高数51定积分概念与性质
高等数学自考5.1定积分的概念与性质
a b
b
b
b
a
说明： 可积性是显然的. 在区间 说明： | f ( x ) |在区间[a , b]上的可积性是显然的
23 上一页 下一页
性质6 性质6
设 M 及 m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b]上的最大值及最小值， 上的最大值及最小值，
性质3 性质3
b
假设a < c < b
c b
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
例 若 a < b < c,
f ( x )dx .
补充： 的相对位置如何, 上式总成立. 补充：不论 a , b, c 的相对位置如何 上式总成立
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫b f ( x )dx
§1
定积分的概念与性质
一、定积分概念的引入 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质 五、小结
1 上一页 下一页
一、定积分概念的引入
实例1 实例1 （求曲边梯形的面积）
y
y = f (x)
曲边梯形由连续曲线 y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
n
2
1 1 1 = 1 + 2 + , 6 n n
λ →0 ⇒n→∞
2
∫0 x
1
2
dx = lim ∑ ξ i ∆xi
λ → 0 i =1
n
1 1 1 1 = lim 1 + 2 + = . n→ ∞ 6 n n 3
高等数学-定积分的概念与性质
= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数，()称为被积表达式，称为积分变量,
[, ]称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．
15
02 定积分的定义
注（1）定积分)( 是一个数值，它只与被积函数()
和积分区间[, ]有关，而与积分变量的符号无关，即
(2)近似（“以直代曲”）
在区间 [−1 , ] 上任取一点 ，以 ( ) 为高，
y
y=()
以 为底，作小矩形．小矩形的面积为
( ) ，用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积 ，即
≈ ( ) （ = 1, 2, ⋯ , ）．
)(
=
)(
=
)( ．
（2）定积分存在，与区间的分法和每个小区间内 的取法无关.
Hale Waihona Puke （3）按照定积分的定义，记号)( 中的, 应满足关系
< ，为了研究的方便，我们补充规定：
① 当 =
② 当 >
时， = )( = )( 0；
在区间 [1,2] 内， 0 ≤ < 2 < 1 ，
则( )3 < .由性质5.5的推论1，得
2
1
>
2
1 ( )3 ．
28
极限，得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点 的任意
取法，上述极限都存在，则称函数()在区间[, ]上可积，
定积分的概念及性质
定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用一． 定积分的定义A ）定义： 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n 个小区间，记},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ∆∆∆==-=∆-λ在[i i x x ,1-]上任意取一点i ξ，作和式：)1.......()(1ini ix f ∆∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有→∆∑=ini ixf 1)(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做⎰b adx x f )(即I=⎰badx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。
例：求曲边图形面积：3x y =的图像在[]1,0∈x 间与1=x 及x 轴围成的图形面积。
注：1、有定义知道⎰ba dx x f )(表示一个具体的数，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x 无关，即⎰badx x f )(=⎰badu u f )(=⎰badt t f )(2、定义中的0→λ不能用∞→n 代替3、如果ini ix f Lim∆∑=→1)(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？经典反例：⎩⎨⎧=中的无理点，为，中的有理点，为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。
可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。
以下给出两个充分条件。
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。
5-1定积分的概念及性质-精选文档
b
.
.
.
◇ 曲边梯形的面积 f ( i) y y=f (x)
元素法
1分割(化整为零)
2 以直代曲 (以常代变)
S f ( x i i) i
n
S
o x
.
3 求和(积零为整)
S f (i ) xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
4 取极限
令分法无限变细
a
n
x i i x i1
解决步骤:
1)分割(大化小). 在每个小段上物体经 t , t ] ( i 1 , 2 , , n ) , n 个小段 [ i 1 i
将它分成 在 [ T , T ] 中任意插入 n 1 个分点 , 1 2
s i 1 , 2 , , n ) 过的路程为 i(
2)以直代曲(常代变).
x
.
.
◇ 曲边梯形的面积 f ( i) y y=f (x)
元素法
1 分割(化整为零)
2 以直代曲 (以常代变)
S f ( x i i) i
n
3 求和(积零为整)
S f (i ) xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
o
a
x i i x i1
x
.
4 取极限
令分法无限变细
bx
◇ 曲边梯形的面积 f ( i) y y=f (x)
元素法
1 分割(化整为零)
2 以直代曲 (以常代变)
S f ( x i i) i
n
3 求和(积零为整)
S f (i ) xi
i 1
.
分法越细，越接近精确值
定积分的概念与性质
定积分的概念与性质在数学中，定积分是一种重要的数学工具，用于求解曲线下的面积以及计算函数的平均值和总和。
本文将介绍定积分的概念与性质，帮助读者更好地理解和应用该概念。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一种方法，用于计算曲线下的面积。
它是对函数在给定区间上的求和过程。
我们将一个区间划分成无穷小的小区间，并在每个小区间上选择一个点，然后将每个小区间的函数值和小区间长度相乘，再将这些乘积相加，最终得到定积分的值。
定积分的表示方法是∫[a, b] f(x)dx，其中a和b是积分区间的边界，f(x)是要进行积分的函数。
定积分代表了函数f(x)在[a, b]区间上的总和或者面积。
二、定积分的计算方法1. 用基本定积分公式计算定积分。
对于一些简单的函数，我们可以直接使用基本定积分公式进行计算。
例如，∫x^2 dx = 1/3x^3 + C，其中C是常数。
2. 使用不定积分和积分区间上的定义进行计算。
如果我们已知函数f(x)在区间[a, b]上的原函数F(x)，那么定积分的值就等于F(b) - F(a)。
这是因为定积分可以看作是函数在两个边界上的累积变化量。
3. 利用定积分的性质进行计算。
定积分具有线性性质，即∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx。
此外，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)≥0，则定积分的值表示了曲线下的面积。
三、定积分的性质1. 定积分与原函数的关系。
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)。
这个公式可以用来计算一些不易积分的函数。
2. 定积分的加法性质。
对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个常数k，有∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx，以及∫[a, b] kf(x)dx = k∫[a, b] f(x)dx。
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
5.1 定积分的概念与性质
lim ( )Δ =
→0
=1
则称这个极限为函数()在区间[, ]上的定积分,记为
න ()d
第一节 定积分的概念与性质
定积分
第五章
即
积分上限
定积分
积分和
න ()d = = lim ( )Δ
积分下限
→0
=1
被积被
积分积
[, ]积分区间 函 变 表
[, ]
[, ]
( − )≤ න ()d ≤( − ) ( < )
证
∵ ≤()≤,
∴ න d≤ න ()d≤ න d ,
( − )≤ න () d≤( − ).
第一节 定积分的概念与性质
此性质可用于
估计积分值的
第五章
8. 定积分中值定理
如果 () 在区间[, ]上连续, 则至少存在一点 ∈ [, ], 使
න ()d = ( )( − )
证
设()在[, ]上的最小值与最大值分别为 , ,
1
න ()d≤
则由性质7可得 ≤
−
根据闭区间上连续函数介值定理, ∃ ∈ [, ], 使
= lim ( )
=
lim ( ) ⋅
→∞
− →∞
故它是有限个数的平均值概念的推广.
第一节 定积分的概念与性质
把区间[, ]分成个小区间,
[0 , 1 ], [1 , 2 ], ⋯ , [−1 , ], ⋯ , [−1 , ]
各个小区间的长度依次为
定积分的基本概念与性质
定积分的基本概念与性质定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念、计算方法以及一些重要性质。
一、定积分的基本概念定积分是指在给定区间上某一函数的积分运算。
具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
在每个小区间上取一个样本点ξi，并计算出该点的函数值f(ξi)。
然后，将每个小区间的函数值与对应的Δx乘积相加，得到Σf(ξi)Δx。
当其中的Δx趋近于0且取样本点数n趋向于无穷大时，得到的极限值即为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记为∫[a, b]f(x)dx。
二、定积分的计算计算定积分可以利用定积分的性质以及一些基本积分公式。
其中，常用的计算方法有：几何法、分部积分法、换元积分法等。
几何法是通过对定积分的几何意义进行理解来进行计算。
例如，计算函数f(x)=x在区间[a, b]上的定积分，可以将其表示为对应曲线下方的面积。
根据不同曲线形状，可以将区间划分成不同的几何图形，计算各个图形的面积，并将其相加得到结果。
分部积分法是利用积分运算的乘法规则，将待求的定积分转化为另一个不定积分的形式。
通过选择适当的u(x)和v(x)，利用公式∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，可以将原定积分转化为带有初等函数的不定积分。
换元积分法是通过引入新的变量进行变换，使得求解定积分问题简化。
假设有一个函数f(g(x))，利用链式法则可以得到d[f(g(x))]/dx =f'(g(x))*g'(x)。
通过令u=g(x)，则有du=g'(x)dx，可以将定积分∫f(g(x))g'(x)dx 转换为∫f(u)du，此时就可以利用基本的不定积分公式进行计算。
三、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。
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3. 梯形公式
ab f (x)dx
y
n 1 i1
12[yi1yi]x
O a xi1x i
bx
b n a 1 2 (y 0 y n ) (y 1 y n 1 ) y
4. 抛物线法公式 推导
ab f (x)dx
Oa
b 6 m ay0y2 m 4im 1y2 i 1 2 m i 1 1y2 xi0
1. 左矩形公式
O
a
xi1x i
bx
ab f (x)dx y 0 x y 1 x y n 1 x
2. 右矩形公式
b n a ( y 0 y 1 y n 1 )
ab f (x)dx y 1 x y 2 x y n x
b n a (y 1 y 2 y n )
6 0.6
用抛物线法公式得 I3.141597 0.7
积分准确值为
8 0.8
I0 114x2dx3.1415 912 90 601..90
yi 4.00000 3.96040 3.84615 3.66972 3.44828 3.20000 2.94118 2.68456 2.43902 2.20994 2.00000
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分
变量用什么字母表示无关 , 即
b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du
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定积分的几何意义:
b
f(x)0, af(x)dxA
曲边梯形面积
f(x)0,
b
af(x)dxA
曲边梯形面积的负值
二、定积分定义 (P225 )
设函 f(x)定 数义 [a,b]上 在 ,若对 [a,b]的任一种分法
a x 0 x 1 x 2 x n b ,令 xixixi 1,任取
n
i[xi,xi1],只要 m{ axx i} 0时 , f (i )xi
1in
i 1
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数 f (x) 在区间
解决步骤: 1) 大化小. 在 [T 1,T 2]中任n意 1个 插 分 ,将入 它分点 成
n 个小段 [ ti 1 ,ti]( i 1 ,2 , ,n ) ,在每个小段上物体经 过的路程为 si(i 1 ,2 , ,n )
2) 常代变. 任i取 [ti 1,ti],以v(i)代替变,速得
siv(i)ti ( i 1 ,2 , ,n )
y
A1
A3
a
A2 O
A5
A4
bx
b
af(x )dxA 1 A 2A 3 A 4A 5
各部分面积的代数和
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可积的充分条件:
定理1. 函数 f(x)在[a,b]上连续f(x)在[a,b]可积 .
定理2. 函数 f(x)在 [a,b]上有 ,且界 只有有限个间断点
f(x)在[a,b]可积 . (证明略)
[a,
b]上的定积分,
记作
b
a
f
(x)dx
i
即
b a
f
(x)dx
n
limf 0i1
(i
)xi
O
ax1
xi1 x i b x
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
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积分上限
[a, b] 称为积分区间
b
n
a
f
(x)dx
lim
0 i1
f
(i )xi
积分下限 被 积 函 数
三. 定积分的近似计算 例1
设 f(x ) C [a ,b ],则bf(x)d x存在 ,根据定积分定义 a
可得如下近似计算方法:
y
将 [a , b] 分成 n 等份: xbna,
x i a i x ( i 0 , 1 , , n )
记 f ( x i ) y i( i 0 , 1 , , n )
x2i2x2i1x 2 i
bx x2m
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例3. 用梯形公式和抛物线法公式 i xi
计算定积分
I
14 01x2
dx的近似值.
0 1
0.0 0.1
(取 n = 10, 计算时取5位小数)
2 0.2
解:计算yi(见右表)
3 0.3 4 0.4
用梯形公式得
I3.139935 0.5
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3) 近似和.
n
s v(i)ti
i1
4) 取极限 .
n
sl im0 i1v(i)ti
(maxti) 1in
上述两个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 :
“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
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例1. 利用定义计算定积分 1 x 2 dx .
0
解:
将
[0,1]
n
等分,
分点为
xi
i n
y
(i 0 ,1 , ,n )
y x2
取 i
i n
,
xi
1 n
( i 1 ,2 , ,n )
则f(i) x ii2 x i
i n
2 3
O
i 1x
n
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n
i1
f
(i )xi
1 n3
(1)
limHale Waihona Puke nnni11i n
(2)nl i m 1p2p n p 1 np
解:
(1)
lim1 n
nni1
1ni nl im in1
1i 1 nn
xi
1
0 1xdx
O
i
i1 i
1x
nn
(2)
nl i m 1p2p n p 1 npnl imin1
i n
p 1
n
xi
1x p dx 0
i
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四、定积分的性质 (设所列定积分都存在)
b
a
1. af(x)dxbf(x)dx
b
2. a dx ba
a
a f (x)dx0
b
b
3.akf(x)dxkaf(x)dx
高数51定积分概念与性质
•
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2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 v v (t) C [ T 1 ,T 2 ],且 v(t)0,求在运动时间内物体所经过的路程 s.
n
i2
i 1
n131 6n(n1)2 (n1)注
注. 当n 较大时, 此值可作为
1(11)(21) 6n n
01 x2 dx 的近似值
0 1x2dxl i0m i n1i2xi
lim 1(11)(21) n 6 n n
y
y x2
1 3
O
i 1x
n
注 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 用定积分表示下列极限: