微积分求极限的方法(完整版)
微积分求极限lim的经典公式am bn
微积分求极限lim的经典公式am bn lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)；
lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)；
lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)。
1、极限是微积分和数学分析的其他分支最基本的概念之一，连续和导数的概念均由其定义。
所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。
2、求极限方法：利用函数的连续性求函数的极限（直接带入即可）
利用两个重要极限求函数的极限；利用无穷小的性质求函数的极限，其中性质是有界函数与无穷小的乘积是无穷小，有限个无穷小相加、相减及相乘仍旧无穷小等等。
3、求导和求极限的区别：求导和求极限是两个完全不同的概念。
它们的内容也是不同的，求导：指当自变量的增量趋于零时，因变量的增星与自变星的增星之商的极限。
而求极限：求极限的性质包括唯一性、有界性、保号性、保不等式性和实数运算的相容性等。
人大版 微积分 第二章 极限的运算法则
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
lim x − lim 1 x −1 23 − 1 7 x→2 x→2 = ∴ lim 2 = . = 2 x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3
证 ∵ lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α,
g ( x ) = B + β. 其中α → 0, β → 0.
由无穷小运算法则,得 由无穷小运算法则 得
微积分
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB = ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
微积分
微积分
dx = rx dt
莫兴德
广西大学 数信学院
Email:moxingde@
微积分
链接目录
第二章 极限与连续
中值定理, 第四章 中值定理,导数的应用
第一章 函数 第三章 导数与微分 第五章 不定积分
无穷级数(不要求) 第七章 无穷级数(不要求)
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
解
∞ x → ∞时, 分子 , 分母的极限都是无穷大 . ( 型 ) ∞
5 3 x = 2. 1 7 x3
先用x 先用 3去除分子分母 , 分出无穷小 , 再求极限 .
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略函数极限是微积分中的一个重要概念，它描述了一个函数在某一个点上的一种趋势或者特性。
计算函数极限可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质和行为，有助于我们在实际问题中进行数学建模和分析。
在本文中，我们将介绍一些常用的函数极限求解方法和策略，以及应用这些方法进行问题求解的一些技巧和实例。
一、基本极限1. 常函数极限：对于任何一个常数C，有lim_x→a C = C。
这个极限很容易理解，因为常数C在a点的值就是C，没有任何变化。
2. 一次函数极限：对于一个一次函数f(x) = kx+b (k≠0)，有lim_x→a f(x) = ka+b。
这个极限的求解也比较简单，就是将x代入函数，得到在a点的函数值，也就是k*a+b。
3. 幂函数极限：对于一个幂函数f(x) = x^n (n为正整数)，有lim_x→a f(x) = a^n。
这个极限可以用夹逼定理来证明，也可以通过直接代入公式进行求解。
二、极限的四则运算法则在很多实际问题中，我们需要对函数进行加减乘除等运算，因此需要了解极限的四则运算法则。
这些法则包括：1. 两个函数之和的极限等于两个函数在该点的极限之和。
三、夹逼定理在实际问题中，我们有时会遇到一些复杂的函数，无法直接进行求解，这时候就需要用到夹逼定理来求解。
夹逼定理的核心思想是，我们可以找到两个比较简单的函数，一个上界函数和一个下界函数，这两个函数都可以收敛到某一个极限，然后我们就可以根据夹逼原理，得到我们要求解的函数的极限值。
四、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求解极限的方法，其核心思想是通过对函数求导来得到某一个点的导数，然后再求极限。
如果这个极限存在的话，那么这个极限就是函数在这个点的极限。
具体求解方法如下：1. 当极限的代数式飞涨或者现实复杂时，可以使用该方法求解。
2. 求出极限函数f(x)的导函数f'(x)，然后将x带入f'(x)求出导数。
微积分中的极限方法
例1、面积问题 求 y=x2 与 x 轴、直线 x=1 所围曲边三角形 的面积 S.
例2、瞬时速度问题 质点沿直线运动的位置函数为 s=s(t) ， 求其在时刻 t 的(瞬时)速度.
第二节 数列极限的定义
• 概念的引入 • 数列的定义 • 数列的极限 • 小结
一、概念的引入
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内,
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1 证明 lim n (1)n1 1.
问题: 当 n无限增大时, xn是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
当
n
无限增大时,
xn
1
(1)n1 n
无限接近于1.
问题: “无限接近”意味着什么?如何1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由 1 1 , 只要 n 100时, n 100
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数
列的项,xn 称为通项(一般项).数列(1)记为{ xn }.
例如 2,4,8,,2n ,;
{2n }
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,;
1 {2n }
1,1,1,,(1)n1 ,; {(1)n1 }
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
n (1)n1
1、lim 3n 1 3 ； n 2n 1 2
微积分中经典求极限方法
(II) g(x) M
(M 为正整数)
则： lim g(x) f (x) 0 x x0
例: 求
lim x sin 1
x0
x
解: 由
lim x 0 而
x0
故 原式 = lim x sin 1 0
x0
x
sin 1 1 x
3
8、利用无穷小量与无穷大量的关系。
出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
例 求极限 lim x ln(1 x) x0 1 cos x
【解】因为 x 0时，ln(1 x) ~ x,1 cos x ~ 1 x2 2
,所以
lim
x0
x ln(1 x) 1 cos x
lim x0
xx 1 x2
2
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】 lim ( x 2 3 x 2 1) lim ( x 2 3 x 2 1)( x 2 3 x 2 1)
x
x
x2 3 x2 1
lim
2
0
x x 2 3 x 2 1
例1
lim
x1
3x 1 2 x 1
解：原式= lim x1
(3)此方法在各种求极限的方法中应．作．为．首．选．。
例:求极限
lim
x0
1 x2
cos sin
x2 x2
解: sin x 2 ~ x 2 , 1 cos x 2 ~ (x 2 )2 2
(x2 )2
lim
x0
1 x2
cos sin
x2 x2
=
2 x2x2
高等数学微积分求极限的方法整理
一，求极限的方法横向总结：
1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）
2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到
2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和
5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
6运用重要极限求极限（基本）。
7乘除法中用等价无穷小量求极限。
8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。
9常数比0型求极限：先求倒数的极限。
10根号套根号型：约分，注意别约错了。
11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos
二，求极限的方法纵向总结：
1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。
2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置
2）用无穷小量与有界变量的乘积
3）2个重要极限
4）分式解法（上述）。
高等数学(一元微积分)04-求极限方法总结
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 1)
8. 用等价无穷小量代换求极限
常用的等价无穷小量 : 当x 0时: (1)x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x) ~ ex 1; (2)1 cos x ~ x2 ;
2 (3)ex 1 ~ x; (4) ln(1 x) ~ x; (5)ax 1 ~ x ln a;
f
(
x)
1 x, x 2 1,
x
0 ,
求
lim
f ( x).
x 0 x0
解 x 0是函数的分段点,两个单侧极限为
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim ( x2 1) 1,
x0
x0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) 1. x0
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小量,然后再求极限.
5.利用无穷小运算性质求极限
例 求 lim sin x . x x
解 当x 时, 1 为无穷小,
x
而sin x是有界函数.
sin x lim 0.
x x
y sin x x
6.利用左右极限求分段函数极限
例
设
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1
lim
x1
x2
2x
3
.
3.消去零因子法 ( 0 型 ) 0
4.无穷小因子分出法求极限
(型)
小结:当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
lim
x
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
微积分求极限的方法
求极限方法一：直接代入法例一：lim x→−2（3x 2−5x +2）=24 例二：lim x→0（1−2x−3）=53 类似这种你直接把x 趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。
lim x→√3x 2−3x 4+x 2+1知识点1：当x 趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0lim x→2x 2−3x −2知识点2：当x 趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于∞方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘）普通的就是分子分母约去相同的项，因为x 是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。
类似lim x→3x 2−9x−3=lim x→3（x +3）下面讲个例知识点3：x n −y n =(x-y)(x n−1+x n−2y +⋯+y n−1)例三：lim x→1x m −1x n −1=lim x→1x m−1+x m−2+⋯+1x n−1+x n−2+⋯+1=m n方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式） 例四：lim x→∞√x 2+x −x =lim √x 2+x+x =12方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式）例五：lim √x+1−√x−1=lim x→0√x+1+√x−12=1 方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式）例六：lim √2x+1−3√x−2−√2知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x 趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他）例七：lim n→∞（n−1）2n−3=∞ （分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大）例八：limx→∞1000x 1+x 2=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零）例九：lim x→∞2x+36x−1 （分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为分子最高次数项系数分母最高次数项系数）方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式）例十：lim x→131−x 3-11−x知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。
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专题一 求极限的方法【考点】求极限1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的概念求极限的题目已不会出现。
一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。
2、 极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在）3、 要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理化，变量代换等等。
4、 两个重要极限0sin lim 1x xx→= 101lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=，注意变形，如将第二个式子1lim(1)xx x e→+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞”的形式的典型求极限题目。
5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如： （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限（2） 函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。
有时可以利用这点进行解题，如111lim x x e-→因左右极限不相等而在这点极限不存在。
（当式子中出现绝对值和e的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发）（3） 遇到无限项和式求极限时想三种方法：①看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限 ②夹逼定理③用定积分的概念求解。
（4）如果f(x)/g(x)当x →x0时的极限存在，而当x →x0时g(x)→0，则当x →x0时f(x)也 →0（5）一个重要的不等式：sin x x ≤（0x >） *其中方法②③考到的可能性较大。
6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。
7、 闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、 此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。
【例题精解·求极限的方法】方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。
【例1】求极限 11lim 1m n x x x →--解1212 111(1)()lim lim1(1)()m m mn n nx xx x x xx x x x----→→--++=--++…1…1=mn注：此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。
还可通过变量代换构造等价量。
【例2】求极限22lim(1)xx x x→+∞+--解22221lim(1)lim21x xx x xx x x→+∞→+∞+--==++-注：1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法——有理化和采取倒变量的方法。
2、一个最基本的多项式极限112112limn nnm mxna x a x ab x b x b--→+∞++++++……(系数均不为0)：①若n>m，则极限为正无穷；②若n<m，则极限为0；③若n=m，则极限为11ab。
（本质为比较次数）要注意的是x是趋向于正无穷，而且分子分母遇到根号时要以根号里x的最高次的12次来计算，如21x+的次数为1。
方法二：利用单调有界准则来证明极限存在并求极限【例3】设112u≥-，112(1,2,...)n nu u n+=+=,证明lim nnu→∞存在并求之方法三：利用夹逼定理——适用于无限项求极限时可放缩的情况。
【例4】求极限(1lim123...n n n n n n→∞++++解 因 (1111=123...=n n nn n n n n n n n n⋅<+++<⋅ 而 lim1=lim =1nn n n →∞→∞故由夹逼定理(1lim 123...n n n n n n→∞++++=1方法四&方法五：等价量代换、洛必达法则——未定式极限。
（化加减为乘除！）【例5】求极限tan 0lim tan x xx e e x x→--解 原式=tan 00(1)(tan )lim lim 1tan tan x x x x x x e e e x x x x x x-→→--==--【例6】求极限1121lim ()x x x x a a+→+∞-解111111222(1)111lim ()=lim (1)lim 1(1)x x xx x x x x x x x a a x aax a-++++→+∞→+∞→+∞--=⋅⋅-=21lim 1ln ln (1)x x a a x x →+∞⋅⋅⋅=+【例7】求极限limx →解 原式=x → =()022tan sin lim4sin 23x x xx x x →-+⋅⋅ =02tan (1cos )lim sin 423x x x x x x x x →-⎛⎫+⋅⋅ ⎪⎝⎭ =302132lim 416123x xx x →=⋅⋅⋅【例8】求极限01cos cos 2cos3lim1cos x x x xx→--解：直接运用洛必达法则和等价量代换可得01cos cos 2cos3lim1cos x x x xx→--=000sin cos 2cos34cos sin 2cos39cos cos 2sin 3limlim lim23x x x x x x x x x x x x x x x→→→++=000sin cos 2cos32cos sin 2cos33cos cos 2sin 3limlim limsin sin sin x x x x x x x x x x x xx x x →→→++= 000sin cos 2cos32cos sin 2cos33cos cos 2sin 3lim lim limx x x x x x x x x x x xx x x →→→++= 000sin cos 2cos34cos sin 2cos39cos cos 2sin 3lim lim lim23x x x x x x x x x x x xx x x →→→++=1+4+9=14【例9】求极限lim log ()abx x x x →+∞+解： 由换底公式，=ln()lim ln a b x x x x →+∞+(∞∞)=lim a b a b x ax bx x x →+∞++=lim a ba bx ax bx x x →+∞++ 若a b ≥，则极限为a ；若a b <，则极限为b ，综上，极限为max{,}a b方法六：幂指函数求极限——取对数再取指数。
【例10】21lim sinnnnn→∞⎛⎫⎪⎝⎭(1)∞解222111sinlim sin=lim sin limn xtn x ttn xn x t+→∞→+∞→⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin1sinsinlim11t t tt t t tttt+-⋅⋅-→⎛⎫=+-⎪⎝⎭3200sin0cos11lim lim036t tt t tt te e e++→→--⎛⎫-⎪⎝⎭===【例11】1ln+lim arctan2xxxπ→∞⎛⎫-⎪⎝⎭(0)解+1ln arctan2ln lim()ln+lim arctan=2xxxxxx eππ→∞⎛⎫-⎪∞⎝⎭∞→∞⎛⎫-⎪⎝⎭2211()1()arctan0 21lim lim()10arctan2x xxxxxxxe eππ→+∞→+∞⋅-+--+-==221lim11xxxe e→+∞--+==【例12】求极限cot1limarc xxxex→+∞⎛⎫-⎪⎝⎭❉注意x是趋向正无穷，此时需要先分析底数和指数分别趋向于多少，分析底数易知底数趋向于正无穷。
但是指数arccotx这个函数不是很熟，可以通过图像先分析cotx再分析arccotx趋向于多少，最后得出结论是指数趋于0。
故是一个“0∞”型，所以要用“先取对数再取指数”的方法。
对于之后arccotx 的处理，若用罗比达对其求导则会发现再接下来比较难做，这里给出一个转化为熟悉的，可等加量代换的式子的方法，方法较灵活，需要对三角函数之间的转换有很深的熟悉度。
解 原式=1arccot ln lim x e x x x e⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭→+∞=1lim arccot ln x x e x x e→+∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=11lim arctan ln x x e x x e→+∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=()ln 1ln lim x x e x x e→+∞--∞⎛⎫⎪∞⎝⎭=1lim1xx x e x e e→+∞--=e❉关于第三个等号左右的变化：令cot y arc x =，则1cot tan x y y ==，故1tan y x=，1arctany x =，综上，1cot tan arc x arc x=方法七：运用泰勒定理求极限——适用于直接洛必达不好算时考虑的方法。
【例13】求极限22202lim (cos )x x x x x e →+--解2441()28x x o x =+-+0x →，,23cos 1()02!x x o x x =-+→， 2221()0x e x o x x =++→， 代入原式可得，原式=422420232222()4lim 1()1()2!x x x x o x x x o x x o x →+--++⎡⎤-+---⎢⎥⎣⎦=44044()4lim 3()2x x o x x o x →+-+=16-方法八：通过定积分的概念来求极限【例14】求22222lim (...)149n n n n nn n n n n→+∞++++++++ 解 由于此题无法直接对式子进行化简，也无法用夹逼定理，故想到用定积分的概念来求解，即原式=2222222221lim (...)149n n n n n n n n n n n →+∞++++++++=222211111lim ...1231111n n n n n n n →+∞⎤⎡⎥⎢⎥⎢++++⎥⎢⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎥⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =2111lim1nn i n i n →+∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 此时由定积分的概念可将上面的和式看成被积函数21()1f x x=+在[0,1]上的定积分，故 22222lim (...)149n n n n n n n n n n →+∞++++++++=12011dx x +⎰=4π【例15】求极限1111lim ln 1[(1)(2)...21]lim (!)=lim nn i i nn n nn n n n n n e n n→+∞=→+∞→+∞∑--⋅=解1111[(1)(2)...21](1)(2)...21lim(!)=lim lim nnnn n n n n n n n n n n n n n →+∞→+∞→+∞--⋅--⋅⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11231lim (...)nn n n n n n n n→+∞-=⋅⋅⋅11231limln(...)n n n n n n n n n e→+∞-⋅⋅⋅=11lim ln nn i in n e→+∞=∑=1ln xdx e ⎰=10(ln )|1x x x e e --== 【例16】2222221sin sin lim ln nn k k k n k k n n →+∞=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭∑ 【分析】此题看似复杂，其实仔细观察可以发现本质仍为无限项的和式求极限，故再次想到用定积分的概念求解。