5.1 定积分的概念与性质-习题

1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴baxdx ⎰（a b <）；【解】第一步：分割在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b ax k n-=，（1,2,,1k n =-），将区间[,]a b 分为n 个等长的小区间[(1),]b a b aa k a k n n--+-+，（1,2,,k n =），每个小区间的长度均为k b an-∆=，取每个小区间的右端点k b ax a k n-=+，（1,2,,k n =）， 第二步：求和对于函数()f x x =，构造和式1()n n k k k S f x ==⋅∆∑1n k k k x ==⋅∆∑1()nk b a b aa k n n=--=+⋅∑ 1()n k b a b aa k n n =--=+∑1()nk b a b a na k n n =--=+∑ 1()n k b a b a na k n n =--=+∑(1)[]2b a b a n n na n n ---=+⋅ ^1()[(1)]2b a b a a n -=-+⋅-1()()22b a b a b a a n --=-+-⋅1()()22b a b a b a n+-=--⋅第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==⋅∆∑1lim()()22n b a b a b a n→∞+-=--⋅ ()(0)22b a b ab a +-=--⨯()2b a b a +=-222b a -=，即得baxdx ⎰222b a -=。

⑵1xe dx ⎰。

【解】第一步：分割在区间[0,1]中插入1n -个等分点：k k x n=，（1,2,,1k n =-），将区间[0,1]分为n 个等长的小区间1[,]k kn n-，（1,2,,1k n =-），每个小区间的长度均为1k n∆=， }取每个小区间的右端点k k x n=，（1,2,,k n =），第二步：求和对于函数()xf x e =，构造和式1()nn k k k S f x ==⋅∆∑1knx k k e ==⋅∆∑11k nnk e n ==⋅∑11kn n k e n ==∑由于数列k n e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，其首项为11n x e =，公比为1n q e =，可知其前n 项和为1111[1()]1k nnn n nk ne e e e=-=-∑11(1)1nne e e-=-，于是1()nn k k k S f x ==⋅∆∑11kn n k e n ==∑111(1)1nn e e n e -=⋅-111(1)1n ne ne e =-- 第三步：取极限令n →∞求极限1lim lim ()nn k k n n k S f x →∞→∞==⋅∆∑111lim (1)1n n ne n e e →∞=--1x n=0(1)lim 1xx x xe e e →=-- 洛必达法则0(1)limx x xx e xe e e →+--01=(1)lim 1x xe →+-- \=(1)(1)1e e --=-，即得11x e dx e =-⎰。

2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ⑴121xdx =⎰；【证明】定积分12xdx ⎰的几何意义是由直线2y x =，1x =及x 轴围成的三角形的面积，如图可见即知，12OAB xdx S ∆=⎰2AB OB ⋅=2112⨯==。

证毕。

⑵12014x dx π-=⎰；【证明】定积分1201x dx -⎰的几何意义是由圆弧21y x =-与x 轴及y 轴所围成的四分之一圆形的面积，如图可见)12220111()1444x dx S OA πππ-===⨯=⎰半圆。

证毕。

⑶sin 0xdx ππ-=⎰；【证明】定积分sin xdx ππ-⎰的几何意义是由正弦曲线sin y x =在[,]ππ-上的一段与x 轴所围成的图形的面积，如图可见图形由两块全等图形组成，12sin xdx SS ππ-=+⎰，其中1S 位于x 轴下方，2S 位于x 轴上方，显见12S S =-， 从而22sin 0xdx SS ππ-=-+=⎰，证毕。

⑷2202cos 2cosxdx xdx πππ-=⎰⎰。

【证明】定积分22cos xdx ππ-⎰的几何意义是由余弦曲线cos y x =在[,]22ππ-上的一段与x 轴所围成的图形的面积，如左图所示，为22cos xdx ππ-⎰12SS =+,】而定积分20cos xdx π⎰的几何意义是由余弦曲线cos y x =在[0,]2π上的一段与x 轴所围成的图形的面积，如右图所示，为20cos xdx π⎰2S =,由于曲线cos y x =关于y 轴对称，可知12S S =，亦即1222S S S +=，即知2202cos 2cos xdx xdx πππ-=⎰⎰。

证毕。

3．已知101ln 21dx x =+⎰，试用矩形法公式（），求出ln 2的近似值（取10n =，计算时取4位小数）。

【解】矩形法公式（）为011()()bn ab af x dx y y y n--≈+++⎰，其中()i i y f x =（0,1,,1i n =-），而i x （1,,1i n =-）为区间[,]a b 的1n -个等分点。

于是，在区间[0,1]插入1n -个等分点i ix n =，（1,,1i n =-）， 对于1()1f x x =+，求出1()1i i f x x =+11i n=+n n i =+，（0,1,,1i n =-）， 于是，当10n =时，101ln 21dx x =+⎰110101010101010101010()1010111213141516171819≈+++++++++ 111111111110111213141516171819=+++++++++】0.10.090910.083330.076920.071430.06667≈+++++0.062500.058820.055560.05263++++0.718770.7188=≈。

4．证明定积分性质： ⑴()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰；【证明】在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k x ，（1,2,,1k n =-），每个小区间的长度均为k ∆，对于函数()()F x kf x =，有：()bakf x dx ⎰()baF x dx =⎰ ---- ()()F x kf x =1lim ()nk k n k F x →∞==⋅∆∑ ---- 定积分()baF x dx ⎰的定义1lim ()nk k n k kf x →∞==⋅∆∑ ---- ()()F x kf x =…1lim ()nk k n k k f x →∞==⋅∆∑ ---- 加法结合律()k a b ka kb +=+1lim ()nk k n k k f x →∞==⋅∆∑ ---- 极限运算法则lim ()lim ()cf x c f x =()bak f x dx =⎰ ---- 定积分()baf x dx ⎰的定义⑵1b baadx dx b a ⋅==-⎰⎰。

【证明】在区间[,]a b 中插入1n -个等分点：k b ax a k n-=+，（1,2,,1k n =-），每个小区间的长度均为k b an-∆=， 对于函数()1f x =，构造和式1()nk k k f x =⋅∆∑11n k k ==⋅∆∑1nk b a n =-=∑11n k b a n =-=∑b an n -=⋅b a =-，即由定积分定义得1badx ⋅⎰1lim 1nkn k →∞==⋅∆∑lim()n b a →∞=-b a =-。

再由上⑴的结论()()bbaakf x dx k f x dx =⎰⎰，即得11bbbaaadx dx dx ⋅=⋅=⎰⎰⎰。

综上得：1bb aadx dx b a ⋅==-⎰⎰，证毕。

—5．估计下列积分的值： ⑴221(2)x dx -⎰；【解】函数2()2f x x =-在区间[1,2]上，有'()20f x x =-<恒成立，知2()2f x x =-在区间[1,2]上单调减少，于是有(2)()(1)f f x f ≤≤，亦即2221x -≤-≤， 从而得 2212(21)(2)1(21)x dx --≤-≤-⎰，亦即2212(2)1x dx -≤-≤⎰。

⑵5244(1sin )x dx ππ+⎰；【解】函数2()1sin f x x =+1cos 212x -=+31cos 222x =-， 由544x ππ≤≤得5222x ππ≤≤，而知1cos21x -≤≤， 从而111cos 2222x ≥-≥-，即知3131312cos 21222222x =+≥-≥-=，~亦即211sin 2x ≤+≤，从而得 5244551()(1sin )2()4444x dx ππππππ-≤+≤-⎰，亦即5244(1sin )2x dx ππππ≤+≤⎰。

⑶arctan xdx ；【解】函数()arctan f x x x =在区间上，有2'()arctan 01x f x x x =+>+恒成立，知()arctan f x x x =在区间上单调增加， 于是有()f f x f ≤≤， 亦即arctan x x ≤≤ 整理得arctan x x ≤≤从而得arctan xdx ≤≤， (亦即2arctan 93xdx ππ≤≤。

⑷22xxe dx -⎰。

【解】注意到2220222()x xx xx xedx edx edx ---=-=-⎰⎰⎰，函数2()xxf x e -=-在区间[0,2]上，有21'()2()2x xf x x e-=--，得唯一驻点12x =，无不可导点，对比0(0)1f e =-=-，1114241()12f e e --=-=->-，422(2)f e e -=-=-，知在区间[0,2]上有2124x xe e e ---≤-≤-，于是有 21224(20)()(20)x xe edx e ----≤-≤--⎰，亦即 21024222x xe edx e ---≤≤-⎰。

6．设()f x 及()g x 在闭区间[,]a b 上连续，证明： ⑴若在[,]a b 上，()0f x ≥，且()0baf x dx =⎰，则在[,]a b 上()0f x ≡；;【证明】反证法：设有[,][,]c d a b ⊂，使()0f x ≡不成立，则由题设在[,]a b 上，()0f x ≥，不妨设[,]x c d ∈时()0f x >， 于是，由于()f x 在[,][,]c d a b ⊂上连续，知()f x 在[,]c d 上可积， 即由曲边梯形面积定义知，()0dcf x dx >⎰，但由于在[,]a b 上，()0f x ≥，即知在[,]a c 和[,]d b 上，有()0f x ≥， 于是由定积分性质知，有()0caf x dx ≥⎰，()0bdf x dx ≥⎰，从而由已知()0baf x dx =⎰亦即()()()0c d bacdf x dx f x dx f x dx ++=⎰⎰⎰，得到()[()()]0dcbcadf x dx f x dx f x dx =-+≤⎰⎰⎰，这与上面的()0dcf x dx >⎰相矛盾，从而假设不成立，即使命题得证成立。