微积分2习题答案
微积分下 第二版 课后习题答案 同济大学
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +=),(，求),(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解yxxy y x f +=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=),(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f（2）;)1ln(4),(222y x y x y x f ---=（3）;1),(222222cz b y a x y x f ---=（4）.1),,(222zy x z y x z y x f ---++=解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D （2）}{xy y x y x D 4,10),(222≤<+<=（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤++=1),(222222c z b y a x y x D（4）{}1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D4．求下列各极限：（1）22101limy x xy y x +-→→=11001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim022)01=++=++→→e yx e x y y x（3）41)42()42)(42(lim 42lim000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x（4）2)sin(lim )sin(lim202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x5．证明下列极限不存在：（1）;lim 00yx y x y x -+→→ （2）2222200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim0020-=-+=-+→→=→x x xx y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 0020==-+→→=→y yy x y x y y x y所以极限不存在。
微积分复习题集带参考答案(二)
微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社__第六章
(x)
=
max{1,
x2}
=
⎪ ⎨
1
⎪ ⎩
x2
−2 ≤ x < −1 −1 ≤ x < 1 ,于是 1≤ x≤ 2
∫ ∫ ∫ ∫ 2 max{1, x2}dx = −2
−1 x2dx +
−2
1 1dx +
−1
2 1
x2dx
=
1 3
x3
−1 −2
+
x
1 −1
+
1 3
x3
2 1
=
20 3
∫ ∫ 6.
已知 f(x)连续，且 f(2)=3,求 lim x→2
a i)2
+1,
于是
∑ ∑ n
i=1
f (ξi )Δxi
=
n [(a + b − a i)2 +1] b − a
i=1
n
n
∑ =
(b
−
a)
n i=1
[a2
+
(b
−
a)2
i2 n2
+
2 a(b
−
a)
i n
+1]
1 n
= (b − a)[na2 + (b − a)2 ⋅ 1 ⋅ 1 n(n +1)(2n +1) + 2(b − a)a⋅ 1 ⋅ n(n + 1) + n]⋅ 1
x⎡ 2 ⎢⎣
2 t
f
(u)du
⎤ ⎥⎦
dt
(x − 2)2
.
解
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ lim
x→2
x⎡ 2⎣
2019版 2微积分练习题(下) 第二章 答案
dx f (x, y)dy
1
1
x
13
33
dy f (x, y)dx dy f (x, y)dx
1
1
3
y
1y
12
练习题 7
班级
学号
姓名
1. 把下列二重积分化为累次积分.
(1) f (x, y)d ，其中 D 是由 y x ，
D
x 2 及 x 轴所围成的闭区域；
解：原式＝ 2 x f (x, y)dydx . 00
2. 交换下列二次积分的积分次序(要求画出积 分区域的图形)：
1
y
(1) dy f (x, y)dx ；
0
y
1x
解：原式＝ dx f (x, y)dy . 0 x2
1x
2 2x
(3) dx f (x, y)dy + dx f (x, y)dy .
00
1
0
1 2 y
解：原式＝ dy f (x, y)dx .
积函数关于 x 轴、 y 轴不对称，所以该式不
成立.
2．计算二重积分：
(| x | y)dxdy ， D : x y 1；
D
解：积分区域 D 关于 x 轴、 y 轴都对称， y 关于
y 是奇函数， ydxdy 0
D
1 1x
x dxdy 2 xdxdy 2 dx xdy
D
D1
0 x1
2
2
cos
原式=
2
0
f ( cos , sin )dd
2
2．利用极坐标计算下列各题：
(1) e x2 y2 dxdy ， D : x 2 y 2 4 ； D
解：设 x r cos , y r sin .则
微积分课后题答案第二章习题详解
例如是其的一个第二类间断点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.
4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：
(1) f(x)= ；(2) f(x)＝；
(3) f(x)= ；(4) f(x)= ；
(5) f(x)= .
解: (1)由得x=-1, x=-2
证:
,由极限的保号性知.
,使当时有,此时与同号,因为n为奇数,所以(2X)n与(-2X)n异号,于是与异号,以在上连续,由零点存在定理,至少存在一点,使,即至少有一实根.
（7）正确，见教材§2.3定理5；
（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。
3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.
(1) f(x)= ,x→2;(2) f(x)=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；
(3) f(x)= ,x→0+，x→0-；(4) f(x)= -arctanx,x→+∞;
也即，所以当时，.
再证必要性：
若当时，，则，
所以＝＝.
综上所述，当x→x0时，(x)～β(x)的充要条件是
＝０.
2. 若β(x)≠0，β(x)=0且存在，证明(x)=0.
证：
即.
3. 证明： 若当x→0时，f(x)=o(xa)，g(x)=o(xb)，则f(x)·g(x)＝o()，其中a,b都大于0，并由此判断当x→0时，tanx－sinx是x的几阶无穷小量.
解: ∵f(0)=a,
要f(x)在x=0处连续,必须.
即a=1.
6※.设f(x)= ，讨论f(x)的连续性.
微积分第二章习题参考答案
f ( 0 )
lim
x 0
(2e x
1) x
1
2,
f ( 0 )
lim
x 0
(x2
bx x
1)
1
b ,
b
2.
当 a 1,b 2时 , f ( x )在 x 0处 可 导 .
5.设 t时 刻 水 面 的 高 度 为 h , 液 面 半 径 为 r ,则 r R h , H
2.当 0时 ,函 数 在 x 0处 连 续 ,
当 0时 ,函 数 在 x 0处 不 连 续 ;
当 1时 ,函 数 在 x 0处 可 导 ,
当 1时 ,函 数 在 x 0处 不 可 导 .
五 .证 明.
设 切 点 为( x0, y0 ),
y( x0 )
a2
x
2 0
y0 x0
y
x
y y( y x ln y) . x( x y ln x)
3.解 : y ln(1 t) ln(1 t),
y(n)
(1)n1 [(1 t)n
1 (1 t)n
](n 1)!.
4.解 : f (0 0 ) lim (2e x a ) 2 a , x 0 f (0 0) lim ( x 2 bx 1) 1, x 0
,
切线方程为
:
y
y0
y0 x0
(x
x0 ),其 截 距 式 为
xy 1,
2 x0 2 y0
切线与两坐标轴构成的三角形面积
S
1 2
| 2x0
|
| 2 y0
|
2a 2为 常 数 ,与 切 点 无 关 .
§2.2求导法则(21-22)
地大《微积分(二)》在线作业二
C:arcsin2x
D:arcsin2x+c
答案：A
若∫_0^1[(2x+k)dx=2],则k=( )
A:0
B:-1
C:1
D:1/2
答案：C
当被积函数含有√(x^2-a^2 )时,可考虑令x=( )
A:asint
B:atant
C:asect
D:accost
答案：C
如果∫df(x)=∫dg(x),则必有（ ）。
A:f(x,y)=(√(x^2*y^2)与g(x,y)=(√xy)^2
B:f(x,y)=(√(x^2*y^2)与g(x,y)=|xy|
C:f(x,y)=ln(xy)^2与g(x,y)=2ln|xy|
D:f(x,y)=ln(xy)与g(x,y)=lnx+lny
答案：B,C
下列级数中,收敛的是( )。
A:∑1/(n^3)
地大《微积分(二)》在线作业二
设f(x+y,x-y)=x^2-y^2，则?f(x,y)/?x+?f(x,y)/?y=( )
A:2x-2y
B:2x+2y
C:x+y
D:x-y
答案：D
∫{(e^x-1)/(e^x+1)}dx =（ ）
A:(e^x-1)/(e^x+1)+C
B:(e^x-x)ln(e^x+1)+C
C:F(x)=ln(2+x)
D:F(x)=lnx/2
答案：D
设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则( )
A:当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数
B:当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数
微积分2答案完整版
知识点：积分收敛性，中。
4．
答案：C
学霸解析：
可微
可微
可微
知识点：二元函数可微性，中。
5．
答案：C
学霸解析
知识点：求原函数，中。
三、计算题（共8题，每题6分，满分48分）
1．答案：
学霸解析：令
则
知识点：求定积分，中。
2．答案：
学霸解析：
3．
解：
知识点：二重积分，中。
4．
答案：
学霸解析：
二 、
1答案：A
学霸解析： 为偶函数, 为奇函数,且 有意义,则 是偶函数。
知识点：组合函数，易。
2、
答案：B
学霸解析：若函数 在 处不可导，则 在 处一定不可微。
知识点：可导和可微积，易。
3、
答案：D
学霸解析：收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是 .
知识点：二重求导，中。
4、
答案：B
学霸解析：
考查知识点：敛散性
(2)答案：
学霸解析：
考查知识点：级数收敛的函数
六、
答案：480
学霸解析：
考查知识点：求导运用
七、
答案：2/15
学霸解析：
考查知识点：双边求导
八、
1．答案：
右式
=左式
2.答案：
① 在（a,b）上恒成立
由于f（x）-x在（a，b）上连续
可知
故只能有f（x）=0
② 在（a,b）上恒成立
考查知识点：间断点
3.答案：B
学霸解析：可微的定义
考查知识点：可微的定义
4.答案：D
学霸解析：R(Q)导数减去C（Q）导数为0点为题目所求点
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一、填空题1．设)(x P 是x 的多项式，且26)(lim 23=-∞→x x x P x ，3)(lim 0=→xx P x ，则=)(x P 2．=-++∞→))(arcsin(lim 2x x x x6π x x x 32623++↑ 3．=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→321lim x x x 32-e4．设A x x ax x x =-+--→14lim31，则有=a ，=A 4，－2 5．设xxx x x f sin 2sin )(+=，则=∞→)(lim x f x 26．=⋅+→232031sinsin limx x x x x 31 7．函数)2)(1(1+-+=x x xy 的间断点是 1=x8．为使函数()x x x f tan 1⋅=在点0=x 处连续，应补充定义()=0f 19．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00)1(3x Kx x y x 在0=x 处连续，则参数=K 3-e 10．函数⎩⎨⎧>+≤+=010)(x e x a x x f x 在点0=x 处连续，则=a 2二、单项选择题1．设0>n x ，且n n x ∞→lim 存在，则n n x ∞→lim ②①0> ②0≥ ③0= ④0< 2．极限=-→111lim x ex ③①∞ ②1 ③不存在 ④0 3．=++∞→-→xx x x xx 1sinlim )1(lim 10 ④①e ； ②1e -； ③1e +； ④11e -+4．()()213++-=x x x y 的连续区间是__________________ ②①()()()+∞----∞-,11,22, ②[)+∞,3③()()+∞--∞-,22, ④()()+∞--∞-,11,5．函数1211111+----=x x x x y 的不连续点有 ③ ①2个 ②3个 ③4个 ④4个以上6．下列函数中，.当0→x 时，与无穷小量x 相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________ ①，②①x cos 1- ②2x x + ③x ④x 2sin7．当+→0x 时，x sin 与||x 相比是 ② ①高阶无穷小量 ②低阶无穷小量 ③同阶但不等价的无穷小量 ④等价无穷小量8．当0→x 时，x 2cos 1-与2x 相比是 ② ①高阶无穷小量 ②同阶但不等价的无穷小量③低阶无穷小量 ④等价无穷小量9．设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00,3sin x k x xx x f 为连续函数，则k =_______________ ② ① 1 ② －3 ③ 0 ④ 310．函数()x f 在点0x 处有定义是()x f 当0x x →时极限存在的 ④ ①充分但非必要条件 ②必要但非充分条件③充分必要条件 ④既非充分又非必要条件11．当0→x 时，下列函数中比x 高阶的无穷小量是 ②①x x sin + ②x x sin - ③()x +1ln ④()x -1ln 12．当0→x 时，下列函数中为无穷小量的是 ② ①x x 1sin+ ②x x 1sin ⋅ ③x x sin 1+ ④x xsin 1⋅ 13．当∞→x 时，下列函数中为无穷小量的是 ③①x x 1sin+ ②x x 1sin ⋅ ③x x sin 1+ ④x xsin 1⋅ 14．设在某个极限过程中函数()x f 与()x g 均是无穷大量，则下列函数中哪一个也必是无穷大量 ③ ① ()()x g x f + ② ()()x g x f - ③ ()()x g x f ⋅ ④()()x g x f 15．设()a x f =0，()b x f x x =-→0lim ，()c x f x x =+→0lim ，则函数()x f 在点0x 处连续的充分必要条件是 ④ ①b a = ②c a = ③c b = ④c b a ==16．1=x 是⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=-10111)(112x x ex x x f x 的 ④ ①连续点 ②跳跃间断点 ③可去间断点 ④无穷间断点三、求下列极限1．)1(lim 2x x x -++∞→011lim2=++=+∞→xx x2．)1(lim 2x x x -+-∞→+∞=3．)2222(lim 22+--+++∞→x x x x x22212214lim22224lim2222=+-+++=+-+++=+∞→+∞→xx x x x x x x xx x4．⎪⎭⎫⎝⎛⋅∞→x x x 1arcsinarctan lim 0=5．)111)(110()110()13()12()1(lim 2222--++++++++∞→x x x x x x x （27=）6．)21(lim 222nn nn n n n n ++++++∞→[解] 记n n nn n n n x n ++++++=22221 因为 222222n nn n n n x n n n n n n n n n n +++≤≤++++++即 11≤≤+n x n n ，由于11lim =+∞→n n n ，所以由夹逼定理，得1lim =∞→n n x7．设2006)1(lim =--∞→ββαn n n n ，求βα,[解] 原式左端⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→∞→n o n n n n n n n n 1111lim111limββαββαβββα11lim 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∞→n n o n n n （1-=βα）由于极限存在，故1-=βα。
20061=β ∴20061=β，200620051200611-=-=-=βα 四、分析题1．讨论极限x x x |sin |lim 0→[解] 因为1|sin |lim 0=+→x x x ，1|sin |lim 0-=-→x x x ，故原极限不存在。
2．求23122+--=x x x y 的间断点，并判别间断点的类型。
[解] 因为)2)(1(232--=+-x x x x ，而2231lim 221-=+--→x x x x ，∞=+--→231lim 222x x x x 因此有间断点：1=x 为可去间断点，2=x 为无穷间断点。
.3．求函数xx y 16+=的连续区间，若有间断点，试指出间断点的类型。
[解] 函数的连续区间为),0()0,(+∞-∞ ，点0=x 为函数的第二类无穷间断点。
4．讨论函数tx t x t t x x f -→⎪⎭⎫⎝⎛--=11lim )(的连续性。
[解] ()1)1(011lim 11lim 11lim )(--+→--=-→-→=+⎪⎭⎫⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--==x xx y yx y t tx y tx t x t tx t x t e y t t x t x x f 令 在点1=x 处没有定义，是间断点，故)(x f 的连续区间为),1()1,(+∞-∞ ，点1=x 为)(x f 的第二类无穷间断点。
5．讨论函数⎩⎨⎧<+≥=010cos )(x x x x x f 在点0=x 处的连续性。
[解] 1cos lim )(lim 0==++→→x x f x x ，1)1(lim )(lim 0=+=--→→x x f x x∴ )(x f 在点0=x 处连续性。
6．设函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<--==02cos 0x x x x x xa a x f y （0>a ）（1）当a 取何值时，点0=x 是函数()x f 的间断点？是何种间断点？（2）当a 取何值时，函数()x f 在()∞+∞-，上连续？为什么？ [解]（1）在点0=x 处，21)0(=f ，212cos lim )(lim 00=+=++→→x x x f x x ，ax a a x x a a x f x x x 211lim lim )(lim 000=-+=--=---→→→ 当0>a 且1≠a 时，由于)(lim )(lim 0x f x f x x -+→→≠，所以点0=x 是()x f 的跳跃间断点。
（2）当1=a 时，由于)0()(lim )(lim 0f x f x f x x ==-+→→，则()x f 在点0=x 处连续。
又因为在)0,(-∞或),0(∞+上，()x f 为初等函数，所以连续。
故当1=a 时，函数()x f 在()∞+∞-，上连续。
7．设函数()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<≤<+==4110011x a x x x x x f y（1）求函数()x f 的定义域；（2）讨论函数()x f 在点0=x 处的极限是否存在？为什么？（3）a 为何值时，函数()x f 在点1=x 处连续？并求函数()x f 的连续区间；（4）画出函数()x f y =的图形。
[解]（1）]4,1()1,(---∞= f D（2）因为111lim )(lim 00=+=--→→x x f x x ，0lim )(lim 00==-+→→x x f x x ，所以)(lim 0x f x →不存在（3）在点1=x 处，a f =)1(，1lim )(lim 11==--→→x x f x x ，a a x f x x ==++→→11lim )(lim ， 所以，当1=a 时，)1()(lim )(lim 11f x f x f x x ==-+→→，即函数()x f 在点1=x 处连续。
此时，()x f 的连续区间为：]4,1()1,(---∞ （4）略 五、证明题1．证明方程475=-x x 在区间)2,1(内至少有一个实根。
[证] 设47)(5--=x x x f ，)(x f 在]2,1[上连续，又010)1(<-=f ，014)2(>=f ，由零点定理知，在)2,1(内至少存在一点ξ，使得0)(=ξf ，即0475=--ξξ，故方程475=-x x 在区间)2,1(内至少有一个实根。
2．证明：方程k x x =-sin 2（0>k ）至少有一个正根。
[证] 设),0[sin 2)(∞+∈--=C k x x x f因为0)0(<-=k f ，0)3sin(23)3(>+-=+k k f故由零点定理知，)3,0(+∈∃k ξ，使得0)(=ξf ，所以方程k x x =-sin 2至少有一正根。
3．证明方程2sin +=x a x （0>a ）至少有一个正根，并且不超过2+a 。
[证] 设2sin )(--=x a x x f ，下面分两种情形来讨论：情形1 若 1)2sin(=+a ，则因为0>a ，故2+a 是方程2sin +=x a x （0>a ）的正根，并且不超过2+a 。