巧用定积分的概念求和式极限的方法技巧
利用定积分定义求和式极限问题的探讨
．
上 式 的 和 是 函 数 Ｆ （ｘ，ｙ）＝５ｘ 一１８×２ｙ ＋５ｙ４在 Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）
＝ 击 ．
酬 ＝击 ＋ ＝
。 ＝ ｌ０≤×≤１，０≤ｙ≤１｝上 的一个 积分 和 。该题 在 求解 过程 中将 Ｄ：
｛（ｘ，ｙ）＝１０≤ｘ≤１，０≤ｙ≤１｝进 行等 分 成 个 ｎ 小 区域 ，按 照 划
＋
这里取ｆ（ｘ）＝ ，区间为［ａ，ｂ】，极限转化为击
Ｊ ｘ ｄ×。若取 分—— 求 和 —— 取 极 限 的 方 法 来进 行 分 析 ，且 已知 函 数 Ｆ（ｘ）
＝ ５ｘ 一侣 ×２ｙ ＋５ｙ 在 整个 闭区域上 是连续 的 ，故二 重积分 存在 ，可
ｆ（ｘ）＝［ａ＋（ｂ—ａ）ｘ】。，区间为［０，１】，极限转化为Ｊ。［ａ＋（ｂ—ａ）×］Ｄｄ×。后 以利用 二重积 分来计 算该极 限和 。
ｆ ｓｉｎ ｓｉｎ
１
椭 【 ０ 叶哥
有些特殊 的和 的极 限可 以利用二重 积分 的定义 求解。
例４ 计算 。。 ∑ ∑（５ｍ 一１８ｍ 。＋５ｋ ）。
ｎ ｍ 。 。
解 ： 。。 ∑ ∑ （５ｍ 一１８ｍ２ｋ２＋５ｋ ）： ∑ ∑
［５ 例２ 求极限 ｓｉｎ ’ ∑［ｎａ＋ｉ（ｂ—ａ）］ （ｐ＞ｏ。ａ＜ｂ）
的 空间 ，让他 们 用手 中的立体 图形和 平面 图形 自由结合 创造 出一 些模 型 、图案 ，然后 让代 表在讲 台前展 示并给 自己的模型 作简 短 的 介绍 ，就这 样把本 节课推 入 了高潮 。
不管是 怎样 的教学模 式 ，本着 “在 活动 中体验 ，在活动 中感 悟 、 在感悟 中成 长”的理 念 ，努 力地 创设 问题 情境 ，使 内容 活动 化 ，活动 内容化 ，使我 们的教学设计 真正 是学生活动 的设计 。让学生在 民主 和谐 的环境 中学 习 ，在激 烈竞争 的环境 中探 索 ，给学 生一 个 自由翱 翔的空 间和发 挥的舞 台，让 学生充分 体验到投 入实践 和探索 的成就 感。让学生没有 理由不爱上数 学 ！带着一种欣 赏的眼光去聆 听学生 们的话语 ，使 你不能不 为孩 子丰富的想象 力 、大胆的创造 力而惊叹 ！
利用定积分定义求极限的原理
利用定积分定义求极限的原理定积分是微积分的一个重要概念，用于计算函数在一定区间上的面积。
定积分的定义可以用来求极限，这是一项重要的数学技巧。
本文将介绍利用定积分定义求极限的原理，并通过实例说明其应用。
首先，我们来回顾一下定积分的定义。
对于一个函数f(x)在[a,b]区间上的定积分，可以用极限的概念表达为：∫(a,b) f(x) dx = lim(n→∞) Σ[i=1,n] f(x_i) Δx其中，Δx = (b - a) / n 是每个小区间的宽度，x_i 是区间中的任意一点，lim(n→∞)代表当n趋向于无穷大时取的极限，Σ[i=1,n]表示对每个小区间做求和运算。
根据定积分的定义，我们可以利用它来求解一些函数的极限。
具体步骤如下：第一步，确定求解的函数。
首先需要选择一个待求解的函数f(x)，并找到一个包含区间[a,b]的闭区间来计算。
第二步，进行积分近似。
利用定积分的定义，将函数f(x)分割成若干个小区间，并在每个小区间上选择一个代表点x_i。
然后，计算相应的Σ[i=1,n]f(x_i)Δx。
第三步，求解极限。
根据极限的定义，将积分近似的结果取极限，即lim(n→∞) Σ[i=1,n] f(x_i) Δx。
第四步，验证结果。
通过比较求得的极限与给定函数的极限是否相等，来验证我们的结果。
接下来，我们通过一个具体的实例来说明利用定积分定义求极限的原理。
例子1：求解函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的极限lim(n→∞) Σ[i=1,n] f(x_i) Δx。
首先，将区间[0,1]分割成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=1/n。
然后，在每个小区间上选择一个代表点x_i，可以选择x_i=Δx/2接下来，计算Σ[i=1,n]f(x_i)Δx：Σ[i=1,n]f(x_i)Δx=Σ[i=1,n](Δx/2)^2Δx=Σ[i=1,n]Δx^3/4=(∑[i=1,n]Δx^3)/4=nΔx^3/4=n(1/n)^3/4=1/4n^2最后，取极限得到极限结果：lim(n→∞) Σ[i=1,n] f(x_i) Δx = lim(n→∞) (1 / 4n^2) = 0我们知道函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的极限为0，因此利用定积分的方法求得的极限结果与函数极限相等，验证了我们的结果。
考研数学专题 利用定积分的几何意义求和式极限
2
ln xdx
1
故选择 B.
注： 根据定积分的几何意义，易知如果将 C 选项改为 2 1ln(1 x)dx 也正确。利 0 用分部积分法容易算出结果,即：
lim ln n
n
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n n
2
2
2
ln xdx 4 ln 2 2.
1
例题
1.2： lim n
n
1
1 n
2
1
2 n
们来看具体的做法。
解：先对原式进行适当的放缩
lim
n
sin k n
n k 1 n 1
lim
n
n k 1
sin k n
n 1
lim
n
sin k n
n n k 1
，下面利用定积分的定义求两侧极限，
k
lim
n
sin k n
n n k 1
1
sin
0
xdx
1
cos
x |10
2
,
lim
这道题目应该深刻体会和式的极限与定积分之间的转化并且熟悉定积分
的几何意义。
解：
lim ln
n
n
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n 2 n
lim
n
1 n
(ln
1
1 n
2
1
2 n
2
1
n n
2
)
2
lim
n
1 n
(ln
1
1 n
ln
1
高等数学定积分及重积分的方法与技巧
高等数学定积分及重积分的方法与技巧第一部分 定积分的计算一、定积分的计算例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a nn a a a a n . 解 原式=∫∑=⋅=∞→1011lim a ani n x n n i dx =aa x a +=++11111. 例2 求极限 ∫+∞→121lim xx n n dx .解法1 由10≤≤x ，知nn x x x ≤+≤210，于是∫+≤1210x x n ∫≤1n x dx dx .而∫10nx ()∞→→+=+=+n n n x dx n 0111101，由夹逼准则得∫+∞→1021lim xx n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理()()x g x f ba ∫()()∫=b ax g f dx x dx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号）， ().1011112102≤≤+=+∫∫n n nn dx x dx xx x x由于11102≤+≤nx，即211nx+有界，()∞→→+=∫n n dx x n01110，故∫+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为()22,x a x R +或()22,a x x R −型可作相应变换.如对积分()∫++3122112xxdx，可设t x tan =；对积分()02202>−∫a dx x ax x a，由于()2222a x a x ax −−=−，可设t a a x sin =−.对积分dx e x ∫−−2ln 021，可设.sin t e x =−（2）()0,cos sin cos sin 2≠++=∫d c dt td t c tb t a I π的积分一般方法如下：将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]′，可求出22dc bdac A ++=，22dc adbc B +−=. 则积分 ()220cos sin ln 2cos sin cos sin πππtd t c B A dt td t c t d t c B A I ++=+′++=∫.ln2dc B A +=π例3 求定积分()dx x x x ∫−1211arcsin分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()dxx x x ∫−1211arcsin 2tx x t ==12121211212arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2tt d t dt tt ==−∫∫.1632π=解法2 ()dx x x x∫−1211arcsin .163cos sin cos sin 2sin 2242242πππππ==⋅=∫u du u u uu u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.例4 计算下列定积分（1）∫+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx xx xI ∫+=2032cos sin cos π；（2）.1cos 226dx e xx ∫−−+ππ解 （1）∫+=2031cos sin sin πxx xdx I)(sin cos cos 2023du u u uu x −+−=∫ππ=.sin cos cos 223∫=+πI dx xx x故dx xx xx I I ∫++==203321cos sin cos sin 21π=()41cos cos sin sin 212022−=+−∫ππdx x x x x . （2）=I .1cos 226dx e x x ∫−−+ππ()dxe xdu e uu x x u ∫∫−−+=−+−=2262261cos 1cos ππππ+++=∫∫−−2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x x.3252214365cos cos 21206226πππππ=×××===∫∫−xdxxdx这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：dx xdx n n∫∫=2020cos sin ππ()()()()()()=⋅×−×−−=×−×−−=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22421331,1322431π小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。
定积分的定义公式分割近似求和取极限
定积分的定义公式分割近似求和取极限定积分这玩意儿，在数学里那可是个相当重要的角色。
它的定义公式——分割近似求和取极限，听起来好像挺复杂，但咱们慢慢捋捋，其实也没那么可怕。
我记得有一次，我在课堂上讲定积分的时候，有个学生一脸迷茫地看着我，那小眼神仿佛在说：“老师，这都是啥呀？”我就跟他说：“别着急，咱们一步一步来。
”咱先说分割。
这就好比你有一块大蛋糕，你要把它切成好多小块。
比如说，一个函数的区间[a,b] ，咱把它分成 n 个小区间，这就是分割。
每个小区间的长度不一定相等，但加起来就是整个区间的长度。
然后是近似。
这就像你切完蛋糕，要估计每一小块的大小。
对于每个小区间里的函数值，咱找个简单的数来近似代替，比如说区间里某一点的函数值。
再说说求和。
把每个小区间里近似的函数值乘以小区间的长度，然后加起来，这就是求和。
最后是取极限。
当把区间分得越来越细，小区间的数量越来越多，每个小区间的长度越来越小，这个求和的结果就会越来越接近一个确定的值，这个值就是定积分的值。
比如说，你要计算从 0 到 1 区间上 x²的定积分。
咱先把这个区间分成 n 个小区间，每个小区间的长度就是 1/n 。
然后在每个小区间里，咱用区间中点的函数值来近似代替。
比如第 i 个小区间的中点是 i/n ，那这个小区间里的函数值就近似为 (i/n)²。
把每个小区间的近似值乘以小区间长度 1/n 再加起来，得到一个式子。
最后让 n 趋向于无穷大，取这个式子的极限，就能得到定积分的值 1/3 。
在实际生活中，定积分也有很多用处呢。
就像你要计算一个不规则图形的面积，或者计算一个物体在一段时间内移动的路程，都能用到定积分。
还记得有一次我装修房子，要计算一面墙的不规则形状的面积，来确定需要多少壁纸。
我就用定积分的思路，把那面墙的形状分割成好多小部分，近似计算每一部分的面积，最后求和取极限，算出了差不多准确的面积，成功买到了合适数量的壁纸。
定积分的定义在求无穷和式极限中的应用
［Ｊ］．河南教育学院学报（自然科学版），２００８，１７（１）：６０～６２． ［２］ 朱正伟，刘东燕，何 敏．进一步加强高校实践教学环节的思考
［Ｊ］．高等理科教育，２００８（２）：７４～７６． ［３］ 励建荣，邓少平，顾振宇等．我国食品质量与安全专业人才教育
。
通过上述四个例题的分析，我们知道数列的ｎ项之和的
分析：此题所研究的和式为ｎ项和的形式，却不易求出 极限可以通过定积分的定义来计算。下面举例说明含有三
该数列的前ｎ项和，所以不能像例１那样先求和再求极限， 角函数数列的ｎ项之和的极限的求法。
而应该用定积分的定义来求。如能找到函数ｆ（ｘ）和区间
例５：求极限
要改变从过去考核实验和实习报告为主的传统考评方法向将来的考核放在学生在实践教学过程中所表现出来的主动性与创新性的综合能?为主的考评方法过渡即对学生的考核包括实验报告和实践总结的撰写水平实验?论的书面考核实践过程的态度操作技能的掌握程度收集整?资?的能?以及观察问题和分析解决问题的能?等充分发挥学生的主观能动性
度、操作技能的掌握程度、收集整理资料的能力以及观察 问题和分析解决问题的能力等，充分发挥学生的主观能动 性。 ３ 实施方案
（１）根据素质教育要求和教育部“关于进一步深化本 科教学改革全面提高教学质量的若干意见”，结合专业实 际在充分调研的基础上调整好食品质量与安全专业实践教 学体系。
（２）以学科与课程组为单位，编写实验教学大纲和实 习实践教学大纲，在修订实验大纲以及实验教材时，增加 综合性、设计性实验比重，并把学科发展的新成果充实到 教学内容中去。
模式的思考与实践［Ｊ］．中国食品学报，２００４，（４）：１０９～１１２．
运用定积分求极限
运用定积分求极限修正后：求极限的方法层出不穷，但最常用的方法有极限的定义和性质、重要极限的结论、洛必达法则以及泰勒公式等。
应用极限的定义时，往往是在极限的结果已经比较明显，只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果。
但这种方法一方面叙述上比较麻烦，另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子。
重要极限的结论形式上要求非常严格，只能解决两种形式的极限问题。
洛必达法则是用于解决“$\frac{0}{0}$”型的极限和“$\frac{\infty}{\infty}$”型极限的。
泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题，通过___展式后可以达到某些项抵消效果。
但若仔细观察这些方法，其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识。
事实上，微分学和积分学的关系正如中小学时代研究过的加法与减法、乘法与除法、乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样，它们互为逆运算。
如果也能用到积分学知识来解决求极限的问题，那么求极限的方法才算完美。
而利用定积分求极限正体现了这一理念。
下面回顾一下定积分以及极限的定义：定积分：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上有定义，在闭区间$[a,b]$内任意插入$n-1$个分点将$[a,b]$分成$n$个区间$[x_{i-1},x_i]$，记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}(i=1,2,\dots,n)$，$\forall \xi\in[x_{i-1},x_i]$，作乘积$f(\xi_i)\Delta x_i$（称为积分元），把这些乘积相加得到和式$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Deltax_i$（称为积分形式）。
设$\lambda=\max\{\Delta i\leq n\}$，若$\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$极限存在唯一且该极限值与区间$[a,b]$的分法$\lambda\to 0$及分点$\xi_i$的取法无关，则称这个唯一的极限值为函数$f(x)$在$[a,b]$上的定积分，记作$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x$，即$\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$。
定积分求极限的方法总结
定积分求极限的方法总结1. 使用定积分的定义直接计算极限值。
2. 将定积分转化为不定积分，再求导计算极限值。
3. 将定积分转化为无穷级数，并利用级数求极限的方法。
4. 运用分部积分的方法化简定积分，再求极限值。
5. 使用换元积分法将定积分中的变量进行替换，再求极限值。
6. 将定积分拆分成多个部分，分别计算每部分的极限值，再求和得到总极限。
7. 将定积分转化为面积或体积，并通过几何图形的方式求极限值。
8. 运用洛必达法则，将定积分中的参数带入得到的极限表达式中。
9. 利用夹逼定理，将定积分所求的函数夹在两个已知的函数之间，再求极限。
10. 将定积分转化为递推式，逐步递推计算极限值。
11. 运用积分的性质，将定积分拆分成更简单的形式，再求极限值。
12. 将定积分表示的区域进行分割，通过分割后的极限值之和来求得总极限。
13. 将定积分所求函数进行分段处理，每个分段求极限后再组合求总极限。
14. 利用泰勒级数展开函数，再求得展开式在无穷远点的极限值。
15. 将定积分中的变量进行代换，把变量限定在一个特定范围内再求极限。
16. 利用柯西定理，将定积分转化为复积分，再求极限值。
17. 运用平均值定理，将定积分转化为函数的平均值来计算极限值。
18. 将定积分转化为广义积分，并通过广义积分的性质求得极限值。
19. 利用积分中值定理，将定积分转化为函数在某一点的导数表达式，再求极限值。
20. 运用积分的区间可加性，将定积分的区间进行划分，再通过区间极限值之和来求总极限。
21. 将定积分中的变量限制在一个趋向于极限值的范围内再进行计算。
22. 运用积分中的对称性或周期性，将定积分化简后再求极限值。
23. 利用积分中的不等式性质，将定积分转化为不等式，再求得不等式的边界极限值。
24. 将定积分中的参数带入函数中，得到极限参数函数表达式，再求其极限值。
25. 运用积分的递推性质，将定积分拆分成多个部分，再逐步递推计算总极限。
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1 n
1 +1 nn
2 +L+ 1
n
n
n n
÷÷øö
.
解: 1 1 + 1 2 + L + 1 n
nn nn
nn
=
1 n
ççèæ
1+ n
2 +L+ n
n n
÷÷øö
(4)
2
(4)式的和是函数 f (x) = x ，在区间 [0,1]上的一个积分和，这是把 [0,1] n 等份，xi 取
为
é êë
i
【关键词】定积分概念；和式极限；极限
一、定积分的概念
设 函 数 y = f (x) 在 [a,b] 上 有 界 ， 1. 在 [a,b] 中 任 意 插 入 n -1 个 分 点 ，
[ ] a = x0 < x1 < x2 < L < xi-1 < xi < L < xn-1 < xn = b ，把区间 a,b 分成 n 个小区间，其 [ ] 长 度 为 Dxi = xi - xi-1 (i = 1,2,L, n) ； 2. 在 每 个 小 区 间 xi-1, xi 上 任 取 一 点
n®¥
n k =1
1 n
çæ ç è
k n
1-
çæ è
k n
÷ö 2 ø
÷ö ÷ ø
ò=
1
x
1 - x2 dx
0
( ) =
êëé-
1 3
1-
x2
3 ù1 2 úû 0
=1 3
实例 3. 求 lni®m¥ççèæ
1+ n2 + 4
1 +L+ n2 + 16
n2
1 + 4n2
÷÷øö .
3
分析：此题先提出
n
å (xi xi-1 < xi < xi ) ，作积， f (xi )Dxi (i = 1,2,L, n) ；3.求和式 f (xi Dxi )
(1)
i =1
记 l = max{Dx1, Dx2 ,L, Dxn } 当 l ® 0 (n ® ¥)时和式（1）趋向于确定的极限
n
å ( ) 值 I
即
I = lim f
ò 式极限转化为定积分 1 f (x)dx ，且被积函数的原函数容易求出，应用牛顿—莱布尼兹公式 0
直接求出结果。
1
实例 4.
求
lim
n®¥
êëéçèæ1
+
1 ÷öçæ1 + n øè
2 ÷öLçæ1 + nø è
n n
÷øöúûù
n
.
å 解:原式
=
lim
ì expí
1
n
lnçæ1 + k ÷öýü
[5]刘光祖，鲁恩双.大学数学辅导与考研指导〔M〕.北京，科学出版社，2002.
5
n®¥ î n k=1 è n øþ
=
ì expílim
n
å
çæ1
+
k
÷ö
1
ü ý
în®¥ k =1 è n ø n þ
4
{ } =
exp
1
ò0
ln(1
+
x )dx
= exp{ln 4 -1} = 4 .
e
注：（1）这里的数列通项为各项之积，不能只表示为积分的形式，我们可以采用对数法， 把积变为和的形式，进而将所求极限化为定积分，把被积函数转化为对数函数。
分。定积分是用和式极限定义的，所以用定积分可以求一类特殊类型的和式极限。
二、定理
如果函数 f (x) 在 [0,1]上连续，则函数 f (x) 在[0,1]上可积。
1
ò å 且有
1 f (x) = lim n f çæ k ÷ö 1
0
n®¥ k =1 è n ø n
(2)
ò å 1 f (x) = lim n-1 f çæ k ÷ö 1
l ®0
(n®¥ )
i =1
xi Dxi 。
我 们 就 称 这 个 极 限 值 I 为 函 数 f (x) 在 区 间 [a,b] 上 的 定 积 分 ， 记 作
ò ( ) å ( ) b
f
a
x
n
= lim
l ®0
(n®¥ )
i =1
f
xi Dxi ，区间的划分与 xi 的选取是否适当将决定能否用定义求出定积
1 n
，然后可变为
lni®m¥ççèæ
1+ n2 + 4
1 +L+ n2 + 16
n2
1 +
4n2
÷÷øö
然后让第一项出现 1 ，第二项出现 2 ，…。
n
n
只要分子、分母同除以 n2 即可Leabharlann 解: lni®m¥ççèæ
1+ n2 + 4
1 +L+ n2 + 16
n2
1 +
4n2
÷÷øö
å = lim 1 n
0
n®¥ k=0 è n ø n
(3)
说明：当遇到一个和式满足如下条件时，
a) 每项都含有 1 （ 1 作为公因子提出）。 nn
b) (1)式中每项都是一个函数形式时，也就是每一项形式相同。
第一项含有 1 ，第二项 2 ，...， (2)式中第二项含 1 ，第二项含 2 ，…， 设法第一
n
n
n
n
项添加并变出含 0 （往往不明显）。 n
巧用定积分的概念求和式极限的方法技巧 石国学 / 山东铝业职业学院基础部
【摘 要】在数学分析、高等数学教科书中，经常会遇到一类无限多项和式极限
lim
n®¥
1 n
ççèæ
1+ n
2 +L+ n
n n
÷÷øö
的求解难度大，结构复杂、抽象不易理解的问题。本文通过
几个实例介绍如何运用定积分定义求和式极限的方法和技巧，使求和式极限问题简单化。
参考文献:
[1]吉林大学数学系.数学分析（中册）〔M〕.北京人民教育出版社:1978.
[2]华东师范大学数学系编.《数学分析》（上册）〔M〕，高等教育出版社，2001.
[3]盛骤，吴迪光，张光天.《高等数学》高等学校专科教学用书，浙江大学出版社，1985.
[4]欧阳光中，朱学炎，秦曾复.《数学分析》（上册）〔M〕.上海: 上海科学技术出版社 1983.
=
é2
ê ë
3
3
x2
ù1 ú û0
=
2 3
ån
实例 2.求 lim
k
n2 - k2 .
n n®¥ k =1 3
å å n
解: Q
k
n3
k =1
n2 - k2
=
n 1 çæ k
k =1
n
ç è
n
1-
çæ è
k n
÷ö 2 ø
÷ö ÷ ø
ån
\ lim
k
n2 - k2
n n®¥ k =1 3
å =
lim
n
1
,
i n
ù úû
的右端点（即
x
i
=
i, n
f (xi ) =
i 构成的积分和，因为 f (x) =
n
x 在 [0,1]上可
积，由定积分的定义有
nli®m¥ççèæ
1 n
1 +1 nn
2 +L+ 1
n
n
n n
÷÷øö
=
é lim ê n®¥ êë
1 n
ççèæ
1+ n
2 +L+ n
n n
÷÷øöúúûù
无论(2)式或(3)式第 i 项都必须含有 i ，其余的不能含多余的 n ，这样的和式极限就是 n
一个 [0,1] 上的一个定积分， i 就是积分中 f (x) 的 x ，所谓的规律就是，通过求出定积分
n
的值就可求出和式极限的值。
三、利用定积分概念求和式极限的实例分析
实例
1.求极限
nli®m¥ççèæ
n n®¥ i=1
1 1 + 4çæ i ÷ö2
ènø
ò1
=x
1
dx
0 1+ 4x2
( ) ( ) ò = 1 1 20
1 dt = 1 ln t + 1+t2 2
1+ t2
2 0
=
1 ln 2
2+
5.
ån
注:以上三题中的数列通项为 n 项之和。可直接化为积分和
f çæ k ÷ö 的形式，从而把和
k=0 è n ø
（2）如果区间不是 [0,1]而是 [a,b]，只需注意分点 xi
=
a + kDx
=
a+
k (b - a)，
n
Dx = b - a 便可将所求极限化为定积分。 n
四、结论
巧妙的运用定积分的概念、繁复的求极限（先求和再求极限）问题瞬间得到解决，从而 突破了习惯性思维的框架，克服了思维定势的束缚，常常带有创造性，完善了和式极限的计 算方法，对教学和科研具有双重意义。