(完整版)专题1——利用定积分定义求极限(1)
利用定积分定义求极限的原理
利用定积分定义求极限的原理定积分是微积分的一个重要概念，用于计算函数在一定区间上的面积。
定积分的定义可以用来求极限，这是一项重要的数学技巧。
本文将介绍利用定积分定义求极限的原理，并通过实例说明其应用。
首先，我们来回顾一下定积分的定义。
对于一个函数f(x)在[a,b]区间上的定积分，可以用极限的概念表达为：∫(a,b) f(x) dx = lim(n→∞) Σ[i=1,n] f(x_i) Δx其中，Δx = (b - a) / n 是每个小区间的宽度，x_i 是区间中的任意一点，lim(n→∞)代表当n趋向于无穷大时取的极限，Σ[i=1,n]表示对每个小区间做求和运算。
根据定积分的定义，我们可以利用它来求解一些函数的极限。
具体步骤如下：第一步，确定求解的函数。
首先需要选择一个待求解的函数f(x)，并找到一个包含区间[a,b]的闭区间来计算。
第二步，进行积分近似。
利用定积分的定义，将函数f(x)分割成若干个小区间，并在每个小区间上选择一个代表点x_i。
然后，计算相应的Σ[i=1,n]f(x_i)Δx。
第三步，求解极限。
根据极限的定义，将积分近似的结果取极限，即lim(n→∞) Σ[i=1,n] f(x_i) Δx。
第四步，验证结果。
通过比较求得的极限与给定函数的极限是否相等，来验证我们的结果。
接下来，我们通过一个具体的实例来说明利用定积分定义求极限的原理。
例子1：求解函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的极限lim(n→∞) Σ[i=1,n] f(x_i) Δx。
首先，将区间[0,1]分割成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=1/n。
然后，在每个小区间上选择一个代表点x_i，可以选择x_i=Δx/2接下来，计算Σ[i=1,n]f(x_i)Δx：Σ[i=1,n]f(x_i)Δx=Σ[i=1,n](Δx/2)^2Δx=Σ[i=1,n]Δx^3/4=(∑[i=1,n]Δx^3)/4=nΔx^3/4=n(1/n)^3/4=1/4n^2最后，取极限得到极限结果：lim(n→∞) Σ[i=1,n] f(x_i) Δx = lim(n→∞) (1 / 4n^2) = 0我们知道函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的极限为0，因此利用定积分的方法求得的极限结果与函数极限相等，验证了我们的结果。
高数 利用定积分定义求极限
（一）定积分的定义其中，分割是任意的分割，想怎么分就怎么分，任意分！分割的目的在于第二步的代替。
代替什么呢？就是“化曲为直”，用直线来近似代替那段曲线，为什么这时候能够用直线来近似代替那段曲线了？就是因为第一步的分割呀！因为你第一步的分割分的让每个子区间足够小，小的让在小区间内随便取一点，代入到被积函数中，它的值都一样！既然都一样了，此时就可以将曲线看成直线了，此时这段小区间的面积就可以近似看作是小矩形的面积，宽就是小区间长度，长就是将这一点代入被积函数后的值。
大家对照着上面的图一，看看上面讲的n等分法，这就是考研里面的特殊分割！你之前是任意分割，现在我就取个特殊，我将这个区间分成n等份，每一份的区间长度都是n分之一。
而近似呢，你之前的定义是说取小区间的任意一点，我这时候就取个特殊点，我取每个小区间的右端点！把这个右端点代入到被积函数中，用它的函数值来近似代替这段曲线上的每一点值，即：你要想明白1/n代表什么？它代表的是矩形面积微元中的那个宽！小 f 这个函数代表什么？它代表的是矩形面积微元中的那个长！（二）利用定积分定义求极限的题目特征在哪些题目需要考虑用定积分的定义？或者说这类题目有什么样的特征？汤老师是这样总结的：用定积分定义求极限的题目具有如下的特征：1、分子齐（都是1次或0次）；2、分母齐（都是2次）；3、分母比分子多一次；这里的“齐”是什么意思呢？举两个例子就明白了：比如说例1这个题：这个题，他的分母都是2次，是齐的，分子都是1次，分母比分子多一次。
又比如例2：这个题，它的分母都是1次，是齐的，分子都是0次（因为都是1，可以看做是0次方），分母比分子多一次。
像上面这两道题，就是典型的利用定积分定义做的。
两道题的求解步骤分别如下所示：。
考研数学专题 利用定积分的几何意义求和式极限
2
ln xdx
1
故选择 B.
注： 根据定积分的几何意义，易知如果将 C 选项改为 2 1ln(1 x)dx 也正确。利 0 用分部积分法容易算出结果,即：
lim ln n
n
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n n
2
2
2
ln xdx 4 ln 2 2.
1
例题
1.2： lim n
n
1
1 n
2
1
2 n
们来看具体的做法。
解：先对原式进行适当的放缩
lim
n
sin k n
n k 1 n 1
lim
n
n k 1
sin k n
n 1
lim
n
sin k n
n n k 1
，下面利用定积分的定义求两侧极限，
k
lim
n
sin k n
n n k 1
1
sin
0
xdx
1
cos
x |10
2
,
lim
这道题目应该深刻体会和式的极限与定积分之间的转化并且熟悉定积分
的几何意义。
解：
lim ln
n
n
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n 2 n
lim
n
1 n
(ln
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n n
2
)
2
lim
n
1 n
(ln
1
1 n
ln
1
(完整版)关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结
关于利用定积分定义去解决数列极限问题总结()()()()()()b11bn 0首先研究一下定积分的定义函数f 如果对a,上一切分割及相应的一切积分和，只要分割的细度趋于0，就有一确定的极限，则称该极限为f 在a,上定积分，记为lim在求部分数列极限问题中，经常会利用定积分的定义去解决，下面我跟大家讲解的再详细具体实用点,在求解过程中方法1：lim这种做法是从左端ni i aT in i i ak：x b x b f x dx f x f x dx f x ξξ→=-→∞=⎡⎤⎣⎦⎡⎤=∆⎣⎦=∆∑⎰∑⎰()()()()()()()()()bn 111bn n 00b点开始取函数值方法2：lim这种做法是从右端点收尾取函数值一般在数列极限问题中我们通常是从右边往左边推，但是我发现在考研真题中上面两个等式还是不实用，因为考试中通常是对区间取等分间隔=，也就是比如n方法1：lim =lim 方法2：ni i aki n n i i a k k a f x dx f x b ax k b a b a f x dx f x f a n n f x ξξ→∞=--→∞→∞===∆-∆⎛⎫--=∆+ ⎪ ⎪⎝⎭∑⎰∑∑⎰()()()()()()()n n 111bn 0lim =lim 易错点：我可以保证基本每个人都错过，就是在解决具体的真题时候，经常忘了乘错误示范：=lim ？具体求数列极限问题中一般是写成右边这个形式，然后去推测相应的f ,和a,具体数值也就是说要推测三个n n i i k k n a k k b a b a dx f x f a n n b a n k b a f x dx f a n x b ξ→∞→∞==-→∞=⎛⎫--=∆+ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰∑⎰()()()()11100n n 0量，我感觉有点难，所以我想把这个问题变得再详细具体实用点，我发现在具体应用中不管怎么出，我都可以把a=0,b=1去研究我是有理由的，大家可以思考下为什么我可以敢这样说，这样做题有一个好处就是只需要推测f 这一个量就可以了，此时把上面两种方法再修改一下：令a=0,b=11方法1：=lim ，方法2：=lim n k k x k k f x dx f f x dx f n n n -→∞→∞==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰⎰11现在问题又来了，在考试的时候涉及到关于数列极限的问题时，怎么才能想到是利用定积分的定义去求呢？带着这个疑问，我们再研究一下上面两种方法划横线部分的形式nn∑()10110n-1n-10n-1第一项是f =f 0,第二项是f ,11n n 1n-1第一项是f ,第二项是f ,n-1我们发现这两种方法选取的第一个点和最后的一个点自变量相减都是，1而且这两种方法中每一项都有n 和,这也告诉我们如果在求数列极限问题中n如果发现每一项都含有n ，那n k nk k f n n n n n n n k f n n n n n n n n-==⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑么此时可以考虑下利用定积分的定义去做一下()1n n 111例1：lim n 1n 22n 分析：所求此数列每一项都含有n ，感觉好像可以利用定积分的定义，但是问题又来了1要想利用定积分，每一项要含有，可是这个数列不是啊，所以要想=lim到转化喽n1111n =现在问题又来了，n 1n 22n n n 1n 22n 感觉括号里面还是找不到对应的规律啊，因为要出来n k f x d n n x f →∞→∞⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭⎛⎫++++++ ⎪++++⎝⎛⎫ ⎝⎭⎰11111n =n 1n 22n n n 1n 22n 11111=大家注意为了找规律，所以最后一项不要写成12n n 2110123也就是说要出来，说的更详细点也就是每一项要出现,,,之类11+的，n 那么对括号里面再进一步转化一下1这样再看括号里面就会很容易的猜测f (x)=,1n 1n nk nn n nnk n n n nx=⎛⎫++++++⎪++++⎝⎭⎛⎫ ⎪⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎪++ ⎪⎪+⎝⎭⎭+∑()()()()110334:n 333343330111n 22n 1变形1：lim12分析：看到各项都含有n,有的学员可能不赞同，说括号里面没有每一项都含有n 啊？1可是外面不是公共的吗？呵呵，然后想到定积分，首先把提出来，n1112n 12=+++n n n n 为了找11相应的函数ln 1ln ，也就是每2项1中0一n nn n f x dx dx x x →∞==+⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ⎪⎝+⎭=⎰⎰012要出现,,,n n n()()()33333333113334:n 112n 112n 把式子继续转化+++=+++nn n n n n n n 这样很显然看出函数是f 1lim12x x n f x dx x dxn →∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++⋅⋅⋅+==⎰⎰()()()()()()()()()()()()222:n 222222222222222111变形2：lim n +++n+1n+2n+n 1分析：看到各项都含有n,然后想到定积分，首先把提出来，n1111n +++=+++n n+1n+2n+n n+1n+2n+n 012为了找相应的函数，也就是每一项中要出现,,,n 下面要继续转化一下：1+++n n+1n+2n+n n n n n nn n n →∞⎡⎤⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⋅⋅⋅()22222222222:n 1n n n =+++n 1211111+++很明显看出函数f 12n 1111111变形3：lim n +++n 1n 22n 分析：看到各项都n n n n x n x n n n →∞⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎢⎥=⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪++⎝⎭2222222222222222222221含有n,然后想到定积分，首先把提出来，n1111n +++=+++n n 1n 22n n 1n 22n 012为了找相应的函数，也就是每一项中要出现,,,下面要继续转化一下：n 11111+++=+++n n n 1n 22n 12111n n n n nn n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎡⎢⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣()21很明显看出函数f 1x x ⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦=+()():n 112变形4：limsin +sin++sin n1分析：看到各项都含有n,然后想到定积分，而且这个题已经把提出来了，n很明显看出函数f sin n n n n x x ππππ→∞⎛⎫-⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭= 上面这几个题一定要好好领悟，把基础打死，总结关键点和易错点，但是考研真题上面一般不会出，因为考察方式太单一，下面我们看几道比较容易考的题，这几道题华南理工大学，南京师范大学都出过类似的题。
定积分的定义法求极限
定积分的定义法求极限：
用定积分定义求极限的方法如下：
分子齐（都是1次或0次），分母齐（都是2次），分母比分子多一次。
定积分定义求极限是1/n趋近于0，积分下限是0，n/n是1，积分上限是1。
“极限”是数学中的分支，微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
洛必达法则。
此法适用于解0/0型和8/8型等不定式极限，但要注意适用条件（不只是使用洛必达法则要注意这点，数学本身是逻辑性非常强的学科，任何一个公式，任何一条定理的成立都是有使其成立的前提条件的，不能想当然的随便乱用。
定积分法：此法适用于待求极限的函数为或者可转化为无穷项的和与一个分数单位之积，且这无穷项为等差数列，公差即为那个分数单位。
当n趋于无穷大时，上述和式无限趋近于某个常数A，这个常数叫做y=f(x)在区间上的定积分.记作/abf(x)dx即/abf(x)dx＝limn>00[f(r1)+...+f(rn)]，这里，a与b叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。
XX年考研资料数学：利用定积分的定义求极限.doc
2018考研数学：利用定积分的定义求极限对于多项求和再取极限的题目初次接触往往会觉得无从下手，考试中高度紧张的情况下甚至会选择直接放弃。
像下面这样，多项的乘积求和的形式统称为“积和式”.在学过定积分的定义后，会发现积和式的形式与定积分“分割、近似、求和、取极限”类似，当遇到积和式求极限的题目，自然想到能不能将其转化为求函数的定积分来简化计算。
由以上例子可知，利用定积分的定义来计算“积和式”的极限，大大减少了计算量，从而有效节省了解题时间.这类题目不仅考查数列极限的知识点，而且考查了定积分的定义，因此，在历年考试中受到出题人的“青睐”，在复习过程中应该特别引起重视，相信会得到很好的复习效果，对大家的复习大有帮助!赠送以下资料数学解题方法与技巧全汇总，考试就能派上用场！很多同学总是特别头疼数学成绩，要知道数学题只要掌握了方法，就能够迅速提升。
距离高考还有99天，小编特地为大家整理了一份高中数学老师都推荐的数学解题方法，这里面的21种方法涵盖了高中数学的方方面面，可以说是高中数学解题方法大综合，各位同学一定要记得收藏哦！解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
专题1——利用定积分定义求极限 (1)
专题1——利用定积分定义求极限 (1) 哎呀，这可是个大问题啊！今天我们来聊聊一个特别重要的数学概念——极限。
你们知道吗？极限可是数学里的灵魂啊！它就像是我们生活中的大佬，总是能解决我们遇到的各种难题。
极限到底是什么呢？别着急，我给大家慢慢道来。
我们要明白什么是定积分。
定积分就像是一种加法，它可以把无穷多个小矩形拼接起来，形成一个更大的矩形。
这个更大的矩形的面积就是我们要找的那个数。
这个过程可能会遇到一个问题——无穷多个小矩形怎么才能拼成一个大矩形呢？这时候，我们就需要用到极限的概念了。
极限就像是一个桥梁，它可以帮助我们把无穷多个小矩形联系起来。
当我们把无穷多个小矩形的面积相加时，如果结果是一个无限大的数，那么我们就可以说这个数是无穷大；如果结果是一个有限的数，那么我们就可以说这个数是有限的。
而极限就是帮助我们确定这个数到底是无穷大还是有限的。
怎么求极限呢？其实，求极限的方法有很多种。
这里我给大家介绍一种最简单、最直接的方法——四分之法。
具体操作方法就是：把分子和分母都除以同一个非零常数，然后再求极限。
这样做的好处是，可以简化我们的计算过程，让我们更容易地找到答案。
求极限并不是一件容易的事情。
有时候，我们需要通过一些巧妙的方法来突破困境。
比如说，我们可以利用“夹逼定理”来求极限。
这个定理告诉我们，如果一个函数在某个区间内单调递增或单调递减，那么它在这个区间内的极限就是它的端点值。
这样一来，我们就可以通过比较两个端点值的大小来求出函数在这个区间内的极限了。
还有一种求极限的方法叫做“洛必达法则”。
这个法则适用于那些形式比较复杂的极限问题。
它的操作方法是：先对分子和分母分别求导，然后再求极限。
这样做的好处是，可以帮助我们找到隐藏在复杂表达式中的规律，从而更容易地求出极限。
求极限是数学中的一个重要概念，也是我们解决实际问题的关键。
虽然求极限的过程可能会遇到很多困难，但是只要我们掌握了正确的方法，就一定能够攻克这些难关。
中公考研培训之如何利用定积分定义求极限
浅析如何利用定积分定义求极限1、定积分的定义设函数()f x 在区间[],a b 上有界，在[],a b 内任意插入1n -个分点，0121n n a x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<=，这样[],a b 就被分为了n 个小区间，[]1,,(1,2,...,)i i x x i n -=用1i i i x x x -=- 表示各区间的长度，再在每个区间上取一1,i i i i x x ζζ-≤≤作如下和式1()n i i i f x ζ=∑ 令{}max i x λ= ，如果极限01lim ()n i i i f x λζ→=∑ 存在且与[],a b 的划分及i ζ的选取无关，则称()f x 在区间[],a b 上可积，该极限称之为()f x 在区间[],a b 上的定积分，记作()ba f x dx ⎰。
即：01lim ()()n bi i a i f x f x dx λζ→==∑⎰ 其中()f x 称为被积函数，x 称为积分变量，[],a b 称为积分区间，,a b 分别称为积分下限和积分上限。
注：1）几何意义：()ba f x dx ⎰在几何上表示为由曲线()y f x =，直线,x a xb ==及x 轴围成的曲边梯形面积的代数和。
2）定积分定义的思想方法称之为“微元法”，它是我们用定积分计算几何及物理量的积分思路，其步骤可以总结为：分割、近似、求和、取极限。
3）定积分的本质是极限。
4）常用的定积分可以用牛顿——莱布尼兹公式很容易求到，这样用定积分定义求极限就成为求极限的一种重要方法。
2、定积分定义求极限的“特化”当定积分存在时，一般化的定积分定义形式复杂，不易求得极限，此时区间及i ζ的选取将决定极限的形式是否容易求。
[],a b 的划分特化：当在[]0,1，把[]0,1分成n 等份，[]11,,i i i i x x n n --⎡⎤=⎢⎣⎦，得到n 个长度都为1n，此时无需引入参数λ，只需n →∞即可表示每个小区间足够小。
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专题1——利用定积分定义求极限
对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法：
① 是n →∞时的极限
② 极限运算中含有连加符号1n i =∑
在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，
我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为
b a n
-（即定义中的i x ∆），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+，[,2]b a b a a a n n --++，[2,3]b a b a a a n n
--++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n
-+-，在定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a a i n ξ-=+（也可以取左端点(1)i b a a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n i i
i f x ξ=∆∑就变为1
()n i b a b a f a i n n =--+∑，那么1lim ()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+=∑⎰。
（取左端点时1lim
((1)
)()n b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞=--+-=∑⎰）
注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim
()()n b a n i b a b a f a i f x dx n n
→∞=--+=∑⎰，而不是01lim ()()n b a i b a b a f a i f x dx n n
λ→=--+=∑⎰。
如()f x 在区间[0,1]上的积分可以表示为1
01
1()lim ()n n i i f x dx f n n →∞==∑⎰——i ξ取每个小区间的右端点，或者
101
11()lim ()n n i i f x dx f n n →∞=-=∑⎰——i ξ取每个小区间的左端点。
举例：求3
41lim n
n i i n →∞=∑ 分析：函数3()f x x =在区间[0,1]上的定积分的定义可以表示为133011lim ()n
n i i x dx n n →∞==⋅∑⎰（这里i ξ取的是每个小区间的右端点），即3
13340111lim ()lim n
n n n i i i i x dx n n n →∞→∞===⋅=∑∑⎰。
所以34
13104011lim |44n
n i i x x dx n →∞====∑⎰
对于这个考点的考法应该不会很深（这个方法经常在数学竞赛中用到），给出的极限应该可以化为某个函数在区间[0,1]上的定积分，基于此，遇到这类题时，一定要把给出的极限化为如下形式：
1111lim ()lim ()n
n n n i i i i f f n n n n →∞→∞==⋅=∑∑或者111111lim ()lim ()n n n n i i i i f f n n n n →∞→∞==--⋅=∑∑，只要化为以上的几种形式，那么给出的极限就是函数()f x 在区间[0,1]上的积分，即
1
01111111111()lim ()lim ()lim ()lim ()n
n n n n n n n i i i i i i i i f x dx f f f f n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞====--=⋅==⋅=∑∑∑∑⎰。