高等数学定积分的概念及性质课件

2.可积的充分条件：
定理1.函数f (x)在[a,b]上连续，则f (x)在[a,b]可积。 定理2.函数f (x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点， 则f (x)在[a,b]可积。
(1) f (x) 0,
b
a f (x)dx A
定积分等于曲边梯形的面积
(2) f (x) 0,
n
A Ai i 1
2.取近似
y
f (i )
y f (x)
Ai
o
x0 x1 x2
x xi1 i
x
x x xn2 n1 n
2.取近似
任取i xi1, xi , Ai f (i )xi
n
A f (i )xi
i =1
3.取极限
y
分割越来越细（也就是插入的分点越来越多）
确定的常数I，则称f (x)在[a,b]上可积，称此极限I为函数
f (x)在区间[a,b]上的定积分, 记作 b f (x)dx，即 a
b
n
a
f (x)dx lim 0 i1
f (i )xi
积分上限 a,b称为积分区间
积分号
b
n
a
f (x)dx lim 0 i1
b
a f (x)dx A
定积分等于曲边梯形面积的相反数
(3) f (x)在区间a,b变号时,
b
a f (x)dx A1 A2 +A3 A4 A5
定积分等于各部分面积的代数和
例1 计算 b f (x)dx a
解：此曲边梯形是高为1,
底边长为b a的矩形
f (x) 0
b
a dx b a
a
例2 xdx (a 0) 0
解：此曲边梯形是高为a，
底边长为a的直角三角形
a xdx 1 a2
0
2
例3 计算 R R2 x2 dx (R 0) 0
解:此曲边梯形是圆心为原点， 半径为R的圆在第一象限的部分
R R2 x2 dx 1 R2
第一节 定积分的概念及其性质
学习目标
目标：1.理解定积分的概念；2.掌握定积分 的性质
重点、难点：学会利用定积分的性质进行定 积分的运算和比较
面积=长宽 面积=（底高） 2
面积=
由y f (x), x a, x b,
y 0(x轴)围成的图形，
称为曲边梯形。
曲边梯形的面积 1.分割
y
y f (x)
Ai
o
x0 x1 x2
x xi1 i
x
x x xn2 n1 n中任意插入n 1个分点：
a x0 x1 x2 xn1 xn b
记xi xi xi1(i 1, 2 n)
记以xi1, xi 为底的小曲边梯形的面积为Ai
0
4
例4
计算
2
sin xdx
0
解:正负面积相消
2
0 sin xdx 0
练习： 计算 1 x dx -1
x1 x1 x0 , x2 x2 x1, , xn xn xn1
在每个小区间[xi1, xi ]上任取一点i (xi1 i xi ),
n
作乘积f (i )xi (i 1, 2, , n),并作和式S f (i )xi， i 1
记=max{x1, x2, , xn},若 0时, 和S总趋于一个 1in
f (i )xi
积分下限
被被 积 积积 分 函表 变 数达 量
式
积分和
定积分的定义
定积分 的定义
曲边梯形面 积的求法
定积分的几何意义
几点说明：
1.定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变 量用什么字母表示无关，即
b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du
f (i )
y f (x)

o
x
3.取极限
y
f (i )
y f (x)

o
x
3.取极限
令 =max{xi } 1in
当 0时，有f (i )xi Ai
n
f (i )xi A
i 1
n
A lim 0
i 1
f (i )xi
分割
取近似和
取极限
n
A lim 0
i 1
f (i )xi
定积分的定义
定义：设函数f (x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入n 1
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 将区间[a,b]分成n
个小区间[x0 , x1],[x1, x2 ], [xn1, xn ], 各小区间的长度依次记为