微积分求极限的方法2·完整版
函数极限的几种求解方法
函数极限的几种求解方法函数极限是微积分中非常重要的概念，它可以帮助我们理解函数在无穷远处的行为，以及在某些趋向某一点时的表现。
函数极限的求解方法有很多种，接下来我们将介绍一些常用的方法来求解函数极限。
一、代入法代入法是求解函数极限的最直接方法之一，它适用于那些在某一点附近有定义的函数。
代入法的核心思想是将极限点代入函数中，然后计算函数值，如果函数在该点处有定义并且极限存在，那么我们可以直接通过代入来求解函数的极限值。
我们要求解函数f(x)在x=2处的极限，那么我们可以直接代入x=2来求解，计算出f(2)的值就是函数在x=2处的极限值。
二、夹逼定理夹逼定理是求解函数极限的另一种常用方法，它适用于一些特殊情况下的函数极限求解。
夹逼定理的核心思想是通过构造一个夹在两个函数之间的函数，从而推导出函数的极限值。
我们要求解函数f(x)在x趋向无穷时的极限值，可以通过构造两个趋向同一极限的函数g(x)和h(x)，使得g(x)<=f(x)<=h(x)，然后通过夹逼定理可以推导出f(x)的极限值。
三、无穷小量比较法我们要求解函数f(x)在x趋向0时的极限值，可以通过比较f(x)与x的n次方的大小关系来求解。
如果f(x)比x的n次方在x趋向0时的极限值小，那么f(x)的极限值就是0，反之亦然。
四、洛必达法则洛必达法则是求解函数极限的一个非常有用的方法，它适用于求解当函数的极限不存在的情况。
洛必达法则的核心思想是通过对函数的分子和分母分别求导，然后比较导数的极限值来判断函数的极限是否存在。
函数极限的求解方法有很多种，每种方法都有其适用的范围和特点。
在实际应用中，我们可以根据具体的函数形式和求解的需求选择合适的方法来求解函数的极限值。
希望本文介绍的几种求解方法能够帮助大家更好地理解函数极限的概念和求解方法。
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略
微积分中函数极限的几种常用求解方法与策略函数极限是微积分中的一个重要概念，它描述了一个函数在某一个点上的一种趋势或者特性。
计算函数极限可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质和行为，有助于我们在实际问题中进行数学建模和分析。
在本文中，我们将介绍一些常用的函数极限求解方法和策略，以及应用这些方法进行问题求解的一些技巧和实例。
一、基本极限1. 常函数极限：对于任何一个常数C，有lim_x→a C = C。
这个极限很容易理解，因为常数C在a点的值就是C，没有任何变化。
2. 一次函数极限：对于一个一次函数f(x) = kx+b (k≠0)，有lim_x→a f(x) = ka+b。
这个极限的求解也比较简单，就是将x代入函数，得到在a点的函数值，也就是k*a+b。
3. 幂函数极限：对于一个幂函数f(x) = x^n (n为正整数)，有lim_x→a f(x) = a^n。
这个极限可以用夹逼定理来证明，也可以通过直接代入公式进行求解。
二、极限的四则运算法则在很多实际问题中，我们需要对函数进行加减乘除等运算，因此需要了解极限的四则运算法则。
这些法则包括：1. 两个函数之和的极限等于两个函数在该点的极限之和。
三、夹逼定理在实际问题中，我们有时会遇到一些复杂的函数，无法直接进行求解，这时候就需要用到夹逼定理来求解。
夹逼定理的核心思想是，我们可以找到两个比较简单的函数，一个上界函数和一个下界函数，这两个函数都可以收敛到某一个极限，然后我们就可以根据夹逼原理，得到我们要求解的函数的极限值。
四、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求解极限的方法，其核心思想是通过对函数求导来得到某一个点的导数，然后再求极限。
如果这个极限存在的话，那么这个极限就是函数在这个点的极限。
具体求解方法如下：1. 当极限的代数式飞涨或者现实复杂时，可以使用该方法求解。
2. 求出极限函数f(x)的导函数f'(x)，然后将x带入f'(x)求出导数。
大学数学微积分中的极限概念与计算方法
大学数学微积分中的极限概念与计算方法微积分是数学的一门重要分支，涉及到很多概念和计算方法。
其中，极限概念是微积分理论的核心之一。
本文将深入探讨大学数学微积分中的极限概念及其计算方法，旨在帮助读者更好地理解和应用微积分知识。
一、极限的概念在微积分中，极限是指函数或数列随着自变量无限接近某个确定值时的稳定趋势。
具体来说，当自变量趋于某个特定值，函数值将无限接近于一个确定的常数，这个常数即为极限值。
在符号表示上，我们通常用lim来表示极限，例如lim(x→a)f(x)=L，表示当自变量x趋于a时，函数f(x)的极限值为L。
其中，x→a表示x趋近于a的过程。
二、极限的计算方法在计算极限时，我们需要掌握一些常用的计算方法。
下面将介绍几种常见的极限计算方法。
1. 函数极限的计算方法函数极限的计算方法根据具体的函数特性和极限性质来确定。
以下是常见的几种计算方法：（1）代入法：当函数在某一点处连续时，可以直接将自变量代入函数中计算得到极限值。
（2）基本极限法则：利用常用函数的基本极限性质，可以通过将复杂函数拆分成基本函数来计算极限值。
（3）夹逼定理：当无法直接计算函数极限时，可以通过夹逼定理来确定极限值。
夹逼定理的核心思想是用一个比该函数的极限更小的函数和一个比该函数的极限更大的函数夹住该函数，从而确定其极限。
2. 数列极限的计算方法数列极限是数列中各项值随着项数的增加而趋于某个确定的常数。
计算数列极限时，我们可以运用以下方法：（1）通项公式法：当数列具有明确的通项公式时，可以直接将项数代入通项公式计算极限。
（2）比值法、比根法：当数列的通项公式较为复杂时，可以通过比值法或比根法来判断极限的存在性。
具体计算方法是将相邻两项的比值或者开方之后进行计算，若其极限存在，则数列也存在极限。
三、极限的应用极限在微积分中有着广泛的应用。
以下是极限在微积分中的几个典型应用场景：1. 函数的连续性通过处理函数的极限，我们可以判断函数在某个点上的连续性。
微积分中经典求极限方法
(II) g(x) M
(M 为正整数)
则： lim g(x) f (x) 0 x x0
例: 求
lim x sin 1
x0
x
解: 由
lim x 0 而
x0
故 原式 = lim x sin 1 0
x0
x
sin 1 1 x
3
8、利用无穷小量与无穷大量的关系。
出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”
例 求极限 lim x ln(1 x) x0 1 cos x
【解】因为 x 0时，ln(1 x) ~ x,1 cos x ~ 1 x2 2
,所以
lim
x0
x ln(1 x) 1 cos x
lim x0
xx 1 x2
2
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】 lim ( x 2 3 x 2 1) lim ( x 2 3 x 2 1)( x 2 3 x 2 1)
x
x
x2 3 x2 1
lim
2
0
x x 2 3 x 2 1
例1
lim
x1
3x 1 2 x 1
解：原式= lim x1
(3)此方法在各种求极限的方法中应．作．为．首．选．。
例:求极限
lim
x0
1 x2
cos sin
x2 x2
解: sin x 2 ~ x 2 , 1 cos x 2 ~ (x 2 )2 2
(x2 )2
lim
x0
1 x2
cos sin
x2 x2
=
2 x2x2
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧函数极限是微积分中的重要概念之一，它的求解方法与技巧有很多。
在本文中，将介绍一些常用的方法和技巧，帮助读者更好地理解和掌握函数极限的求解过程。
一、常用的极限求解方法1. 代数化简法将复杂的极限式子进行代数化简，化为比较简单的极限式子，从而进行计算。
例如：$$\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^n-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^n-1}{x}\cdot{\frac{(1-x)^n+(1-x)^n}{(1-x)^n+(1-x)^n}}$$2. 夹逼定理当需要证明某一极限存在时，可以使用夹逼定理。
夹逼定理是指：若$\lim_{x\toc}f(x)=\lim_{x\to c}h(x)=A$，且存在另一个函数$g(x)$，满足$f(x)\leq g(x) \leqh(x)$，则$\lim_{x\to c}g(x)=A$。
例如：$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$证明：$$\because \cos x\leq\frac{\sin x}{x}\leq1, (\forall x \in (0,\frac{\pi}{2}])$$3. 最高阶同类项法二、常用的技巧1. 分子有理化当极限式子中含有分数时，可以使用分子有理化技巧，将分数化为更容易计算的形式。
例如：使用分子有理化技巧：2. 三角函数性质当极限式子中含有三角函数时，可以利用三角函数性质进行化简。
例如：3. 比较大小法$$x>0, e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$$4. 提取公因数法总之，我们在计算函数极限的时候，需要耐心分析和具体问题具体分析，从而选择合适的方法和技巧进行计算。
微积分计算极限
微积分计算极限以微积分计算极限为标题，下面将介绍一些关于微积分中极限的计算方法。
在微积分中，极限是一个非常重要的概念，它可以帮助我们研究函数的性质以及解决各种数学问题。
我们来看一下什么是极限。
在数学中，当自变量趋于某个特定的值时，函数的值可能会趋于某个确定的值，这个确定的值就是极限。
用数学符号表示，如果当自变量x趋于a时，函数f(x)的值趋于L，我们可以写成：lim(x→a) f(x) = L在微积分中，我们主要研究函数在某个点的极限。
通过计算极限，我们可以了解函数在这个点附近的性质，比如函数的斜率、单调性、凹凸性等等。
那么，如何计算极限呢？下面我们介绍一些常用的计算方法。
1. 代入法：当函数在某个点a处有定义时，我们可以直接将a代入函数中计算得到极限的值。
这种方法适用于一些简单的函数，比如多项式函数、三角函数等。
2. 四则运算法则：对于两个函数之和、差、积、商的极限，可以通过对每个函数分别求极限，然后应用四则运算法则得到结果。
这个方法在计算复杂函数的极限时非常有用。
3. 夹逼定理：夹逼定理是一种非常重要的计算极限的方法。
当函数f(x)、g(x)、h(x)满足f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) 且lim(x→a) f(x) = lim(x→a) h(x) = L 时，我们可以得到lim(x→a) g(x) = L。
这个方法在计算一些复杂函数的极限时非常有效。
4. 无穷小量与无穷大量：在一些特殊情况下，我们可以将函数表示成无穷小量和无穷大量的形式，然后通过对它们进行比较来计算极限。
比如当x趋于无穷大时，我们可以将函数表示成f(x)/g(x)的形式，然后根据g(x)的阶数来判断极限的值。
5. 泰勒展开：泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法，我们可以通过泰勒展开来计算一些复杂函数的极限。
泰勒展开可以将一个函数表示成无穷个项的和，然后通过截断展开式来计算极限。
除了上述方法外，还有一些其他的计算极限的方法，比如洛必达法则、换元法等等。
高等数学微积分求极限的方法整理
一，求极限的方法横向总结：
1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）
2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到
2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和
5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
6运用重要极限求极限（基本）。
7乘除法中用等价无穷小量求极限。
8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。
9常数比0型求极限：先求倒数的极限。
10根号套根号型：约分，注意别约错了。
11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos
二，求极限的方法纵向总结：
1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。
2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置
2）用无穷小量与有界变量的乘积
3）2个重要极限
4）分式解法（上述）。
微积分 求极限的方法
求极限方法一:直接代入法例一:=24例二:=类似这种您直接把x趋近的值代入到函数里面,就可以直接得到函数的极限了。
知识点1:当x趋近值代入后,分子为0,分母不为0时,函数极限等于0知识点2:当x趋近值代入后,分子不为0,分母为0时,函数极限等于方法二:因式分解法(一般就是平方差,完全平方,十字相乘)普通的就就是分子分母约去相同的项,因为x就是趋近值,所以上下就是可以约去的,不用考虑0的问题。
类似=下面讲个例知识点3:=(x-y)()例三:==方法三:分母有理化(用于分母有根式,分子无根式)例四:=方法四:分子有理化(用于分子有根式,分母无根式)例五:==1方法五:分子分母同时有理化(用于分子有根式,分母有根式)例六:知识点4:(使用这个知识点时,必须注意只能在x趋近于无穷时使用,且使用时只用瞧各项的最高次数,不用管其她)例七:=(分子的最高次就是两次,大于分母最高次一次,所以直接得出极限为无穷大)例八:=0 (分子的最高次就是一次,小于分母最高次两次,所以直接得出极限为零)例九:(分子的最高次就是一次,等于分母最高次一次,所以直接得出极限为)方法六:通分法(若函数为两个分数相加减时,通常先同分再做处理,一般情况下同分后都要进行因式分解,然后分子分母约去相同的多项式)例十:-知识点5:当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时,新函数的极限仍为无穷小。
(有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍就是无穷小量)例十一:=0 函数左边用知识点4得出就是无穷小,右边3+cosx就是有界函数,所以新函数极限为无穷小,即0所有求极限的题中,代入x趋近值后,若出现或,都可以使用洛必达法则求解极限。
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专题一 求极限的方法【考点】求极限1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目,一般为2-3题１2-１8分左右,而用极限的概念求极限的题目已不会出现。
一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则与利用定积分的概念求极限,使用这些方法时要注意条件,如等价量代换就是在几块式子乘积时才可使用,洛必达法则就是在0比０,无穷比无穷的情况下才可使用,运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。
2、 极限收敛的几个准则:归结准则(联系数列与函数)、夹逼准则(常用于数列的连加)、单调有界准则、子数列收敛定理(可用于讨论某数列极限不存在)3、 要注意除等价量代换与洛必达法则之外其她辅助方法的运用,比如因式分解,分子有理化,变量代换等等。
4、 两个重要极限0sin lim 1x xx→= 101lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=,注意变形,如将第二个式子1lim(1)xx x e→+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞”的形式的典型求极限题目。
5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结,如: （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限（2） 函数在某点极限存在的充要条件就是左右极限存在且相等。
有时可以利用这点进行解题,如111lim x x e-→因左右极限不相等而在这点极限不存在。
(当式子中出现绝对值与e的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发)（3） 遇到无限项与式求极限时想三种方法:①瞧就是否能直接求出这个与式(如等比数列求与)再求极限 ②夹逼定理③用定积分的概念求解。
(4)如果f(x)/g(x)当x →ｘ０时的极限存在,而当ｘ→x0时g(x)→０,则当x →x ０时f(x)也 →0(５)一个重要的不等式:sin x x ≤(0x >) *其中方法②③考到的可能性较大。
6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。
7、 闭区间上连续函数的性质(最值定理、根的存在性定理、介值定理) 8、 此部分题目属于基本题型的题目,需要尽量拿到大部分的分数。
【例题精解·求极限的方法】方法一:直接通过化简,运用极限的四则运算进行运算。
【例1】求极限 11lim 1m n x x x →--解1212 111(1)() lim lim1(1)()m m mn n nx xx x x xx x x x----→→--++=--++…1…1=mn注:此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。
还可通过变量代换构造等价量。
【例2】求极限22lim(1)xx x x→+∞+--解22221lim(1)lim21x xx x xx x x→+∞→+∞+--==++-注:1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法——有理化与采取倒变量的方法。
2、一个最基本的多项式极限112112limn nnm mxna x a x ab x b x b--→+∞++++++……(系数均不为0):①若ｎ>m,则极限为正无穷;②若n<m,则极限为０;③若n=m,则极限为11ab。
(本质为比较次数)要注意的就是x就是趋向于正无穷,而且分子分母遇到根号时要以根号里x的最高次的12次来计算,如21x+的次数为１。
方法二:利用单调有界准则来证明极限存在并求极限【例3】设112u≥-,112(1,2,...)n nu u n+=+=,证明lim nnu→∞存在并求之方法三:利用夹逼定理——适用于无限项求极限时可放缩的情况。
【例4】求极限(1lim123...n n n n n n→∞++++解 因 (1111=123...=n n nn n n n n n n n n⋅<+++<⋅ 而 lim1=lim =1nn n n →∞→∞故由夹逼定理(1lim 123...n n n n n n→∞++++=1方法四＆方法五:等价量代换、洛必达法则——未定式极限。
(化加减为乘除！)【例５】求极限tan 0lim tan x x x e e x x→--解 原式=tan 00(1)(tan )lim lim 1tan tan x x x x x x e e e x x x x x x-→→--==--【例６】求极限1121lim ()x x x x a a+→+∞-解111111222(1)111lim ()=lim (1)lim 1(1)x x xx x x x x x x x a a x aax a-++++→+∞→+∞→+∞--=⋅⋅-=21lim 1ln ln (1)x x a a x x →+∞⋅⋅⋅=+【例７】求极限limx →解 原式=x →=()022tan sin lim4sin 23x x xx x x →-+⋅⋅ =02tan (1cos )lim sin 423x x x x x x x x →-⎛⎫+⋅⋅ ⎪⎝⎭=302132lim 416123x xx x →=⋅⋅⋅【例8】求极限01cos cos 2cos3lim1cos x x x xx→--解:直接运用洛必达法则与等价量代换可得01cos cos 2cos3lim1cos x x x xx→--＝000sin cos 2cos34cos sin 2cos39cos cos 2sin 3limlim lim23x x x x x x x x x x x x x x x→→→++＝000sin cos 2cos32cos sin 2cos33cos cos 2sin 3limlim limsin sin sin x x x x x x x x x x x xx x x →→→++= 000sin cos 2cos32cos sin 2cos33cos cos 2sin 3lim lim limx x x x x x x x x x x xx x x →→→++= 000sin cos 2cos34cos sin 2cos39cos cos 2sin 3lim lim lim23x x x x x x x x x x x xx x x →→→++＝１+4+9=１4【例9】求极限lim log ()abx x x x →+∞+解: 由换底公式,＝ln()lim ln a b x x x x →+∞+(∞∞)=lim a b a b x ax bx x x →+∞++=lim a ba bx ax bx x x →+∞++ 若a b ≥,则极限为a ;若a b <,则极限为b ,综上,极限为max{,}a b方法六:幂指函数求极限——取对数再取指数。
【例10】21lim sinnnnn→∞⎛⎫⎪⎝⎭(1)∞解222111sinlim sin=lim sin limn xtn x tt n xn x t+→∞→+∞→⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin1sinsinlim11t t tt t t tttt+-⋅⋅-→⎛⎫=+-⎪⎝⎭3200sin0cos11lim lim036t tt t tt te e e++→→--⎛⎫-⎪⎝⎭===【例1１】1ln+lim arctan2xxxπ→∞⎛⎫-⎪⎝⎭(0)解+1ln arctan2ln lim()ln+lim arctan=2xxxxxx eππ→∞⎛⎫-⎪∞⎝⎭∞→∞⎛⎫-⎪⎝⎭2211()1()arctan0 21lim lim()10arctan2x xxxxxxxe eππ→+∞→+∞⋅-+--+-==221lim11xxxe e→+∞--+==【例12】求极限cot1limarc xxxex→+∞⎛⎫-⎪⎝⎭❉注意x就是趋向正无穷,此时需要先分析底数与指数分别趋向于多少,分析底数易知底数趋向于正无穷。
但就是指数arcｃｏtx这个函数不就是很熟,可以通过图像先分析cｏtx再分析ａrccoｔx趋向于多少,最后得出结论就是指数趋于０。
故就是一个“0∞”型,所以要用“先取对数再取指数”的方法。
对于之后ａrccotx 的处理,若用罗比达对其求导则会发现再接下来比较难做,这里给出一个转化为熟悉的,可等加量代换的式子的方法,方法较灵活,需要对三角函数之间的转换有很深的熟悉度。
解 原式=1arccot ln lim x e x x x e⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭→+∞=1lim arccot ln x x e x x e→+∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=11lim arctan ln x x e x x e→+∞⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=()ln 1ln lim x x e x x e→+∞--∞⎛⎫⎪∞⎝⎭=1lim1xx x e x e e→+∞--=e❉关于第三个等号左右的变化:令cot y arc x =,则1cot tan x y y==,故1tan y x =,1arctan y x =,综上,1cot tan arc x arc x=方法七:运用泰勒定理求极限——适用于直接洛必达不好算时考虑的方法。
【例13】求极限22202lim (cos )x x x x x e →+--解2441()28x x o x =+-+0x →，,23cos 1()02!x x o x x =-+→， 2221()0x e x o x x =++→， 代入原式可得,原式=422420232222()4lim 1()1()2!x x x x o x x x o x x o x →+--++⎡⎤-+---⎢⎥⎣⎦=44044()4lim 3()2x x o x x o x →+-+＝16-方法八:通过定积分的概念来求极限【例1４】求22222lim (...)149n n n n nn n n n n→+∞++++++++ 解 由于此题无法直接对式子进行化简,也无法用夹逼定理,故想到用定积分的概念来求解,即原式=2222222221lim (...)149n n n n n n n n n n n →+∞++++++++＝222211111lim ...1231111n n n n n n n →+∞⎤⎡⎥⎢⎥⎢++++⎥⎢⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎥⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =2111lim1nn i n i n →+∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 此时由定积分的概念可将上面的与式瞧成被积函数21()1f x x=+在［0,1]上的定积分,故 22222lim (...)149n n n n n n n n n n →+∞++++++++=12011dx x +⎰=4π【例15】求极限1111lim ln 1[(1)(2)...21]lim (!)=lim nn i i nn n nn n n n n n e n n→+∞=→+∞→+∞∑--⋅=解1111[(1)(2)...21](1)(2)...21lim (!)=lim lim nnnn n n n n n n n n n n n n n →+∞→+∞→+∞--⋅--⋅⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11231lim (...)nn n n n n n n n→+∞-=⋅⋅⋅11231limln(...)n n n n n n n n n e→+∞-⋅⋅⋅=11lim ln nn i in n e→+∞=∑=1ln xdx e⎰=10(ln )|1x x x e e --== 【例１6】2222221sin sin lim ln nn k k k n k k n n →+∞=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭∑ 【分析】此题瞧似复杂,其实仔细观察可以发现本质仍为无限项的与式求极限,故再次想到用定积分的概念求解。