不定积分的性质
不定积分的概念与性质
式
任 意 常 数
例1 求 3x2dx 解: ( x3 ) 3x2 3x2dx x3 C
例2 求 cos xdx
解: (sin x) cos x cos xdx sin x C
例3
求
1dx x
解:
ln x 1
x
1dx x
ln
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) e xdx e x C (13) a xdx a x C
ln a
例5
求
1 x4
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
3. 设 k1 , k2 为非零常数
k1 f1( x) k2 f2( x)dx k1 f1( x)dx k2 f2( x)dx
三、基本积分表1
(1) kdx kx C(k是常数)
(2) xdx x1 C( 1)
第四节 不定积分的概念与性质
一 不定积分的概念 二 不定积分的性质 三 基本积分表
一、不定积分的概念
定义 在区间 I 内，函数f ( x)的带有任意常
数项的原函数，称为 f ( x)在区间I 内
的不定积分，记为 f ( x)dx
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被积 积分 表变 达量
例9 解：
求
2x2 1 dx x2( x2 1)
x22 (xx2211)dx
5.1-2不定积分的性质
x cos2
dx x
解 原式
sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x dx
＝ sec2 x csc2 x dx
tan x cot x c.
例13 求积分 sin2 x dx.
2
解
原式
1 2
(1
cos
x)dx
1 (x sinx) c. 2
不定积分的性质
四、小结与思考题
sin xdx sec2 xdx dx
cos x tan x x c.
cos2x
例11 求积分
dx.
cos x sinx
解 原式＝ cos2 x－sin2 x dx
cos x sinx
＝ cos x sin xdx
sinx cos x c
例12 求积分
1
si n2
不定积分的性质
第五章 不定积分 第1节不定积分的概念和性质
不定积分的性质
一、两个性质
1. [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
证
f
( x)dx
g( x)dx
f ( x)dx
g( x)dx
f (x)
g( x).
等式成立.
（和、差的不定积分=不定积分的和、差）
1 x2
1 x2
求A,B.
解 等式两边对 x 求导, 得
x2 A 1 x2 Ax2 B
1 x2
1 x2 1 x2
( A B) 2Ax2
1 x2
A B 0
2 A
1
A B
1 2
1 2
谢谢
THANK YOU
不定积分的性质
二、应用举例（2）
高等数学第五章 不定积分
例 6 求下列积分：
(1)
x2
1
a2
dx；(2)
3 x dx；(3) 4 x2
1 1 ex
dx；
(4) sin 2
xdx；
(5)
1
1 cos
x
dx；(6)
sin
5x
cos
3xdx．
解 本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被
积函数做适当变形．
1
x
2
1
a
2
dx
1 2a
x
1
a
x
1
(
2
x
1)31
C.
例 4 求 cos2 x sin xdx.
解 设u cos x,得du sin xdx,
cos2 x sin xdx u2du 1 u3 C 1 cos3 x C.
3
3
方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微 分成积分公式的形式．
例4
求 x
dx ． 1 ln2 x
2 sin xdx 3 cos xdx
2cos x 3sin x C (C 为任意常数).
例 9 求下列不定积分:
（１）
x 1 x
1
x
dx；（２）
x2 x2
1dx 1
．
解（1）
x 1 x
1 x
dx
x
x x 1
1 x
dx
x
xdx xdx 1dx
1 dx x
2
f (u )du
回代
F (u ) C
F [ ( x )] C .
这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫 第换一元积分法，也称凑微分法．
不定积分的概念与性质
(sec x ) sec x tan x
( 11 ) csc x cot x d x csc x C (csc x ) csc x cot x
10
( 12 )
( 13 )
dx 1 x
2
arcsin
xC
(arcsin
x )
x )
1 1 x
问题: (1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
,则
结论：(1) 若 F ( x ) 为 f ( x ) 的一个原函数
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数 (C为任意常数).
(2) 若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数,
则 F ( x ) G ( x ) C , （C 为任意常数）
熟记基本积分公式 分项积分
常用恒等变形方法
加项减项 利用三角公式, 代数公式 ,
22
g ( x )] d x
2
f ( x )d x
g ( x )d x
( x )d x k f ( x )d x （ k 是 常 数 ， k 0 )
3 1 x
2
例 求积分 (
解
1 x )d x
2
)d x .
2
(1
3
3 x
2
2 1 x2Βιβλιοθήκη 1 1 xdx 2
1 1 x
2
dx
3 arctan x 2 arcsin x C
12
例 求积分
解
2
x x x
2 e 5 2 dx
ppt-0401--不定积分的概念与性质
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
不定积分与定积分
不定积分与定积分积分是数学分析中重要的概念和工具，在微积分中具有广泛的应用。
其中不定积分和定积分是常见的两种类型。
它们分别具有不同的定义和性质，对于解决实际问题和求解函数的面积等概念都有着重要的作用。
一、不定积分1.1 定义不定积分是函数的原函数的集合。
给定一个连续函数f(x)，其不定积分可以表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，C为常数。
1.2 性质不定积分具有线性性质，即∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
同时，不定积分满足微积分基本定理，即对于函数f(x)的原函数F(x)，有∫f'(x)dx = F(x) + C。
1.3 计算方法求解不定积分的方法有很多，最常用的方法是换元法和分部积分法。
换元法是通过引入新的变量替代原变量，将原函数转换成更容易积分的形式。
分部积分法则是通过对乘积的两个函数进行积分，得到原函数的表达式。
二、定积分2.1 定义定积分是对函数在一个闭区间上的积分。
给定函数f(x)在[a, b]区间上连续，定积分可以表示为∫[a, b]f(x)dx。
定积分表示函数在该区间上的面积或曲线与x轴所围成的面积。
2.2 性质定积分具有线性性质和可加性质，即对于函数f(x)和g(x)，有∫[a, b][f(x) ± g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx ± ∫[a, b]g(x)dx。
同时，定积分也满足中值定理，即在区间[a, b]上存在一个点c，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c)·(b - a)。
2.3 计算方法计算定积分可以使用几何意义的面积计算法、代数意义的换元法和分段函数积分法等。
其中，面积计算法是将曲线区间划分成若干个小矩形，再对这些小矩形的面积求和。
而换元法和分段函数积分法则是通过转换变量或分别对函数在不同区间求积分。
不定积分的概念与性质
运动规律 .
x
解 建立如图所示的坐标系. 设质点的
x x(t)
运动规律为 x = x(t)，设质x 点抛出时刻为
x0 x(0)
t
=
0，
t
=
0
时的位置为
x
x0
,
速x(t度) 为
v0
.
O
于是可得
dx
dt
v(t),
x
|t0
x0
,
d2x dt 2
x0 g ,
O
dx dt
t 0
v0
.
x(0) x
原函数称为 f (x) ( 或 f (x)dx ) 在区间 I 上的不定积分，
记作 f (x)dx . 其中
积分号，
f (x)
f (x)dx 被积表达式， x
被积函数， 积分变量.
若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的原函数，则
f (x)dx F(x) C .
第一节 不定积分的概念与性质
f (x)dx F(x) C ,
称 F(x) + C 的图形为 f (x) 的积分曲线. 积分曲线是 一簇平行曲线，它们在横坐标相同的点的切线平行.
例如，y = cos x 的积分曲线如下：
第一节 不定积分的概念与性质
y
O
x0
x
y = cos x 的积分曲线
第一节 不定积分的概念与性质
(2) 积分运算与微分运算是互逆运算
第一节 不定积分的概
例3 求 x(x3 7)dx .
例6 求求 ccooss22 22xxddxx ..
解
x(x3
7
1
第7)一dx节不定(x积2分的7解概x 2念)d与x性co质s2
不定积分的基本性质
不定积分的基本性质在微积分中，不定积分是求解函数的原函数的过程。
它在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
不定积分具有一些基本性质，本文将对这些性质进行探讨。
1. 可加性：若函数f(x)和g(x)都在区间[a, b]上可积，那么对于常数c，有∫(f(x)+g(x))dx=∫(f(x))dx+∫(g(x))dx和∫(c*f(x))dx=c∫(f(x))dx。
这一性质使得我们能够方便地对复杂函数进行分解和计算。
2. 线性性质：对于可积函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有∫(a*f(x)+b*g(x))dx=a∫(f(x))dx+b∫(g(x))dx。
这个性质使得我们能够将积分运算与常数的乘法和加法进行简化。
3. 等式：在区间[a, b]上，如果函数f(x)和g(x)除了有一个常数差别外是相等的，即f(x)=g(x)+C，其中C为常数，那么∫(f(x))dx=∫(g(x))dx+C。
这个性质使得我们能够在不知道函数的具体形式时，通过找到它的一个原函数来求解不定积分。
4. 替代法则：替代法则，也被称为链规则，是求解不定积分中常用的一种方法。
如果u=g(x)是函数f(x)的可导函数，那么∫(f(g(x))*g'(x))dx=∫(f(u))du。
这个法则可以帮助我们将复杂函数的不定积分转化为简单函数的不定积分。
5. 分部积分法则：分部积分法则是求解不定积分中另一种常用的方法。
如果u=u(x)和v=v(x)都是可导函数，那么∫(u*v')dx=u*v-∫(u'*v)dx。
这个法则可以将一个积分问题转化为另一个积分问题，通过反复应用该法则，可以逐步减小被积函数的难度。
6. 基本初等函数的不定积分：对于一些基本初等函数，我们知道它们的不定积分形式。
如常数函数的不定积分为Cx，幂函数的不定积分为x^(n+1)/(n+1)+C，其中n不等于-1，三角函数、指数函数、对数函数等的不定积分也都有相应的形式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不定积分的性质
不定积分是指在一定的定义域范围内，求解定义域内函数与常量之和的运算，称为不
定积分。
其形式为∫abf(x)dx，其中f(x)是定义域[a,b]内定义的一个连续函数，则称为
不定积分。
（一）不定积分的定义域在完成时会发生变化：
求不定积分就是求解一段区间上的函数加上一个常量的和。
也就是说，每次求不定积
分的时候，函数的定义域会发生变化，从而使积分的值也会随着变化。
不定积分的定义域会发生变化，由此引起积分限也会产生变化，比如，积分限变成以上，由此带来的积分值也会有所变化。
（三）不定积分的积分式有泰勒级数的性质：
由定义可知不定积分的求解结果具有和某个函数的泰勒展开式相似的性质，由此可知
不定积分的求解过程可以当成是求某一函数泰勒级数展开式的过程。
（四）不定积分存在正则函数：
正则函数是指在可分离的每一个区间上，它的积分值都是不变的。
而不定积分也可以
表示为一个正则函数，即一分可分离的每一个区间上，其积分值都是不变的。
（五）不定积分有极限值：
不定积分的极限值是指在某一定域内的无穷大函数的最大值，这有助于我们在求解不
定积分的时候能够给出一个合理的结果。
不定积分可以通过变换来改变积分式，这有助于我们求出一些不容易求出的积分值，
比如要求b>a时的积分值，可以通过将变量x变成−x的形式来改变积分式，从而求出结果。
总之，不定积分具有定义域、积分限、正则函数及极限值、变换性等特性，是很重要
的一类积分的概念。