2017-2018微积分2-2半期参考答案
2017—2018年高等数学II(理工类)A卷答案
ρ cos
1 ρ
=
0
所以函数在 (0,0) 点处可微分。 ------------------------------------------------------2
5
2017—2018 年高等数学(II)理工类工学类试卷答案 (A)卷
6
y)
=
⎨⎪2x cos ⎩⎪ 0,
1+ x2 + y2
x
1
sin
,
x2 + y2
x2 + y2
x2 + y2 ≠ 0, x2 + y2 = 0,
但当 (x, y) 沿着 y = x 趋于 (0,0) 时
lim f ' (x, y) = lim 2x cos 1 + x sin 1
( x,y )→(0,0) x
0
0
15.
1 12
(5
5 − 1)
二、 计算题(每题 8 分，共 40 分)
1. 解 原式化为
2 tan y + y = dy ,-----------------------2’
3 x x dx
令u =
y
，则有
dy
=
u+
du x
x
dx
dx
则原式变为
2 3
tan u
+
u
=
u
+
x
du dx
，分离变量的
x→0
x2 + x2
x2 + x2
x2 + x2
极限不存在，从而
f '(x, y) 在 (0,0) 点处不连续. x
微积分第二版课后习题答案
微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。
16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。
20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。
常微分2课后习题答案
常微分2课后习题答案常微分2课后习题答案在学习常微分2这门课程中，我们不可避免地会遇到一些挑战性的习题。
这些习题旨在帮助我们巩固所学的知识，并提供实践应用的机会。
然而，有时候我们可能会遇到一些难以理解或解答的问题。
在本文中，我将分享一些常微分2课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和应用这门课程的内容。
1. 题目：求解方程 dy/dx = 2x + 3解答：这是一个一阶线性常微分方程。
我们可以将它转化为标准形式 dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中 P(x) = 0，Q(x) = 2x + 3。
根据一阶线性常微分方程的解法，我们可以通过求解齐次方程 dy/dx + P(x)y = 0 的通解和特解来得到原方程的解。
首先，我们求解齐次方程 dy/dx = 0。
显然，它的通解为 y = C，其中 C 是常数。
接下来，我们寻找特解。
由于 P(x) = 0，我们可以猜测特解为 y = Ax + B，其中 A 和 B 是待定常数。
将这个猜测代入原方程，得到 A = 2，B = 3。
因此，原方程的通解为 y = C + 2x + 3，其中 C 是任意常数。
2. 题目：求解方程 d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = e^(-2x)解答：这是一个二阶常系数齐次线性常微分方程。
我们可以使用特征方程的方法来求解。
首先，我们假设 y = e^(rx) 是方程的解。
将这个解代入方程，得到特征方程r^2 + 4r + 4 = 0。
解这个二次方程，得到 r = -2。
因此，方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中 C1 和 C2 是任意常数。
接下来，我们寻找特解。
由于右侧是指数函数，我们猜测特解为 y = Ae^(-2x)，其中 A 是待定常数。
将这个猜测代入方程，得到 A = 1/9。
因此，原方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x) + 1/9e^(-2x)，其中 C1 和 C2是任意常数。
【答案】2017-2018春微积分(I)-2
=
d dx f (x, 0)|x=0
=
0.
同理褬
因为f (0, y)
=
0褬
∂f (0, 0)
∂y
=
d dy f (0, y)|y=0
=
0.
2分
褴
褨褲褩 令∆y = k∆x褬 通过计算下列极限褬发现其与k有关褬 从而极限不存在褮
lim f (0 + ∆x, 0 + ∆y) − f (0, 0) − fx(0, 0)∆x − fy(0, 0)∆y
x2y3 sin z4dxdydz = 0. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分
Ω
由截面法褬 注意到 Dz = {(x, y) ∈ R2| x2 +y2 z2} · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分
代入初始条件褬 可得C = 2017.于是方程的解为
y = x2 + 2017x. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分
褲
二、解答题：（每题褸分，共褴褰分）
褱、交换二次积分I =
1 0
dx
1 x3
3
y2 ey dy的积分次序并计算I .
解：画出积分区域：
三、应用题：（每题褹分，共褱褸分） 褱、求圆x2 + y2 = 1上一点褬 使得该点到A(0, 0)、B(3, 0)、C(0, 4)的距离的 平方之和最小褮 解褺 令f (x, y, λ) = x2 + y2 + (x − 3)2 + y2 + x2 + (y − 4)2 + λ(x2 + y2 − 1)褮
文科微积分2习题册_答案
1
y 0
1 lim 不存在 sin y
cos(x 2 ) 2z 2z 2z 6. 求下列函数的 2 , 2 和 ： （3） z ; x y x y y
2 z sin x 2 x 解： , x y
z cos x 2 x y2
2z 1 2sin x 2 4 x 2 cos x 2 2sin x 2 2 2 ( cos x ) 4 x x 2 y y y 2 z 2 x sin x 2 , xy y2 2 z 2 cos x 2 y 2 y3
1 1
左边 x
2
得证.
2 ( x y ) sin 4. 设 f ( x, y ) 0,
1 x y
2 2
, x2 y2 0 x2 y2 0
x 2 sin x 1
，求 f x (0,0), f y (0,0) 。
'
'
解： f x lim
x 0
f x, 0 f 0, 0 lim x 0 x0
x 2 lim x sin 1 0 x 0 x2
5
班级
学号
姓名
f y( 0 , 0 )
y2 f ( 0 ,y ) f (0, 0) lim lim y 0 y 0 y 0 y
y s i n
8. 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形： （1） x 2 ； （3） x y 4 ；
2 2
（2） y x 1 ； （4） x y 2 x （补充题）
2 2
解：见下表 方程 平面解析几何中 平行于 y 轴的直线 直线 圆（曲线） 双曲线 空间解析几何中 平行于 y0z 面的平面 平行于 z 轴的平面 圆柱面（母线平行 z 轴） 双曲柱面（母线平行 z 轴）
2017—2018学年度第一学期半期考试高二理科数学试卷(含答案)
2017—2018学年度第一学期半期考试高二理科数学试卷（答题时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）每小题只有．．一个．．正确选项，请将正确选项填到答题卡处1．下列语句中，是命题的个数是①|x＋2|=0；②－5∈Z；③π∉R；④{0}∈N.A．1 B．2 C．3 D．42．设P是椭圆22+=12516x y上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于A．4 B．5 C．8 D．103．现要完成下列3项抽样调查：①从8盒饼干中抽取2盒进行质量检查；②学校报告厅有32排座位，每排有20个座位，报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听取学生的意见，需要请32名学生进行座谈.③某学校共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在教学改革方面上的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是A.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样B.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样C.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样D.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样4．已知集合A＝{2，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为30， 则输入的n 为 A ．2 B ．3 C ．4D ．56．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则 点P 到四个顶点的距离均大于2的概率是 A .π4 B . 14 C . 1－π4D .π37．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为A . 15B . 25C . 35D . 458．一个小孩任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为 A . 29 B . 9100 C . 350 D . 31009．椭圆22+=14x y 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|的值为 A . 4 B . 72 C . 3 D . 3210．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点刚好是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为A.63B .53C.32D.2211．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是A．x2＋y2＝4 B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝4(x≠±2)D．x2＋y2＝2(x≠±2)12．现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．已知椭圆22+=120x yk的焦距为4，则k的值为．14．命题p：∀x∈R， x2＋x＋1>0，则 p为．15．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．16．在区间[－3,3]上随机取一个数x，则使得lg(x－1)＜lg2成立的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(满分10分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是1 2 .从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率.18. (满分12分)某汽车厂生产A，B，C三类小汽车，每类小汽车均有豪华型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按A、B、C50辆，其中A类小汽车抽取10辆.(1)求x的值；(2)用分层抽样的方法在C类小汽车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆标准型小汽车的概率；19．(满分10分)已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．20．(满分12分)已知椭圆C 的两条对称轴分别为x 轴和y 轴,左焦点为F 1(－1,0)，右焦点为F 2，短轴的两个端点分别为B 1、B 2. (1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且F 1P →⋅F 1Q → 0=，求直线l 的方程．21．(满分12分)命题p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题q ：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围． (1)p q ∧是真命题；(2)p q ∨为真命题且p q ∧为假命题．22．(满分12分)在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两点1F (0，、2F (0)的距离之和为4，设点P 的轨迹为C . (1)求P 的轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA ⊥OB ？此时|AB |的值是多少？高二半期考试理科数学参考答案二、选择题13、16或24 14、2000,10x R x x ∃∈++≤15、9 16、13三、解答题17、解：设标号为2的球的个数为n ,由题意可知：1112n n=++，解得n ＝2,不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个．所以()P A ＝412＝13.18、解：(1)设该厂这个月共生产小汽车n 辆，由题意得5010100300n =+， 解得n ＝2000.则x ＝2000－(100＋300)－(200＋400)－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆豪华型小汽车，由题意得40010005a=，即a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆豪华型小汽车，3辆标准型小汽车.用A 1，A 2表示2辆豪华型小汽车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型小汽车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆标准型小汽车”，则所有的基本事件10个，列举如下：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3).事件E 包含的基本事件有： (A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)， (A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)共9个.故9()10P E =，即所求概率为910.19、解：设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴1F A ·2F A ＝0，而1F A ＝(－4＋c ，3)，2F A ＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0，∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)．∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32＝10＋90＝410.∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为2214015x y+=.20、解：(1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩，解得a 2＝43，b 2＝13，故椭圆C 的方程为2214133x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为2212x y +=.当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝22421k k +，x 1x 2＝222(1)21k k -+，1F P ＝(x 1＋1，y 1)，1F Q ＝(x 2＋1，y 2)因为1F P ·1F Q ＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋12271021k k -==+，解得k 2＝17，即k ＝±77. 故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.21、解：命题p 为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1. 命题q 为真时，2a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜12- .(1) ∵p q ∧是真命题，∴p 和q 都是真命题，a 的取值范围也即上面两个范围的交集， ∴a 的取值范围是{a |a ＜－1或a ＞1}．(2) p q ∨为真命题且p q ∧为假命题，有两种情况：p 真q 假时，13＜a ≤1，p 假q 真时，－1≤a ＜12-，∴p 、q 中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为{a |13＜a ≤1或－1≤a ＜－12}．22、解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0)，(0)为焦点，长半轴长为2的椭圆．它的短半轴长b1，故曲线C 的方程为2214y x +=.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足22114y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝224k k -+，x 1x 2＝234k -+.∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1， 于是x 1x 2＋y 1y 2234k =-+2234k k -+22214k k -+=+22414k k -++. 又x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴k ＝±12.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217. |AB |而 (x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝42172＋4×1217＝43×13172，∴|AB |＝54×43×13172＝46517.。
2017-2018第二学期高等数学A2试题
武汉大学2017-2018学年第二学期期末考试高等数学A2试题（A）1、（9分）设(,)z z x y 是由方程222(2)x z f y z 所确定的隐函数，其中f 可微，求证z z y x xy x y.2、（9分）设{(,)||||1}D x y x y ，计算二重积分2(1)Dx y dxdy .3、（9分）设C 为圆周曲线221x y ，计算曲线积分4224(21)Cx x y y ds .4、（9分）已知)1,2,0(),0,0,1(B A ，试在z 轴上求一点C ，使ABC 的面积最小。
5、（8分）3、设22222222, 0(,)0, 0x y xy x y x y f x y x y，求(0,0)xyf 和(0,0)yx f . 6、（9分）求过直线2210420x y z x y z 并在y 轴和z 轴上有相同的非零截距的平面方程。
7、（8分）设f 是任意二阶可导函数，并设)(x ay f z 满足方程0622222 y zy x z xz ，试确定a 的值.8、（8分）在椭球面22221x y z 上求一点，使函数222(,,)tan f x y z x y z 在该点沿曲线23,12,3x t y t z t t 在点(1,1,2) 处的切线方向的方向导数最大。
9、（9分）计算曲线积分)d d Lx y y x, 其中有向曲线弧L：y点 5,0B 到点 1,0A .10、（8分）已知10=sin (1,2,3,)n b x n xdx n ，，证明级数11(1)1n nn b n收敛，并求其和。
11、（8分）求22I xz dydz x dxdy，其中 是曲面2221x y z 夹在两平面1z 与2z 之间的部分，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角。
12、（6分）设a ，b 为任意常数，()f x 在0x 的邻域内具有二阶连续导数，且0()lim0,x f x x''()0f x m试讨论级数:af bf af bf af bf 的敛散性。
2017-2018第一学期《微积分I》期中试卷解答(2)
n 3 2n3 n
n
3
2
1 n2
32
n 3 2n3 1
n
3
2
1 n3
32
由夹逼极限准则，得 lim( 1 1 1 ) 1 .
n 3 2n3 1 3 2n3 2
3 2n3 n 3 2
3. 写出函数 f (x) lim x etx 的表达式. t 1 xetx
( 1
t2 t
2
)
( 1
t
t
2
)
2t(1 t2 ) t2 2t (1 t2 )2
1 t2 2t2 (1 t2 )2
1
2t t
2
.
t 2时， x 2 ， y 4 .
5
5
切线斜率为 k dy 4 . 故所求切线方程为 y 4 4 (x 2) ，即 y 4 x 4 .
即 1 xn1 0 ，故 1 xn 0 ， n 1, 2, .
于是，
xn1
xn
xn2
xn
xn (xn
1)
0
，即数列{xn
}
单调减少且有界，故
lim
n
xn
存在.
设
lim
n
xn
a
，由
xn1
xn2
2xn 两边求极限，有 a
a2
2a
，得
a
0
或a
2017-2018 学年第一学期《微积分 I-1》期中试卷解答
一、计算下列各题（每小题 5 分，共 30 分）：
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z5 − xz4 + yz3 =1 ⇒ 5z4zx − z4 − 4 xz3zx + 3 yz2zx =0 ⇒
= zx (0, 0)
z4 5= z4 − 4 xz3 + 3 yz2
1 .（4 分）
5
(0,0)
z5 − xz4 + yz3 =1 ⇒ 5z4z y − 4 xz3z y + z3 + 3 yz2z y =0 ⇒
4、求 z = f ( x2 y, y ) 的一阶偏导数.
x
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解：= ∂z
∂x
2 xyf1' −
y x2
f2'
= , ∂z
∂y
x2 f1' +
1 x
f
' 2
.
5、
1
∫0
x dx .
1− x
解：令 t =
x 1− x
，有
x
=
t2 t2 +1
， dx
=
2t (t 2 + 1)2
0 sin x + cos x
∫ I
1 π /2 sin x + cos x = dxห้องสมุดไป่ตู้
π.
2 0 sin x + cos x 4
3、 lim xy2 +1 −1 .
( x, y)→(0,0)
xy
解：
xy2 +1 −1 lim=
xy2 / 2 = lim
0.
( x, y)→(0,0)
xy
xy ( x, y )→(0,0)
4
43
− 5 + 5zxy (0, 0) + 5 + 5 = 0 ⇒
zxy (0, 0) =
− 3 。（4 分）
25
三、
（14 分）设函数
(x − y) f (x, y) = 0,
xy x2 + y2
,
x2
+
y2
≠
0,
，（1）判断
f
( x,
y)
x2 + y2 = 0.
在 (0,0) 处的连续性；（2）判断 f ( x, y) 在 (0,0) 处的可微性。
dt
，
∫ ∫ =I
1x = dx 0 1− x
+∞ 0
2t 2 (t 2 + 1)2
dt
，再令
t
=
tan
u
，
∫ ∫ ∫ =I
π 0
/
2
2steacn= 4 2uu sec2 udu
π /2 tan2 u 2 = 0 sec2 u du
2= π /2 sin2 udu 0
π
.
2
∑ 6、 lim 1 n ln(1+ k ) .
四川大学半期考试试题答案 （2017-2018 学年第 2 学期）
课程号： 201075030 课序号：
适用专业年级：
学生人数：
课程名称：微积分（Ⅱ）-2 任课教师：
成绩：
印题份数：
学号：
姓名：
考生承诺
我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定（修 订）》，郑重承诺：
( x, y)→(0,0)
xy x2 + y2
=0 ，（2 分）
所以 f ( x, y) 在 (0,0) 的连续。
（2= ） ∂f d= f ( x, 0) 0 ，（2 分= ） ∂f d= f (0, y) 0 ，（2 分）
∂x (0,0)
dx x=0
∂y (0,0)
dy y=0
∆f = （0,0）
n
n
n
n
∫ ∫ lim
n→∞
Sn
=
1
ln(1 +
x)dx
=
x ln(1+
x)1
−
0
0
1 x dx = ln 4 −1.
01+ x
二、 （14 分）设 z = z( x, y) 是由 z5 − xz4 + yz3 = 1确定的隐函数，求 ∂2z .
∂x∂y (0,0)
解：由已知条件可知 z(0,0) = 1，（2 分）
解：（1） lim = f ( x, y) ( x, y)→(0,0)
lim ( x − y)
( x, y)→(0,0)
xy x2 + y2
,
因为 0 <| ( x − y)
xy x2 + y2 |<
1 | x − y | ，（2 分）
2
故 lim f ( x, y) = lim ( x − y)
( x, y)→(0,0)
n n→+∞ k =1
n+1
解： Sn=
1 n
[ln(1
+
n
1 +
) 1
+
ln(1
+
n
2 +
) 1
+
+
ln(1 +
n n+
)],
1
1 n+
[ln1 + 1
ln(1 +
1 n+
) 1
+
ln(1 +
n
2 +
) 1
+
+
ln(1 +
n n+
)] 1
<
Sn
,
< 1 [ln(1+ 1 ) + ln(1+ 2 ) + + ln(1+ n)]
x e−t2 dt − x 0= sin x − x
e−x2 −1 lim = x→0 cos x − 1
x2 lxi= →m0 x2
2.
2
∫ 2、 π /2 sin x dx .
0 sin x + cos x
∫ ∫ 解： I = π /2 sin x dx = π /2 cos x dx ，
0 sin x + cos x
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−z3 zy (0, 0) = 5z4 − 4 xz3 + 3 yz2
= − 1 . （4 分）
5
(0,0)
又 20z3zx z y + 5z4zxy − 4z3z y − 12 xz2zx z y − 4 xz3zxy + 3z2zx + 6 yzzx z y + 3 yz2zxy = 0 ⇒
(∆x − ∆y)
∆x∆y ，
(∆x）2 + (∆y)2
∆f − ∂f ∆x − ∂f ∆y
lim
∂x （0,0）
(0,0)
∂y = ( 0 ,0 )
∆x → 0 ∆y→0
(∆x)2 + (∆y)2
∆x∆y
lim (∆x
∆x → 0
−
∆y)
(∆x）2
+
(∆y)2
，（2
分）
∆y→0
令 ∆y = k∆x, k > 0, ∆x > 0 ，有
1、已按要求将考试禁止携带的文具用品或与考试有关的物品放置在指定地点； 2、不带手机进入考场； 3、考试期间遵守以上两项规定，若有违规行为，同意按照有关条款接受处理。
考生签名：
一、 （8╳6=48 分）计算题
∫ x e−t2 dt − x
1、 lim 0
.
x→0 sin x − x
∫ 解： lim x→0
∆f − ∂f ∆x − ∂f ∆y
lim
∆x → 0 ∆y= k∆x→0
∂x （0,0）
(0,0)
∂y (0,0)
(∆x)2 + (∆y)2
=
lim
∆x → 0
(1− k) k (1+ k 2 )
，极限不存在，不可微。（4
分）
四、 （14 分）求心脏线 ρ =1− cosθ ,(0 ≤ θ ≤ π ) 的长度 L ，及其与 x 轴所围封闭
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图形的面积 S .
∫ ∫ 解： L = π ρ 2 + ρ '2 dθ = π (1− cosθ )2 + sin2 θ dθ （4 分）