1 不定积分定义
合集下载
不定积分知识点
不定积分知识点
1. 一般积分：用数学中的积分运算来解决求某一函数在某一区间上的积分值的问题，是微积分中最基本的运算。
2. 不定积分：也称为普通积分，指的是在没有给定积分上限下求某一函数的积分值的问题，是一种比较复杂的积分运算。
3. 基本定理：不定积分的积分值等于原函数值减去原函数的积分值。
4. 替代变量法：将原函数中的变量替换成新的变量，以便更容易求解不定积分。
5. 公式法：对于一些常见的不定积分，可以直接使用相应的公式求解。
6. 分部积分法：将一个不定积分分成多个定积分，然后分别求解，最后把这些定积分的结果加起来即可得到不定积分的结果。
高数—不定积分 讲解和例题-PPT (1)
课外作业
习 4 — 1（A） （ ） 1（双） （ 习 4 — 1（B） （ ） 1（5，6，7，11）， （ ， ， ， ）， ），2
§2. 换元积分法
y = sin2x 是复合函数， 是复合函数，
∫ sin2xd x
1. 凑常数
如何积分？ 如何积分？
一、第一类换元法 ( 凑微分法 )
(d2x = 2dx) 1 例1： sin2xd x = ∫ sin2x d 2 x (2x = u) ∫ 2 1 1 1 = ∫ sinudu = − cos u+ C = − cos 2x + C. + 2 2 2
2
= x − x + arctan x + C.
1 3 3
从理论上来讲， 从理论上来讲，只需把积分结果 求导，就可检验积分是否正确。 求导，就可检验积分是否正确。但由 于函数变形及原函数间可相差一个常 数等因素，一般不检验。 数等因素，一般不检验。 所以注重积分过程的正确性是至 关重要的。 关重要的。 即每一步运算都要看能否还原到 上一步。 上一步。
dx 例5： 2 ∫ x − a2 (a > 0) 1 1 1 = ∫ − dx 2a x − a x + a 1 d( x − a) d( x + a) = ∫ −∫ 2a x −a x+a 1 = [ln x − a − ln x + a ] + C 2a 1 x −a = ln + C. 2a x + a dx 1 a+ x = ln + C. (a > 0) 同理： 同理： 2 2 ∫ a − x 2a a − x
例： 求通过点 ( 1, 2 )，且其上任一点处的 ， 切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线 倍的一条曲线。 切线斜率等于该点横坐标 倍的一条曲线。 解：设所求曲线方程为 y = f (x) . 由题意，曲线上点(x, 的切线斜率 由题意，曲线上点 y)的切线斜率 dy = 6x, dx 2 ∴y = ∫ 6xdx = 3x + C , 为一簇积分曲线。 为一簇积分曲线。
不定积分定义
dx
ax
ln a
C.
( 1).
(5) ex dx ex C.
(6) sin x dx cos x C
第15页/共29页
(7) cos x dx sin x C.
(8)
dx
sin2 x
csc2 x
dx
cot x C.
(9)
dx cos2 x
sec2 x
dx
tan
x
C.
(10) sec xtan x dx sec x C.
解 设所求的曲线方程为 y f ( x),依题意可知
y' x，
所以
y
x
dx
1 2
x
2
C
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1，
因此所求曲线的方程为
x2 y 1.
2
第14页/共29页
二、基本积分公式
(1) k dx kx C
(2)
x
dx
x 1
1
C
(3)
dx x
ln
|
x
|
C
.
(4)
a
x
第10页/共29页
例6 验证等式 sec xdx ln sec x tan x C成立.
解 依据不定积分的定义， 只要验证等式右端函数 的导数
是左端的被积函数即可 .
当（sec x tan x） 0时，由于
[ln(secx tan x)]
1
(sec x tan x sec2 x)
两个原函数只差一个常数项. 设 F(x) f (x), G(x) f (x)
G(x) F(x) G(x) F(x) 0
G(x) F(x) C, 即G(x) F(x) C
不定积分的概念(1)
例例66
dx x3 x
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 1
C
3x
1 3
C
3
C .
3x
3
x34x3434113411CC3x3x1313CC 33x33xCC. .
堂上练习:
x
(xx(x2x(2x52)5d)5xd)xdx(x(x52(52x552 x5x125)12xd)12xd)xdx
积分曲线，而f(x)正是积分曲线的 斜率.
2x的积分曲线
例3
设通过点(1, 3), 且其切线斜率为 2X的曲线方程.
解： 设所求曲线方程为y f x,由题意知 f x 2x,即f x是2x的一个原函数,而且
2xdx x2 C
即2x的积分曲线族为y x2 C， 将x 1, y 3 代入， 得C 2， 故所求的曲线方程为y x2 2
第四章 不定积分
4.1 不定积分的概念与性质
教学目标:
1、理解原函数和不定积分的概念
2、熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式
教学重点：
综合运用不定积分的性质和基本积分公式求 不定积分。
§4.1 不定积分的概念
一、不定积分的概念 二、不定积分的性质 三、直接积分法
前言
早在两千多年前，数学家们就已经开始注意到累 积计算的重要性，随着生产的发展，这类问题不断有 人提出，如求某块平面图形的面积，某条定曲线的长 度等等． 其中某些问题甚至得到了解决． 例如，阿 基米得(Archimedes)、开普勒(Kepler)、卡瓦列里 (Cavaliere)都在具体问题中得到了后来用积分计算 得到的相同结果． 费马(Fermat)与巴洛(Barrow)已 初步意识到某些问题与微分之间存在互逆关系． 但 当时并没有一般地引入积分概念，他们的方法也不具 有普遍意义． 直到十七世纪，牛顿和莱布尼兹各自 独立地看到了积分问题是微分问题的逆问题，并从微 分逆运算的角度提了简洁的一般解决办法．
不定积分与定积分的定义
不定积分与定积分的定义
(1)
定积分和不定积分是数学中一类常见的概念，它们都可以用来
估算某个面积以及积分。
不定积分又称为抽象积分，是用来估算某个
积分在某个空间内某个函数的值的方法，而定积分就是在一定的函数
和某个限定区间求这个函数的定积分的过程。
不定积分是用来估算函数在某段时间内所取值的积分，它可以用
来估算面积或者某函数在一定空间内的值。
它通常以d比如dx来表示，这里的d意味着对函数求偏导数，而dx表示求偏导时要将函数中的某
变量恒定，通过求偏导数可以估计函数在这一空间内的积分值。
定积分则是在某个限定区间内求函数的一个积分，它的定义是把
这一段区间分解成多个小的区间，积分的值是将每一小段的值加起来
的总和。
它的计算方法有很多种，比如梯形法、辛普森法、龙贝格法等，不同的计算方法都有适合的应用场景。
总的来说，定积分和不定积分都是一类比较常见的概念，它们都
可以用来估算某函数在某一空间内所取值的积分，不定积分用来估计
某函数在某时间段内平均取什么值，而定积分则是在某区间求这个函
数的定积分值，可以综合使用来估算一个完整的函数面积，从而求出
有意义的面积概念。
不定积分概念
ln(x)
C.
1dx x
ln
|
x
|
C
.
二、 基本积分表
实例
x 1 x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基本积分表
(1) kdx kx C (k是常数);
(2) x dx x1 C ( 1);
例 求 x5dx.
解
x6 x5 ,
6
x5dx x6 C . 6
例 求 cos xdx.
解
sin x cos x
cos xdx sin x C.
例求
1dx. x
解 当x 0时，
ln x 1 ,
x
1dx x
ln
x
C.
当x 0时， ln(x) 1 (1) 1
x
x
1dx x
x
原函数存在定理：如果函数 f ( x)在区间I上连续,
则存在可导函数F( x), 使 F( x) f ( x), x I .
简言之：连续函数一定有原函数.
例如 sin x cos x (sin x C) cos x
(sin x＋1) cos x （C 为任意常数） 原函数非唯一：
若 F(x) f (x), 则对任一常数 C,有(F(x) C) f (x), 即 F(x) C 都是 f (x) 的原函数.
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
例 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
(完整版)不定积分
y=F(x)沿y轴上下平移而得到的一族积分曲线。
例3 求经过点(1,3)，且其切线的斜率为2x的曲线方程。 解：由曲线切线斜率为2x且不定积分定义可知
2xdx x2 C
得曲线簇 y=x2+C, 将x=1,y=3代入，得 C=2 所以 y=x2+2
三、不定积分的基本公式和运算法则
1、不定积分的基本公式
(sin x) cos x
sin x 是cos x 的一个原函数.
(sin x 1) cos x
sin x 1 是cos x 的一个原函数.
(sin x C) ?
定理：若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原 函数都可以表示成F(x)+C（C为任意常数）。
３.函数f(x)的任意两个原函数之间有什么关系？ 定理 函数f(x)的任意两个原函数的差是一个常数。
当x<0时， (ln | x |)' [ln( x)]' ( 1)(x)' 1
x
x
所以
1 x
dx
ln
|
x
|
C
(x
0)
关于不定积分，还有如下等式成立：
1. [ f ( x)dx]' f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x)dx 2. f '(x)dx f (x) C 或 df (x) f (x) C
解： (1) (sinx)'= cos x cos xdx sin x C
(2)
1
x4
x3
4
(3)
ex ex
x3dx
1 4
x4
C
e x e x C
例2 验证等式：
cos(2
例3 求经过点(1,3)，且其切线的斜率为2x的曲线方程。 解：由曲线切线斜率为2x且不定积分定义可知
2xdx x2 C
得曲线簇 y=x2+C, 将x=1,y=3代入，得 C=2 所以 y=x2+2
三、不定积分的基本公式和运算法则
1、不定积分的基本公式
(sin x) cos x
sin x 是cos x 的一个原函数.
(sin x 1) cos x
sin x 1 是cos x 的一个原函数.
(sin x C) ?
定理：若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原 函数都可以表示成F(x)+C（C为任意常数）。
３.函数f(x)的任意两个原函数之间有什么关系？ 定理 函数f(x)的任意两个原函数的差是一个常数。
当x<0时， (ln | x |)' [ln( x)]' ( 1)(x)' 1
x
x
所以
1 x
dx
ln
|
x
|
C
(x
0)
关于不定积分，还有如下等式成立：
1. [ f ( x)dx]' f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x)dx 2. f '(x)dx f (x) C 或 df (x) f (x) C
解： (1) (sinx)'= cos x cos xdx sin x C
(2)
1
x4
x3
4
(3)
ex ex
x3dx
1 4
x4
C
e x e x C
例2 验证等式：
cos(2
不定积分
x 1 dx 2 ax b b ln ax b C 18 ax b a 1 令ax b t , 则x t b , dt adx a 1 dx dt a 1 t b 1 1 t b 1 1 b a 原式= dt 2 dt 2 1dt 2 dt t a a t a a t t b 1 t b ax b b 2 2 dt 2 2 ln t 2 ln ax b 2 a a t a a a a 1 2 ax b b ln ax b a
积分方法常见的技巧
我们用我们新学的办法来推出一些新公式： 7 tan xdx ln cos x C
sin x 1 1 tan xdx cos x dx cos x d cos x cos x d cos x 令 cos x u，则 1 原式= du ln u C ln cos x C u
我们分部份来计算，由公式（17），得到
1 a2 1 2 ax b dx = 2a3 ax b C
1 2abx 2b ax 2b ax b b 2b 2b2 1 dx 2 dx 3 dax 2 dx 3 d ax b 2 a ax b a ax b a ax a a ax b 2bx 2b2 2 3 ln ax b C a a
t g 1 x
这种方法我们称为第二类换元法。 注意：上面公式有一定的成立条件的： 1.f ( g (t )) g '(t ) 有原函数。 2.x g (t ) 有反函数。
3.分部积分法 这个方法既是最好理解的，又是最难运用的：
uv 'dx udv vu vdu
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2
x4
5 3
x3
2x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例12(1) 求 x2( x3 3)dx
解
x2( x3 3)dx
(
x5
3x2
)dx
1 6
x6
x3
C
(2)
求
( 1
3 x2
2 )dx. 1 x2
数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成
一族函数,反映在几何上则是一族曲线,
这族曲线称为f (x)的积分曲线族.
O
x
y F(x) C
y F(x)
x
在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因 此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线 彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f (x))处的 切线斜率.
(1) [ f (x)dx]' f (x) 或 d f (x)dx f (x)dx，
(2) F'(x)dx F (x) C 或 dF (x) F (x) C，
先积后微 形式不变
先微后积 差一常数
例6 验证等式 sec xdx ln sec x tan x C成立.
解 依据不定积分的定义， 只要验证等式右端函数 的导数
性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数
和，即 (1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
证 只要证明上式右端的导数等于左端的被积函数 即可.由导数运算法则以及不定积分与微分的关 系，有
[ f (x)dx g(x)dx]' [ f (x)dx]' [ g(x)dx]'
sec2 x
dx
tan
x
C.
(10) sec xtan x dx sec x C.
(11) csc x cot x dx csc x C.
(12)
1 dx arcsin x C.
1 x2
(13)
1
1 x2
dx
arctan
x
C.
x dx x1 C
1
例8 求 x2 xdx
解
(2)
x dx
x 1
1
C
(3)
dx x
ln
|
x
|
C .
(4)
a
x
dx
ax
ln a
C.
( 1).
(5) ex dx ex C.
(6) sin x dx cos x C
(7) cos x dx sin x C.
(8)
dx
sin2 x
csc2 x
dx
cot x C.
(9)
dx cos2 x
F(x) f (x)
(1)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是
唯一的,且有无穷多个
若 F(x) f (x), 则[F(x) C] f (x)
即若 F(x) 是 f (x)的原函数，则 F(x) C 亦是 .
(2) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意
两个原函数只差一个常数项. 设 F(x) f (x), G(x) f (x)
= f (x) g(x)，
这说明 f (x)dx 是g(函x)数dx
所以欲证的等式成立.
的f不(x定) 积g(分x)，
例11 求 (2x3 5x2 4x 3)dx.
解 (2x3 5 x2 4x 3)dx 2x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
这不是求导运算，而是它的
f (逆x)的运原算函—数积。分运算。
同样，在下式里
F(x) f (x) (3)'
通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下 先给出原函数与不定积分的有关的定义。
一、原函数与不定积分
定义 对于定义在区间I上的函数f ( x)若对 x I ,
有 F( x) f ( x)
那么, 如果已知一个函数的导数, 要求原来的函数, 这类问题, 是微分法的逆问题. 这就产生了积分学.
提出这样的逆问题，是因为它存在于许多实际的问 题中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已 知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足的某一规 律），求曲线方程等等。
要解决这些实际问题，自然会想到微分运算的逆运 算，这就是产生积分运算的原因。
a3 b (3)
若也F熟(x悉)已导知数，运f (算x)：未知，由F(x)
fx(2x),则2x称（3）('1式)' 为求导运算，
称f (x)为F(x)的导数。若 f (x)已 知同，F样(提x)未出知问，题由：f (x) F(x),则 称（?3）'式2x为积分(2运)' 算，称F (x)为
练习 设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程.
解 设所求的曲线方程为 y f ( x),依题意可知
y' x，
所以
y
x
dx
1 2
x2
C
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1，
因此所求曲线的方程为
x2 y 1.
2
二、基本积分公式
(1) k dx kx C
性质1可以推广到有限多个函数的情形，即
[ f1(x) f2 (x) fn (x)]dx
f1(x)dx f2 (x)dx fn (x)dx.
性质2 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分
号的前面.
(2) kf ( x)dx k f ( x)dx. (常数 k 0)
注意：不定积分没有积和商的运算法则。
x3 x arctan x C.
3
例14
求
1 x 2 (1
2x2 x2
dx )
.
解
1 x2 (1
2x2 x2
dx )
1 x2 x2
x2 (1
x2
dx )
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 arctan x C
x
练习 求
1 x x2
x(1
x2
dx. )
解
1 x x2
x(1
x2
dx )
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x2
1 x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln | x | C
例15 求 cot2 xdx 解 cot2 xdx
(csc2 x 1)dx
cot x x C
练习：求 tan2 xdx
例16
例7 已知某曲线过点 (1,2), 其上点(x, y)处切线
的斜率为x的两倍，求其方程
解 设曲线方程 y f (x)
y
则由题意知 f (x) 2x
f (x) 2xdx x2 C
又曲线过点(1,2),
2 1 C, 即C 1 故所求曲线为 y x2 1.
0
x
不定积分的几何意义
函数f (x)的原函数图形称为f (x)的积 y 分曲线,不定积分表示的不是一个原函
1
4 1
x3
C
1
3x 3
C
4 3
1
(2) 2x exdx 2x e x C ln 2 (2e)x dx (2e)x C ln(2e)
练习：求
2x ex dx
三、不定积分的运算性质
性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数
和，即 (1) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx;
G(x) F(x) G(x) F(x) 0
G(x) F(x) C, 即G(x) F(x) C
结论 : 若 F(x) f (x),
则 f (x)的 原函数都可用 F(x) C 表示.
定义: f ( x)dx表示函数f ( x)的原函数的全体,
则称 f ( x)dx 为 f ( x)的不定积分
是左端的被积函数即可 .
当（sec x tan x） 0时，由于
[ln(secx tan x)]
1
(sec x tan x sec2 x)
ln(sec x t成立.
当（sec x tan x） 0时，类似地可以验证已给等式成立.
综上所述，已给等式成立.
则称 F( x) 是 f ( x) 在 区间I 上的一个原函数
例1 sin x cos x
sin x 是 cos x 的一个原函数 (, )
ln x 1
ln x 是
1
x
的一个原函数 (0, )
x
例如 在(,上) 是sin x 的c原os函x 数 而 sin x 1,ssiin x 21,sin x 3 也是它的原函数
x2
xdx
5
x 2dx
51
x2 5 1 C
2
x
7 2
7
C.
例9
求
1 x3
dx x
2
解
1 x3
dx x
7
x 2dx
71
x2 71
C
2 5
5
x2
C.
2
例10 求（1） 1 dx, （2）2x exdx
解
x3 x
a xdx a x C ln a
(1)
1 dx x3 x
4
x 3dx
解
1 2
求 sin2
sin2 x dx 2
(1 cos