高等数学中求极限的方法小结
高等数学求极限的14种方法
高等数学求极限的14种方法高等数学求极限的14种方法一、极限的定义极限的保号性很重要。
设$x\to x_0$，$limf(x)=A$，则有以下两种情况：1）若$A>0$，则有$\delta>0$，使得当$00$；2）若有$\delta>0$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，$f(x)\geq 0$，则$A\geq 0$。
极限分为函数极限和数列极限，其中函数极限又分为$x\to\infty$时函数的极限和$x\to x_0$的极限。
要特别注意判定极限是否存在，收敛于$a$的充要条件是它的所有子数列均收敛于$a$。
常用的是其推论，即“一个数列收敛于$a$的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于$a$”。
二、解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。
只能在乘除时候使用。
2.XXX（L'Hospital）法则。
它的使用有严格的使用前提。
首先必须是$x$趋近，而不是$n$趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求$x$趋近情况下的极限，数列极限的$n$当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。
其次，必须是函数的导数要存在，假如只告诉$f(x)$、$g(x)$，而没有告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。
另外，必须是“比”或“无穷大比无穷大”，并且注意导数分母不能为$0$。
洛必达法则分为三种情况：1）$\infty/\infty$时，直接用$\infty$；2）$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$0^0$、$\infty^0$时，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通分之后，就能变成（1）中的形式了。
即$f(x)g(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$或$f(x)g(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$；3）$1^\infty$、$0^0$、$1^{\infty-\infty}$、$\infty^0$对于幂指函数，方法主要是取指数还取对数的方法，即$e^{f(x)g(x)}=e^{g(x)lnf(x)}$，这样就能把幂上的函数移下来了，变成$0/0$型未定式。
高等数学极限求法总结
04 极限求法之洛必达法则
洛必达法则基本思想
利用导数求解极限
在一定条件下，通过分子分母分别求导的方式，简化极限运 算。
转化无穷大比无穷大型
对于0/0型或∞/∞型的极限，通过洛必达法则可转化为其他 类型进行求解。
适用条件及典型例题
适用条件
适用于0/0型和∞/∞型的极限，且分子分母 在求导后极限存在或为无穷大。
05 极限求法之泰勒公式法
泰勒公式基本概念及展开式
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个在闭区间上可导的函数展开成多项式 的形式。
泰勒展开式
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2! * (x-a)^2 + ... + f^n(a)/n! * (x-a)^n + Rn(x)，其 中Rn(x)为余项。
适用于连续函数情况
连续函数定义
若函数在某点的极限值等于该点的函 数值，则称函数在该点连续。对于连 续函数，我们可以直接将其自变量代 入函数表达式来求解极限。
适用范围
直接代入法适用于一元和多元函数的 极限求解，但要求函数在求极限的点 是连续的。
注意事项及典型例题
注意事项：在使用直接代入 法求极限时，需要注意以下
该方法不需要复杂的数学变换和技巧，易于掌握。
缺点
直接代入法仅适用于连续函数的极限问题，对于非连续函 数或复杂函数可能无法求解。
在某些情况下，即使函数在求极限的点连续，直接代入也 可能导致分母为零等无法计算的情况，需要结合其他方法 进行处理。
03 极限求法之因式分解法
适用于多项式函数情况
0/0型极限
高等数学级数求极限方法
高等数学中求极限的方法
高等数学中求极限的方法有：
1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；
2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；
3、运用两个特别极限；
4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。
5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。
6、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。
因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。
7、夹挤法。
这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。
8、特殊情况下，化为积分计算。
(完整版)极限计算方法总结
存在时， lim x x0
f (x) g(x)
也存在且等于
f
(x)
lim f1(x) ，即 lim f (x) = lim f1(x) 。
xx0 g1 (x)
xx0 g (x) xx0 g1 (x)
5．洛比达法则
定理 5 假设当自变量 x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数 f (x) 和 g(x) 满足：
lim
x0
2 lim
2
3x2
x0 12 ( x )2
1 6
。
2
注：本题也可以用洛比达法则。
2
例 6 lim(1 3sin x) x x0
解：原式=
lim(1
3sin
x)
1 3 sin
x
6 sin x
x
1 6 sin x
lim[(1 3sin x) 3sin x ] x
e6
。
x0
x0
例
7
lim( n 2)n n n 1
解：原式=
lim
n
n[(n
2)
(n
1)]
分子分母同除以
n
lim
n 2 n 1
n
3 1 2
n
3 1 1 2
n
。
(1)n 3n
例 3 lim n
2n 3n
上下同除以3n
解：原式
( 1)n lim 3
1 1
。
n ( 2)n 1
3
2． 利用函数的连续性（定理 6）求极限
1
例 4 lim x 2e x x2
1． 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
3x 1 2
例 1 lim x1
高等数学极限求法总结
高等数学极限求法总结高等数学极限求法总结极限的判断定义是:单调递增有上界则有极限,单调递减有下界则有极限。
下面是小编整理的高等数学极限求法总结，希望对你有帮助！函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知的极极限值的证明题中。
掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x时的极限。
1.利用极限的四则运算法则：极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。
方能利用极限四则运算法则进行求之。
不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。
但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。
而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。
例 1 求 lim( x 2 3x + 5).x→ 2解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5= (lim x) 2 3 lim x + lim 5= 2 2 3 2 + 5 = 3.x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →22.利用洛必达法则洛必达(L Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。
一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。
利用洛必达求极限应注意以下几点：设函数f(x)和F(x)满足下列条件：（1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;（3）x→a时,lim(f(x)/F(x))存在或为无穷大则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))例1：1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x对分子分母同时求导（洛必达法则）(tgx) = 1 / (cosx)^2(x) = 1原式 = lim 1/(cosx)^2当 x --> 0 时,cosx ---> 1原式 = 13.利用两个重要极限：应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件：① 分子、分母为无穷小，即极限为 0 ；② 分子上取正弦的角必须与分母一样。
关于高等数学中求极限的方法小结
高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1 利用等价无穷小求极限这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]设αα'~、~ββ'且limlim ββαα'=；则：β与α是等价无穷小的充分必要条件为：0()βαα=+．常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-11~,(1)1~x x x x x αα+--+-．例1 求01cos limarctan x xx x→-．解210,1cos ~,arctan ~2x x x x x →-时， 故，原式220112lim 2x xx →==例2 求1230(1)1limcos 1x x x →+--．解12223110,(1)1~,1cos ~32x x x x x →+--时,因此: 原式202123lim132x xx→==-． 例3 求 3131limtan x x→+-．解 0,x →时3111~,tan ~3x x x x +-，故:原式=0113lim 3x xx →=．例4 求()21lim2ln(1)x x e x x →-+．解 0,1~,ln(1)~x x e x x x →-+时,故:原式2201lim 22x x x →==．例5 试确定常数a 与n ，使得当0x →时，nax 与33ln(1)x x -+为等价无穷小．解 330ln(1)lim 1n x x x ax →-+= 而左边225311003331lim lim n n x x x x x x nax nax--→→-+--=， 故 15n -=即6n = 0331lim 11662x a a a →--∴=∴=∴=-． 2.2 利用洛必达法则求极限利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者∞∞型等未定式类型. 洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于0；在点a 的某去心邻域内，()f x ﹑()F x 的导数都存在且()F x 的导数不等于0；()lim()x af x F x →''存在，那么()()limlim ()()x ax a f x f x F x F x →→'=' . [1]求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法.[3]例6 求22201cos lim()sin x xx x →-. 分析 秘诀强行代入，先定型后定法.22224431100(00)(00)0000000000-+--+-===（此为强行代入以定型）. ()00-可能是比()00+高阶的无穷小，倘若不这样，或422(00)(00)0000000+--+= 或43(00)(00)0000000+-+-=. 解2222222240001cos sin cos (sin cos )(sin cos )lim()lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x→→→--+-== 33000sin cos sin cos sin cos limlim 2lim x x x x x x x x x x x xx x x→→→-+-==， 由洛必达法则的22222001cos sin 4sin 42,2lim lim 333x x x x x x x →→-+==有：上式=. 例7 求201lim x x e x x→--.解 22000(1)1lim lim 1lim 1()21x x x x x x e e e x x x x x→→→'--==-∴=-'--- .例8 求332132lim 1x x x x x x →-+--+.解 原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---.（二次使用洛必达法则）. 例9 求02lim sin x x x e e xx x-→---.解 原式0002limlim lim 21cos sin cos x x x x x xx x x e e e e e e x x x ---→→→----====-. 例10 求22143lim 21x x x x x →-+-+.解 原式1112422limlimlim02211x x x x x x x x x →→→---===∴---原式=∞. 例11 求0tan lim sin arcsin x x xx x x→-.解 原式222222220000111(1cos)tan 1cos 1cos 2lim lim lim lim 33cos 3cos 3x x x x x x x x x xxx x x x x x →→→→-+--=====. 例12 求0cot lim ln x xx+→.解 原式22200sin cos 1limlim sin 2sin cos x x x x x x x x ++→→---===-∞. 例13 求22201cos lim()sin x xx x→-. 解 原式22222400sin cos (sin cos )(sin cos )lim lim sin x x x x x x x x x x x xx x →→--+==223320000sin cos sin cos sin cos 1cos sin 4lim lim 2lim 2lim 33x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+--+====“0⨯∞”型： 例14 求lim (arctan )2x x x π→+∞-.解 原式2221arctan 112lim lim lim 11111x x x x x xx xπ→+∞→+∞→+∞-+====+.“∞-∞”型：例15 求 ()2lim sec tan x x x π→-.解1sin 1sin sec tan cos cos cos x xx x x x x--=-=， 故原式221sin cos limlim 0cos sin x x x x x x ππ→→--===-.“00”型：例16 求0lim xx x +→. 解 原式ln 0lim ln ln 0lim lim 1x xxx e x x xx x e e e+→++→→====.“1∞”型：例17 求lim 1xx e x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解 原式lim 1x e ee x e e x →∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.“0∞”型：例18 求tan 01lim ()xx x+→.解 原式tan ln tan 01lim ln()tan ln 0lim lim x xxx e x xxx x e e e -+→++-→→===，而tan ~0lim (tan ln )lim (ln )0x x x x x x x x ++→→-−−−→-=，因此：原式=1. 2.3 泰勒公式（含有e 的x 次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）泰勒中值定理定理：如果函数()f x 在含有n 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n + 阶的导数，则对任一(,)x a b -∈，有()f x =0()f x +0()f x '(x -0x )+0()2!f x ''(x -0x )2+……+()0()!n f x n (x -0x )n+n R (x )其中()()()(1)10()1!n n n f R x x x n ξ++=-+，这里ξ是x 与0x 之间的某个值. [1]例19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限30sin cos limsin x x x xx→-.解 由于公式的分母33sin ~(0)x x x →，我们只需将分子中的3333sin 0(),cos 0()3!2!x x x x x x x x x =-+=-+代入计算，于是 3333331sin cos 0()0()0()3!2!3x x x x x x x x x x x -=-+-++=+，对上式做运算时，把两个3x 高阶的无穷小的代数和还是记作30()x .例20 323322314334lim lim 3211211x x x x x x x x x x x x→∞→∞++++==++++++，2222111limlim 121(1)1x x n n n n n→∞→∞++==--+，()121(2)313limlim (2)332233nn nn n n x x ++→∞→∞⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭==-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. 2.4 无穷小与有界函数的处理方法面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.[3]例21 求 sin lim x x xx→∞+.解 原式sin 1lim(1)lim(1sin )1x x x x x x→∞→∞=+=+=. 2.5 夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.[1]例22 求2sin sin sin lim ...1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭. 解 111sin sin sin11n n n i i i i i i n n n n n o n iπππ===≤≤+++∑∑∑， 1011sin 12lim lim sin nn n n i i i i n n x dx n o n nππππ→∞→∞====⋅=+∑∑⎰，1011sin 112lim lim 1sin 11nn n n i i i i n x dx n n n nππππ→∞→∞==⎫⎛=⋅=⋅⋅= ⎪++⎝⎭∑∑⎰， 根据夹逼定理 1sin2lim1nx i i n n iππ→∞==+∑. 2.6 等比等差数列公式（δ的绝对值要小于1） [1]例23 设1||<δ，证等比数列1，δ，2δ1n δ-，…的极限为0.证 任取01δ<<，为使n x a ε-<，而nn x a δ-=，使nδε<，即ln ln ln ,ln n n εδεδ<>，当ln ln N εδ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，即ln ln 11ln ln n N εεδδ⎡⎤≥+=+>⎢⎥⎣⎦， ln ln nn δεδε<⇒<即n x a ε-<，由定义知()lim 10nδδ<=()()22......lim ...11n n n δδδδδδδδδ→∞++=++=<-.因此,很显然有:()0.99...lim 0.99...1n n→∞==.2.7 各项以拆分相加[3]将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.例24 求()111lim 1...2*33*41n n n →∞⎛⎫++++ ⎪ ⎪+⎝⎭. 解 原式111111lim 1...23341n n n →∞⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ 11lim 121n n →∞⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭31lim 21n n →∞⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=32. 2.8 求左右极限的方式例25 求函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f ，求0x →时，()f x 的极限.解 ()()0lim lim 11x x f x x --→→=-=-，()()0lim lim 11x x f x x ++→→=+=， 因为()()0lim lim x x f x f x ++→→≠，所以，当0→x 时，)(x f 的极限不存在. 例26 ()0lim 0x x xxαα→>.解 0)(lim )(lim 00=-=---→→ααx x x x x x ，0lim lim 00==++→→ααx x x x x x ， 因为0lim )(lim00==-+-→→xxx x x x x x αα，所以,原式=0. 2.9 应用两个重要极限1sin lim 0=→x x x ，1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭例27 求xe x x 1lim 0-→.解 记()ln 1x t =+ 1xe t -=，则原式=1001limlim 111ln 1t t ttt t →→==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()1lim 1x x x e →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为. 例28 求1lim 11nn n →∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭. 解 原式=()111lim 11n n n +-→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=e .例29 求1lim 1-1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 解 原式=()111lim 1-1n n n -+→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=e .2.10 根据增长速度 )(ln ∞→<<x ex x xnλ例30 求()lim 0nx x x n eλλ→∞>为正整数，.解 原式=1lim n x x nx e λ-→∞=()221!lim lim 0n xn x x x n n x n e e λλλλ-→∞→∞-==.例31 求()ln lim0nx xn x →∞>.解 01lim lim ln lim 11===∞→-∞→∞→n x n x x n x nxnx x x .同函数趋近于无穷的速度是不一样的，x 的x 次方快于!x （x 的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数.所以增长速度： )(ln ∞→<<x ex x xnλ.故以后上述结论可直接在极限计算中运用. 2.11 换元法例32 1lim (1)xx x→-∞+.解 令x t =-，则原式=1lim 1t t t -→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1lim t t t t -→+∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭111lim 1111t t t t -→+∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=e 2.12 利用极限的运算法则[1]利用如下的极限运算法则来求极限： (1) 如果()()lim ,lim ,f x A g x B ==那么B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[()()()()lim lim lim f x g x f x g x A B ⋅=⋅=⋅⎡⎤⎣⎦若又有0≠B ，则BA x g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim（2）如果)(lim x f 存在，而c 为常数，则)(lim )](lim[x f c x cf =（3）如果)(lim x f 存在，而n 为正整数，则nn x f x f )]([lim )](lim[=（4）如果)()(x x ϕδ≥，而b x a x ==)(lim ,)(lim ϕδ，则b a ≥ （5）设有数列{}n x 和{}n y ，如果()lim ;n n n x y A B →∞+=+那么，()lim ;n n n x y A B →∞+=+lim n n n x y A B →∞=⋅当()01,2,...n y n ≠=且0b ≠时，limn n n x A y B→∞= 2.13 求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]例33 已知()21f x x =- ,在区间[]0,1上求()01limniii f x λξ→=∆∑（其中将[]0,1分为n个小区间[]1,i i x x -,1i i i x x ξ-≤≤，λ为i x ∆中的最大值）.解 由已知得: ()()11limni i i f x f x dx λξ→=∆=∑⎰1201x dx =-⋅⎰4π=.（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数()f x 在区间[]0,1上的面积）.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：（1）定积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[],a b 上连续，则在[],a b 上至少有一个点，使下列公式成立：()()()baf x dx x b a ϕ=-⎰ ()a b ϕ≤≤；（2）设函数()f x 在区间[],a +∞上连续，取t a >，如果极限 ()lim tat f x dx →+∞⎰存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间[],a +∞上的反常积分，记作⎰∞+0)(dx x f ，即⎰⎰+∞→∞+=tat adx x f dx x f )(lim )(；设()f x 在区间[],a b 上连续且()0f x ≥，求以曲线()y f x =为曲线，底为[],a b 的曲边梯形的面积A ，把这个面积A 表示为定积分：()b=aA f x dx ⎰ 的步骤是：首先，用任意一组的点把区间[],a b 分成长度为(1,2,...)i x i n ∆=的n 个小区间，相应地把曲线梯形分成n 个窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积设为i A ∆，于是有1nii A A ==∆∑；其次，计算i A ∆的近似值 ()()1i i i i i i A f x x x ϕϕ-∆≈∆≤≤；然后，求和，得A 的近似值 ()1niii A f x ϕ=≈∆∑；最后，求极限，得⎰∑=∆==→bai ni i dx x f x f A )()(lim1ϕλ.例34 设函数()f x 连续，且()00f ≠，求极限 ()()()[]2lim.x xx x t f t dt x f x t dt→--⎰⎰. 解 ()()()0lim x xx x t f t dt x f x t dt→--⎰⎰ =()()()0lim ,xxxx xf t dt tf t dtx f u du→-⎰⎰⎰()()()()()0+limxx x f t dt xf x xf x f u du xf x →-+⎰⎰由洛必达得：，()()(),,,f x t dx u x t f u du -=-⎰x其中令得()()()()0lim 0x x xf xf xf x ϕφϕ→+再由积分中值定理得:在到之间 ()()()()()()001lim002x f f f f x f f ϕϕ→===++.例35 计算反常积分: 21dx x +∞-∞+⎰.解21dx x +∞-∞+⎰ =[]arctan x +∞-∞=-lim arctan lim arctan x x x x →+∞→∞-=()22πππ--=. 2.14 利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限（1）单调有界数列必有极限；（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限.[3]例36 数列{}n x :2，12n x -+，222++，……．极限存在吗？ 解 由已知可得{}n x 单调递增且有界，由单调有界原理，知lim n n x →∞存在．又12n n x x -=+，1lim lim 2n n n n x x -→∞→∞=+记lim =t,2n n x t t →∞=-则，即可证2n x <，得到 2=t . 2.15 直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你0)0(=F 时，)(x F 的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：（1）设函数()y f x =在点0x 的某个领域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x ∆+仍在该领域内）时，相应的函数取得增量()()00y f x x f x ∆=∆+-；如果y ∆与x ∆之比0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记作()0f x '，即 ()()()00000limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→∆+-∆'==∆∆；（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等. 例36 ()()()()1f x x x e x π=---，求()'fπ.解 ()'fπ ()()()()()()=lim lim 11x x f x f x x e x x e x ππππ→→-=--=---. 例37 若函数()f x 有连续二阶导数且()0=0f ，()'0=1f，()''0=-2f ，则 ()()2limx f x xx→-=.A:不存在 B ：0 C ：-1 D ：-2解 ()20limx f x x x →-=()()()'''00101lim lim 220x x f x f x f x x →→--=-()''1012f ==-. 所以，答案为D.例38 若()(1)(2).....(2010)f x x x x x =++++，求(0)f '.解 0()(0)(0)limx f x f f x→-'=0(1)(2) (2010)lim x x x x x x→++++=lim (1)(2).....(2010)x x x x x →=++++2010!=. 2.16 利用连续性求极限[1]例39 设()f x 在1x =处有连续的一阶导数，且(1)2f '=，求1l im (c o s 1)x dx dx+→+-.解 原式11lim (cos 1)(sin 1)21x f x x x +→'=----11sin 1lim (cos 1)21x x f x x +→-'=--- 11lim (cos 1)2x f x +→'=-- 11(lim cos 1)2x f x +→'=--1(1)2f '=-1=-.2.17 数列极限转为函数极限求解数列极限中是n 趋近，而不是x 趋近.面对数列极限时，先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n 趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的n 当然是趋于正无穷的）.[1]例40 求21lim (1sin )n n n n→∞-.解 令1t n=,则原式2320001sin sin 1cos lim (1)lim lim 3t t t t t t t t t t t →→→--=-==， 所以在0t →时，1cos t -与212t 等价，因此，原式20212lim 13t tt→=16=.。
函数极限的求法及技巧总结
函数极限的求法及技巧总结函数极限是高等数学的一个重要概念，它在微积分、实分析等许多领域都有着广泛的应用。
在计算函数极限时，需要掌握一些求法和技巧。
本篇文章将对此进行总结。
1. 直接代入法直接代入法是最基本也是最简单的一种方法，它适用于可以直接将自变量代入函数中计算得到结果的情况。
例如，当求函数f(x) = x² + 3x + 2在x = 1处的极限时，我们可以直接将x = 1代入函数中，得到f(1) = 1² + 3×1 + 2 = 6。
因此，f(x)在x = 1处的极限为6。
2. 分式化简法分式化简法是一种常用的求极限的方法，它适用于形如“分式”的函数。
3. 夹逼定理夹逼定理是一种常用的求极限的方法，它适用于当我们无法通过代入或化简等方法直接求出函数极限时。
夹逼定理的思想是：若存在函数g(x)和h(x)，满足 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x) = L。
4. 洛必达法则其中，f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数。
例如，当求函数f(x) = (e^x - 1) / x在x = 0处的极限时，我们可以将f(x)表达为g(x) / h(x)的形式，即g(x) = e^x - 1，h(x) = x，然后计算g'(x)和h'(x)，得到 g'(x) = e^x，h'(x) = 1。
因此，根据洛必达法则，我们得到limx→0 f(x) = limx→0 [e^x / 1] = 1。
5. 泰勒展开法泰勒展开法是一种常用的求函数极限的方法，它适用于当函数在极限点左右存在二阶及以上的导数时。
泰勒展开法的思想是：当limx→a f(x)存在时，可以将函数f(x)在a附近进行泰勒展开，得到f(x) = f(a) + f'(a)×(x - a) + f''(a)×(x - a)² / 2 + …… + Rn(x)，其中Rn(x)为余项。
高等数学微积分求极限的方法整理
一，求极限的方法横向总结：
1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）
2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到
2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和
5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
6运用重要极限求极限（基本）。
7乘除法中用等价无穷小量求极限。
8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。
9常数比0型求极限：先求倒数的极限。
10根号套根号型：约分，注意别约错了。
11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos
二，求极限的方法纵向总结：
1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。
2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置
2）用无穷小量与有界变量的乘积
3）2个重要极限
4）分式解法（上述）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x sin x . x x sin x 1 ) lim(1 sin x) 1 . 解 原式 lim(1 x x x x
原式 lim
解
1 1 1 (1 cos) x 2 2 2 tan x x 1 cos x 2 1. lim cos x lim 2 lim 原式 lim 2 2 2 x 0 x 0 x 0 3 x cos x x 0 3 x cos 2 x xxx 3x 3 cot x 例12 求 lim . x 0 ln x
例1 求 lim
x 0
1 cos x ． x arctan x
1 2 x , arctan x ~ x ， 2
解 x 0时,1 cos x ~
1 2 x 1 故，原式 lim 2 2 x 0 x 2
例2 求 lim
x 0
(1 x ) 1 ． cos x 1
1
sin x x
于是
x3 x3 1 3 sin x x cos x x 0( x ) x 0( x 3 ) x 3 0( x 3 ) ，对上式做运算时，把两 3! 2! 3
个 x 3 高阶的无穷小的代数和还是记作 0( x 3 ) .
1 4 3 3x x 4 x x lim 3 lim 3， x x 2 x 2 x 1 x 2 1 1 1 2 3 x x x 1 1 2 n2 1 n lim lim 1， x ( n 1) 2 x 2 1 1 2 n n
lim
xa
f ( x) f ( x) . lim x a F ( x) F ( x)
[1]
求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入， 先定型后定法. 例6 分析
1 0
2
[3]
1 cos 2 x 求 lim( 2 ). x 0 sin x x2
秘诀强行代入，先定型后定法.
x e
x
解
“ 0 ”型： 例18 解
1 ( ) tan x . 求 lim x 0 x
e 原式 lim
x 0 1 ln( ) tan x x
lim e
x 0
tan x ln x
e
x0
lim e tan x ln x
，
( tan x ln x) lim ( x ln x) 0 ，因此：原式=1. 而 lim tan x ~ x
sin x ~ x, tan x ~ x, arcsin x ~ x, arctan x ~ x, e x 1 ~ x, ln(1 x) ~ x,1 cos x ~ 1 2 x , 2
lim ；则： 与 是等价无穷小的充分必要条
1 x 1 x ~ x, (1 x) 1 ~ x ．
18
宁波大红鹰学院学生数学课程论文
x3 3x 2 求 lim 3 . x 1 x x 2 x 1
例8
解
原式 lim
3x 2 3 6x 3 lim .（二次使用洛必达法则）. x 1 3 x 2 2 x 1 x 1 6 x 2 2
例9
求 lim
e x e x 2 x . x 0 x sin x
2
“ 00 ”型： 例16 解
xx . 求 lim
x 0
原式 lim eln x lim e x ln x e x0
x 0 x 0
x
lim e x ln x
1.
“ 1 ”型： 例17
e 求 lim 1 . x x
e e 原式 lim 1 ee . x x
解
1 x 1 1 3 3 ． x 0时, 1 x 1 ~ x, tan x ~ x ，故:原式= lim x 0 x 3 3
求 lim
x 0
例4
e
x
1
2
2 x ln(1 x)
．
解 x 0时, e x 1 ~ x, ln(1 x) ~ x ,故: 原式 lim 例5 试确定常数 a 与 n ，使得当 x 0 时， ax n 与 ln(1 x 3 ) x 3 为等价无穷小．
f ( x) f ( x0 ) + f ( x0 ) ( x - x0 )+
其中 Rn ( x) 例19 解
f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) ( x - x0 ) 2 +……+ ( x - x0 ) n + Rn ( x ) n! 2!
[1]
f ( n 1) n 1 x x0 ，这里 是 x 与 x0 之间的某个值. n 1!
宁波大红鹰学院学生数学课程论文
高等数学中求极限的方法小结
2.求极限的常用方法 2.1 利用等价无穷小求极限 这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.( 2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等 价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代 替).[3] 设 ~ 、 ~ 且 lim 件为： 0( ) ． 常用等价无穷小：当变量 x 0 时，
利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限 lim
sin x x cos x . x 0 sin 3 x
由于公式的分母 sin 3 x ~ x 3 ( x 0) ，我们只需将分子中的
x3 x3 0( x 3 ), x cos x x 0( x 3 ) 代入计算， 3! 2!
3 2
3
例20
lim
(2) n 3n x ( 2) n 3n 1
2 1 1 3 lim . n x 3 2 2 3 3
n
2.4 无穷小与有界函数的处理方法
21
宁波大红鹰学院学生数学课程论文 面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要 注意这个方法.[3]
解
lim(
x 0
1 cos 2 x x 2 sin 2 x cos 2 x ( x sin x cos x)( x sin x cos x) ) lim lim 2 2 2 2 x 0 x 0 sin x x x sin x x4
lim
x 0
x sin x cos x x sin x cos x x sin x cos x lim 2 lim ， 3 x 0 x 0 x x x3
lim
x 0
“ 0 ”型：
19
宁波大红鹰学院学生数学课程论文 例14 求 lim x( arctan x) . x 2
解 原式 lim 2
x
arctan x 1 x
1 2 1 lim 1 x lim 1. x x 1 1 1 x2 x2
x 0 x 0
2.3 泰勒公式 （含有 e 的 x 次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）
20
宁波大红鹰学院学生数学课程论文 泰勒中值定理定理：如果函数 f ( x) 在含有 n 的某个开区间 (a, b) 内具有直到
(n 1)
阶的导数，则对任一 x (a, b) ，有
1 0
2
02 02 (0 0)(0 0) 0 0 0 0 （此为强行代入以定型）. 3 04 04 0 0
0 0 可能是比 0 0 高阶的无穷小，倘若不这样，或
(0 0)(0 0) 0 0 0 0 (0 0)(0 0) 0 0 0 0 2 或 . 4 2 0 0 0 04 0 03
3 x 2 3x 2 3 3 x 5 ln(1 x ) x 1 x lim lim 而左 边 ， lim 1 x 0 x 0 nax n 1 x 0 nax n 1 ax n 3 3 1 1 1 a ． n 1 5 即 n 6 lim x 0 6a 6a 2
1 cos 2 x sin 2 x 4 sin 2 x 4 由洛必达法则的 2, 有：上式= 2 lim lim 2 . x 0 3x 2 3 x 0 x 3
例7
求 lim
x 0
ex 1 . x2 x
解
lim
(e x 1) ex ex 1 lim 1 lim 1 . x 0 ( x 2 x ) x 0 2 x 1 x 0 x 2 x
“ ”型： 例15 求 lim sec x tan x .
x
2
解 sec x tan x 故原式 lim
x
1 sin x 1 sin x ， cos x cos x cos x
2
1 sin x cos x lim 0. cos x x sin x
解
原式 lim
e x e x 2 e x e x e x e x lim lim 2. x 0 1 cos x x 0 sin x x 0 cos x
x2 4x 3 . x2 2x 1
例10 解
求 lim
x 1
2x 4 x2 x2 lim lim 0 原式= . x 1 2 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1 tan x x 例11 求 lim . x 0 0时, (1 x 2 ) 3 1 ~
1 2 1 x ,1 cos x ~ x 2 ,因此: 3 2
16
宁波大红鹰学院学生数学课程论文