高等数学 5.1定积分的概念与性质
高等数学自考5.1定积分的概念与性质
a b
b
b
b
a
说明： 可积性是显然的. 在区间 说明： | f ( x ) |在区间[a , b]上的可积性是显然的
23 上一页 下一页
性质6 性质6
设 M 及 m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b]上的最大值及最小值， 上的最大值及最小值，
性质3 性质3
b
假设a < c < b
c b
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
例 若 a < b < c,
f ( x )dx .
补充： 的相对位置如何, 上式总成立. 补充：不论 a , b, c 的相对位置如何 上式总成立
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫b f ( x )dx
§1
定积分的概念与性质
一、定积分概念的引入 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质 五、小结
1 上一页 下一页
一、定积分概念的引入
实例1 实例1 （求曲边梯形的面积）
y
y = f (x)
曲边梯形由连续曲线 y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
n
2
1 1 1 = 1 + 2 + , 6 n n
λ →0 ⇒n→∞
2
∫0 x
1
2
dx = lim ∑ ξ i ∆xi
λ → 0 i =1
n
1 1 1 1 = lim 1 + 2 + = . n→ ∞ 6 n n 3
高等数学-定积分的概念与性质
= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数，()称为被积表达式，称为积分变量,
[, ]称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．
15
02 定积分的定义
注（1）定积分)( 是一个数值，它只与被积函数()
和积分区间[, ]有关，而与积分变量的符号无关，即
(2)近似（“以直代曲”）
在区间 [−1 , ] 上任取一点 ，以 ( ) 为高，
y
y=()
以 为底，作小矩形．小矩形的面积为
( ) ，用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积 ，即
≈ ( ) （ = 1, 2, ⋯ , ）．
)(
=
)(
=
)( ．
（2）定积分存在，与区间的分法和每个小区间内 的取法无关.
Hale Waihona Puke （3）按照定积分的定义，记号)( 中的, 应满足关系
< ，为了研究的方便，我们补充规定：
① 当 =
② 当 >
时， = )( = )( 0；
在区间 [1,2] 内， 0 ≤ < 2 < 1 ，
则( )3 < .由性质5.5的推论1，得
2
1
>
2
1 ( )3 ．
28
极限，得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点 的任意
取法，上述极限都存在，则称函数()在区间[, ]上可积，
高等数学 第五章 定积分的概念及其性质
() a,( ) b, a (t) b,t [, ]
则有定积分换元公式：
b a f (x)dx
例1：计算定积分
(1)
4
cos(2
x
)dx
0
4
1
(2)
1 x2 dx
0
定积分的计算
解：(1)
4
cos(2
x
)dx
0
4
1
4
cos(2
x
)d
(2
x
)
20
4
4
令 t 2x ，则当 x 时，t
解：(2)、 y 1 x2
y2 x2 1( y 0)
如图
y
1S
o
1x
（2）
定积分的概念及性质 4、定积分的计算法则
法则1 常数因子可以提到积分号外.即
法则2 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即
法则3 (积分区间的可加性) 对任意的点c,若函数在区间
上均可积，则有
定积分的概念及性质
4
4
4
则当 x 0时，t ，有：
原式 1 2
4
4
cos
tdt
4
1 sin t 4 2 4
2 2
(2) 1 1 x2 dx 0
令 x sin t ，则当 x 1 时，t
2
则当 x 0时，t 0 ，有：
原式 2 1 sin2 td sin t 0
2
cos2
tdt
例2
求
1
0 (
x3
x
1)dx
．
解
1
(
x
3
x
1)dx
高等数学5.1 定积分概念
1
1 0
x 2 dx lim
0
i 1
n
1 f(x i )x i lim 1 (1+1 )(2+1 ) ． n n n 3 6
利用几何意义求定积分：
求积分
0 (1 - x)dx
1
．
解 以y=1-x为曲边，以区间[0, 1]为底的曲边梯形为一直角 三角形， 所以
O
a x 1 x1 x 2 x2n i 1xi-1 Nhomakorabeaxi xi
xn-1 b x
•曲边梯形的面积近似为：A f (x i )xi ．
•记 max{x1, x2， · ·x n }．则 ·,
•曲边梯形的面积的精确值为：A= lim f (x i )xi ． 0
i 1 n
(2)和 f (x i )xi 通常称为f (x)的积分和．
i 1 n
b
b
b
定积分的可积性问题：
如果f(x)在[a, b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a, b]上可 积． 定理1 设f (x)在区间[a，b]上连续，则f (x) 在[a，b]上可积． 定理2 设f (x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则 f (x) 在[a，b]上可积．
把区间[a，b]分成n个小区间
[x0，x1]，[x1，x2]，· ，[xn-1，xn] ， · · 各小段区间的长依次为
x1x1-x0，x2x2-x1，· ，xn xn -xn-1． · ·
任取xi [xi-1，xi] ，作函数值 f (xi)与小区间长度xi的乘积 f (xi) xi (i1，2，· ，n) ， · · 并作出和 S=
高数 第五单元 定积分
第五单元 定积分5-1 定积分概念，性质和微积分基本公式[教学基本要求]高等数学 1．理解定积分的概念和几何意义，了解定积分的性质和积分中值定理.2．理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理.3．掌握牛顿-莱布尼兹公式.微积分 1.了解定积分的概念和几何性质；了解定积分的基本性质和积分中值定理. 2.了解变上限定积分；会求变上限定积分的导数； 3.熟练运用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分.[知识要点]1. 定积分的意义中要点可概括为以下五点：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上有意义；（2）把区间[,]a b 任意分割成n 个小区间；（3）作乘积()i i f x ξ⋅∆,i ξ1[,]i i x x -∈且取和1()nn iii S f x ξ==∆∑；（4）求和式nS ，当0λ→时的极限，这个极限不仅存在且与区间[,]a b 的分法和点i ξ的取法无关；（5）这个极限值就称为函数()f x 在[,]a b 上的定积分。
由此可以看出，第一点是条件；第二、三、四是作法，第五点是结论。
再概括就是：“分割取近似，求和取极限”。
提示注意：①定义中所说的极限存在是指对于区间的任意分法，i ξ的任意取法，只要当0λ→时，则积分和∑=∆ni i i x f 1)(ξ都趋于一个共同的数值。
因此有:② 定积分⎰badx x f )(是一个数，这个数仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记 法无关，即⎰ba dx x f )(=⎰b adt t f )(=⎰b adu u f )(. ③a b =时，⎰b adx x f )(=⎰aadx x f )(=0. ④ 当a b >时，⎰badx x f )(()abf x dx =-⎰如果函数()f x 在区间[,]a b 上可积，称()f x 在[,]a b 上的定积分存在。
2．可积函数类：下列函数均可积：①()f x 在[,]a b 上连续；②()f x 在[,]a b 上单调有界；③()f x 在[,]a b 上有界且至多有有限个第一类间断点3. 定积分的几何意义： 在[,]a b 上，若()0f x ≥，则()baf x dx ⎰在几何上表示由曲线()y f x =，两条直线,x a x b ==与x 轴所围成的曲边梯形的面积.一般情形下⎰badx x f )(的几何意义为：这是介于x 轴，函数()f x 的图形及两条直线x a =，x b =之间各部分面积的代数和（规定对x 轴下方图形的面积赋予负号）.4. 定积分的性质以下均设()f x ，()g x 在[,]a b 上可积① (线性性质)定积分对被积函数具有线性质性，即⎰±badx x g x f )]()([=⎰badx x f )(±⎰badx x f )(，⎰b adx x kf )(=⎰badx x f k )(（k 为常数）②(定积分对积分区间的可加性)设a b c <<，如果将区间[,]a b 分为[,]a c ， [,]c b 则：⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(③如果()f x ()g x ≤（[,]x a b ∀∈）则⎰badx x f )(⎰≤badx x g )(特别地注意：当()0f x ≥，（[,]x ab ∀∈），则⎰≥bax f 0)(；若()f x 在[,]a b 上可积，则|()|f x 在[,]a b 上也可积,且⎰badx x f )(⎰≤badx x f )(④(积分估计)，设,M m 分别是函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰⑤若()f x 与()g x 在[,]a b 上仅在有限个点处的值不相等，则有⎰badx x f )( =⎰badx x g )(.⑥（积分第一中值定理）设()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少有一个数ξ，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰成立.提示注意：通常称dx x f a b ba⎰-)(1为函数()f x 在[,]a b 上的平均值.5. 变上限定积分 定积分⎰xadt t f )(是上限变量x 的函数，记作()()xax f t dt Φ=⎰，称为变上限定积分.注：①如果()f x 在[,]a b 上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上连续.②如果()f x 在[,]a b 上连续，则()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上可导，且有[])()(/x f x x =Φ.③如果函数()f x 在[,]a b 上连续，()x ϕ可微，则()()[()]()x a d f t dt f x x dxϕϕϕ'=⎰. ④如果函数()f x 在[,]a b 上连续，()x ϕ，)(x ψ均可微，则[]()//()()()()[()]()x x d f t dt f x x f x x dx ψϕψψϕϕ=-⎰ ①②两式合起来就是通常所说的原函数存在定理,它揭示了“连续函数必有原函数”这一基本结论.6．牛顿——莱布尼兹公式若函数()f x 在[,]a b 上连续，()F x 为()f x 的一个原函数，即()()F x f x '=，则)()()()(a F b F x F dx x f ba ba-==⎰，通常把这一公式又叫做微积分基本公式。
高等数学定积分的概念及性质课件
2.可积的充分条件：
定理1.函数f (x)在[a,b]上连续，则f (x)在[a,b]可积。 定理2.函数f (x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点， 则f (x)在[a,b]可积。
(1) f (x) 0,
b
a f (x)dx A
定积分等于曲边梯形的面积
(2) f (x) 0,
n
A Ai i 1
2.取近似
y
f (i )
y f (x)
Ai
o
x0 x1 x2
x xi1 i
x
x x xn2 n1 n
2.取近似
任取i xi1, xi , Ai f (i )xi
n
A f (i )xi
i =1
3.取极限
y
分割越来越细（也就是插入的分点越来越多）
确定的常数I，则称f (x)在[a,b]上可积，称此极限I为函数
f (x)在区间[a,b]上的定积分, 记作 b f (x)dx，即 a
b
n
a
f (x)dx lim 0 i1
f (i )xi
积分上限 a,b称为积分区间
积分号
b
n
a
f (x)dx lim 0 i1
b
a f (x)dx A
定积分等于曲边梯形面积的相反数
(3) f (x)在区间a,b变号时,
b
a f (x)dx A1 A2 +A3 A4 A5
定积分等于各部分面积的代数和
例1 计算 b f (x)dx a
解：此曲边梯形是高为1,
底边长为b a的矩形
f (x) 0
b
a dx b a
定积分的定义和性质
i 1
i 1
i 1
n
i 1
i n
2
1 n
1 n3
n
i 1
i
2
1 n3
n(n
1)(2n 6
1)
1 6
1
1 n
2
1 n
,
0 n ，
1 x2dx lim n
0
0 i1
i
2xi
lim
证：
b
kf ( x)dx
a
n
n
lim kf
λ0 i1
(i )xi
limk
λ0 i1
f
(i )xi
n
k
lim
λ0 i1
f
(i
)xi
b
k f ( x)dx. a
性质2
b[ a
f
(x)
g( x)]dx
b
a
f
( x)dx
b
a
g(
x
)dx
证:
a
f (x)dx 2
a
f (x)dx
a
0
例1 利用定积分的几何意义计算0R R2 x2dx。
解：根据定积分的几何意义知， 此定积分是以R为
半径的圆面积的四分之一
故
Y
R 0
R2 x2dx R2。 4
O
y R2 x2
R
X
2
例2 计算 sin xdx
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
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b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
证: 当 a c b时,
a
因在
上可积 ,
cb
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是
f ( i )xi f ( i )xi f ( i )xi
[a, b]
[a, c]
[c, b]
令 0
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
性质6（估值定理） 设M 及m 分别是函数
f ( x)在区间[a, b]上的最大值及最小值，
则
m(b
a)
b
a
f
( x)dx
M (b
a).
证
b
b
b
m f ( x) M , a mdx a f ( x)dx a Mdx,
b
m(b a) a f ( x)dx M(b a).
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
注 对定义的几点说明 (1) 如果 f ( x)在[a,b]上可积， 则积分值与区间
[a,b] 的分法无关, 也与点 i 的取法无关 .
n
(2) 当和 f (i )xi 的极限存在时,其极限值 I 仅与 i 1
被积函数 f ( x) 和积分区间[a,b]有关, 而与积分
变量的记法无关,
即:
得
Ai f (i )xi (xi xi xi1 y
3) 求和
n
n
A Ai f (i )xi
i 1
i 1
O a x1
i
xi1 xi
4) 取极限
n
令
则曲边梯形面积 A
lim
0
i 1
f ( i )xi
求极限的过程是：
y
f (x)
而不是：
(因为
不能保证
每一个区间都趋于零)
Oa
x1 n b x
y
y x2
取
则
f
(i )xi
i2xi
i2 n3
o
i 1x
n
n
i1
f
(i
)xi
1 n3
n
i2
i1
1 n3
1 6
n(n
1)(2n
1)
1 (1 1)(2 1)
1 0
x2
6 dx
n lim
0
n
i 1
n i 2 xi
y
y x2
lim
n
1
o
i 1x
3
n
例2. 用定积分表示下列极限（补充）
得
si v( i )ti (i 1, 2, ,n)
3) 求和.
4) 取极限.
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)
ti
曲边梯形的面积 变速直线运动的距离
n
A
lim
0
i 1
f (i )xi
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)
ti
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“分割，近似代替，求和 , 取极限. ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
并作和S f (i )xi ，记 max{ x1 , x2 , , xn }，
i 1
如果不论对[a, b] 怎样的分法，也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点i 怎样的取法，只要当 0时，和S 总趋于
确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在即区间ab[af ,(bx)]上dx的定li积m0分in，1 记f (为i )
用任意一组分点 T1 t0 t1 t2 ti1 ti tn1 tn T2
将时间区间 [T1 ,T2 ] 分成 n个小区间, 第 i 个小区间的 长度为: ti ti ti1 , (i 1,2,L , n), 第i 个小区间上
物体经过的路程为
n
则 s si .
i 1
2)近似代替：
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx.
性质4
b
a
1
dx
b
a
dx
ba
性质5（非负性）如果在区间[a,b]上 f ( x) 0，
则
b
a
f
(
x
)dx
0
.
(a b)
证
f ( x) 0,
f
n
(
i
)
0,
(i 1,2, ,n)
xi 0, f (i )xi 0,
lim0min1axf{(xi )1, xxi 2i,1ab
,xn } f ( x)dx
0.
推论1. 若在 [a , b] 上
则
(a b)
(比较性质)
书上习题5-1第12题（2）结论：设f (x)在a,b上连续，
若在a,b上, f (x) 0, f (x) ≡
0 ,则 b f (x) 0 a
例3 根据定积分的性质，说明下列积分哪一个值较大：
（1）1 x2dx与
如果函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使
b
a
f
(
x
)dx
f ( )(b a).
(a b)
积分中值公式
证 设 f ( x)在[a,b]上的最小值与最大值分别为 m, M ,
m(b
a)
b
a
f
(
x)dx
M (b
a)
m
1b
b a a
f
( x)dx
(1)
lim 1 n
n n i1
1 i n
(2)
lim 1p
n
2p n p1
np
解:
(1)
lim 1 n
n n i1
1
i n
n
lim
n i1
1 i 1 nn
x i
1
0 1 x dx
0
i
i1 i
1x
nn
(2)
lim 1p
n
2p n
p1
n
p
lim
n
n
i1
i n
p
1 n
x i
1 x p dx 0
2 变速直线运动的距离. 分析:
匀速直线运动: s v t.
变速直线运动：速度 v v(t ) 是时间 t 运动的距离 s
v(t)
.
O T1
. T2
t
用类似的方法解决如下：
v( i )
1)分割：
O T1 t0 t1 t2
ti1 ti
t tn T2
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2)近似代替：在第i 个窄曲边梯形上任取 i [xi1 , xi ], 作以 [xi1 , xi ] 为底 , 以 f (i ) 为高的窄矩形, 并以此窄
矩形面积近 似 代 替相 应窄曲边梯形面积
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
.
证
b
a[ f ( x) g( x)]dx
n
lim
0
[
i 1
f
(i
)
g(i
)]xi
n
n
lim
0
i 1
f (i )xi
lim
0
i 1
g(i
)xi
b
a
f
(
x)dx
b
a g( x)dx.
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
bn
nb
[ fi ( x)]dx fi ( x)dx
等于同一底边而高为 f ( ) o a b x 的一个矩形的面积。
b
a f ( x)dx
f ( )(b a).
(a b)
说明:
• 积分中值定理对
b
• 可把 a f (x) dx f ( )
ba
内容小结
1. 定积分的定义 — 乘积和式的极限 矩形公式
近似计算 梯形公式
2. 定积分的性质 3. 积分中值定理
一、定积分问题举例
A
矩形面积 A a h
A
梯形面积 A h(a b) 2
1. 曲边梯形的面积
y
y f (x)
由连续曲线 y f ( x) ( f ( x) 0)
Oa
A?
y f2(x)
y f1( x)
a
b
bx
以及两直线 所围成的图形称为曲边梯形.
求曲边梯形的面积 A .
曲边梯形面积A的具体计算步骤： 1) 分割 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n 个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2, )，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2, ) n
性质3说明：定积分对于积分区间具有可加性。
性质3 假设a c b
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.