1.不定积分的概念与性质-专升本高数重点总结
专升本高数知识点汇总
专升本高数知识点汇总高等数学在专升本考试中占据着重要的地位，对于许多考生来说，掌握好高数的知识点是成功升本的关键之一。
以下是为大家汇总的专升本高数知识点，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。
对于定义域内的每一个输入值，都有唯一的输出值与之对应。
2、函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性。
奇函数满足 f(x) ＝ f(x)，偶函数满足 f(x) ＝ f(x)。
单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的。
周期性函数是指存在一个非零常数 T，使得 f(x ＋ T) ＝ f(x)。
有界性则是指函数的值域在某个范围内。
3、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的一个确定的值。
4、极限的计算包括利用极限的四则运算法则、两个重要极限（＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1\），＼（＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e\））以及等价无穷小代换来计算极限。
5、无穷小与无穷大无穷小是以零为极限的变量，无穷大是绝对值无限增大的变量。
无穷小的性质在极限计算中经常用到。
二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的切线斜率。
2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的变化率，反映了函数图像的斜率。
3、基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
4、导数的四则运算法则加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
5、复合函数求导通过链式法则进行求导。
6、隐函数求导通过方程两边同时对自变量求导来求解。
7、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。
8、微分的几何意义微分表示函数在某一点处切线的增量。
三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足在闭区间 a,b 上连续，在开区间（a,b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，那么在（a,b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。
完整版)专升本高等数学知识点汇总
完整版)专升本高等数学知识点汇总常用的高等数学知识点汇总如下：一、常见函数的定义域总结如下：1) y=kx+b，y=ax^2+bx+c，一般形式的定义域为x∈R。
2) y=1/x，分式形式的定义域为x≠0.3) y=sqrt(x)，x根式的形式定义域为x≥0.4) y=log_a(x)，对数形式的定义域为x＞0.二、函数的性质1、函数的单调性：当x1＜x2时，恒有f(x1)＜f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是增加的。
当x1＜x2时，恒有f(x1)＞f(x2)，f(x)在x1，x2所在的区间上是减少的。
2、函数的奇偶性：定义函数y=f(x)的定义区间D关于坐标原点对称，若x∈D，则有- x∈D：1) 偶函数f(x)——对于任意x∈D，恒有f(-x)=f(x)。
2) 奇函数f(x)——对于任意x∈D，恒有f(-x)=-f(x)。
三、基本初等函数1、常数函数：y=c，定义域为(-∞,+∞)，图形是一条平行于x轴的直线。
2、幂函数：y=x^u，(u是常数)。
它的定义域随着u的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数：定义y=f(x)=a^x，(a是常数且a＞0，a≠1)。
图形过(0,1)点。
4、对数函数：定义y=f(x)=log_a(x)，(a是常数且a＞0，a≠1)。
图形过(1,0)点。
5、三角函数：1) 正弦函数：y=sin(x)，T=2π，D(f)=(-∞,+∞)，f(D)=[-1,1]。
2) 余弦函数：y=cos(x)，T=2π，D(f)=(-∞,+∞)，f(D)=[-1,1]。
3) 正切函数：y=tan(x)，T=π，D(f)={x|x∈R,x≠(2k+1)π/2，k∈Z}，f(D)=(-∞,+∞)。
4) 余切函数：y=cot(x)，T=π，D(f)={x|x∈R,x≠kπ，k∈Z}，f(D)=(-∞,+∞)。
四、极限一、求极限的方法：1、代入法：将x的值代入函数中求得对应的y值。
改写后的文章：高等数学中常用的知识点汇总如下：一、常见函数的定义域总结如下：1) y=kx+b，y=ax^2+bx+c，一般形式的定义域为x∈R。
不定积分的概念与性质
cos 2 x cos 2 x sin 2 x dx sin x cos x dx sin x cos x
(cos x sin x)(cos x sin x) dx sin x cos x
(cos x sin x)dx sin x cos x c
第四章 积分
不定积分的概念与性质
教学内容
原函数的概念 基本积分公式
不定积分的几何意义
不定积分的概念
不定积分的性质 直接积分法
( x ) 2 x
2
2x是x 的导数
2
x 叫做？
2
x 2叫做2 x的一个原函数
(sin x) cos x
sin x是 cos x的一个原函数
F ( x) f ( x)
( x ) 2 x
2
x 是2 x的一个原函数
2
( x c) 2 x
2
2 x的所有原函数为x 2 C
如果F ( x) f ( x), 则F ( x)叫做函数f ( x)的一个原函数 f ( x)的所有原函数为F ( x) C
二、不定积分概念
定义：在区间I内，函数f ( x)的所有原函数叫做 f ( x)在区间I内的不定积分，记作 f ( x)dx
2
六、直接积分法
基本积分公式是计算不定积分的基础。直接 利用积分公式或通过代数变形、不定积分性质化 为基本积分公式类型，从而求出不定积分的方法 叫做直接积分法
【例4】 求下列不定积分
(1)
1 dx x 2 dx 1 x21 c 1 c x2 2 1 x
F ( x)叫做f ( x)的一个原函数
一、原函数的概念
高等数学 上、下册4_1 不定积分的概念与性质
积表达式，x为积分变量.
按 定 义 2 及 上 述 说 明 知 ， f (x)dx F (x) C
点处的切线的斜率都是 f (x)（图
4-1）.
O
x
图 4-1
求函数 f (x)的不定积分，只要求出 f (x)的一个原函
数 F (x)，再加上一个任意常数 C 即可.
例如，
cos
xdx
sin
x
C,
x2dx
1 3
x3
C
例 1 求
dx . 1 x2
解 因为(arcsinx)' 1 ，所以arcsinx 是 1x2
(ki 是常数，ki 0，i 1, 2, n)
例 3 求 (4x22co sx3 x)d x.
解
(4x2
2cos
x
3)dx x
4x2dx2cosxdx
3dx x
4
x2dx2cos
xdx3
1dx x
4 3
x3
2sin
x3ln
x
C
三、基本积分公式
由于积分运算是微分运算的逆运算，所以从基本导
((x x)) ff ((x x )) C C 00((CC 00 是是某某个个常常数数) ）
因 此 ， 当 C 为 任 意 常 数 时 ， 表 达 式 F (x) C 就 可 表 示 为 f (x)的 全 体 原 函 数 .
定 义 2 在 区 间 I 上 ，函 数 f ( x ) 的 全 体 原 函 数 称 为
专升本辅导-第5讲不定积分
实际应用形式是令 u (x)
f[(x ) ](x )d x f[(x ) ] d(x ) f( u )d u F ( u ) C F [(x ) ] C
可以不必把 u 写出来，直接计算．
f(lnx)1dx f(lnx)dlnx x
f(ex)exdxf(ex)dex
f( s in x )c o s x d x f( c o s x ) d s in x f( c o s x ) s in x d x f( c o s x ) d c o s x f(tanx)co s 1 2xd x f(tanx)dtanx f(co tx)sin 1 2xd x f(co tx)dco tx f(a rc sin x )1 1 x 2d x f(a rc sin x )d a rc sin x
，得
C
1 2
则所求的一个原函数是 y 1 ln x 1
2
2
2．基本积分公式和性质的运用
例1
求（1）
x3
x
x
x 1dx
（2）(x x)dx
（3）
1
x
4
x
2
d
x
（4）
cos2x cos x sin
x
dx
（5）Βιβλιοθήκη sin21 xcos2
dx x
（6）
(sin2
xtan2 2
a．代数式恒等变换（如加减某一项、把被积函数分成两 部分、把根式部分写成分数指数形式等）；
b．三角函数恒等变换． （3）直接积分法是最基本的积分方法，是换元积分法和分部 积分法的基础，务必熟练掌握．
专升本辅导-第5讲不定积分
不定积分的计算方法
介绍了不定积分的计算方法，包括直接积分法、换元积分法和分部 积分法等。
不定积分的性质
介绍了不定积分的性质，如线性性质、可加性、可乘性等。
需要注意的问题
理解不定积分的概念
01
不定积分是微积分中的一个重要概念，需要深入理解其定义和
念和性质的理解。
练习不定积分的计算
02 通过大量的练习题，熟练掌握不定积分的计算方法和
技巧。
学习定积分的相关内容
03
在掌握了不定积分的基础之上，进一步学习定积分的
相关内容，如定积分的概念、性质和计算方法等。
谢谢
THANKS
03 不定积分的应用
CHAPTER
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是微积分学中的核心定理，它揭示了不定积分和微分之间的互逆关系。
详细描述
微积分基本定理指出，对于任意可导函数f(x)，其不定积分可以通过不定积分表进行求 解，即∫f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)是f(x)的原函数，C是积分常数。
专升本辅导-第5讲不定积分
目录
CONTENTS
• 不定积分的概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的应用 • 习题及解析 • 总结与回顾
01 不定积分的概念
CHAPTER
不定积分的定义
01
不定积分是微分的逆运算，即 求一个函数的原函数或不定积 分。
02
不定积分的基本形式是 ∫f(x)dx=F(x)+C，其中∫表示不 定积分，f(x)是要求积分的函数， F(x)是f(x)的一个原函数，C是常 数。
不定积分知识点归纳专升本
不定积分知识点归纳专升本不定积分是高等数学中的一个重要概念，它是微积分学的基础之一。
在专升本考试中，不定积分的知识点是必考内容。
以下是对不定积分知识点的归纳总结：不定积分的定义：不定积分是求导数的逆运算，如果一个函数\( f(x) \)的导数是\( F'(x) \)，那么\( F(x) \)被称为\( f(x) \)的一个原函数。
数学上表示为：\[ \int f(x) \, dx = F(x) + C \]其中，\( C \)是积分常数。
基本积分公式：掌握基本的积分公式是解决不定积分问题的关键。
例如：- \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)（\( n \neq -1 \)）- \( \int e^x \, dx = e^x + C \)- \( \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \)（\( a > 0, a\neq 1 \)）- \( \int \sin x \, dx = -\cos x + C \)- \( \int \cos x \, dx = \sin x + C \)- \( \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \)- \( \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C \)换元积分法：换元积分法是一种常用的积分技巧，适用于那些直接积分较难的函数。
它包括两种形式：第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法（代换法）。
- 第一类换元法适用于积分函数中含有根式或可以转化为根式的函数。
- 第二类换元法适用于积分函数中含有复合函数的情况。
分部积分法：分部积分法是另一种解决复杂积分问题的方法，适用于两个函数的乘积形式。
其公式为：\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]有理函数的积分：有理函数是指分子和分母都是多项式的函数。
4_1 不定积分的概念与性质
n推论:Βιβλιοθήκη 若 f ( x)dx ki fi ( x)dx i 1
例8. 求
( x 1)3 x 2 dx
解: 原式
1 1 xdx 3 dx 3 dx 2 dx x x 1 2 1 x 3 x 3 ln | x | C 2 x
dx (9) 2 csc 2 xdx cot x C sin x
(10) (11) (12)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C e x dx e x C e x e x sh x
x
a C (13) a dx ln a
x
2
(14) (15)
sh xdx ch x C ch xdx sh x C
e x e x ch x 2
例6. 求 解: 原式 =
x
4 3
3x
例. 求
解: 原式=
1 3
x 3 dx 4 C 3 1
x3 3x2 3x 1 3 1 dx ( x 3 2 )dx 2 x x x
例9. 求 (e x 3cos x)dx e xdx 3 cos xdx ex 3sin x C 例9 解: 例9
(e x 3cos x)dx e xdx 3 cos xdx ex 3sin x C
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
o
因此所求曲线为 y x 2 1
x
例5. 质点在距地面 处以初速 力, 求它的运动规律.
垂直上抛 , 不计阻