大一微积分练习题及答案
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大一微积分练习题及答案
《微积分(1)》练习题
一. 单项选择题
1.设()0
x f '存在,则下列等式成立的有( )
A . ()()
()
0000
lim x f x
x f x x f x '=∆-∆-→∆ B .()()
()
0000
lim
x f x x f x x f x '-=∆-∆-→∆ C .
()()
()
0000
2lim
x f h
x f h x f h '=-+→
D .()()()
0000
2
1
2lim
x f h x f h x f h '=-+→
2.下列极限不存在的有( ) A .
201
sin lim x x x → B .1
2lim
2+-+∞
→x x x x
C .
x
x e
1
lim → D .()x
x x
x +-∞
→63
2
213lim
3.设)(x f 的一个原函数是x
e 2-,则=)(x
f ( )
A .x
e 22-- B .x e 2- C .x
e 24-
D .
x
xe 22--
4.函数
⎪⎩
⎪⎨⎧>+=<≤=1,11
,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为
( )间断点。
A .跳跃间断点;
B .无穷间断点;
C .可去间断点;
D .振
荡间断点
5. 设函数()x f 在[]b a ,上有定义,在()b a ,内可导,则下列结论成立的有( )
A . 当()()0
B . 对任何()b a ,∈ξ,有()()[]0lim =-→ξξ
f x f x ;
C . 当()()b f a f =时,至少存在一点()b a ,∈ξ,使()0='ξf ;
D .至少存在一点()b a ,∈ξ,使()()()()a b f a f b f -'=-ξ;
6. 已知()x f 的导数在a x =处连续,若()1lim -=-'→a
x x f a
x ,则下列结论成立的有( )
A .a x =是()x f 的极小值点;
B .a x =是
()
x f 的极大值点;
C .()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点;
D .a x =不是()x f 的极值点,()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点; 二. 填空:
1.设⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=x
f y 1arcsin ,f 可微,则()='x y
2.若32325-+-=x x x y ,则()=6y
3.过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线,则切线方程为
4.曲线()2142
-+=
x
x y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5.设x x f +='1)(ln ,则()='x f ()=x f
三. 计算题:
(1)321lim 221-+-→x x x x (2)3
2lim +∞→⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x x x
(3)x
x x x 3sin )1ln(lim 20+→ (4)()[]221ln x y -= 求dy
(5)053=-+x y e
xy
求
=x dx
dy
四. 试确定a ,b ,使函数
()()⎩
⎨
⎧<-≥+++=0,10
,2sin 1x e x a x b x f ax 在0=x 处连
续且可导。
五. 试证明不等式:当1>x 时,(
)e xe 2
1
e x e x x
+<
<⋅
六. 设()()()()a x a
x a f x f x F >--=
,,其中()x f 在[)+∞,a 上连续,
()
x f ''在()+∞,a 内存在且大于零,求证()x F 在()+∞,a 内
单调递增。
《微积分》练习题参考答案
七. 单项选择题
1.( B )2.( C )3.( A )4.( C ) 5.( B )6.( B )
八. 填空:(每小题3分,共15分) 1. ⎪⎭⎫ ⎝⎛
'--
x f x x 1arcsin 11
2
2. ()06=y 3. 12+=x y 4. 2-=y , 0=x
5. ()x e x f +='1,()c
e x x
f x ++=
三,计算题:
(1)321lim 221-+-→x x x x (2)3
2lim +∞→⎪⎭
⎫
⎝⎛-x x x x
2
1222lim 3
21
lim
122
1=+=-+-→→x x x x x x x ()2
62lim 3223
)21(lim 2lim -+-
+⎪⎭
⎫
⎝⎛-•-∞→+∞→==-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∞→e e x
x x x x x x x x x x x (3)x
x x x 3sin )1ln(lim 20+→ (4)()[]2
21ln x y -= 求dy
3
1
3lim 3sin )1ln(lim 2
020=
⋅=+→→x x x x x x x x ()[]()()[]dx x x dx x x dy 2121ln 4221121ln 2---=-⋅-⋅-= (5)053=-+x y e
xy
求
=x dx
dy
()xy
xy
xy xe y ye y y y y x y e +-='⇒=-'+'+2
235053
又10-=⇒=y x