高等数学第四章不定积分
高职课件《高等数学》第四章不定积分课件
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ;
1 x2
11
dx arctanx C ; 1 x2
例4.1.2 求
x2
x
1 x2
dx
。
解 根据基本积分表中的公式(2)及不定积分的性质(4)得：
x2
x
1 x2
dx
x2
1
x2
1 x2
dx
例4.1.1 求 cosxdx 。
解 因为sinx' cosx，所以 cosxdx sinx C
如果忘记写常数 C，那就意味着你只找到了cosx 的一个原函数。
4.1.2不定积分的性质
根据不定积分的概念，可以推得如下性质：
(1)
d dx
f
x
dx
f x ；
(2) f ' x dx f x C
4.1.3 不定积分的几何意义
由 f x 的原函数族所确定的无穷多条曲线 y F x C 称为f x 的积 分曲线族。在 f x 的积分曲线族上，对应于同一 x 的点，所有曲线都
有相同的切线斜率，这就是不定积分的几何意义。 例如
2xdx x2 C
被积函数 2x 的积分曲线族就是 y x2 C ，即一族抛物线。对 应于同一 x 的点，这些抛物线上的切线彼此平行且具有相同的斜 率2x，如图4-1所示。
(由性质(1)和(2)可知，求导与求积是两个互逆的运算)；
(3) k f x dx k f x dxk为常数
(4) f x g x dx f x dx g x dx ； (5) d f x dx f x dx ； (6) df x = f ' x dx f x C 。
高等数学第4章
• 式(4-10)称为分部积分公式。这个公式把积分∫udv转化成了积分∫vdu， 如图4-5所示，当积分∫udv不易计算，而积分∫vdu比较容易计算时， 就可以使用这个公式。
• 例4-46 求∫xsinxdx。 • 解 设u=x，dv=sinxdx=d(-cosx)，则 • ∫xsinxdx=∫xd(-cosx)=-xcosx-∫(-cosx)dx • =-xcosx+∫cosxdx • =-xcosx+sinx+C • 当运算比较熟练以后，可以不写出u和dv，而直接应用分部积分
•
=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx+…+∫fn(x)dx
• 4.1.4 基本积分运算
• 因为求不定积分的运算是求导数的逆运算，所以，导数公式表中的 每个公式反转过来就得到表4-1的不定积分公式。
表4-1 基本积分公式
1。∫0dx=C
2。∫1dx43;C
6。∫sinxdx=-cosx+C
• 换元积分法包括:第一类换元积分法(凑微分法)和第二类换元积分法。
• 4.2.1 第一类换元积分法(凑微分法) • 定理 如果∫f(x)dx=F(x)+C，则
• ∫f(u)du=F(u)+C • 其中u=φ(x)是x的任一个可微函数。 • 上述定理表明:可以将基本积分公式中的积分变量换成任一可微函数，
(把u还原为φ(x))
• 由于积分过程中有凑微分(φ'(x)dx=d(φ(x)))的步骤，因此第一类换元积 分法又称为凑微分法。
• 用第一类换元积分法求不定积分的过程是:凑微分、换元、积分、回 代。
• 4.2.2 第二类换元积分法
• 第一类换元积分法是通过变量代换u=φ(x)，将积分∫f(φ(x))φ'(x)dx化 为∫f(u)du。计算中常常遇到与第一类换元积分法相反的情形，即 ∫f(x)dx不易求出，但适当选择变量代换x=φ(t)后，得 ∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ'(t)dt，而新的被积函数f(φ(t))φ'(t)的原函数容易求出。 设
《高等数学(上)》不定积分(全)
23
第二讲 第一换元积分法
例3
求不定积分 cos3 xsin5 xdx.
解
cos3 xsin5 xdx cos2 xsin5 xdsin x
(1 sin2 x)sin5 xd sin x
sin5 xdsin x sin7 xdsin x
1 sin6 x 1 sin8 x C.
接积分法和第一换元法计算的题目.
31
第二讲 第二换元积分法
例 1 求 a2 x2 dx (a 0).
解
令x a sin t( π t π),则dx a costdt,于是有 22
a2 x2 dx a cost a costdt a2 cos2 tdt a2 1 cos 2tdt 2
类似可得
x2
1
a2
dx
1 2a
ln
|
a a
x x
|
C.
20
第二讲 第一换元积分法
例2
求 csc xdx.
解法一
csc
xdx
sin
x
dx
sin
x
sin
xdx
cos
d x
cos
x
利用例结论，得
原式 ln cos x cos x
C ln
( cos x) cos x
C
ln cos x C ln | csc x cot x | C sin x
1
3.
1dx x
ln
|
x
|
C;
6. sin xdx cos x C;
12
五、基本积分公式
7. cos xdx sin x C;
11. cot x csc xdx csc x C;
§4.5 不定积分应用案例
因此
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
dR ( t ) 300 (18 0.3 t ) dt
即
dR ( t ) 5400 90 t , dt
两边同时求不定积分，得
R( t ) (5400 90 t )dt 5400 t 60 t C ,
3 2
而 R(0) 0, 得 C 0 ，于是
R( t ) 5400 t 60t ,
由于这口井将在36个月后干枯，于是将来的总收入是 （美元）. R(36) 5400 36 60 36 207360
3 2
3 2
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
二、石油的消耗量的估计
（2）停车线的确定
停车线的确定需考虑两点： ①驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段的反应时间 t1 ，在此段时间 内，驾驶员尚未刹车. ②驾驶员刹车后，车还需继续向前行驶一段距离，此段距离称为 刹车距离.
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
一般驾驶员的反应时间 t 1 可以根据经验或由统计数据确定.而刹 车距离可采用如下方法确定. 当驾驶员踩动刹车踏板时，便产生 一种摩擦力，它使汽车减速并最终停下. 设道路规定的速度为 v 0 , 汽车质量为 m , 刹车摩擦系数为 k ,
T ( t ) 是石油消耗总量， 所以 T ( t ) 就是石油消耗率 R( t ) ，即
T (t ) R(t ) .那么 T ( t ) 就是 R( t ) 的一个原函数.
高等数学 第4章 不定积分
4.5 不定积分应用案例
T ( t ) R( t )dt 161 e 0.07 t dt 161 e 0.07 t C 2300 e 0.07 t C , 0.07 由 T (0) 0 , 得 C 2300 ,
高等数学第四章 第四节 不定积分 课件
例3
解
计算由 y 2 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
选 y 为积分变量
y x4
y2 2 x
y2 dA( y ) ( y 4) dy, y [2, 4] 2
4
A
4
2
dA( y )
2
y (y 4 )d y 18. 2 2
与 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转构成旋转 体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
Vx
2a
0
y 2dx
2a
a 2 (1 cost )2 d[a( t sint )]
0
2
5 2a 3 .
20/31
例 4
求摆线 x a( t sin t ) ， y a(1 cos t ) 的一拱
a 4 2 0 3 π ab
方法2 利用椭圆参数方程
y O
b
x
ax
则
V 2 π y 2 dx 2 π ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 π ab 1 3 4 π ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 π a . 3
a xxdx
b x
例 2
计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
的图形的面积.
解
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
b
y x3 6x
两曲线的交点
y x 6x 2 y x
3
y x2
高职高等数学教案第四章不定积分
第四章 不定积分§4-1 不定积分的概念与性质一、不定积分的概念1.原函数定义定义1：如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任一xI ，都有()()F x f x 或()()dF x f x dx ，则称()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数。
例：(sin )cos x x ，则sin x 是cos x 的一个原函数；1(sin 1)(sin )(sin 3)cos 2x xx x ，则都是cos x 的原函数。
2.原函数性质定理1：如果()f x 在区间I 上连续，则在该区间原函数一定存在。
定理2：如果()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C 是()f x 的全体原函数，且任一原函数与()F x 只差一个常数。
例：验证2211cos 2,sin 2,cos 233x x x 都是sin 2x 的原函数 证：2211(cos 2)sin 233(sin 2)sin 2(cos 2)sin 2x x x x xx，则三个函数都是sin 2x 的原函数3.不定积分定义定义2：()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()f x dx ，其中称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
说明：如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则()F x C 就是()f x 的不定积分，即()()f x dxF x C例1：求23x dx解：因为32()3x x ，所以3x 是23x 的一个原函数则233x dx x C例2：求1dx x解：当0x时，1(ln )x x当0x 时，11ln()x xx 所以1 ln ||(0)dx x C xx4.不定积分几何意义在相同横坐标的点处切线是平行的，切线斜率都为()f x ，可由()yF x 沿y 轴平移得到。
例：一条积分曲线过点(1,3)，且平移后与231y x x 重合，求该曲线方程解：设2()31f x x x C由于曲线过(1,3) 则3131C ，2C2()31f x xx二、不定积分性质性质1：[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx性质2：()(0)()0(0)kf x dx k kf x dxdxC k性质3：(())(),()()f x dx f x f x dx f x C三、基本积分表(1)kdx kx C (k 是常数) (2)111ααx dxx C α(3)1ln ||dx x C x (4)x xe dx e C (5)ln x xa a dxC a(6)sin cos xdxxC(7)cos sin xdx x C (8)221sec tan cos dx xdx x C x(9)221csc cot sin dx xdx x C x (10)sec tan sec x xdx xC(11)csc cot csc x dx xC (12)21arctan 1dxx C x(13)21arcsin 1dx x C x例1：求51dx x解：55154111514dx x dxx CC x x例2：求x xdx解：313522223512x x xdx x dxCx C例3：求3(sin )xx dx解：433(sin )sin cos 4x x x dx xdxx dxxC例4：求2(1)x dx x解：22(1)211(2)x x x dx dx x dx xx x2122ln ||2x xdx dxdx xx C x注：根式或多项式函数需化成αx 形式，再利用公式。
同济大学(高等数学)_第四章_不定积分
第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．第1节 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的概念在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分)的问题，例如,变速直线运动中已知位移函数为()s s t =,则质点在时刻t 的瞬时速度表示为()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度()v v t =，求出质点的位移函数()s s t =．即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．1。
1。
1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如,在变速直线运动中，()()s t v t '=,所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),x x x=>所以ln x 是1x在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续,那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有()()'=F x f x ．简言之,连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出。
关于原函数，不难得到下面的结论：若()()'=F x f x ，则对于任意常数C ,()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ，即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．因此我们有如下的定理:定理2 若()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则()()-=F x x C φ(C 为任意常数）． 若()()'=F x f x ，则()+F x C （C 为任意常数）表示()f x 的所有原函数．我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．1。
高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
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例3. 求 解: 原式 =
x
4 3
dx
例4. 求 解: 原式=
1 sin x dx 2
sin 2x 2sin x cos x
例5. 求
解: 原式 =
[(2e)
x
5 2 )dx
x
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例6. 求 解: 原式 =
(sec x 1 ) d x
2
sec x 1 tan x
第四章 不定积分
微分法: F ( x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f ( x) 互逆运算
4.1
不定积分的概念与性质
4.1.1 原函数
定义1： 设 F (x)与 f (x) 是定义在某区间上的函数，
如果在该区间上有
或 dF ( x)
F ( x) f ( x)
f ( x)dx ，则称 F (x)是 f (x)
作变量代换 u
( x) ，得到 f ( x)dx g (u )du,
可以求出，不妨设 g ( u ) du
g (u)du G(u) C
则
f ( x)dx g[ ( x)] ( x)dx g (u )du
G(u ) C G[ ( x)] C
在这个区间上的一个原函数。
问题:
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
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定理. 原函数都在函数族 证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[( x) F ( x)] ( x) F ( x) f ( x) f ( x) 0
( C 为任意常数 )
例如,
x e e dx C
x 2 x dx
1 x3 3
C
C 称为积分常数 不可丢 !
sin xdx
cos x C
4.1.3 不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
f ( x) dx 的图形
y
o
x0
机动
x
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
o
因此所求曲线为 y x 2 1
x
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4.1.4 不定积分的简单性质
提示: 已知 求 即
( B) 1 sin x ; ( D) 1 cos x .
f ( x) sin x ( ? ) f ( x) ( ? ) sin x
或由题意 f ( x) cos x C1 , 其原函数为
f ( x) d x sin x C1x C2
2 2
csc x 1 cot x
2 2
例7. 求
注意方法
2
x (1 x ) dx 解: 原式 = 2 x(1 x )
注意方法 x 例8. 求 dx . 2 1 x 4 ( x 1) 1 解: 原式 = dx 2 1 x ( x 2 1)( x 2 1) 1 dx 2 1 x
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C x x e d x e C
x
x
a C (13) a dx ln a
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例1
cos 2 x cos x sin x dx
cos x sin x cos x sin x dx
第一步从 f (x)中分出一个因子 u( x) ( x) ，使 ( x) 与dx凑成 u的微分 du，并把被积函数剩下的部分写成的u函数，即
f ( x)dx g (u )du
这一步常称为“凑积分”，第二步就是求不定积分 g (u )du 例 。
2 cos 2 xdx cos 2 xd(2 x) u 2 x cos udu
sec x csc x
2
2
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5. 求不定积分 解：
(e 2 x e x 1)
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6. 已知
求A,B.
x
2
1 x2
dx A x 1 x B
2
dx 1 x2
解: 等式两边对 x 求导, 得
x
2
1 x2
A 1 x
性质5 常数因子可从积分号中提出
kf ( x ) dx k f ( x ) dx
k 是常数且 k ≠0
4.2 不定积分的 基本公式
(1) (2)
k dx
kx C
1 x 1 1( k 为常来自) x dx C
( 1)
dx (3) ln x C x
4
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例1
cos 2 x cos x sin x dx
cos x sin x cos x sin x dx
2 2
(cos x sin x)(cos x sin x) dx cos x sin x
cos xdx sin xdx
sin u C sin 2x C
x
(2e) 2x C 5 ln(2e) ln 2
x e 5 x 2 C ln 2 1 ln 2
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例6. 求 解: 原式 =
(sec x 1 ) d x
2
sec 2 xdx dx
tan x x C
2
sec x 1 tan x
x 0时 1 ( ln x ) [ ln( x) ] x
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dx (4) arctan x C 或 arc cot x C 2 1 x dx (5) arcsin x C 或 arc cos x C 1 x2
(6) (7 )
sin x cos x C
cos 2 x cos x sin x
2 2
例2
1 cos x dx 2
x cos 2 dx
2
1 dx 2
cos x dx 2
x sin x C 2 2
cos 2 x 2 cos x 1
2
cos 2 x 1 2sin x
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思考与练习
1. 若
x e 提示: 1 ln x f (ln x) e x
x
2
f (ln x) d x
1 2 x C 2
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2. 若
是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C d x x x
2
例3. 求 解: 原式 =
x
4 3
3x
例4. 求 解: 原式=
1 3
3 x dx 4 C 3 1
4 1
C
1 sin x dx 2
1 cos x C 2
sin 2x 2sin x cos x
例5. 求
解: 原式 =
[(2e)
x
x
5 2 )dx
定理（第一类换元积分法） 设
g (u)du G(u) C
，且 u ( x)
在区间 I 可微，则
f ( x)dx g[ ( x)] ( x)dx g (u)du G(u) C G[ ( x)] C
用第一换元积分法求不定积分
f ( x)dx ，分为两步完成，
性质3 积分形式不变性
如果
f ( x)dx F ( x) C
u为 x 的任何
可微函数，则有
f (u)du F (u) C
性质4 函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和
[ f ( x ) g ( x )] dx f ( x ) dx g ( x ) dx
2
csc x 1 cot x
2 2
例7. 求
2
注意方法
x (1 x ) dx 解: 原式 = 2 x(1 x ) 1 1 dx dx 2 x 1 x arctan x ln x C
注意方法 x 例8. 求 dx . 2 1 x 4 ( x 1) 1 解: 原式 = dx 2 1 x ( x 2 1)( x 2 1) 1 dx 2 1 x dx 2 ( x 1) dx 1 x2
性质1 一个函数积分后导数或微分等于这个函数。
d f ( x ) dx f ( x ) 或 d f ( x ) dx f ( x ) dx dx
性质2 一个函数微分后积分，等于这个函数加上任意常数。