定积分的概念与性质(3)
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定积分概念与性质
x → 积分变量 f ( x )dx → 被积表达式 ,
a → 积分上限 ,
[a,b] → 积分区间
b → 积分下限
注
(1)定积分是一个数值 (1)定积分是一个数值 (2)定积分的值与区间的分法无关,与 (2)定积分的值与区间的分法无关, ξ i 的取法无关 定积分的值与区间的分法无关 (3)定积分的值只与区间长度有关， 与被积函数有关。 (3)定积分的值只与区间长度有关， 定积分的值只与区间长度有关 与被积函数有关。
3 求和
0
∑
i =1
n
i 2 1 ∆ Ai = ( ) n n i =1
∑
n
=
1 n3
(1 + 2 2 + 3 2 + L + n 2 )
1 n ( n + 1 )( 2 n + 1 ) = 3 6 nn
4 0 取极限
λ→0
lim
∑
f (ξ i ) ∆ x i
i =1
即
∫
1
0
1 n( n + 1)(2n + 1) 1 = lim 3 = n →∞ n 6 3 1 2 x dx = 3
定理表明: 定理表明: (1)连续函数一定存在原函数 (1)连续函数一定存在原函数 牛顿---------莱布尼兹公式 二.牛顿-----莱布尼兹公式 (2) 把定积分与原函数之间 建立起联系 定理 3 .
如果函数 F ( x )是连续函数 f ( x )
b
在区间[a , b]上的一个原函数 , 则 f ( x )dx = F (b ) − F (a )
2 0 若 V = 变量， 则可通过下面的步骤 变量，
（1）分割
定积分的概念与性质
t = b所经过的路程 s.
15
定积分的概念与性质
四、关于函数的可积性
当函数
称()在区间 [, ]上
∈ [, ].
定理1
的定积分存在时
可积.或 ,黎曼可积,记为
()在区间 [, ]上
黎曼 德国数学家(1826–1866)
设()在[, ]上连续,
则()在[, ]上
න
න
25
定积分的概念与性质
性质5 如果在区间
则
性质5的推论1
如果在区间
则
证
[, ]上
[, ]上
න (); )
() ≤ (),
( < )
න () ≤ න ()
∵ () ≤ ()
∴ () − () ≥ 0
= − −1 , ( = 1,2, ⋯ , ),
在各小区间上任取
一点 ( ∈ ), 作乘积
(3)
并作和 = ( )
=1
(4)
= max 1 , 2 , ⋯ , ,
记
( ) ( = 1,2, ⋯ , )
在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积
取负号.
()
+
+
−
14
定积分的概念与性质
例
解
y
求න
න
1 − 2
1 − 2 =
4
1
o
=
1
1 − 2
x
2. 物理意义
当() ≥ 0时,
= ()
定积分
න ()
表示以变速
作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻
定积分的概念及性质
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
定积分的定义和性质
1 6
1
1 n
2
1 n
,
0 n ，
1 x2dx lim n
0
0 i1
i
2xi
lim
n
1 6
1
1 n
2
1 n
1。 3
证明 设函数f (x)在[0,1]上连续，且取正值，证：
lim n
在每个小区间[ xi1, xi ] 上任取一点i，
y
y f ( x)( 0)
以 [ xi1, xi ]为底，f (i )
f (i )
为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
则曲边梯形面积
n
A f (i )xi
i 1
o a b x x1 x2
xi1 xi
a o
=曲边梯形的面积的负值；
A
bx
b x
y f (x)
3、一般情况下
ab f ( x)dx是介于 函数 f ( x) 图形, x 轴及两条
直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和。 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号。
ab f ( x)dx A1 A2 A3 A4
第一类间断点，则 f ( x)在[a,b]上可积。
定理3 若函数f ( x)在[a,b]上单调有界，则 f ( x)
在[a, b]上可积。
三、定积分的几何意义
1、当 f ( x) 0时,
y
y f (x)
b
a
f
(
x)dx
A
第一节定积分的概念和性质
cos
1 n
2 n
cos
2 n
n
n
1
cos
n
n
1
cos1.
解
原极限
lim
n
n i 1
i n
cos
i n
1 n
易见，若取
xi
i n
,
O
1 n
2 n
...
i n
...
n 1 n
1
x
则
xi
1 n
,
i
i n
[
xi
1
,
xi
],
n
原极限
lim
n
i
i 1
cos i xi
由此可见，被积函数应取为 f ( x) x cos x,
例2 利用定积分表示以下极限.
lim
n
n
1 n
cos
1 n
2 n
cos
2 n
n
n
1
cos
n
n
1
cos1.
n
解
原极限
lim
n
i
i 1
cos i xi
i
i n
(i 1, 2,, n)
故
1 0
x 2dx
lim
n
1 n3
(12
22
Hale Waihona Puke 32 n2 )
不定积分和定积分的概念和性质
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C为任意常数）
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
（2）若 F ( x) 和G( x) 都是f ( x) 的原函数， 则 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
例4 求积分 x2 xdx.
解
5
x2 xdx x 2dx
根据积分公式（2）
x dx
x1 C
1
51
x2 5
1
C
2
7
x2
C.
7
2
例5
求积分
3
( 1
x2
2 )dx.
1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
什么样的函数可以求定积分哪？
积分的概念与性质
一、定积分的概念和性质 二、定积分的概念和性质 三、牛顿-莱布尼兹公式
引言
数学发展的动力主要来源于 社会发展的环境力 量. 17世纪, 微积分的创立首先是为了解决当时数 学面临的四类核心问题中的第四类问题, 即求曲线 的长度、曲线围成的面积、 曲面围成的体积、
引言
物体的重心和引力等等. 此类问题的研究具有久远 的历史, 例如, 古希腊人曾用穷竭法求出了某些图 形的面积和体积, 我国南北朝时期的祖冲之、祖恒 也曾推导出某些图形的面积和体积, 而在欧洲, 对 此类问题的研究兴起于17世纪, 先是穷竭法被逐渐 修改, 后来由于微积分的创立 彻底改变了解决这一 大类问题的方法.
（ C为任意常数）
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
（2）若 F ( x) 和G( x) 都是f ( x) 的原函数， 则 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
例4 求积分 x2 xdx.
解
5
x2 xdx x 2dx
根据积分公式（2）
x dx
x1 C
1
51
x2 5
1
C
2
7
x2
C.
7
2
例5
求积分
3
( 1
x2
2 )dx.
1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
什么样的函数可以求定积分哪？
积分的概念与性质
一、定积分的概念和性质 二、定积分的概念和性质 三、牛顿-莱布尼兹公式
引言
数学发展的动力主要来源于 社会发展的环境力 量. 17世纪, 微积分的创立首先是为了解决当时数 学面临的四类核心问题中的第四类问题, 即求曲线 的长度、曲线围成的面积、 曲面围成的体积、
引言
物体的重心和引力等等. 此类问题的研究具有久远 的历史, 例如, 古希腊人曾用穷竭法求出了某些图 形的面积和体积, 我国南北朝时期的祖冲之、祖恒 也曾推导出某些图形的面积和体积, 而在欧洲, 对 此类问题的研究兴起于17世纪, 先是穷竭法被逐渐 修改, 后来由于微积分的创立 彻底改变了解决这一 大类问题的方法.
3.2.1 定积分的概念与性质
a f ( x )dx a f (t )dt a f (u)du
如果存在, 它就是一个确定的数值!
(2) 当函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上的定积分存在时，
b
b
b
称 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.
( 3) 规定 : 当a b时, a f ( x )dx b f ( x )dx, 当a b时, a f ( x )dx a f ( x )dx 0.
0 i 1
b
n n
b
b
b
b
n
0 i 1
a f ( x )dx g( x )dx. a
(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)
b
性质2
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
b
n
b
b
k ( 为常数).
Proof. a kf ( x )dx lim kf ( i )xi
矩形面积和与曲边三角形面积的关系．
播放
曲边梯形如图所示，
(1)在区间[a, b]内插入若干个分点， a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间[a, b] 分成 n 个小区间[ xi 1 , xi ]， 长度为 xi xi xi 1 ;
y
( 2)在每个小区间[ xi 1 , xi ] o a 上任取一点 i，
(1)在[a , b]中任意插入 若干个分点
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b
n 个小区间，各小区间的长度依次为 把区间[a , b] 分成
x i x i x i 1 ，( i 1,2,) ，
3.1.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
1 6
1
1 n
2
1 n
,
当
max
1in
xi
1 n
0 时，即 n
，有
1 x2dx 0
n
lim 0 i1
i 2xi
lim 1 1 1 2 1 1 . n 6 n n 3
17
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
例 2．用定积分的定义计算 1 e xdx 。 0
解：∵ e x在[0, 1]上 连续，∴ e x在[0, 1]上 可积。
n
作和式 S f ( i )xi ，其中xi xi xi1，，
i 1
记 max{ x1 , x2 ,, xn }，
11
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
如果不论[a,b]怎样分法及i 如何 选取， 当 0 时，
和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x) 在 [a, b]上的
定积分，记作 b f ( x)dx ，即 a
小矩形面积来近似，即Ai f (i )xi
（3）求和
A f (ξ1 )x1 f (2 )x2 f (ξi )xi f (ξn )xn
n
即 A f (i )xi 。 i 1 6
3.1-3 定积分的定义、性质和几何意义
（4）取极限
当 分 割 无 限 加 细, 即 小 区 间 的 最 大 长 度
（2）取近似
si v(i )ti
部分路程值
某时刻的速度
n
（3）求和 s v(i )ti i 1
（4）取极限 max{t1,t2 ,,tn }
n
路程的精确值
s
lim
0
i 1
v ( i
)ti