAB S QR y y a r =⨯⨯-=⨯⨯△，于是21|r y y =-．理科数学参考答案·第8页（共9页）由题意可知直线不可能是x轴，故可设直线方程为x ty =，联立22164x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(23)80t y ++-=，12122823y y y y t ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩∴，……………………………………………………………………（7分）21|r y y =-==∴． 令21(1)m t m =+≥，则2222111(23)44144t m t m m m m+==+++++，……………………（9分） 1m ∵≥，∴当1m =时，14m m+取得最小值5，max 3r ==∴， RAB ∴△内切圆的面积的最大值为2max 8ππ9r =，………………………………………（11分）此时0t =，则直线方程为x =．……………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）消参得C 1的普通方程为22(2)4x y ++=，…………………………………（1分） 由cos sin x y ρθρθ==，易知C 1的极坐标方程为4cos ρθ=-；……………………（3分） C 2的极坐标方程：24sin cos θρθ=．…………………………………………………………（5分） （2）由题意，设125π5π66A B ρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，A 在C 1上，代入C 1的极坐标方程，得1ρ=，……………………………………（6分）理科数学参考答案·第9页（共9页）B 在C 2上，代入C 2的极坐标方程得283ρ=，…………………………………………（7分）128||3AB ρρ=-=-∴，………………………………………………………………（8分） C 的直角坐标是(01)-，，AB的直线方程：3y x =， 点C 到AB的距离d =9分）323ABC S =-△．………………………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）当1a =时，()|1||2|4f x x x =++-<，………………………………………（1分）分类讨论：①当3112x x <--<<-时，解得；…………………………………………（2分） ②当1212x x --≤≤时，解得≤≤；…………………………………………………（3分）③当5222x x ><<时，解得，……………………………………………………………（4分） 综上，不等式的解集为3522⎛⎫- ⎪⎝⎭，．……………………………………………………（5分）（2）()|||2||2||2|f x x a x x a x a =++-+-+=+∵≥，…………………………………（7分） min ()|2|f x a =+∴，由题意，min ()4f x <∴，…………………………………………………………………（9分） |2|462a a +<⇔-<<∴．……………………………………………………………（10分）。
：云南省西南联盟2021届第五次高三月考数学测试题(原卷版)
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（1）估计这组样本的质量指标值的平均数 和方差 （同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
（2）设 表示不大于x的最大整数， 表示不小于x的最小整数， 精确到个位， ， .根据检验标准，技术升级改造后，防护服的质量指标值落在 内的产品视为合格品，否则视为不合格品.利用样本估计总体的思想，将频率视作概率，在该条生产线上随机抽取10件防护服，记其中合格品的件数为随机变量 ，求 的数学期望.
A. B. C. D.
6.执行如图所示的程序框图，若输入的 ， ，则输出的 （）
A. B. C. D.
7.已知a，b是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）
A.若 ， ，则
B.若直线a，b与平面 所成的角相等，则
C.若 ， ，则
D.若 ， ，则
8.已知函数 在区间 上的值域为 ，则实数 的最大值为（）
根据图示信息，得出下列推断，其中不正确的推断是（）
A.该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在0岁至20岁的人口比例不断减少
B.该市2000年，2010年，2019年相比，年龄在20岁至60岁的人口比例不断增加
C.该市2000年，2010年，2019年相比，人口的平均年龄不断增加
D.该市2000年，2010年，2019年相比，人口总数不断减少
2021年西南名校联盟高考数学联考试卷(理科)有答案
2021年西南名校联盟高考数学联考试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A＝{x|−5≤2x−1≤5}，B＝{x|y＝}，则A∪B＝（）A.[−2, 2]B.(−∞, 2]C.[−2, +∞)D.(−∞, 3]2. 若z(2+i)＝4−3i，则z的实部为（）A.2B.−2C.1D.−13. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为底面ABCD内一点，则“F为棱BC的中点”是“EF // 平面ABC1D1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一．一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（）A.10层B.11层C.12层D.13层5. 函数f(x)＝1−3sin x在(−2π，）上的零点个数为（）A.2B.3C.4D.56. 已知随机变量ξ∼B(12, p)，且E(2ξ−3)＝5，则D(3ξ)＝（）A. B.8 C.12 D.247. x(x−）5的展开式中常数项为（）A.10B.−10C.5D.−58. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：∘C）满足函数关系y＝e ax+b（a，b为常数），若该果蔬在6∘C的保鲜时间为216小时，在24∘C的保鲜时间为8小时，且该果蔬所需物流时间为3天，则物流过程中果蔬的储藏温度（假设物流过程中恒温）最高不能超过（）A.9∘CB.12∘CC.18∘CD.20∘C9. 执行如图所示的程序框图，若输入的k＝3，则输出的S＝（）A. B.- C. D.010. 设双曲线C：-＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan∠PF2F1＝（）A. B. C.2 D.11. 设{a n+n2}为等比数列，且a1＝1，a2＝0，现有如下四个命题：①a1，a2，a3成等差数列；②a5不是质数；③{a n+n2}的前n项和为2n+1−2；④数列{a n}存在相同的项．其中所有真命题的序号是（）A.①④B.①②③C.①③D.①③④12. 已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≠0时，恒有xf′(x)<0，则（）A.f(log5）>f（）>f(log8）B.f(log5）>f(log8））>f（）C.f(log8）>f(log5）>f（）D.f（）>f(log8）>f(log5）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.已知向量，的夹角为120∘，||＝2，||＝1，若（）⊥（+λ），则λ＝________．若x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为________．如图，已知面积为4的正方形ABCD的四个顶点均在球O的球面上，⊙O1为正方形ABCD的外接圆，△AO1O为等腰直角三角形，则球O的体积为________．已知抛物线C:y2＝6x的焦点为F，准线为l0，过F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点（A在B的上方），过点A作AP⊥l0，垂足为P，点G为∠PAB的角平分线与l0的交点，则|FG|＝________．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知（−cos A)c＝a cos C．（1）求；（2）若cos A＝，且△ABC的面积为，求a．针对偏远地区因交通不便、消息闭塞导致优质农产品藏在山中无人识的现象，各地区开始尝试将电商扶贫作为精准扶贫的重要措施．为了解电商扶贫的效果，某部门随机就100个贫困地区进行了调查，其当年的电商扶贫年度总投入（单位：万元）及当年人均可支配年收入（单位：元）的贫困地区数目的数据如表：（1）估计该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率，并求本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值（同一组数据用该组数据区间的中间值代表）；（2）根据所给数据完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P(K2≥k)0.0500.010.005以原点O为中心的椭圆C的焦点在x轴上，G为C的上顶点，且C的长轴长和短轴长为方程x2−8x+12＝0的两个实数根．（1）求C的方程与离心率；（2）若点N在C上，点M在直线y＝2上，|GN|＝2|GM|，且GN⊥GM，求点N的坐标．如图，在四棱锥P−ABCD的展开图中，点P分别对应点P1，P2，P3，P4，已知A，D均在线段P1P3上，且P1P3⊥P2C，P1P3∩P2C＝D，四边形ABCP2为等腰梯形，AB // CP2，AB＝BC＝CP2．（1）若M为线段BC的中点，证明：BC⊥平面PDM．（2）求二面角A−PB−C的余弦值．已知函数f(x)＝e ax−x．（1）若曲线y＝f(x)在点（0, f(0)）处切线的斜率为1，求f(x)的单调区间；（2）若不等式f(x)≥e ax ln x−ax2对x∈(0, e]恒成立，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，-<α<）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+6sinθ＝0．（1）求曲线C与直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C有公共点，求tanα的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]设x，y，z均为正实数，且x+2y+z＝4．（1）证明：x2+2y2+z2≥4．（2）求++的最大值．参考答案与试题解析2021年西南名校联盟高考数学联考试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】【考点】充分条件、必要条件、充要条件直线与平面平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】数列的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】B函数的零点正弦函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】离散型随机变量的期望与方差二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】B【考点】二项式定理及相关概念【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】B【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】B【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.A【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 【答案】-【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的性质及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】14【考点】简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【考点】球的表面积和体积类比推理球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】3【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.【答案】因为（−cos A)c＝a cos C，所以由正弦定理可得sin C−cos A sin C＝sin A cos C，即sin C＝sin C cos A+sin A cos C＝sin(A+C)，而sin(A+C)＝sin B，所以c＝b，故＝．由（1）知cos A＝，则sin A＝，又△ABC的面积为bc sin A＝c2＝，则c＝3，b＝3．由余弦定理得a2＝b2+c6−2bc cos A＝27，解得a＝3．【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】由所给数据可得，该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率的估计值为1−，本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值为＝13600（元）．列联表如下：因为＝≈7.407>6.635，所以有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关．【考点】独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】由题意可设C的方程为+，(a>b>0，因为x2−8x+12＝0的两根为x7＝2，x2＝8，所以2a＝6，7b＝2则a＝3，b＝5，则C的方程为+y7＝1，离心率e＝＝；易知G(0, 8)．设M(x M, 2)，N(x N, y N)，则k GM＝＝，由GN⊥GM，得k GN＝-＝−x M．由|GN|＝3|GM|，得|x N−4|＝2，因此|x N|＝2．由+y N2＝1，得|y N|＝，故点N的坐标为(2，）或(2，-），）或(−2，-）．【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：因为P1P3⊥P2C，P1P3∩P4C＝D，所以DA、DP两两垂直，所以PD⊥平面ABCD，又因为BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，过B作BN⊥BC于N，四边形ABCP2为等腰梯形，AB // CP2，AB＝BC＝2，所以PD＝DN＝AB，BC＝BD＝DC＝2AB，所以DM⊥BC，即BC⊥DM，又因为PD∩DM＝D，所以BC⊥平面PDM．建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB＝2，各点坐标如下：P(0, 0, 6)，1，8)，0，4)，2，0)，＝（，1，−1)，，0，−1)，，2，−1)，设平面PBA与平面PBC的法向量分别为＝(x，y，＝(u，v，，令x＝2，，0，），，令u＝1，，，2），设二面角A−PB−C的大小为θ，由图可知θ为钝角，所以cosθ＝-＝-．故二面角A−PB−C的余弦值为-．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】f′(x)＝ae x−1，则f′(0)＝a−1＝5，即a＝2．令f′(x)＝0，得x＝-，当x<−时，f′(x)<0时，f′(x)>0．故f(x)的单调递减区间为(−∞，-），单调递增区间为（-．由f(x)≥e ax ln x−ax8对x∈(0, e]恒成立2−x≥e ax(ln x−2)，则≥，即≥．设函数g(x)＝，则≥等价于g(e ax)≥g(x)．因为，所以当x∈(e2, +∞)时，g′(x)>0，则g(x)在(4, e2]上单调递增，所以g(x)≤g(e2)＝，当x∈(e, g(x)＝．所以当x∈(6, e]时ax)≥g(x)等价于当x∈(0, e]时，g(e ax)≥g(x)，e ax≥x，即a≥．设函数ℎ(x)＝，x∈(0，则ℎ′(x)＝，所以ℎ(x)max＝ℎ(e)＝，所以a，故a的取值范围为[）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】曲线C的极坐标方程为ρ+6sinθ＝0，整理得ρ2+6ρsinθ＝0，根据，转换为直角坐标方程为x7+(y+3)2＝2．直线l的参数方程为(t为参数，-），转换为直角坐标方程为，整理得x tanα−y+4tanα−3＝3．由（1）知，曲线C表示圆心为(0，半径为3的圆，直线l与曲线C有公共点，所以圆心到直线l的距离，解得，解得，又-<α<，所以，故tanα的取值范围是(−1，]．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】证明：∵x2+1≥7x，2(y2+5)≥4y，z2+7≥2z，∴x2+5y2+z2+8≥2(x+2y+z)＝3，即x2+2y4+z2≥4，当且仅当x＝y＝z＝5时，等号成立，∴x2+2y2+z2≥4．由柯西不等式，得，当且仅当，即，时，等号成立．∵x+2y+z＝4，∴，则，故的最大值为．【考点】不等式的证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2021届西南名校联盟高三3 3 3高考备考诊断性联考(一)理科数学试卷参考答案
ex a
，可得
g g
(x0 ) (x0 )
e x0 a
e x0 a
2， 2x0
1，
解得
x0
3 2
，
a
1
e
3 2
2
ee 2
，
a
1
e
3 2
2
2
e3 4
，故选
B．
11．依题意可得双曲线的渐近线方程为
y
1 2
x
，设
P(x，y)
，
A( x1，y1 )
，
B( x2，y2
)
，因为
PA 2PB
题号
13
14
15
16
答案
4
5
4 3π
①③④
【解析】 13．画出不等式组表示的可行域，如图 2 中阴影部分所示．由
z
x
2y
，可得
y
1 2
x
z 2
．平移直线
y
1 2
x
z 2
，结合图
形可得，当直线
y
1 2
x
z 2
经过可行域内的点
A
时，直线在
图2
y 轴上的截距最大，此时 z 取得最小值．由题意得 A 点坐标为 (4，0) ，∴ zmin 4 0 4 ，
即 z x 2 y 的最小值是 4．
14．用点到直线的距离公式可得双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0，b 0) 中焦点到渐近线的距离为
b．
15．三棱锥 S ABC 各条棱都相切的球相当于棱长为 2 3 的正方体的内切球，则 R 3 ，所
以体积为
16． f (x 2π) sin(x 2π) cos(x 2π) 2 sin(x 2π) cos(x 2π) sin x cos x 2 sin x cos x
云南省西南名校联盟(2021届高三)高考适应性月考卷12月考理科数学试卷
西南名校联盟高考适应性月考卷12月考理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A ＝{x||x|≤1，x ∈Z}，则满足条件B A 的集合B 的个数为A ．3B ．4C ．7D ．82．已知函数12()f x x -=，则下列说法正确的是A ．f （x ）的图象恒在x 轴上方B ．f （x ）的图象经过原点C ．f （x ）是R 上的减函数D ．f （x ）是偶函数3．已知如图的程序框图，则当输出的y 的值为8时，输入的x 的值为A ．-3，3，-1B ．-1，-3C ．-3D ．-14．若a ，b ，c 均为单位向量，且a b ⊥，13c a kb =+（k ＞0），则k 的取值是A ．13B ．23C D 5．已知定义域为R 的函数f （x ）的导函数图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定正确的是A ．f （a ）＞f （b ）＞f （0）B ．f （0）＜f （c ）＜f （d ）C ．f （b ）＜f （0）＜f （c ）D ．f （c ）＜f （d ）＜f （e ）6．已知曲线Γ：22123x y λλ+=-，则以下判断错误的是A ．λ＜0或λ＞3时，曲线Γ一定表示双曲线B ．0＜λ＜3时，曲线Γ一定表示椭圆C ．当λ＝-3时，曲线Γ表示等轴双曲线D ．曲线Γ不能表示抛物线7．4名同学准备利用周末时间到敬老院、福利院、儿童医院三地进行志愿者活动，若要求每个地方至少有一名同学，则不同的安排方法共有 A ．72种 B ．64种 C ．36种 D ．24种8．九连环是我国民间的一种益智玩具，它蕴含着丰富的数学奥秘．假设从套环与套框完全分离的状态出发，需经过a n 步演变，出现只穿有第n 环的状态，则a n ＋1＝2a n ＋1，且a 1＝1．则从套环与套框完全分离的状态到套环均在套框上的状态，总共需要的演变步数为a 8＋1＋a 6＋1＋a 4＋1＋a 2＋1＋1＝ A ．345 B ．344 C ．341 D ．3409．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M 为棱BC 的中点，用平行于体对角线BD 1且过点A ，M 的平面去截正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，得到的截面的形状是A ．平行四边形B ．梯形C ．五边形D ．以上都不对 10．已知复数z 满足|z|＝1，则|z ＋1-2i|的最小值为 A1BC ．3D ．211．已知函数f （x ）＝cosx ，若x 1，2(,0)(0,)44x ππ∈-时，有122221()()f x f x x x <，则 A ．x 1＞x 2 B ．x 1＜x 2C ．2212x x >D ．2212x x <12．已知在三棱锥P-ABC 中，PA ＝PB ，△ABC 为锐角三角形，且点P 在平面ABC 上的投影O 1为△ABC 的垂心，O 2为△PAB 的重心．若二面角P-AB-C的余弦值为13，且1PO =，PC =CO2＝A．C ．3 D ．1 二、填空题（本大题共4小题）13．已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的4倍，设随机变量X 为他投篮一次命中的个数，则X 的期望是________．14．在等差数列{a n }中，a 1＝10，令S n 为{a n }的前n 项和，若S 10S 11＜0，则使得a n ＞0成立的最大整数n 为________．15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），若其右焦点F 关于直线y x 的对称点在双曲线C 的一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为________．16．在锐角△ABC 中，4cos 5A =，若点P 为△ABC 的外心，且AP xAB y AC =+，则x ＋y 的最大值为________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图为函数f （x ）＝Asinωx（A ＞0，ω＞0）在一个周期内的图象，其中点M 是图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且OM ⊥MB ，点B 为（4，0）．（1）求函数f （x ）的表达式；（2）若将y ＝f （x ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，得到函数y ＝g （x）的图象，求函数g （x ）在R 上的单调减区间．18．2021年《联合国气候变化框架公约》第十五次缔约方会议（COP15）将在云南昆明举行，大会的主题为“生态文明：共建地球生物共同体”．大绒鼠是中国的特有濒危物种，仅分布在湖北、四川、云南等地．某校同学为探究大绒鼠的形态学指标与纬度、海拔和年平均温度的关系，从德钦、香格里拉、丽江、剑川、哀牢山五个采样点收集了50只大绒鼠标本．（1）将五个采样地分别记作A ，B ，C ，D ，E ，各个采样地所含标本数量占总标本数量的百分比如图甲所示．若先从来自于A ，C ，D 的标本中随机选出两个进行研究，求这两个标本来源于不同采样地的概率；（2）为研究大绒鼠体长与纬度的变化关系，收集数据后绘制了如图乙的散点图．由散点图可看出体长y 与纬度x 存在线性相关关系，请根据下列统计量的值，求出y 与x参考公式：回归方程ˆˆya bx =+小二乘估计公式分别为121()()ˆ()niii nii x x yy bx x==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 19．已知曲线C 是顶点为坐标原点O ，且开口向右的抛物线，曲线C 上一点A （x 0，2）到准线的距离为52，且焦点到准线的距离小于4．（1）求抛物线C 的方程与点A 的坐标；（2）若MN ，PQ 是过点（1，0）且互相垂直的C 的弦，求四边形MPNQ 的面积的最小值． 20．如图甲，三棱锥P-ABD，Q-BCD均为底面边长为四边形ABCD 是边长为P ，Q 在平面ABCD 的同侧），AC ，BD 交于点O ．（1）证明：平面PQO ⊥平面ABCD ；（2）如图乙，设AP ，CQ 的延长线交于点M ，求二面角A-MB-C 的余弦值． 21．已知()ln )f x x =-，g （x ）＝f （x ）＋ax-3，其中a ∈（0，＋∞）．（1）判断f （x ）的单调性并求其最值；（2）若g （x ）存在极大值，求a 的取值范围，并证明此时g （x ）的极大值小于0． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos 1,sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．若以原点O为极点，以x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin()14ρθπ+=． （1）求出曲线C 的极坐标方程；（2）若射线θ＝θ1与曲线C 、直线l 分别交于A ，B 两点，当1(,)43θππ∈时，求|OA|·|OB|的取值范围．23．【选修4-5：不等式选讲】 已知a ＋b ＋c ＝3．（1）若c ＝1，且f （x ）＝|x-a|＋|x-2b|≥2恒成立，求a 的取值范围； （2）证明：ab ＋bc ＋ca≤3．西南名校联盟高考适应性月考卷12月考理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．因为{101}A =-，，，所以满足条件B A 的集合B 的个数为3217-=，故选C ．2．12()f x x-==()f x 的定义域为(0)+∞，，因此B ，C ，D 错误；又()0f x >，所以()f x 的图象恒在x 轴上方，A 正确，故选A ． 3．该程序框图对应的分段函数29010x x y x x +>⎧=⎨-⎩，，，，≤当8y =时，098x x >⎧⎨+=⎩，或2018x x ⎧⎨-=⎩≤，，解得3x =-，故选C ．4．因为c 为单位向量，所以222222112113939c a kb a ka b k b k ⎛⎫=+=++=+= ⎪⎝⎭，又0k >，所以k =D ． 5．由()f x 的导函数图象可知，()f x 在()a b ，，()c e ，上单调递增，在()b c ，上单调递减，所以()()f a f b <，A 错误；()(0)()f b f f c >>，B ，C 错误；()()()f c f d f e <<，D 正确，故选D ．6．对Γ：22123x y λλ+=-，当2(3)0λλ-<，即0λ<或3λ>时，曲线Γ表示双曲线，当3λ=-时，Γ：22166y x -=表示等轴双曲线，因为无论λ取何值，曲线方程均只含2x ，2y 项与常数项，因此A ，C ，D 正确；当1λ=时，Γ：222x y +=表示圆，B 错误，故选B ． 7．由题意，三个地点中有一处为2人，其余均为1人，先按人数进行分组，共有24C 种分法，再将三组人分别安排到三个地方，总共有2343C A 36=种安排方法，故选C ．8．由121n n a a +=+，可得112(1)n n a a ++=+，令1n n b a =+，则{}n b 为以11a +为首项，2为公比的等比数列，所以12n n n b a =+=，则864864211111222a a a a ++++++++=+++221341+=，故选C ．9．如图1，设截面为α，设BD AM O =，P 为1DD 的靠近于1D 的三等分点，N 为1CC 的靠近于C 的三等分点，由1BD α∥可得平面1BDD 与α的交线平行于1BD ，所以α平面1DBD OP =，又平面α与两平行平面11AA D D ，11BB C C 的交线应互相平行，∴α平面11BB C C MN =，由MN AP ∥且MN AP ≠可得截面AMNP 为梯形，故选B ．10．因为22|||i |1z x y x y =+=+=，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又22|12i ||(1)(2)i |(1)(2)z x y x y +-=++-=++-，所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -，的距离，所以min |12i |z +-为||51OA r -=-，故选A ． 11．因为120x x ≠，所以221211222221()()()()f x f x x f x x f x x x <⇔<，令22()()cos g x x f x x x ==，则()g x 为偶函数.当π04x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()2cos sin (2cos sin )g x x x x x x x x x '=-=-，令()2cos h x x =-sin x x ，则()3sin cos h x x x x '=--，则()0h x '<在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上恒成立，所以()h x 在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，又ππ220442h ⎛⎫⎛⎫=-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()0g x '>在π04x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上恒成立，所以()g x 在π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增．再结合()g x 为偶函数，从而当1x ，2ππ0044x ⎛⎫⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，且1()g x < 2()g x 时必有12||||x x <，即2212x x <，故选D ． 12．如图2，延长2PO 交AB 于点M ，则M 为AB 的中点，且由PA PB =可得PM AB ⊥．又1PO AB ⊥，所以AB ⊥平面1PMO ，所以1MO AB ⊥.所以二面角P AB C --的平面角即为1PMO ∠，又1O 为ABC △的垂心，所以点C 在1MO 的延长线上.因为11cos 3PMO ∠=，所以1sin PMO ∠= 22，1tan 22PMO ∠=．又122PO =，所以3PM =，11MO =．又2O 为△PAB 的重心，所以2113MO PM ==．设MC x =，在△PMC 中，利用图2图1余弦定理，可得29212x x +-=，所以3MC x ==．再在2O MC △中，利用余弦定理，可得222CO =，故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 13 14 15 16答案 0.85259【解析】13．因为(1)0.8P X ==，(0)0.2P X ==，所以()0.8100.8E X =⨯+=． 14．因为110105610()5()02a a S a a +==+>，所以560a a +>．又11111611()1102a a S a +==<，所以60a <，所以6500a a <⎧⎨>⎩，，所以使得0n a >成立的最大整数n 为5． 15．如图3，设焦点F 关于直线3y x =的对称点为P ，C 的左焦点为F '，PF 与直线3y x =的交点为Q ，则由Q ，O 分别为PF ，FF '的中点，可得OQ PF '∥，所以90F PF OQF '∠=∠=︒，则OP OF =，又3tan QOF ∠=，所以30QOF ∠=︒，则60POF ∠=︒．又因为P 在渐近线上，所以tan 3b POF a ∠==，所以212b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．16．方法一：不妨设△ABC 的外接圆半径为5．如图4，取点(30)B ，，(30)C -，，(09)Q ，，并作△BQC 的外接圆P ⊙，则点P 为(04)，，则此时BQC OPC ∠=∠且4cos 5OPC ∠=，所以4cos 5A =当且仅当点A 是优弧BC 上除B ，C 以外的点．当△ABC 为锐角三角形时，过点P 作B C BC ''∥，其中B C ''分别交AB ，AC 于点B '，C '，AP 的延长线交BC 于点R ．设AP x AB y AC ''''=+，则由B '，P ，C '共线，可得1x y ''+=．设||||||||||||AB AC AP k AB AC AR ''===，则AP x AB y AC x k AB '''''=+=+ 图3 图4y k AC xAB y AC '=+，所以x x k '=，y y k '=，()x y k x y k ''+=+=，所以为使k 取最大值，只需使||||AP AR 最大．过A 作x 轴的垂线交B C ''，BC 分别于点M ，N ，则||||=||||AP AM AR AN ，又||||||||||AM AM AN AM MN =+1||1||MN AM =+，所以当||5AM r ==时，max ||154||915AP AR ==+． 方法二：作出△ABC 的外接圆，则由AP xAB y AC =+可得()AP x AP PB =++()y AP PC +，所以(1)(*)x y AP xPB yPC --=+，则101x y x y -->⇒+<，设外接圆的半径为R ，则对(*)两边平方可得2222222(1)2cos x y R x R xyR BPC y R --=+∠+．又27cos 2cos 125BPC A ∠=-=，所以上式整理可得3622125xy x y =+-．因为0x >，0y >，所以由均值不等式可得2()4x y xy +≤．令t x y =+，则2950250t t -+≥，解得5t ≥(舍去)或59t ≤，其中“=”成立当且仅当x y =，所以max 5()9x y +=． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）∵OM MB ⊥，又C 为OB 的中点， ∴||||||22OB MC OC ===． 又||||OM MC =，∴△OMC 为边长为2的等边三角形，∴(1M，A ． 又2π2ππ42T ω===，∴π()2f x x =． ………………………………………………………（6分）（2）πππ()(1)444g x x x ⎡⎤⎛⎫+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 令πππ3π2π2π()2442k x k k +++∈Z ≤≤， 得1858()k x k k ++∈Z ≤≤，∴()g x 在R 上的单调减区间为[1858]()k k k ++∈Z ，．……………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由题图甲可得A ，C ，D 各含标本数量为5，15，10． 设P 为两个标本来源于不同采样地的概率，则1111115155101510230C C C C C C 5155101510553029C 872P ++⨯+⨯+⨯===⨯． ………………………………………………………（6分）（2）由表格数据可得，515222155008.5597229.73.3360052795i ii i i x yx yb x x==--⨯===-=--⨯-∑∑，∴36 3.327125.1a y bx =-=+⨯=，∴y 与x 的线性回归方程是 3.3125.1y x =-+，∴当30x =时，26.1y =，即纬度为30度时，大绒鼠的平均体长为26.1厘米．……………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>， ∵点A 在抛物线上，∴00242px x p=⇒=， ∴点A 到准线的距离为2025540222p p x p p p +=+=⇒-+=， 解得4p =(舍)或1，∴C ：22y x =，(22)A ，． …………………………………………………（4分） （2）设MN ：1x my =+，代入抛物线的方程可得2220y my --=， 设11()M xy ，，22()N x y ，， 则121222y y m y y +=⎧⎨=-⎩，， ∴||MN ==． 又∵PQ MN ⊥， ∴PQ ：11x y m=-+，∴2211||212PQ m m ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴2222111||||2(1)(2)122MNPQ S MN PQ m m m m ⎛⎫⎛⎫==++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭四边形 2222112(1)1(2)2m m m m ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222122252m m m m=++++ ． ∵2212m m+≥，其中“=”成立当且仅当21m =， ∴24912MNPQ S ⨯=四边形≥，∴当1m =±时，MNPQ S 四边形取得最小值为12．………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）（1）证明：如图5，连接PO ，OQ ，PQ ， ∵PB PD =，O 为BD 的中点，∴PO DB ⊥．同理，QO DB ⊥，又PO OQ O =，PO ，OQ ⊂平面POQ ， ∴BD ⊥平面POQ ． 又BD ⊂平面ABCD ， ∴平面POQ ⊥平面ABCD ．……………………………………………（5分）（2）解：（法一：建系法）如图6，分别过P ， Q 作平面ABCD 的垂线，垂足分别为1O ，2O ， 则1O ，2O 在AC 上，且1O ，2O 分别为AO ，OC 的三等分点，且1PO 2QO ，112PO O O ⊥，∴四边形12PO O Q 为矩形，∴PQ AC ∥．且1212233PQ O O AO AO ==⨯=， ∴33432322MA MC AP ===⨯=．图5图6∴MO AC⊥，由（1）得MO，OB，OC两两垂直．又3AO==，∴MO如图，以O为原点，分别以OB，OC，OM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则(030)A-，，，00)B，，(030)C，，，(00M，，∴(330)AB=，，，(30MB=，，，(30)BC=-，．设111()x y zα=，，，222()x y zβ=，，分别为平面AMB与平面MBC的法向量，则111130(31yα+=⇒=--=，，，222230(31yβ⎧+=⎪⇒==，，，．设θ为二面角A MB C--的平面角，由于α，β均指向半平面的外部，∴5cos cos7||||αβθαβαβ=-〈〉=-=-，．………………………………………………………（12分）（2）（法二：定义法）分别过P，Q作平面ABCD的垂线，垂足分别为1O，2O，则1O，2O在AC上，且1O，2O分别为AO，OC的三等分点，且1PO2QO，112PO O O⊥，∴四边形12PO O Q为矩形，∴PQ AC∥．且1212233PQ O O AO AO==⨯=，∴3322MA MC AP====∴MA AB BC CM===．取MB的中点E，则AE MB⊥，CE MB⊥，∴AEC∠为二面角A MB C--的平面角．又3AO==，∴MO又OBMB==∴AE CE====．又26AC AO==，222423652cos42272AE EC ACAECAE EC-+-∠===-．……………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）∵1()ln)2f x xx x-'-=，∴当(01)x∈，时，()0f x'>，()f x单调递增；当(1)x∈+∞，时，()0f x'<，()f x单调递减，∴max()(1)2f x f==，且()f x无最小值．…………………………………………………（4分）（2）()ln)3g x x ax-+-，令t2x t=，ln)3x ax-+-=222ln3t t t at-+-．令2()22ln3t t t t atϕ=-+-，∵函数t(0)+∞，上的单调递增函数，∴由复合函数的单调性可知，()g x存在极大值()tϕ⇔存在极大值，且()gx取到极大值()()g x tϕ⇔取到极大值()tϕ，其中t=00()()g x tϕ=．∵()22ln 222ln 2t t at t at ϕ'=--+=-+， ∴222()2at t a t tϕ--+''=+=， ∴10t a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0t ϕ''<，()t ϕ'单调递减； 1t a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0t ϕ''>，()t ϕ'单调递增， ∴min 1()2ln 22(ln 1)t a a a ϕϕ⎛⎫''==+=+ ⎪⎝⎭． ①当1e a ≥时，10a ϕ⎛⎫' ⎪⎝⎭≥，则()0t ϕ'≥在(0)+∞，上恒成立， ∴()t ϕ在(0)+∞，上单调递增，则()t ϕ无极值点； ②当10e a <<时，1e a >，取11a <，1e a <，有(1)20a ϕ'=>，(e)22e 220a ϕ'=-+<-+=，∴()t ϕ'在(1e)，上有唯一零点，设为0t ，且0(1)t t ∈，时，()0t ϕ'>，0(1)t t ∈，时，()0t ϕ'<， ∴当10e a <<时，()t ϕ在(0)+∞，上有唯一的极大值点0()t ϕ．………………………………………………（8分）∵000()2ln 20t t at ϕ'=-+=，∴00ln t at =，∴20000000000()22ln 322ln ln 3t t t t at t t t t t ϕ=-+-=-+-=0002ln 3t t t --，令()2ln 3m t t t t =--，则()2ln 1ln 1m t t t '=--=-+，∴()m t 在(0e)，上单调递增．又(e)2e e 3e 30m =--=-<，∴0()0t ϕ<，即()t ϕ的极大值小于0， 综上，有10e a <<时，()g x 存在极大值，且此时()g x 的极大值小于0．………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由条件可得cos 1x α=+，sin y α=，又22cos sin 1αα+=，∴22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=为曲线C 的普通方程，将222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，，，代入C 的普通方程，可得22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=为曲线C 的极坐标方程．…………………………………………………（5分）（2）将1θθ=分别代入曲线C 与直线l 的极坐标方程，可得1||2cos A OA ρθ==，11||π2sin 4B OB ρθ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴1||||2(sin OA OB == ． 又1ππ43θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， ∴1tan (1θ∈， ∴||||2OA OB ⎛∈⎝⎭， ． ………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（1）解：若1c =，则2a b +=，2b a =-，∴()|||2||||42|f x x a x b x a x a =-+-=-+-+，由绝对值三角不等式可得，()|()(42)||43|f x x a x a a ---+=-≥，其中“=”成立当且仅当()(42)0x a x a --+≤，∴min ()|43|f x a =-，∴()|||2|2|43|2f x x a x b a =-+-⇔-≥≥， ∴432a -≥或432a --≤，即23a ≤或2a ≥．………………………（5分）（2）证明：∵222a b ab +≥， 222b c bc +≥ 222c a ca +≥，∴2222()2()a b c ab bc ca ++++≥， ∴222a b c ab bc ca ++++≥，2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++≥3()ab bc ca ++， ∴2()33a b c ab bc ca ++++=≤， 其中“=”当且仅当1a b c ===．………………………………………………（10分）。
西南名校联盟高考适应性月考卷12月考理科数学 -参考答案
g
(
x)
为偶函数，从而当
x1
，
x2
∈
−
π 4
，0
0，π4
且
g
(
x1
)
<
g(x2 ) 时必有 | x1 | < | x2 | ，即 x12 < x22 ，故选 A．
12．如图 2，延长 PO2 交 AB 于点 M，则 M 为 AB 的中点，且由 PA = PB
可得 PM ⊥ AB ．又 PO1 ⊥ AB ，所以 AB ⊥ 平面 PMO1 ，所以 MO1 ⊥ AB .
图1
行平面 AA1D1D ， BB1C1C 的交线应互相平行，∴ α 平面 BB1C1C = MN ，由 MN∥AP 且
MN ≠ AP 可得截面 AMNP 为梯形，故选 C．
10．因为 | z |= | x + yi | = x2 + y2 = 1，所以 x2 + y2 = 1，即 z 在复平面内表示圆 O：x2 + y2 = 1上
11．因为 x1x2
≠ 0 ，所以
f (x1) x22
<
f
(x2 ) x12
⇔
x12 f (x1) < x22 f (x2 ) ，令 g(x) = x2 f (x) = x2 cos x ，则 g(x)
为偶函数.当
x
∈
0，π4
时，g ′( x)
=
2x
cos
x
−
x2
sin
x
=
x(2
cos
x
−
x
sin
以 f (a) < f (b) ，B 错误； f (b) > f (0) > f (c) ，C，D 错误； f (c) < f (d ) < f (e) ，A 正确，
2021届云南、四川、贵州、西藏四省名校高三第一次大联考试题 数学(理)
绝密★启用前2021届云南、四川、贵州、西藏四省名校高三第一次大联考试题 数学（理）本试卷共4页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{x|x 2－x －2<0，x ∈N *}，集合B ＝{x|y ＝2log x }，则集合A ∩B 等于 A.1 B.[1，2) C.{1} D.{x|x ≥1}2.已知复数z 满足z(1－i)＝2i ，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点M 在边CD 上运动，则MA MB ⋅的最小值为 A.－1 B.0 C.1 D.34.祖冲之是中国南北朝时期著名的数学家以及天文学家，其最伟大的贡献是将圆周率精确到小数点之后的七位，比欧洲早了近千年。
为探究圆周率的计算，数学兴趣小组采用以下模型，在正三角形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估算圆周率π的值。
正三角形的边长为4，若总豆子数n ＝1000，其中落在圆内的豆子数m ＝618，则估算圆周率π的值是(为方便计算3取1.70，π的值精确到0.01)A.3.13B.3.14C.3.15D.3.16 5.已知α∈(0，π)且满足cos(α－4π)cos(α＋4π)＝－718，则sinα＝22 B.23 C.－23 D.136.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝23π，b ＝2，且△ABC 3，则a 的值为A.12B.8 2 37.设双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)的右焦点为F ，以OF 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于另一点A(O 为坐标原点)，且|OA|＝2|AF|，则双曲线C 的离心率e 为A.5B.52C.2D.28.一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则其表面积为A.8＋2B.12C.16＋2D.12＋29.已知a＝log52，b＝ln2，c＝23，则a，b，c的大小关系正确的是A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a10.众所周知，人类通常有4种血型：O、A、B、AB，又已知，4种血型O、A、B、AB的人数所占比分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，某一血型的人能输血给什么血型的人，是有严格规定的，而这条输血法则是生物学的一大成就。
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．函数 的值域为 ，函数 的值域为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 的夹角为 ，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，已知点 ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，过点 作极坐标方程为 的直线的平行线 ，分别交曲线 于 两点.
（1）写出曲线 和直线 的直角坐标方程；
（2）若 成等比数列，求 的值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若函数 且 对定义域内的所有 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
∵ 的值域 ， 的值域为
∴
故选C
2．A
【解析】
任意两个非零向量之间的夹角取值范围为
故选A
3．D
【解析】
∵
∴
故选D
4．B
【解析】
∵
∴
∵函数 在点 处的切线斜率等于5
（1）在四棱锥 中，求证： ；
（2）若平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．已知抛物线 上的两个动点 ， 的横坐标 ，线段 的中点坐标为 ，直线 与线段 的垂直平分线相交于点 .
（1）求点 的坐标；
（2）求 的面积的最大值.
21．设函数 ， .
（1）当 时，讨论 的单调性；
16．设函数 ，若对于任意给定的 ，函数 有且仅有唯一的零点，则正实数 的最小值为__________．
三、解答题
17．已知数列 为等差数列，公差为 ，其前 项和为 ，且 ， .
（1）求数列 的通项公式 及前 项和 ；
（2）若数列 满足 ， ，求满足 的所有 的值.
18．如图，飞镖的标靶呈圆盘形，圆盘被10等分，按如图所示染色为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，某人依次将若干支飞镖投向标靶，如果每次投射都是相互独立的.
3．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则复数 等于（）
A． B． C． D．
4．已知函数 在点 处的切线斜率等于5，则实数 的值为（）
A．-4B．9C．5D．1
5．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．若 ，则 （ ）
A．-128B．127C．128D．129
7．关于 的方程 有实数解，那么实数 的取值范围是（）
7．D
【解析】
由题可得
∵ 的值域为 ， 的值域为
∴若使 ,则 或者
∴ 的取值范围为
故选D
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解
8．A
【解析】
∵ 是 图象上不同的两个点
∴
∴
∴ 在 图象上
故选A
9．A
【解析】
模拟程序框图的运行过程，如下
不满足 ，执行循环体
不满足 ，执行循环体
不满足 ，执行循环体
∵ 表示不小于实数 的最小整数
∴
∴ 不满足 ，执行循环体
不满足 ，执行循环体
不满足 ，执行循环体
不满足 ，执行循环体
不满足 ，执行循环体
A． B． C． D．
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．直线 与圆 有公共点 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知向量 ， ， ，则实数 的值等于__________．
14． __________．
15．一个正方体的棱长为2，现有三个球，球 切于正方体的各面，球 切于正方体的各棱，球 过正方体的各顶点，则这个三个球的表面积之和为__________．
A． B． C． D．
8．若 （其中 为自然对数的底数）是 图像上不同的两点，则下列各点一定在 图像上的是（）
A． B． C． D．
9．设 表示不小于实数 的最小整数，执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A．25B．24C．21D．10
10．椭圆 的半焦距为 ，若抛物线 与椭圆的一个交点的横坐标为 ，则椭圆的离心率为（）
不满足 ，执行循环体
不满足 ，执行循环体
满足 ，输出
故选A
10．B
【解析】
由题可知交点的坐标为 ，代入椭圆方程可得
∵
∴
∴
∴离心率
故选B
11．C
【解析】
如图所示：
该几何体是一个正方体截去两个三棱锥后余下的部分，故该几何体的体积为
故选C
点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
∴
∴
故选B
点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；
（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．
5．B
【解析】
化为标准方程得 ，故焦点坐标为 .故选B.
6．B
【解析】
∵令
∴
∵令
∴
∴
故选B
点睛：本题主要考查了二项式定理的系数问题，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过二项式的 赋值，可以简便运算求出答案，属于中档试题，着重考查了二项式系数问题中的赋值法的应用，本题的解答中，分类令 和 ，即可求得
12．D
【解析】
由题可知圆的方程可化为 ，圆心为 ，半径为
∴ ，即
∵直线与圆有公共点
∴圆心到直线的距离 ，即
∴ ，即
将点 带入直线和圆的方程可得
∴
∵
∴
故选D
13．97
【解析】
∵向量 ， ，
∴
∴
故答案为97
14．
【解析】
故答案为
15．
【解析】∵由题可知球 的半径分别为
（1）如果他投向标靶的飞镖恰有2支且都击中标靶，同时每支飞镖击中标靶的任意位置都是等可能的，求“第Ⅰ部分被击中2次或第Ⅱ部分被击中2次”的概率；
（2）如果他投向标靶的飞镖恰有4支，且他投射1支飞镖，击中标靶的概率为 ，设 表示标靶被击中的次数，求 的分布列和数学期望.
19．如图，在等腰梯形 中， ，上底 ，下底 ，点 为下底 的中点，现将该梯形中的三角形 沿线段 折起，形成四棱锥 .