高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质
定积分的概念教案
定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的定义和计算方法；2.掌握定积分的性质和应用；3.培养学生的数学计算能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法；3.定积分的性质和应用。
三、教学重点：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法。
四、教学难点：1.定积分的性质和应用；2.定积分与原函数的关系。
五、教学过程：Step 1 引入教师与学生展开对话，探讨学生对积分的了解：教师：同学们，你们对积分有什么了解？学生：积分就是求和。
教师：不错，积分的确是求和，但是定积分具体是什么呢？我们一起来探讨一下。
Step 2 定积分的定义教师向学生介绍定积分的定义：教师：定积分是微积分的一个重要概念，表示函数曲线与x轴之间的面积。
我们用符号∫来表示定积分，函数f(x)的定积分表示为∫f(x)dx，在积分号下面写上被积函数，dx表示自变量。
Step 3 定积分的计算方法教师通过示例向学生演示定积分的计算方法：教师：我们以函数f(x)=x^2为例，计算f(x)在区间[1,3]上的定积分。
教师在黑板上写下∫(1→3)x^2dx，并进行具体的计算步骤解释。
Step 4 定积分的性质和应用教师向学生介绍定积分的性质和应用，并通过例题进行讲解：教师：定积分具有线性性质、区间可加性和变量替换的性质，同时也可以用于计算面积、体积、质量等。
我们来看一个例题，计算函数f(x)=x在区间[-2,2]上的定积分，并解释其实际意义。
Step 5 定积分与原函数的关系教师引导学生思考定积分与原函数的关系：Step 6 总结与归纳教师与学生总结本节课的内容，并归纳出定积分的概念和性质：教师：同学们，通过本节课的学习，我们初步了解了定积分的定义、计算方法和性质。
下节课我们将进一步学习定积分的应用。
大家要做好预习哦！六、教学反思本节课通过引入、定义、示例演算等方式，使学生初步了解了定积分的概念和计算方法。
通过例题讲解，学生对定积分的应用有了基本的认识。
定积分的概念和性质积分上限函数及其导数学习教案
定积分的概念和性质积分上限函数及其导数学习教案积分的概念和性质
积分是数学中的一种重要概念，它可以用来计算定义域上函数的实际值，同时还可以用来求函数的零点。
积分的定义是：由函数f(x)在一定范围内，把函数图像所积成的面积就是积分。
根据积分的定义，可以分别将函数内、函数外的积分分为定积分和不定积分。
定积分：定积分（也称为定义积分）是在定义域的两个端点定义的定义域上的函数积分。
定积分可以看作是将函数f(x)在[a,b]上积分，这里a，b是定义域范围的两个端点。
一般地，用数学符号∫abf(x)dx表示定积分，其中a和b是积分的两个端点，x是求积分的变量，f(x)是函数的表达式。
定积分概念可以用图形简单表示，当函数f(x)在自变量x上有一个固定的定义域时，它在定义域上的图像就会组成一个定义域。
积分就是把图形容器中积累的面积。
不定积分：不定积分不需要定义两个端点来表示，只需要给出函数表达式，用积分符号表示即可。
不定积分一般表示为∫f(x)dx，可以表示由函数f(x)在它的定义域上积累的面积。
积分上限函数及其导数
积分上限函数是一种特殊的函数，它的定义域是定义域的两端点，而值域是定义域函数的值。
高等数学-定积分的概念与性质
= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数，()称为被积表达式，称为积分变量,
[, ]称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．
15
02 定积分的定义
注（1）定积分)( 是一个数值，它只与被积函数()
和积分区间[, ]有关，而与积分变量的符号无关，即
(2)近似（“以直代曲”）
在区间 [−1 , ] 上任取一点 ，以 ( ) 为高，
y
y=()
以 为底，作小矩形．小矩形的面积为
( ) ，用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积 ，即
≈ ( ) （ = 1, 2, ⋯ , ）．
)(
=
)(
=
)( ．
（2）定积分存在，与区间的分法和每个小区间内 的取法无关.
Hale Waihona Puke （3）按照定积分的定义，记号)( 中的, 应满足关系
< ，为了研究的方便，我们补充规定：
① 当 =
② 当 >
时， = )( = )( 0；
在区间 [1,2] 内， 0 ≤ < 2 < 1 ，
则( )3 < .由性质5.5的推论1，得
2
1
>
2
1 ( )3 ．
28
极限，得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点 的任意
取法，上述极限都存在，则称函数()在区间[, ]上可积，
定积分的概念、性质
三、定积分的性质
§5.1 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
演讲人姓名
二、定积分定义
一、定积分问题举例
曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为 曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
曲边梯形的面积
*
观察与思考
定积分的定义
*
二、定积分定义
例1 用定积分表示极限 解 定积分的定义
*
二、定积分定义
定积分的定义
注: 设f (x)在[0, 1]上连续, 则有
*
定积分的几何意义
这是因为 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
定积分的几何意义
各部分面积的代数和 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
例2
在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
*
(2)近似代替:
求曲边梯形的面积
(1)分割:
ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxi=xi-xi1;
小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
如果在区间[a b]上 f (x)g(x) 则
如果在区间[a b]上 f (x)0 则
性质5
推论2
性质6
设M及m分别是函数f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值 则
例4 试证:
证明 设 则在 上, 有 即 故 即
*
性质7(定积分中值定理)
如果函数f(x)在闭区间[a b]上连 续 则在积分区间[a b]上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为, 由性质6 ——积分中值公式 由介值定理, 至少存在一点x[a, b], 使 两端乘以ba即得积分中值公式.
掌握定积分概念及基本性质
供需关系研究
通过定积分，可以研究市 场供需关系的变化。
投资回报分析
在金融领域，定积分可以 用来分析投资回报率的变 化。
05
掌握定积分的重要性
在数学中的地位
连接微积分两大核心概念
定积分与微积分息息相关，是微积分理论体系的重要组成部分， 掌握了定积分，就等于掌握了微积分的一半。
深化对极限概念的理解
定积分与极限概念紧密相连，掌握定积分有助于更深入地理解极限 的内涵和应用。
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的核心公式，它表示为∫baf(t)dt=F(b)-F(a)，其中∫baf(t)dt表示函数f(t) 在区间[a, b]上的定积分，F(x)表示f(t)的原函数，即满足F'(x)=f(x)的函数。该公式通过选取合适的分割和 近似方式，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，最后求和得到定积分的值。
为后续课程奠定基础
定积分是学习复变函数、实变函数等后续课程的基础，对于数学专 业的学生来说至关重要。
在其他学科中的应用价值
物理学中的应用
在物理学中，定积分常用于计算 面积分，例如在计算电磁场、引
力场等物理量的分布时。
工程学科中的应用
在工程学科中，定积分常用于解 决与几何形状、物理量分布等有 关的实际问题，如机械工程、土
定积分的几何意义
定积分的几何意义是函数图像与x轴所夹的面积。具体来说，将定积分表示的函 数图像与x轴围成的面积，即为定积分的值。
定积分的几何意义还可以理解为曲线与x轴所夹的“曲边梯形”的面积。这个曲 边梯形的高就是函数值，底就是x轴上的区间。
定积分的物理意义
定积分的物理意义是表示某个物理量在某个时间段或某个 区间内的累积效应。例如，物体的质量分布不均匀，其质 心位置可以通过对质量分布函数进行定积分来求解。
定积分的概念与性质
定积分的概念与性质在数学中，定积分是一种重要的数学工具，用于求解曲线下的面积以及计算函数的平均值和总和。
本文将介绍定积分的概念与性质，帮助读者更好地理解和应用该概念。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一种方法，用于计算曲线下的面积。
它是对函数在给定区间上的求和过程。
我们将一个区间划分成无穷小的小区间，并在每个小区间上选择一个点，然后将每个小区间的函数值和小区间长度相乘，再将这些乘积相加，最终得到定积分的值。
定积分的表示方法是∫[a, b] f(x)dx，其中a和b是积分区间的边界，f(x)是要进行积分的函数。
定积分代表了函数f(x)在[a, b]区间上的总和或者面积。
二、定积分的计算方法1. 用基本定积分公式计算定积分。
对于一些简单的函数，我们可以直接使用基本定积分公式进行计算。
例如，∫x^2 dx = 1/3x^3 + C，其中C是常数。
2. 使用不定积分和积分区间上的定义进行计算。
如果我们已知函数f(x)在区间[a, b]上的原函数F(x)，那么定积分的值就等于F(b) - F(a)。
这是因为定积分可以看作是函数在两个边界上的累积变化量。
3. 利用定积分的性质进行计算。
定积分具有线性性质，即∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx。
此外，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)≥0，则定积分的值表示了曲线下的面积。
三、定积分的性质1. 定积分与原函数的关系。
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)。
这个公式可以用来计算一些不易积分的函数。
2. 定积分的加法性质。
对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个常数k，有∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx，以及∫[a, b] kf(x)dx = k∫[a, b] f(x)dx。
高等数学教案定积分
第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念;2、掌握定积分的性质及定积分中值定理,掌握定积分的换元积分法与分部积分法;3、理解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式;4、了解广义积分的概念并会计算广义积分;教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法;3、牛顿—莱布尼茨公式;教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法;4、变上限函数的导数;§5 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1 曲边梯形的面积曲边梯形设函数yfx在区间a b上非负、连续由直线xa、xb、y0及曲线yf x所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间a b 中任意插入若干个分点ax 0 x 1 x 2 x n 1 x n b把a b 分成n 个小区间x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x n 1 x n它们的长度依次为x 1 x 1x 0 x 2 x 2x 1 x n x n x n 1经过每一个分点作平行于y 轴的直线段 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形 在每个小区间 x i 1 x i 上任取一点i 以x i 1 x i 为底、f i 为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形i 1 2 n 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值 即A f 1x 1 f 2x 2 f n x n ∑=∆=ni i i x f 1)(ξ求曲边梯形的面积的精确值显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记max{x 1 x 2 x n } 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令0 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ 2 变速直线运动的路程设物体作直线运动 已知速度vvt 是时间间隔T 1 T 2上t 的连续函数 且vt 0 计算在这段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔T 1 T 2分成n 个小的时间间隔t i 在每个小的时间间隔t i 内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔t i 内某点i 的速度v i 物体在时间间隔t i 内 运动的距离近似为S i v i t i 把物体在每一小的时间间隔t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1 T 2内所经过的路程S 的近似值 具体做法是在时间间隔T 1 T 2内任意插入若干个分点T 1t 0 t 1 t 2 t n 1 t n T 2把T 1 T 2分成n 个小段t 0 t 1 t 1 t 2 t n 1 t n各小段时间的长依次为t 1t 1t 0 t 2t 2t 1 t n t n t n 1相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为S 1 S 2 S n在时间间隔t i 1 t i 上任取一个时刻 i t i 1 i t i 以 i 时刻的速度v i 来代替t i 1 t i 上各个时刻的速度 得到部分路程S i 的近似值 即S i v i t i i 1 2 n于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值 即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ求精确值记 max{t 1 t 2 t n } 当0时 取上述和式的极限 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ 设函数yfx 在区间a b 上非负、连续 求直线xa 、xb 、y 0及曲线yf x 所围成的曲边梯形的面积1用分点ax 0x 1x 2 x n 1x n b 把区间a b 分成n 个小区间x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x n 1 x n 记x i x i x i 1 i 1 2 n2任取i x i 1 x i 以x i 1 x i 为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ i 1 2 n 所求曲边梯形面积A 的近似值为∑=∆≈ni ii x f A 1)(ξ 3记max{x 1 x 2 x n } 所以曲边梯形面积的精确值为∑=→∆=ni ii x f A 10)(lim ξλ设物体作直线运动 已知速度vvt 是时间间隔T 1 T 2上t 的连续函数且vt 0 计算在这段时间内物体所经过的路程S1用分点T 1t 0t 1t 2 t n 1t n T 2把时间间隔T 1 T 2分成n 个小时间段 t 0 t 1 t 1 t 2 t n 1 t n 记t i t i t i 1 i 1 2 n2任取i t i 1 t i 在时间段t i 1 t i 内物体所经过的路程可近似为v i t ii 1 2 n 所求路程S 的近似值为∑=∆≈ni ii t v S 1)(τ 3记max{t 1 t 2 t n } 所求路程的精确值为∑=→∆=ni ii t v S 10)(lim τλ二、定积分定义抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象出下述定积分的定义定义 设函数fx 在a b 上有界 在a b 中任意插入若干个分点a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b把区间a b 分成n 个小区间x 0 x 1 x 1 x 2 x n 1 x n各小段区间的长依次为x 1x 1x 0 x 2x 2x 1 x n x n x n 1在每个小区间x i 1 x i 上任取一个点 i x i 1 i x i 作函数值f i 与小区间长度x i 的乘积f i x i i 1 2 n 并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ记 max{x 1 x 2 x n } 如果不论对a b 怎样分法 也不论在小区间x i 1 x i 上点 i 怎样取法 只要当0时 和S 总趋于确定的极限I 这时我们称这个极限I 为函数f x 在区间a b 上的定积分 记作⎰b a dx x f )(即∑⎰=→∆=ni i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ其中f x 叫做被积函数 f xdx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间定义 设函数fx 在a b 上有界 用分点ax 0x 1x 2 x n 1x n b 把a b 分成n 个小区间 x 0 x 1 x 1 x 2 x n 1 x n 记x i x i x i 1i 1 2 n任 i x i 1 x i i 1 2 n 作和∑=∆=n i i ix f S 1)(ξ记max{x 1 x 2 x n } 如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间a b 的分法和 i 的取法无关 则称这个极限为函数fx 在区间a b 上的定积分 记作⎰ba dx x f )(即 ∑⎰=→∆=ni i i ba x f dx x f 10)(lim )(ξλ根据定积分的定义 曲边梯形的面积为⎰=b a dx x f A )(变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰= 说明1定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(2和∑=∆n i i i x f 1)(ξ通常称为f x 的积分和3如果函数f x 在a b 上的定积分存在 我们就说f x 在区间a b 上可积函数fx 在a b 上满足什么条件时 f x 在a b 上可积呢定理1 设f x 在区间a b 上连续 则f x 在a b 上可积定理2 设f x 在区间a b 上有界 且只有有限个间断点 则f x 在a b 上可积定积分的几何意义在区间a b 上 当fx 0时 积分⎰b a dx x f )(在几何上表示由曲线yf x 、两条直线xa 、xb 与x 轴所围成的曲边梯形的面积 当fx 0时 由曲线y f x 、两条直线xa 、xb 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba n i i i n i i ib a dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1010ξξλλ当f x 既取得正值又取得负值时 函数fx 的图形某些部分在x 轴的上方 而其它部分在x 轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在x 轴上方的图形面积赋以正号 在x 轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为 它是介于x 轴、函数fx 的图形及两条直线xa 、xb 之间的各部分面积的代数和用定积分的定义计算定积分例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰解 把区间0 1分成n 等份分点为和小区间长度为n i x i =i 1 2 n 1 n x i 1=∆i 1 2 n 取n i i =ξi 1 2 n 作积分和 ∑∑∑===⋅=∆=∆ni i n i i i n i i n n i x x f 121211)()(ξξ )12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n n i )12)(11(61n n ++= 因为n1=λ 当0时 n 所以 31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ 利定积分的几何意义求积分:例2用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x解: 函数y 1x 在区间0 1上的定积分是以y 1x 为曲边以区间0 1为底的曲边梯形的面积 因为以y 1x 为曲边以区间0 1为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为1 所以211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x三、定积分的性质两点规定1当ab 时 0)(=⎰b a dx x f2当ab 时⎰⎰-=a b b a dx x f dx x f )()( 性质1 函数的和差的定积分等于它们的定积分的和差 即⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([证明:⎰±b a dx x g x f )]()([∑=→∆±=ni i i i x g f 10)]()([lim ξξλ ∑∑=→=→∆±∆=ni i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ ⎰⎰±=b a b a dx x g dx x f )()(性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(这是因为∑⎰=→∆=n i i i b a x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→b a n i i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即 ⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性值得注意的是不论a b c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(成立 例如 当a <b <c 时 由于⎰⎰⎰+=c b b a c a dx x f dx x f dx x f )()()( 于是有⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=bc c a dx x f dx x f )()( 性质4 如果在区间a b 上f x 1 则a b dx dx ba b a -==⎰⎰1 性质5 如果在区间ab 上 f x 0 则⎰≥ba dx x f 0)(ab 推论1 如果在区间ab 上 f x gx 则⎰⎰≤b a ba dx x g dx x f )()(ab 这是因为g xf x 0 从而⎰⎰⎰≥-=-b a b a b a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()( 所以⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()(推论2 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|ab这是因为|f x | f x |f x |所以⎰⎰⎰≤≤-b a b a b a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|即 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(||性质6 设M 及m 分别是函数fx 在区间ab 上的最大值及最小值 则⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(ab证明 因为 m f x M 所以⎰⎰⎰≤≤b a b a b a Mdx dx x f mdx )( 从而⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(性质7 定积分中值定理 如果函数fx 在闭区间ab 上连续 则在积分区间ab 上至少存在一个点 使下式成立⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ 这个公式叫做积分中值公式证明 由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(各项除以ba 得⎰≤-≤b a M dx x f a b m )(1 再由连续函数的介值定理 在ab 上至少存在一点 使⎰-=b a dx x f a b f )(1)(ξ于是两端乘以ba 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ 积分中值公式的几何解释应注意 不论a <b 还是a >b 积分中值公式都成立§5 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动 在t 时刻所经过的路程为St 速度为vvtStvt 0 则在时间间隔T 1 T 2内物体所经过的路程S 可表示为)()(12T S T S -及dt t v TT )(21⎰即 )()()(1221T S T S dt t v TT -=⎰上式表明 速度函数vt 在区间T 1 T 2上的定积分等于vt 的原函数St 在区间T 1 T 2上的增量 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢二、积分上限函数及其导数设函数fx 在区间a b 上连续 并且设x 为a b 上的一点我们把函数fx 在部分区间a x 上的定积分dx x f xa )(⎰ 称为积分上限的函数 它是区间ab 上的函数 记为x dx x f x a )(⎰= 或x dt t f xa )(⎰定理1 如果函数fx 在区间a b 上连续 则函数x dx x f x a )(⎰=在a b 上具有导数 并且它的导数为x )()(x f dt t f dx d x a ==⎰ax <b 简要证明 若xa b 取x 使xxa bxxx dt t f dt t f x a x x a)()(⎰⎰-=∆+ dt t f dt t f dt t f x a x x xx a )()()(⎰⎰⎰-+=∆+ x f dt t f x x x ∆==⎰∆+)()(ξ应用积分中值定理 有f x其中在x 与xx 之间 x 0时 x 于是x )()(lim )(lim lim 00x f f f x xx x ===∆∆Φ=→→∆→∆ξξξ 若xa 取x >0 则同理可证x fa 若xb 取x <0 则同理可证x fb定理2 如果函数fx 在区间a b 上连续 则函数x dx x f xa )(⎰=就是f x 在a b 上的一个原函数定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系三、牛顿莱布尼茨公式定理3 如果函数F x 是连续函数fx 在区间a b 上的一个原函数 则)()()(a F b F dx x f ba -=⎰ 此公式称为牛顿莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式这是因为Fx 和x dt t f x a )(⎰都是fx 的原函数所以存在常数C 使FxxC C 为某一常数由FaaC 及a 0 得CFa FxxFa由FbbFa 得bFbFa 即)()()(a F b F dx x f ba -=⎰ 证明 已知函数Fx 是连续函数fx 的一个原函数 又根据定理2 积分上限函数x dt t f x a )(⎰也是fx 的一个原函数 于是有一常数C 使FxxC axb当xa 时 有FaaC 而a 0 所以CFa 当xb 时 FbbFa所以bFbFa 即)()()(a F b F dx x f ba -=⎰为了方便起见 可把FbFa 记成b a x F )]([ 于是)()()]([)(a F b F x F dx x f b a ba -==⎰ 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系例1. 计算⎰102dx x解 由于331x 是2x 的一个原函数 所以 31031131]31[33103102=⋅-⋅==⎰x dx x例2 计算2311x dx +⎰- 解 由于arctan x 是211x +的一个原函数 所以 31231][arctan 1--=+⎰x x dx)1arctan(3arctan --=πππ127)4 (3 =--= 例3. 计算⎰--121dx x解 1212|]|[ln 1----=⎰x dx x ln 1ln 2ln 2 例4. 计算正弦曲线y sin x 在0 上与x 轴所围成的平面图形的面积解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积ππ00]cos [sin x xdx A -==⎰112例5. 汽车以每小时36km 速度行驶 到某处需要减速停车设汽车以等加速度a 5m/s 2刹车 问从开始刹车到停车 汽车走了多少距离解 从开始刹车到停车所需的时间当t 0时 汽车速度v 036km/h 3600100036⨯=m/s 10m/s 刹车后t 时刻汽车的速度为vtv 0at 105t当汽车停止时 速度vt 0 从vt 105t 0得 t 2s于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为dt t dt t v s )510()(2020-==⎰⎰10]21510[202=⋅-=t t m 即在刹车后 汽车需走过10m 才能停住例6. 设fx 在0, 内连续且fx >0 证明函数⎰⎰=x xdt t f dt t tf x F 00)()()( 在0 内为单调增加函数证明 )()( 0x xf dt t tf dx d x =⎰ )()(0x f dt t f dx d x =⎰ 故 2000))(()()()()()(⎰⎰⎰-='x x xdt t f dtt tf x f dt t f x xf x F 200))(()()()(⎰⎰-=x x dt t f dt t f t x x f按假设 当0tx 时f t >0 xtf t 0 所以0)(0>⎰dt t f x 0)()(0>-⎰dt t f t x x从而F x >0 x >0 这就证明了F x 在0 内为单调增加函数例7. 求21cos 02lim x dte x t x ⎰-→解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则e x xe x dte x dt e x x x t x x t x 212sin lim lim lim 222cos 02cos 1021cos 0==--→-→-→⎰⎰ 提示 设⎰-=Φx t dt e x 12)( 则⎰-=Φx t dt e x cos 12)(cosx u x t e x x e dxdu u du d x dx d dt e dx d 222cos cos 1sin )sin ()()(cos ---⋅-=-⋅=⋅Φ=Φ=⎰§5 3 定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理 假设函数fx 在区间a b 上连续 函数xt 满足条件1a b2t 在 或 上具有连续导数 且其值域不越出a b则有dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰这个公式叫做定积分的换元公式证明 由假设知 fx 在区间a b 上是连续 因而是可积的 f tt 在区间 或 上也是连续的 因而是可积的假设Fx 是f x 的一个原函数 则 dx x f ba )(⎰FbFa另一方面 因为{Ft }F tt f tt 所以Ft 是f tt 的一个原函数 从而dt t t f )()]([ϕϕβα'⎰ F F FbFa因此 dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰例1 计算⎰-a dx x a 022a >0解 ⎰⎰⋅-=20sin 022cos cos πtdt a t a dx x a t a x a 令 ⎰⎰+==2022022)2cos 1(2cos ππdt t a tdt a220241]2sin 21[2a t t a ππ=+= 提示 t a t a a x a cos sin 22222=-=- dxa cos t 当x 0时t 0 当xa 时2π=t 例2 计算xdx x sin cos 520⎰π解 令t cos x 则x xd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ61]61[ 106105015cos ===-⎰⎰=t dt t dt t tx 令 提示 当x 0时t 1 当2π=x 时t 0 或 x xd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ610cos 612cos 61]cos 61[66206=+-=-=ππx 例3 计算⎰-π053sin sin dx x x解 dx x x dx x x |cos |sin sin sin 230053⎰⎰=-ππ⎰⎰-=πππ2232023cos sin cos sin xdx x xdx x ⎰⎰-=πππ2232023sin sin sin sin x xd x xd 54)52(52]sin 52[]sin 52[2252025=--=-=πππx x 提示 |cos |sin )sin 1(sin sin sin 232353x x x x x x =-=-在]2 ,0[π上|cos x |cos x 在] ,2[ππ上|cos x |cos x 例4 计算dx x x ⎰++40122 解 ⎰⎰⎰+=⋅+-++=+3123121240)3(21221 122dt t tdt t t dx x x t x 令 322)]331()9327[(21]331[21313=+-+=+=t t 提示 212-=t x dxtdt 当x 0时t 1 当x 4时t 3 例5 证明 若f x 在a a 上连续且为偶函数 则 ⎰⎰=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(证明 因为dx x f dx x f dx x f a a a a )()()(00⎰⎰⎰+=--而 ⎰⎰⎰⎰-=-=---=-a a a t x a dx x f dt t f dt t f dx x f 0000)()()()(令 所以 ⎰⎰⎰+-=-a a a a dx x f dx x f dx x f 00)()()(⎰⎰⎰==+-=-a a a a dx x f dx x f dx x f x f 00)(2)(2)]()([讨论若fx 在a a 上连续且为奇函数 问=⎰-aa dx x f )( 提示 若f x 为奇函数 则f xf x 0 从而0)]()([)(0=+-=⎰⎰-aa a dx x f x f dx x f例6 若f x 在0 1上连续 证明 1⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f2⎰⎰=πππ0)(sin 2)(sin dx x f dx x xf证明 1令t x -=2π 则dt t f dx x f )]2[sin()(sin 0220--=⎰⎰πππ⎰⎰=-=2020)(cos )]2[sin(πππdx x f dt t f2令xt 则⎰⎰---=00)][sin()()(sin ππππdt t f t dx x xf⎰⎰-=--=πππππ00)(sin )()][sin()(dt t f t dt t f t ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dt t tf dt t f ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dx x xf dx x f 所以⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf例7 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-01 cos 110)(2x xx xe x f x 计算⎰-41)2(dx x f解 设x 2t 则⎰⎰⎰⎰---++==-20121412cos 11)()2(dtte dt tdt t f dx x f t 212121tan ]21[]2[tan 420012+-=-=---e e t t提示 设x 2t 则dxdt 当x 1时t 1 当x 4时t 2 二、分部积分法设函数ux 、vx 在区间a b 上具有连续导数ux 、vx 由 uvuv u v 得u vu vuv 式两端在区间a b 上积分得vdx u uv dx v u ba b a ba '-='⎰⎰][ 或vdu uv udv ba ba ba ⎰⎰-=][ 这就是定积分的分部积分公式分部积分过程][][⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰vdx u uv vdu uv udv dx v u ba ba ba b a ba ba 例1 计算xdx arcsin 21⎰解xdx arcsin 21⎰x xd x x arcsin ]arcsin[21210⎰-=dx x x 22101621--⋅=⎰π)1(11211222210x d x --+=⎰π212]1[12x -+=π12312-+=π 例2 计算⎰10dx e x 解 令t x = 则⎰⎰=10102tdt e dx e t x⎰=102t tde ⎰-=1010 2 ][2dt e te t t 2 ][221 0 =-=t e e 例3 设⎰=20sin πxdx I n n 证明1当n 为正偶数时 22143231π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n2当n 为大于1的正奇数时 3254231⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n证明 ⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n ⎰--+-=2012 01sin cos ]sin[cos ππx xd x x n n⎰--=2022sin cos )1(πxdx x n n ⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n ⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdxn xdx n n nn 1I n 2n 1I n 由此得02214342522232212Im m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=112325432421222122Im m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+而2200ππ==⎰dx I 1sin 201==⎰πxdx I因此22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m例3 设⎰=20sin πxdx I n n n 为正整数 证明 22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m证明 ⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n⎰---+-=20222 0 1sin cos )1(]sin [cos ππxdx x n x x n n ⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n ⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdx n xdx n n n n 1I n 2n 1I n02214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+特别地 2200ππ==⎰dx I 1sin 201==⎰πxdx I因此 22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m§5 4 反常积分 一、无穷限的反常积分定义1 设函数fx 在区间a 上连续 取b >a 如果极限dx x f bab )(lim⎰+∞→ 存在 则称此极限为函数fx 在无穷区间a 上的反常积分 记作dx x f a )(⎰+∞即dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞= 这时也称反常积分dx x f a )(⎰+∞收敛如果上述极限不存在 函数fx 在无穷区间a 上的反常积分dx x f a )(⎰+∞就没有意义 此时称反常积分dx x f a )(⎰+∞发散类似地 设函数fx 在区间 b 上连续 如果极限dx x f baa )(lim⎰-∞→a <b 存在 则称此极限为函数fx 在无穷区间 b 上的反常积分 记作dx x f b)(⎰∞- 即dx x f dx x f baa b )(lim )(⎰⎰-∞→∞-= 这时也称反常积分dx x f b)(⎰∞-收敛如果上述极限不存在 则称反常积分dx x f b)(⎰∞-发散 设函数fx 在区间 上连续 如果反常积分dx x f )(0⎰∞-和dx x f )(0⎰+∞都收敛 则称上述两个反常积分的和为函数fx 在无穷区间 上的反常积分 记作dx x f )(⎰+∞∞- 即dx x f dx x f dx x f )()()(00⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=dx x f dx x f bb a a )(lim)(lim⎰⎰+∞→-∞→+=这时也称反常积分dx x f )(⎰+∞∞-收敛如果上式右端有一个反常积分发散 则称反常积分dx x f )(⎰+∞∞-发散 定义1 连续函数fx 在区间a 上的反常积分定义为dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞= 在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散 类似地 连续函数fx 在区间 b 上和在区间 上的反常积分定义为dx x f dx x f baa b)(lim)(⎰⎰-∞→∞-=dx x f dx x f dx x f bb a a )(lim)(lim)(0⎰⎰⎰+∞→-∞→+∞∞-+=反常积分的计算 如果Fx 是fx 的原函数 则b a b bab ax F dx x f dx x f )]([lim )(lim)(+∞→+∞→+∞==⎰⎰)()(lim )()(lim a F x F a F b F x b -=-=+∞→+∞→可采用如下简记形式)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f x a a-==+∞→∞++∞⎰类似地)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f x bb-∞→∞-∞--==⎰)(lim )(lim )]([)(x F x F x F dx x f x x -∞→+∞→∞+∞-+∞∞--==⎰ 例1 计算反常积分dx x211+⎰+∞∞-解∞+∞-+∞∞-=+⎰][arctan 112x dx x x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→-=πππ=--=)2(2例2 计算反常积分⎰+∞-0dt te pt p 是常数 且p >0 解∞+-∞+-+∞-⎰⎰⎰-==000]1[][pt pt pt tde pdt te dt te ∞+--⎰+-=0]11[dt e p te p pt pt ∞+----=02]11[pt pt e pte p 22211]11[lim p p e p te p pt pt t =+--=--+∞→ 提示 01lim lim lim ===+∞→+∞→-+∞→pt t pt t pt t pe e t te 例3 讨论反常积分dx x pa 1⎰+∞a >0的敛散性解 当p 1时dx x pa1⎰+∞dx x a 1⎰+∞=+∞==∞+ ][ln a x当p <1时dx x pa1⎰+∞+∞=-=∞+- 1]11[ap x p当p >1时1]11[11 1-=-=-∞+-+∞⎰p a x p dx x p ap pa因此 当p >1时 此反常积分收敛 其值为11--p a p当p 1时 此反常积分发散二、无界函数的反常积分定义2 设函数fx 在区间a b 上连续 而在点a 的右邻域内无界 取>0 如果极限dx x f bt at )(lim ⎰+→存在 则称此极限为函数fx 在a b 上的反常积分 仍然记作dx x f ba )(⎰ 即dx x f dx x f bta tb a )(lim )(⎰⎰+→=这时也称反常积分dx x f ba )(⎰收敛如果上述极限不存在 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散类似地 设函数fx 在区间a b 上连续 而在点b 的左邻域内无界 取>0 如果极限dx x f ta bt )(lim ⎰-→存在 则称此极限为函数fx 在a b 上的反常积分 仍然记作dx x f ba )(⎰ 即dx x f dx x f ta bt b a )(lim )(⎰⎰-→=这时也称反常积分dx x f b a )(⎰收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散 设函数fx 在区间ab 上除点ca <c <b 外连续 而在点c 的邻域内无界 如果两个反常积分dx x f c a )(⎰与dx x f bc )(⎰都收敛 则定义dx x f dx x f dx x f bc c a b a )()()(⎰⎰⎰+=否则 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散瑕点 如果函数fx 在点a 的任一邻域内都无界 那么点a 称为函数fx 的瑕点 也称为无界 定义2 设函数fx 在区间a b 上连续 点a 为fx 的瑕点 函数fx 在a b 上的反常积分定义为dx x f dx x f bt at b a )(lim )(⎰⎰+→=在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散类似地函数fx 在a bb 为瑕点上的反常积分定义为dx x f dx x f ta b t b a )(lim )(⎰⎰-→= 函数fx 在a cc b c 为瑕点上的反常积分定义为dx x f dx x f dx x f b t c t t a c t b a )(lim )(lim )(⎰⎰⎰+-→→+= 反常积分的计算如果Fx 为fx 的原函数 则有b t at b t a t b a x F dx x f dx x f )]([lim )(lim )(++→→==⎰⎰ )(lim )()(lim )(x F b F t F b F ax a t ++→→-=-= 可采用如下简记形式)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f a x b a ba +→-==⎰ 类似地 有)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f b x b a ba -==-→⎰ 当a 为瑕点时)(lim )()]([)(x Fb F x F dx x f a x b a ba +→-==⎰ 当b 为瑕点时)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f b x b a ba -==-→⎰ 当c acb 为瑕点时)](lim )([)]()(lim [)()()(x F b F a F x F dx x f dx x f dx x f c x c x b c c a b a +-→→-+-=+=⎰⎰⎰ 例4 计算反常积分⎰-a dx x a 0221 解 因为+∞=--→221lim x a a x 所以点a 为被积函数的瑕点a a a x dx x a 0 022][arcsin 1=-⎰20arcsin lim π=-=-→a x a x例5 讨论反常积分⎰-1121dx x的收敛性 解 函数21x在区间1 1上除x 0外连续 且∞=→201lim x x 由于+∞=--=-=-→--⎰1)1(lim ]1[100 1012x x dx xx 即反常积分⎰-0121dx x 发散 所以反常积分⎰-1121dx x发散 例6 讨论反常积分⎰-b aq a x dx )(的敛散性 解 当q 1时+∞=-=-=-⎰⎰b a b a b a q a x a x dx a x dx )][ln()( 当q 1时 +∞=--=--⎰b a q b a q a x qa x dx 1])(11[)( 当q 1时q b a q b a q a b q a x q a x dx ----=--=-⎰1 1)(11])(11[)( 因此 当q <1时 此反常积分收敛 其值为q a b q ---1)(11 当q 1时 此反常积分发散。
定积分的基本概念与性质
定积分的基本概念与性质定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念、计算方法以及一些重要性质。
一、定积分的基本概念定积分是指在给定区间上某一函数的积分运算。
具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
在每个小区间上取一个样本点ξi，并计算出该点的函数值f(ξi)。
然后，将每个小区间的函数值与对应的Δx乘积相加，得到Σf(ξi)Δx。
当其中的Δx趋近于0且取样本点数n趋向于无穷大时，得到的极限值即为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记为∫[a, b]f(x)dx。
二、定积分的计算计算定积分可以利用定积分的性质以及一些基本积分公式。
其中，常用的计算方法有：几何法、分部积分法、换元积分法等。
几何法是通过对定积分的几何意义进行理解来进行计算。
例如，计算函数f(x)=x在区间[a, b]上的定积分，可以将其表示为对应曲线下方的面积。
根据不同曲线形状，可以将区间划分成不同的几何图形，计算各个图形的面积，并将其相加得到结果。
分部积分法是利用积分运算的乘法规则，将待求的定积分转化为另一个不定积分的形式。
通过选择适当的u(x)和v(x)，利用公式∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，可以将原定积分转化为带有初等函数的不定积分。
换元积分法是通过引入新的变量进行变换，使得求解定积分问题简化。
假设有一个函数f(g(x))，利用链式法则可以得到d[f(g(x))]/dx =f'(g(x))*g'(x)。
通过令u=g(x)，则有du=g'(x)dx，可以将定积分∫f(g(x))g'(x)dx 转换为∫f(u)du，此时就可以利用基本的不定积分公式进行计算。
三、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。
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高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第5章 定积分及其应用定积分的概念与性质【教学目的】：1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法；2. 理解定积分的概念及其性质；3. 掌握定积分的几何意义 ；【教学重点】：1. 定积分的概念及其性质；【教学难点】：1. 曲边梯形面积求法的思维方法；【教学时数】：2学时【教学过程】：案例研究引例5.1.1 曲边梯形的面积问题所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边梯形的面积．分析 由于“矩形面积=底⨯高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间[,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算.另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间[,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边图5-1 图5-2梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积（如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A .（1）分割 在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点，01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将闭区间[,]a b 分成n 个小区间],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ，它们的长度依次为11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --∆=-∆=-∆=-∆=-，过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形；（2）取近似 在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -∆=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的面积()i i f x ξ∆近似代替相应的小曲边梯形的面积A ∆，即()(1,2,...,)i i A f x i n ξ∆=∆=，（3）求和 把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=∆ni i i x f 1)(ξ，将其作为曲边梯形面积的近似值，即11()n ni i i i i A A f x ξ===∆≈∆∑∑；（4）取极限 当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ（max{}i x λ=∆）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即01lim ()ni i i A f x λξ→==∆∑. 5.1.1 定积分的定义定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插入1n -个分点01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将区间[,]a b 分成n 个小区间011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --，各小区间的长度依次为11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --∆=-∆=-∆=-∆=-，在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积),,2,1()(n i x f i i =∆ξ，并作和∑=∆ni i i x f 1)(ξ，记}max {i x ∆=λ， ),,2,1(n i =，当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区间[,]a b 上可积，并将此极限值称为函数()y f x =在[,]a b 上的定积分，记为⎰ba dx x f )(. 即 ∑⎰=→∆=n i i ib a x f dx x f 10)(lim )(ξλ， 其中x 称为积分变量，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式， a 称为积分下限，b 称为积分上限，[,]a b 称为积分区间，符号⎰ba dx x f )(读作函数()f x 从a 到b 的定积分.按定积分的定义，两个引例的结果可以分别表示为：⎰=b a dx x f A )(，⎰=ba dt t P Q )(， 关于定积分的定义作以下几点说明：（1）和式的极限∑=→∆10)(lim i i i x f ξλ存在（即函数()f x 在[,]a b 上可积）是指不论对区间[,]a b 怎样分法，也不论对点1()i i i i x x ξξ-≤≤怎样取法，极限都存在.（2）和式的极限仅与被积函数()f x 的表达式及积分区间[,]a b 有关，与积分变量使用什么字母无关，即⎰⎰⎰==ba b a ba du u f dt t f dx x f )()()(. （3）定义中要求积分限ab <，我们补充如下规定：当a b =时，()0ba f x dx =⎰ 当ab >时，()()b aa b f x dx f x dx =-⎰⎰ （4）函数可积的两个充分条件：若],[)(b a x f 在上连续，则],[)(b a x f 在上可积。
若],[)(b a x f 在上有界，且只有有限个第一类间断点，则],[)(b a x f 在上可积。
定积分的几何意义 当0)(≥x f 时，由前述可知，定积分⎰ba dx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =，两直线b x a x ==,与x 轴所围成的曲边梯形的面积；如果0)(≤x f ，这时曲边梯形位于x 轴下方，定积分⎰ba dx x f )(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值，如图5－3；当)(x f 在[,]a b 上有正有负时，定积分⎰ba dx x f )(在几何上表示x 轴，曲线)(x f y =及两直线b x a x ==,所围成的各个曲边梯形面积的代数和（见图5－4），即 123()ba f x dx A A A =-+-⎰. 5.1.2 定积分的性质以下性质中函数均为可积函数.性质1 函数和（差）的定积分等于它们定积分的和（差）,即 ⎰⎰⎰±=±ba b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()](([）. 性质1可推广到有限多个函数代数和的情形. 性质2 被积函数的常数因子可以提到定积分的符号外面，即⎰⎰=ba b a dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）. 性质3 如果在区间[,]a b 上()f x C ≡，则)()(a b C Cdx dx x f ba b a -==⎰⎰， 特别地，1C =时，a b dx ba -=⎰. 性质3的几何意义如图5－7所示.性质4（积分区间的可加性） 如果积分区间[,]a b 被点c 分成两个区间[,]a c 和[,]c b ,则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分的和，即⎰⎰⎰+=c a bc b a dx x f dx x f dx x f )()()(. 注意：无论,,a b c 的相对位置如何，总有上述等式成立。
性质5 如果在区间[,]a b 上，()0f x ≥，则 0)(≥⎰ba dx x f ()ab <. 性质6（定积分的单调性） 如果在区间],[b a 上，有()()f x g x ≤,则 ⎰⎰≤ba b a dx x g dx x f )()( ()a b <. 例2 比较下列各对积分值的大小（1）0⎰与130x dx ⎰ （2）20xdx π⎰与20sin xdx π⎰解 （1）由幂函数的性质，在[]0,1上，有3x ≥由定积分性质，得1300x dx ≥⎰⎰（2）在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有sin x x ≥，得2200sin xdx xdx ππ≥⎰⎰ 性质7（估值定理） 如果函数()f x 在闭区间],[b a 上的最大值为M ，最小值为m ，则 )()()(a b M dx x f a b m ba -≤≤-⎰ ()ab <. 性质7说明，由被积函数在积分区间上的最大值和最小值可以估计积分值的大致范围.例3 估计定积分⎰--112dx e x 的值. 解 先求2)(x e x f -=在区间[1,1]-上的最大值和最小值，为此求得22)(x xe x f --='， 令0)(='x f ，得驻点0x =，比较驻点0x =处与区间端点1x =±处的函数值：1)0(0==e f ， ee f 1)1(1==±-， 得最小值1m e =，最大值1M =，再根据估值定理，得 22112≤≤⎰--dx e e x . 性质8（积分中值定理） 如果函数()y f x =在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得 ))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ )(b a ≤≤ξ这个公式称为积分中值公式.【教学小节】：通过本节的学习，理解曲边梯形面积求法的思维过程，理解定积分的概念及其几何意义，熟练掌握定积分的性质，并学会应用其解决定积分的简单问题。
【课后作业】：无。