高等数学中有理分式定积分解法总结
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高等数学公式大全导数公式： 基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹Leibniz 公式： 中值定理与导数应用： 曲率：定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用：),,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(},,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x yx y x x z x z z y z y -=-=-=-+-+-==⎪⎩⎪⎨⎧====-'+-'+-''-='-='-⎪⎩⎪⎨⎧===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线ωψϕωψϕωψϕ方向导数与梯度：上的投影。
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全在高等数学的学习中，积分是一个非常重要的概念和工具。
积分公式如同数学世界中的宝库，为我们解决各种问题提供了有力的武器。
下面就为大家详细介绍一下高等数学中常见的积分公式。
一、基本积分公式1、常数积分公式∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这意味着对一个常数进行积分，结果是这个常数乘以自变量 x 再加上一个常数 C。
2、幂函数积分公式∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）当 n 为正整数时，这个公式很好理解。
比如∫x² dx ＝（1/3)x³＋ C 。
3、指数函数积分公式∫e^x dx ＝ e^x ＋ C指数函数 e^x 的积分还是它本身。
4、对数函数积分公式∫（1/x) dx ＝ ln|x| ＋ C这是对数函数积分的基本形式。
二、三角函数积分公式1、正弦函数积分公式∫sin x dx ＝ cos x ＋ C2、余弦函数积分公式∫cos x dx ＝ sin x ＋ C3、正切函数积分公式∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C4、余切函数积分公式∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C三、反三角函数积分公式1、反正弦函数积分公式∫arcsin x dx ＝ x arcsin x ＋√（1 x²) ＋ C2、反余弦函数积分公式∫arccos x dx ＝x arccos x √（1 x²) ＋ C3、反正切函数积分公式∫arctan x dx ＝ x arctan x （1/2)ln(1 ＋ x²) ＋ C四、有理函数积分有理函数是指两个多项式的商。
对于形如 P(x)／Q(x) 的有理函数积分，通常需要先将其分解为部分分式，然后再利用上述基本积分公式进行积分。
五、定积分的基本性质1、线性性质∫kf(x) ＋ lg(x) dx ＝k∫f(x) dx ＋l∫g(x) dx （k，l 为常数）2、区间可加性∫a,b f(x) dx ＝∫a,c f(x) dx ＋∫c,b f(x) dx （a ＜ c ＜ b）六、换元积分法换元积分法是积分计算中的一种重要方法。
高等数学定积分及重积分的方法与技巧
高等数学定积分及重积分的方法与技巧第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=∫∑=⋅=∞→1011lim a ani n x n n i dx =aa x a +=++11111. 例2 求极限 ∫+∞→121lim xx n n dx .解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是∫+≤1210x x n ∫≤1n x dx dx .而∫10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得∫+∞→1021lim xx n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba ∫()()∫=b ax g f dx x dx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().1011112102≤≤+=+∫∫n n nn dx x dx xx x x由于11102≤+≤nx，即211nx+有界，()∞→→+=∫n n dx x n01110，故∫+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R −型可作相应变换.如对积分()∫++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>−∫a dx x ax x a，由于()2222a x a x ax −−=−，可设t a a x sin =−.对积分dx e x ∫−−2ln 021，可设.sin t e x =−（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=∫d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]′，可求出22dc bdac A ++=，22dc adbc B +−=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+′++=∫.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ∫−1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ∫−1211arcsin 2tx x t ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==−∫∫.1632π=解法2 ()dx x x x∫−1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=∫u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）∫+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx xI ∫+=2032cos sin cos π；（2）.1cos 226dx e xx ∫−−+ππ解 （1）∫+=2031cos sin sin πxx xdx I)(sin cos cos 2023du u u uu x −+−=∫ππ=.sin cos cos 223∫=+πI dx xx x故dx xx xx I I ∫++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022−=+−∫ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e x x ∫−−+ππ()dxe xdu e uu x x u ∫∫−−+=−+−=2262261cos 1cos ππππ+++=∫∫−−2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x.3252214365cos cos 21206226πππππ=×××===∫∫−xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n∫∫=2020cos sin ππ()()()()()()=⋅×−×−−=×−×−−=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
高等数学应试攻略积分知识点的掌握与运用
高等数学应试攻略积分知识点的掌握与运用高等数学应试攻略：积分知识点的掌握与运用在高等数学的学习中，积分是一个至关重要的知识点，也是考试中的重点和难点。
掌握积分的概念、性质、计算方法以及应用，对于在考试中取得好成绩至关重要。
本文将详细探讨积分知识点的掌握与运用，帮助大家在应试中更加得心应手。
一、积分的基本概念积分包括定积分和不定积分。
不定积分是求导的逆运算，而定积分则是一个数值，表示曲线下的面积。
不定积分的定义是：如果函数 F(x) 的导数是 f(x)，那么 F(x) 就是f(x) 的一个不定积分，记作∫f(x)dx ＝ F(x) ＋ C，其中 C 是常数。
定积分的定义则是：设函数 f(x) 在区间 a, b 上有定义，用分点 a ＝x₀＜ x₁＜ x₂＜＜ xₙ ＝ b 将区间 a, b 分成 n 个小区间，在每个小区间 xᵢ₋₁, xᵢ上任取一点ξᵢ（i ＝ 1, 2,， n），作和式∑f(ξᵢ)Δxᵢ，当 n无限增大且小区间长度的最大值趋近于零时，如果和式的极限存在，那么这个极限值就叫做函数 f(x) 在区间 a, b 上的定积分，记作∫ₐᵇf(x)dx。
二、积分的性质积分具有许多重要的性质，这些性质在解题中经常用到。
1、线性性质不定积分的线性性质为：∫k₁f(x) ＋ k₂g(x)dx ＝ k₁∫f(x)dx ＋k₂∫g(x)dx，其中 k₁、k₂为常数。
定积分的线性性质为：∫ₐᵇk₁f(x) ＋ k₂g(x)dx ＝ k₁∫ₐᵇf(x)dx ＋k₂∫ₐᵇg(x)dx。
2、区间可加性不定积分没有区间可加性，而定积分具有区间可加性。
即如果 c 在区间 a, b 内，那么∫ₐᵇf(x)dx ＝∫ₐᶜf(x)dx ＋∫ᶜᵇf(x)dx。
3、奇偶性如果函数 f(x) 是奇函数，即 f(x) ＝ f(x)，那么在关于原点对称的区间上，其定积分的值为 0；如果函数 f(x) 是偶函数，即 f(x) ＝ f(x)，那么在关于原点对称的区间上，其定积分的值为2∫₀ᵃf(x)dx，其中 a 为区间的一半。
高数讲义第四节有理函数的积分全
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解 令 1 x t 1 x t2,
x
x
x
t
1 2
, 1
dx
2tdt t2 1
2,
例9
求积分
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
xt2211a12,dxdx
1
2a
ln
x2tdat tx2 a1
2
C,
1 x
1
x
xdx
t
2
1t
t
2
2t
12
dt
2
x
2)
1
A 2x
Bx 1
C x2
解：令：
x
1 (1
x)
2
A x
B 1 x
C (1 x)
2
1 A(1 x)2 B x(1 x) C x
取 x1, 得 C 1; 取 x0, 得 A1;
再取 x 2 , 得 1 (1 2)2 B2(1 2) 2 , B 1 ;
1 x (1 x) 2
t
3
1 t 1
1dt
6
(t
2
t
1
t
1
)dt 1
2t 3 3t 2 6t 6 ln | t 1 | C
2 x 1 33 x 1 36 x 1 6 ln(6 x 1 1) C.
说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数.
例11 求积分
x 3x 1
dx. 2x 1
解 先对分母进行有理化
f (x) 为真分式 , 当 m n 时
f (x) 为假分式
高等数学中有理分式定积分解法总结(1)
由十个例题掌握有理分式定积解法【摘要】 当被积函数为两多项式的商()()P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结【关键词】 有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式.1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.例1.2 422231x x dx x +++⎰ 总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：2221111x dx dx x x ⎛⎫=-⎪++⎝⎭⎰⎰ 对于真分式()()P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和：()()P x Q x ()()()()1212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、()()1kP x x a -、()()22lP x xpx q ++等三类函数，则多项式的积分容易求的2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分2.1 类型一 ()mkax b dx cx +⎰例2.1.1()321x dx x -⎰总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，然后利用常见积分公式进行运算2.2 类型二 ()kmcx dx ax b +⎰例2.2.1()232x dx x +⎰解 令x+2=t ,则2x t =-，∴有dx dt = 总结：当被积函数形如时()kmcx dx ax b +⎰，将其用换元法转换为()mkax b dx cx+⎰，再按照后者解法求解2.3 类型三()()2x lP dx axbx c ++⎰()()()()()2222222221dx2312222 = dx 23111 = d 23-2d 223121 = In 23+C 2+bx+c +c +1lx x x x x x x x x x x x x x ax bx x -+++-+++++++++++⎰⎰⎰⎰例2.3.2 总结：当被积函数分母含有ax 时，可以用凑微分法进行积分；对于形如时，可将其变形为T 或者()()2222221-T x ,sin cos +tan set .x 是然后利用三角函数恒等变形x+x=1和1x=x 将T 降次，便于计算3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化为部分分式之和的形式，然后用基本积分公式进行运算.例3.2 ()()22dx 211x x x x ++++⎰总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换. 例3.3()()23dx 11x x x ---⎰总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进行因式分解，拆项除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分.例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：()1+sin sin 1cos xdx x x +⎰.例如被积函数中含有时用换元法将根号去掉，例：x ，. 虽然形式各种各样,但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在被积函数为有理分式函数时应对起来应当是信手拈来，甚是轻松。
定积分的计算方法与技巧
定积分的计算方法与技巧定积分是高等数学中重要的一部分，它在数学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
本文将介绍定积分的基本概念和计算方法，以及一些常用的技巧。
一、定积分的基本概念定积分是对连续函数在一定区间上的面积进行求解的方法。
设f(x) 在区间 [a,b] 上连续，则它在该区间上的定积分为：∫(b,a) f(x) dx其中，∫是积分符号，f(x) 是被积函数，dx 表示积分变量。
二、定积分的计算方法1. 基本积分公式对于一些常见的函数，有一些基本积分公式可供使用。
比如：∫x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C (n≠-1)∫e^x dx = e^x + C∫sinx dx = -cosx + C∫cosx dx = sinx + C等等，使用这些基本积分公式可以简化复杂的计算过程。
2. 函数的分段积分对于一些在区间上不连续的函数，可以尝试将区间划分成几个子区间，然后在每个子区间上分别进行积分计算。
这个方法被称为分段积分。
3. 反常积分对于某些函数，其在一定区间上可能无法被积分，这时需要使用反常积分的方法进行计算。
反常积分分为两种情况：无穷积分和间断积分。
无穷积分是对于某些函数在无穷区间上的积分。
间断积分是对于某些函数在一定区间上存在间断点的积分。
三、定积分的技巧1. 积分中的代换对于一些复杂的积分式，可以使用代换的方法将其转化成一些已知的积分式，从而简化计算。
例如，对于∫cos(x^2)dx ，可以使用代换 y=x^2 ，将积分式转化成∫cos(y)dy 。
2. 微积分基本定理微积分基本定理指出，对于连续函数 f(x) ，其在区间 [a,b] 上的定积分可以表示成其原函数 F(x) 在区间 [a,b] 上的值之差，即：∫(b,a) f(x) dx = F(b) - F(a)这个定理可以用来简化一些定积分的计算。
3. 奇偶对称性对于一些奇偶对称的函数，其在区间 [a,b] 上的定积分可以简化为：∫(b,a) f(x) dx = 2∫(b,a/2) f(x) dx （偶函数）∫(b,a) f(x) dx = 0 （奇函数）例如，对于 f(x) = sin(x) ，其在区间 [0,π] 上的定积分可以简化为：∫(π,0) sin(x) dx = 2∫(π/2,0) sin(x) dx = 24. 积分中的分数分解对于一些积分式中含有分数的情况，可以使用分数分解的方法将其拆分成一些已知的积分式。
高等数学中有理分式定积分解法汇总
高等数学中有理分式定积分解法汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：由十个例题掌握有理分式定积解法【摘要】 当被积函数为两多项式的商()()P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结【关键词】 有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式.1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.例1.2 422231x x dx x +++⎰ ()22222131x x x dx x ++-=+⎰解 原式222212311x x dx dx dx x x =+-++⎰⎰⎰324arctan 3x x x C =+-+ ()422222222222223321.11311311311131arctan x x dxx x x x dx x x x dx dxx x dx dxx x dx dx dxx x x x C +++-=+=-+⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭=-++=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例 解 原式总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：2221111x dx dx x x ⎛⎫=-⎪++⎝⎭⎰⎰ 对于真分式()()P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和：()()P x Q x ()()()()1212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、()()1kP x x a -、()()22lP x xpx q ++等三类函数，则多项式的积分容易求的2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分2.1 类型一 ()mkax b dx cx +⎰ 例2.1.1()321x dx x -⎰322331=x x x dx x -+-⎰解 原式211=33xdx dx dx dx x x-+-⎰⎰⎰⎰211=332x x In x C x-+++总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，然后利用常见积分公式进行运算2.2 类型二 ()kmcx dx ax b +⎰例2.2.1()232x dx x +⎰解 令x+2=t ,则2x t =-，∴有dx dt =()()232323222=44=111=44t42=Int+42n 222t dxtt t dt tdt dt dt t t t tx C x x --+-+++-+++⎰⎰⎰⎰⎰ 原式 -+C=I总结：当被积函数形如时()kmcx dx ax b +⎰，将其用换元法转换为()mkax b dx cx+⎰，再按照后者解法求解2.3 类型三()()2x lP dx axbx c ++⎰()()()()3223222322322312222x =dt11x-1dt 1+tan =dtset tan 3tan 3tan 1=dt set =sin cos 3sin cos 3sin cos dt x dxxx x t t t tt t t tt t t t t t --+⎡⎤-+⎣⎦++++++⎰⎰⎰⎰⎰ 例2.3.1 原式 设 =tant,x=tant+1,dx=set 上式 set ()()()()()22222223=-1cos costd cos +sin 2dt dt cos 2dt 41cos 21111111122=222arctan 1224422t t t t t x x x x In x x x Cx x x x -+-+∴-+-+-∴-+++-++-+-+⎰⎰⎰⎰Q =-In +cos t+2t+2sintcosttant=x-1,cost=,sint=上式()()()()()2222222221dx2312222 = dx 23111 = d 23-2d 2231211 = In 23-2arttan +C 22+bx+c +c +1lx x x x x x x x x x x x x x x ax bx x -+++-+++++++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭+⎰⎰⎰⎰例2.3.2 总结：当被积函数分母含有ax 时，可以用凑微分法进行积分；对于形如时，可将其变形为T 或者()()2222221-T x ,sin cos +tan set .x 是然后利用三角函数恒等变形x+x=1和1x=x 将T 降次，便于计算3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分()()()()()()22222222+3dx 3102+3dx3101=d 310310=In 3102+3dx 3102+32+3=310+525252115252=x x x x x x x x x x x x x x x x x A Bx x x x x x A B x B A x x x x +-+-+-+-+-+-+--+-++-=++-+-∴⎰⎰⎰⎰例3.1 解法1 +C 解法2 =+=原式211dx52310x x x x ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭+-⎰ =In +C总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化为部分分式之和的形式，然后用基本积分公式进行运算.例3.2 ()()22dx 211x x x x ++++⎰()()()()2222222=dx2111121122=212111111121d 1212121324111211223x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪+++⎝⎭+-+++++-++++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛⎫++++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式 d -dx =d dx =In -In +arctan +C总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换. 例3.3 ()()23dx 11x x x ---⎰()()()()()2222223=d 1121d 211122112d d 2111111d 21d d 221111111x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x InC x x --+-⎛⎫=- ⎪-++⎝⎭⎛⎫-- ⎪=- ⎪-++ ⎪⎝⎭=-+---++--=+++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进行因式分解，拆项除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分.例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：()1+sin sin 1cos xdx x x +⎰.例如被积函数中含有nnax b ax b cx d +++或时用换元法将根号去掉，例：1d 1xx x x-+⎰，3d 11x x ++⎰. 虽然形式各种各样,但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在被积函数为有理分式函数时应对起来应当是信手拈来，甚是轻松。
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由十个例题掌握有理分式定积解法
【摘要】 当被积函数为两多项式的商
()
()
P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结
【关键词】 有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分
两个多项式的商
()
()
P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式.
1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.
例1.2 422
23
1
x x dx x +++⎰ ()222
2
2131
x x x dx x ++-=+⎰
解 原式
2
2
2212311
x x dx dx dx x x =+-++⎰⎰⎰
()42
2222
2
22
222223321.11
311
31
13111
31
arctan x x dx
x x x x dx x x x dx dx
x x dx dx
x x dx dx dx
x x x x C +++-=+=-+⎛
⎫=-- ⎪+⎝⎭
=-++=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例 解 原式
3
24arctan 3
x x x C =
+-+ 总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：
2221111x dx dx x x ⎛
⎫=- ⎪++⎝⎭
⎰⎰ 对于真分式
()
()
P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和：
()()P x Q x ()()()()
1
212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为
把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、()
()
1k
P x x a -、
()
()
22
l
P x x
px q ++等三类函数，则多项
式的积分容易求的
2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分
2.1 类型一 ()m
k
ax b dx cx
+⎰ 例2.1.1
()
3
2
1x dx x -⎰
322
331
=x x x dx x
-+-⎰解 原式 211
=33xdx dx dx dx x x
-+-⎰⎰⎰⎰
211
=332x x In x C x
-+++
总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，
然后利用常见积分公式进行运算
2.2 类型二
()
k
m
cx dx ax b +⎰
例2.2.1
()2
3
2x dx x +⎰
解 令x+2=t ,则2x t =-，∴有dx dt =
()
()2
3
23
2322
2=44
=111
=44t 42
=Int+42
n 222t dx t t t dt t dt dt dt t t t t
x C
x x --+-+++-+++⎰
⎰⎰⎰⎰ 原式 -+C
=I
总结：当被积函数形如时()
k
m
cx dx ax b +⎰，将其用换元法转换为()m
k
ax b dx cx
+⎰，再按照后者解法求解
2.3 类型三
()
()
2
x l
P dx ax
bx c ++⎰
()
()()
()3
2
2
3
2
2
23
22
322
312222x =dt
11x-1dt 1+tan =dt
set tan 3tan 3tan 1
=dt set =sin cos 3sin cos 3sin cos dt x dx
x
x x t t t t
t t t t
t t t t t t --+⎡⎤-+⎣⎦
++++++⎰⎰
⎰
⎰⎰ 例2.3.1 原式 设 =tant,x=tant+1,dx=set 上式 set ()()
()222223
=-1cos costd cos +
sin 2dt dt cos 2dt 4
1
cos 2
1122=222arctan 1224422
t t t t t x In x x x C
x x x x -+-∴-∴-+++-++-+-+⎰⎰⎰⎰ =-In +cos t+2t+2sintcost
tant=x-1, 上式
()()(
)()()2
222
222221
dx
23
1
2222 = dx 23111 = d 23-2d 223121 = In 23+C 2+bx+c +c +1l
x x x x x x x x x x x x x x ax bx x -+++-+++++++++++⎰
⎰⎰⎰例2.3.2 总结：当被积函数分母含有ax 时，可以用凑微分法进行积分；对于形如时，
可将其变形为T 或者()()2222221-T x ,sin cos +tan set .
x 是然后利用三角函数恒等变形x+x=1和1x=x 将T 降次，便于计算
3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分
()()()()()()
2222222dx
3102+3
dx
310
1
=d 310310=In 3102+3
dx
3102+32+3=310+52525211
5252=x x x x x x x x x x x x x x x x A B
x x x x x x A B x B A x x x x +-+-+-+-+-+-+--+-++-=++-+-∴⎰
⎰⎰⎰
例3.1 解法1 +C 解法2 =+
=
原式21
1dx
52310x x x x ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭+-⎰ =In +C
总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化为部分分式之和的形式，然后用基本积分公式进行运算.
例3.2 ()()2
2
dx 211x x x x ++++⎰
()()()(
)22
2
2
222=dx
2111121122=21211
1111121d 12121213
24
1121122x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫
- ⎪+++⎝⎭
+-+++++-++++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎛
⎫++++ ⎪⎝
⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式 d -dx =d dx =In -In +C
总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换. 例3.3 ()()23
dx 11x x x ---⎰
()()
()()()
2
22222=d 112
1d 21112211
2d d 2111111d 21d d 2211111
11
x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x In
C x x -+-⎛⎫=- ⎪-++⎝⎭⎛⎫
-- ⎪=- ⎪-++ ⎪
⎝⎭=-+---++--=+++-⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进行因式分解，拆项
除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分.例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：
()1+sin sin 1cos x
dx x x +⎰.例如被积函数中含
有
时用换元法将根号去掉，
例：x
，. 虽然形式各种各样,但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在被积函数为有理分式函数时应对起来
应当是信手拈来，甚是轻松。