近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)
浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷
一 、填空题(每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上) 1.点M (1,-1, 2)到平面2210x y z -+-=的距离d = .
2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b +=
.
3.设(,)f u v 可微,(,)y x z f x y =,则dz = .
4.设()f x 在[0,1]上连续,且()f x >0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =
≤≤≤≤,则
()()
()()
D
af x bf y d f x f y σ++??
= .
5.设(,)f x y 为连续函数,交换二次积分次序
2220
(,)x x dx f x y dy -=?
?
.
二 、选择题(每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的,把所选字母填入题后的括号内)
6.直线l 1:
155
121x y z --+==-与直线l 2:623
x y y z -=??+=?的夹角为 (A )
2π . (B )3π . (C )4π . (D )6
π
. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数,极坐标系中的二次积分
cos 2
0d (cos ,sin )d f r r r r π
θθθθ?
?
可以写成直角坐标中的二次积分为
(A
)100(,)dy f x y dx ?? (B
)1
00(,)dy f x y dx ??
(C
)
10
(,)dx f x y dy ?
?
(D
)10
(,)dx f x y dy ??
[ ]
8.设1, 02
()122, 12
x x f x x x ?
≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数,则5()2S -=
(A )
12. (B )12-. (C )34. (D )3
4
-. [ ] <
9.
设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==?
则(,)f x y 在点O (0,0)处
(A )偏导数存在,函数不连续 (B )偏导数不存在,函数连续
(C )偏导数存在,函数连续 (D )偏导数不存在,函数不连续 [ ] 三、解答题
10.(本题满分10分)求曲线L :222222
239
3x y z z x y
?++=??=+??在其上点M (1,-1,2)处的切线方程与法平面方程.
11.(本题满分10分)设F 可微,z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数,并设23F F ''≠,求
z z
x y
??+??. 12.(本题满分10分)设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集,
求
2
[e
sin()]d x D
x y σ++??.
13.(本题满分10分)求空间曲线L :222920
335
x y z x y z ?+-=?++=?上的点到xOy 平面的距离最大值与
最小值.
14.(本题满分10分)设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤,计算二重积分
22 1 d D
x y σ+-??.
15.(本题满分5分)设当y >0时(,)u x y 可微,且已知
2
22222
(,)(
)(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y
=++-++++. 求(,)u x y .
浙江大学2007-2008学年春季学期
《微积分II 》课程期末考试试卷答案
一、填空题(每小题5分,共25分) 1.23
1
421=-++=
d .
2.a b +==== 3.()()
dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+?'+'+?'= 4.()()()()()()()()????++=++=
D D
d x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ, ()()??+=
+=+=
∴D b a I b a d b a I 2
1
,2σ
.
5.
()()2220
1
1
1,,x x
dx f x y dy dy f x y dx --=??
??
或 ()0
1
,d y f x y d
x -?
?
或 ()1
,d y f x y d
x -??.
二、选择题(每小题5分,共20分)
6.选(B ). l 1的方向向量{}1,2,1-,l 2的方向向量
{}
2,1,1--,
{}{}3
,2
16
36
62,1,11,2,1cos πθθ===--?-=
.
7.选(D ). 积分区域(){}
0,,2
2≥≤+=y x y x y x D ,化成直角坐标后故知选(D ).
8.选(C ). 511111113
()()()((0)(0))(1)2
22222224S S S f f -=-==-++=+=.
9.选(A ). ()()000
0,0lim
0,0,00x y x f f x
→-''===,偏导数存在. 取kx y =,()4
4
11lim
,lim k
k k
k kx x f x x +=
+=→→
随k 而异,所以不连续.
三、解答题(10~14每题10分,15题5分,共55分) 10.由L ,视x 为自变量,有
??
???
=-+=++.
0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出
dx
dz
dx dy ,,得 8
7,45==dx dz dx dy , 所以切线方程为
8
72
4511
1-=+=-z y x ,
法平面方程为
()()()5
7112048
x y z -+++-=,即0127108=-++z y x .
11.133212232332
,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''
''--+????=-=-=-=-+==''''''''?-+?-+??-.
12.D 在第一象限中的一块记为D 1,D 在第三象限中的一块记为D 2,
()()
()()??????????+++++=++2
122
12
2
sin sin sin D D D
D x D x x d y x d y x d e d e d y x e
σσσσσ.
3
22
2
2
31
2
10
1
x
x x x x x
x
x
D D e d e d dx e dy dx e dy σσ-+=+???????? ()()()()2
2
2
2
10103
3
3
3
01
1
x x x x x x e dx x
x e dx x x e dx x
x e dx -=-+-=-+-??
??
()2
1
111
300
21()112
x u u u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-???()()()()3
31
2
10
1
sin sin sin sin x x x
x
D D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++?????
???
()()()()10
3
301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -????=-+-+-+-+?????? ()()()()1
3
301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ????=-+-+++-+=???
??? 所以,原式2-=e .
13.L 上的点到平面xoy 的距离为z ,它的最大值点,最小值点与2
z 的一致,用拉格朗日乘数法,设()(
)()53329,,,,2
2
2
2
-+++-++=z y x z
y x z z y x F μλμλ,
求偏导数,并令其为零有:
20F x x λμ?=+=?,1830F
y x λμ?=+=?, 2430F z z z λμ?=-+=?,22920F
x y z x
?=+-=? , 3350F
x y z μ
?=++-=? . 解之得两组解()()1215
,,(1,,1);,,(5,,5)3
3
x y z x y z ==--
. 所以当3
1
,1=
=y x 时,1=z 最小;当3
5
,
5-=-=y x 时,5=z 最大.
14.将分成如图的两块,4
1
的圆记为D 1,另一块记为D 2
()????--=-+D
D d y x d y x 1
222211σσ+()
??-+2
12
2D d y x σ
()
()()
σσσd y x d y x d y x
D D
D ??????-+--++--=
1
1
111222222
()()()()1
22221112
2
220
2112
11211()43343
D D
x y d x y d d r rdr dy x
y dx π
σσ
θπ
π=--++-=-++-=
+-+=-?????
???
15.由()222222,(
)(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y =++-++++,有2
2
2xy y
x y x u ++=??,从而知()()y y x y
x
y x u ?++
=2221arctan ,,又由y y x y
x x y u 2222+++-=??,推知 ()2
2222221()x
x y x y y x y y x x y y ?-
'++=-++++, ()()22,y y y y C ??'==+
所以,()22
21,arctan
2
x u x y x y y C y =+++. 注:若用凑的办法亦可:
22
2222
(
)(2)y x xy dx x y y dy x y x y
++-++++
()()22
222
211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y
--=
+++=++++ ()2
21(arctan
)2
x d xy y y =++ 所以,()C y y x y
x y x u +++
=22
22
1arctan ,. ()()u f u F ='.
浙江大学2006–2007学年春季学期 《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷
开课学院: 理学院 考试形式:闭卷 考试时间: 年 月 日 所需时间:120 分钟 考生姓名: _____学号: 专业: ________
一、 填空题(每小题5分,满分30分) 1. 直线
6
3
321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为
.
2. 数量场2),,(z ye z y x g x
+=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=
u
函数)ln(),,(2
2
z y x z y x f ++=在P 点沿u 的方向导数为 .
3. 设??,),2,3(),,(f y x x u u x f z
+== 具有二阶连续偏导数,则
=
???y
x z 2.
4. 设}1,11|),
{(3≤≤≤≤-=y x x y x D ,则=
+??+D
y x
y x e y x x d d )(2
2
2.
5. 已知曲面1=z y x 与椭球面19
32
22
=++z y x 在第一卦限内相切,则切点坐标为 ,公共切平面方程为.
6. 设函数
??
??
?<≤<≤=1
21,21
0,)(2x x x x x f ,∑∞=+=1
0cos 2)(n n x n a a x S π,其中
,2,1,0,d cos )(210
==?
n x x n x f a n π,则.)7(=
S
二、 (满分10分)求直线 ??
?=-++=-+-0
220
12z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.
1
0022d
d x y
e
x y.
三、(满分10分)计算??-
四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013
=++z
xe z y 确定,试求
1
02
2==??y x x z
.
五、 (满分15分)设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线???
??=++=++0
14222z y x z y x 上的点
),,(z y x 到平面π的距离,求),,(z y x d 的最大,最小值 .
六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ(常数)的薄板的平面图形(在一个半径为R 的半圆直 径上拼上
一个矩形,矩形的另一边为h ),已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求:1. 长度 h ;2.
薄板绕x 轴旋转的转动惯量.
七、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时,成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .
参考解答:
一.1.??
?=--+=+-0
522043z y x z y x ; 2. 21
},0,,3{e e ;
3.
)3(2))(3(2222122222122212
??????''+''?'+'+'?'?''+'''f f f ; 4.
;32 5. ;033
13,3,1,31=-++??
?
??z y x 6. 83
.
二.直线:t z t y t x -=-==1,1,
曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=
22222
020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+?+=+=
则旋转曲面方程:
222)1(2x z y -=+
三.
?
?
10
22
2
d d x y e
x y -???
-==--12
12
2
20
142)d 41(d d y y e x e y 2y y
y
2
1
20
20
20
20
22
1d d d d 2
12
2
1
22
12
2
12
2
12
------=-+=+=????e y e e
y y e e y y e y
y y y y
四.,1)
1,0(-=z ,032
=??++???x z xe e x z z y z z e
x z y x 311
0-=??∴==
,026322
2
2
222=??+???
? ????+??+???? ?????+???x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 21
02
294e
x z
y x =
??∴
== 五.|1|2
1
),,(-+=
y x z y x d
)14
()()1(22
2
2
-++++++-+=z y x z y x y x L μλ
??????
?????
=-++='=±
===++='==+='-==?≠=++-+='=?==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223
23
1
22
1z y x L z y x z y x L x z L x
z x y y y x L x y x L z y x
μ
λμλμμλλμμλ
,无解
最小距离:2
2
36),,
(3
23
13
1
-
=
-
d ,最大距离:2
236),
,(3
23
13
1
+=
-
-d
六.形心:
01
,0=?
==????D
D
xdxdy xdxdy
x y σ
即
0d c o s d d d 2
2
0=?+???
?
---ππθθR
h
R R
r r r y x x
R h R h R 3
2
0312)21(232=?=?+-?
??=D
x dxdy y I 2
30220
2
)832(d θsin d d d 2
2
R R h r r r y y x R
h R
R π
θππ+=?+=????---
七.设0)0,1(,
ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s
.
ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==?=-=' 且对固定的1>t , 当,
0),(,ln 0<'<
0),(,ln >'>s t F t s
s
所以,
t s ln =取得最小值且为0,则
0),(≤s t F ,即
s e t t t ts +-≤ln
1、已知22
(,)y
f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.
2、已知,则=
?∞
+--dx e x x
21
___________.
π
=?
∞
+∞
--dx e
x 2
3、函数
22
(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则='
)0,1(x f ________.
5、以x
e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是
____________________. 6 知dx
e
x
p ?∞
+- 0
)1(与
?
-e
p x x dx
1
1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).
(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >
7 数????
?=+≠++=0
,0 0
,4),(222
222y x y x y x x y x f 在原点间断,
是因为该函数( b ).
(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值
8、
若
2
211
x y I +≤=
??
,22212x y I ≤+≤=??
,22324
x y I ≤+≤=??,
则下列关系式成立的是( a).
(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<
9、方程x
e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=
10、设∑∞
=1
2
n n
a
收敛,则∑∞
=-1
)
1(n n
n
a ( d ).
(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)
1、2(1)1x y y -+. 2
、3、)32
,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由2
3
x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解:
32
y x =的函数为
23
,0
x y y =>。且
4
=x 时
,
8
=y 。
于
是
)6()
3(分分248
8
2
2
33
8
37
730
(4)16(80)33
128128(80)
775127
V y dy y dy
y ππππππππ=-=--??=-?=-?-????=??
12、求二重极限
11lim
222
20
-+++→→y x y x y x .
解:原式
11)11)((lim 2222220
0-++++++=→→y x y x y x y x (3分)
2
)11(lim 220
=+++=→→y x y x (6分)
13、),(y x z z =由
xy e z z
=+确定,求y x z
???2. 解:设
(,,)z
F x y z z e xy =+-,则 x F y =-, y F x =- ,1z
z F e =+
11x z z z z F y y x F e e ?-=-=-=?++, 11y z z z F z x x
y F e e ?-=-=-=?++ (3分)
22
2111(1)1(1)z z z z
z z
z z e y e z y
e xy y
x y y e e e e ?+-??
?????
===- ????++++??
(6分)
14、用拉格朗日乘数法求
22
1z x y =++在条件1=+y x 下的极值. 解:
222
(1)1222z x x x x =+-+=-+ 令'420z x =-=,得
12x =
,"40z =>,1
2x =
为极小值点. (3分)
故22
1z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为3
2
(6分)
15、计算
?
?1 2
1
2dx
e dy y
y
y
x .
解:
21
1
2
123182x
y
y
y I dy e dx e e ==-?? (6分) 6、计算二重积分2
2()D
x
y dxdy
+??,其中D 是由y 轴及圆周
221x y +=所围成的在第一象限内的区域. 解:
22
()D
x y dxdy +??=13
2
0d r dr
π
θ?
?=8π
(6分)
17、解微分方程x y y +'=''.
解:令y p '=,p y '='',方程化为x p p +=',于是
)(1)1()1(C dx e x e p dx
dx +??=---?)
(1C dx e x e x x +=-?
])1([1C e x e x x ++-=-x e C x 1)1(++-= (3分)
?2121)1(21
])1([C e C x dx e C x dx p y x x +++-=++-==?? (6分)
18、判别级数)
11(
1
33∑∞
=--+n n n 的敛散性.
解:
=
(3分)
因为lim 1
1n n →∞-==
19、将函数x -31
展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间.
解:由于
3113131x -?=-,已知 ∑∞
==-011n n
x x ,11<<-x , (3分) 那么 ∑∑∞=+∞===-01031)3(3131n n
n n n x x x ,33<<-x . (6分
20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:
2
2
2121211028321415x x x x x x R ---++=,
求最优广告策略 解:公司利润为2
2212121211028311315x x x x x x x x R L ---++=--=
令?????=--='=--=',020831,04813211221x x L x x L x x
即???=+=+,31208,13842121x x x x
得驻点)
25.1,75.0()45
,43(),(21==x x ,而 (3分)
0411<-=''=x x
L A ,821-=''=x x L B ,2022-=''=x x L C ,
064802>-=-=B AC D , 所以最优广告策略为:
电台广告费用75.0(万元),报纸广告费用25.1(万元). (6分)
四、证明题(每小题5分,共10分)
21、设1
13
3
ln()z x y =+,证明:13z z x
y x
y ??+=
??. 证:
2
2
3
3
113311113
3
3
3
,
x y z z x
y
x y
x y -
-
??==??++
22、若∑∞
=12n n
u
与∑∞
=1
2n n
v
都收敛,则∑∞
=+1
2
)(n n n
v u
收敛.
证:由于
)
(22)(02
2222n n n n n n n n v u v u v u v u +≤++=+≤, (3分)
并由题设知∑∞
=1
2
n n
u
与∑∞
=1
2n n
v
都收敛,则)
(221
2n n n v u ∑∞
=+收敛,
从而∑∞
=+1
2
)(n n n
v u
收敛。 (6分)
1、设22
(,)y
f x y x y x -=-,则
=),(y x f _____________.
2、已1()2Γ=5
()2Γ=___________.
3、设函数
22
(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-取得极值,则常数 ________a =
4、已知
)arctan 4(),(y x y x y x f +++=,则=')0,1(x f ________
5、以x
x e C e C y 321+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是
__________________. 6、已知dx
e
px
?
∞+- 0
与
?
e
p x x dx
1
ln 均收敛,
则常数p 的取值范围是( ).
(A) 0>p (B) 0
7、对于函数22
(,)f x y x y =-,点(0,0)( ).
(A) 不是驻点 (B) 是驻点而非极值点 (C) 是极大值点 (D) 是极小值
8、已知21()D I x y d σ=+??,32()D I x y d σ=+??,其中D 为22(2)(1)1x y -+-≤,则( ).
(A) 12I I = (B) 12I I > (C) 12I I < (D) 22
12I I = 9、方程x
xe y y y 265=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x
e b ax y 2)(+= (C) x e bx ax y 22)(+= (D)
x
e bx ax y 223)(+=
10、级数∑∞
=-1
2)
1(n n
n
n
a 收敛,则级数∑∞
=1
n n
a
( ).
(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 敛散性不定
11、求3
x y =,0=y ,2=x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积.
12、求二重极限
)1sin 1sin
(lim 0
0x
y y x y x +→→.
13、设
xy y x z -+=1arctan
,求22x z ??. 14、用拉格朗日乘数法求(,)f x y xy =在满足条件1x y +=下的极值.
15、计算
??10
1
d e d y
x x xy .
16
、计算二重积分D
,其中D 是由y 轴及圆周
22
(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域.
17、解微分方程0='+''y y x .
18、判别级数∑
∞
=???
??12!n n
n n 的敛散性.
19、将函数
x x f 1
)(=
展开成)3(-x 的幂级数.
20、某工厂生产甲、乙两种产品,单位售价分别为40元和60元,若生产x 单位甲产品,生产y 单位乙
产品的总费用为
22
20300.1(223)100x y x xy y ++-++,试求出甲、乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.
21、设
2
22ln z y x u ++=,证明
222222z u y u x u ??+??+??=222
1x y z ++.
22、若
∑∞
=1
2n n
a
与
∑∞
=1
2n n
b
都收敛,则
∑∞
=1
n n
n b
a 收敛.
(可能会有错误大家一定要自己核对)
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设)(y x f y x z -++=,且当0=y 时,2
x z =,则=z 。 (2222x xy y y -++)
2、计算广义积分
?
+∞
1
3x dx
= 。(12)
3、设xy
e z =,则
=
)1,1(dz 。()(dy dx e +)
4、微分方程x xe y y y 265=+'-''具有 形式的特解.(x
e bx ax 22)(+)
5、设1
4
n n u ∞
==∑,则11
122n n n u ∞
=??-= ???∑_________。(1)
二、选择题(每小题3分,共15分)
1、
222200
3sin()
lim x y x y x y →→++的值为 ( A )
A.3
B.0
C.2
D.不存在 2、
),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 可微的 ( A )
。
A .必要非充分的条件; B.充分非必要的条件;
C.充分且必要的条件;
D.即非充分又非必要的条件。
3、由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 22
1+=所围的体积是 (D )。
A.
d d θπr r r
42
2
2-??;
B.
20
4d r
π
θ??
;
C
、
20
d r
πθ?
?
; D.
4420
1
2d d θπ
r r r
-??
4、设二阶常系数非齐次线性方程()y py qy f x '''++=有三个特解x y =1,x
e y =2,
x e y 23=,则其通解为 (C )。
A.x
x e C e C x 221++; B.x x e C e C x C 2321++;
C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+;
D.
)()(2221x e C e e C x
x x -+- 5、无穷级数∑∞
=--11
)1(n p
n n (p 为任意实数) (D )
A 、收敛
B 、绝对收敛
C 、发散
D 、无法判断 三、计算题(每小题6分,共60分)
1
、求下列极限:
0x y →→
解:
00
x y →→
00x y →→= …(3分)
00
1)112
x y →→==+= …(6分)
2、求由x y =
与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积。
解:
4
21
d x V x
π=? …(4分)
7.5π= …(6分)
3、求由xyz e z
=所确定的隐函数),(y x z z =的偏导数
,z z x y ????。 解:方程两边对x 求导得:
x z xy yz x z e z
??+=??,有)1(-=-=??z x z xy e yz x z z …(3分)
方程两边对y 求导得:
y z xy xz y z e z
??+=??,有)1(-=-=??z y z xy e xz y z z …(6分)
4、求函数322
(,)42f x y x x xy y =-+-的极值。
解:322
(,)42f x y x x xy y =-+-,则
2(,)382x f x y x x y =-+,(,)22y f x y x y =-, (,)68xx f x y x =-,(,)2xy f x y =,(,)2yy f x y =-,
求驻点,解方程组23820220x x y x y ?-+=?
-=?,
,得)0,0(和(2,2). …(2分)
对)0,0(有
(0,0)80xx f =-<,(0,0)2xy f =,(0,0)2yy f =-,
于是2
120B AC -=-<,所以)0,0(是函数的极大值点,且(0,0)0f = …(4分)
对(2,2)有
(2,2)4xx f =,(2,2)2xy f =,(2,2)2yy f =-,
于是2
120B AC -=>, (2,2)不是函数的极值点。
6、计算积分
??
D
d x y σ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域;
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题(共21分 每小题3分) 1.曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z . 2.直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π. 3.设函数22232),,(z y x z y x f ++=,则=)1,1,1(grad f }6,4,2{. 4.设级数∑∞=1n n u 收敛,则=∞→n n u lim 0. 5.设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +. 6.全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =. 7.写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*. 二、解答题(共18分 每小题6分) 1.求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程. 解:设所求平面的法向量为n ,则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2.将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分,其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域. 解: πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3.计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22,其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题(共35分 每题7分) 1.设v ue z =,而22y x u +=,xy v =,求z d . 解:)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2.函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定,求y z x z ????,. 解:令xyz e z y x F z -=),,(, (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??, xy e xz F F y z z z y -=-=??. (7分) 3.计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ,其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段. 解:添加有向辅助线段OA ,有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ,根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4.设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关,其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ,
大学高等数学上考试题库(附答案)
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()() 2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ).
微积分期末测试题及复习资料
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.
大一微积分期末试卷及答案
微积分期末试卷 选择题(6×2) cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小 3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线 C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=x x2 21 1、( )= x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y= 相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是: 2+14、y拐点为:x5、若则的值分别为: x+2x-3
1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解:原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间(,)是连续函数() 3、 0f"(x )=0一定为f(x)的拐点() 4、 若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 5、 设 函数f(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令(),则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解:原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解:3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限
大学微积分复习题
0201《微积分(上)》2015年06月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括: 选择题(10道题,每题2分或者3分)。 填空题(5-10道题,每题2分或者3分)。 计算题(一般5-7道题,共40分或者50分)。 证明题(2道题,平均每题10分)。 考试时间:90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 1.考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算,函数的定义,函数的表示法,分段函数,反函数,复合函数,隐函数,函数的性质(有界性、奇偶性、周期性、单调性),基本初等函数,初等函数。 2.考试要求 (1)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 (2)理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (4)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像,了解初等函数的概念。 (二)极限 1.考试内容 数列极限的定义与性质,函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系,无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算,极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1)理解数列及函数极限的概念 (2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (3)了解极限的有关性质(惟一性,有界性)。掌握极限的四则运算法则。 (4)理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 (5)掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 1.考试内容 函数连续的概念,左连续与右连续,函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性,反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理,零点定理)。 2.考试要求 (1)理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。
大一微积分期末试卷及答案
微积分期末试卷 一、选择题(6×2) cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=xx2 211、( )=x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y=相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是:2+1 x5、若则的值分别为: x+2x-3
1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解:原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间(,)是连续函数() 3、0f"(x )=0一定为f(x)的拐点() 4、若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 5、设 函 数 f (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令(),则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解:原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解:332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限
大一微积分期末试题附答案
微积分期末试卷 一、选择题(6×2) cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间(0,)内( )。 A是增函数,是减函数是减函数,是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时,与相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小 D同阶但不等价无价小3、x=0是函数y=(1-sinx)的( ) A连续点 B可去间断点 C跳跃间断点 D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( )n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值,则必有( )Af 'f 'f '且f f 不存在或f 、曲线( ) A仅有水平渐近线 B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线 D既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=xx2 211、( )=x+1 、求过点(2,0)的一条直线,使它与曲线y=相切。这条直线方程为: x 2 3、函数y=的反函数及其定义域与值域分别是: 2+1 x5、若则的值分别为: x+2x-3
三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间(,)是连续函数() 3、 0f"(x )=0一定为f(x)的拐点() 4、 若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 5、 设 函 数 f (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令(),则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明() 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+
曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册 上海电机学院
第十章 曲线积分与曲面积分答案 一、选择题 1.曲线积分 ()sin ()cos x L f x e ydx f x ydy ??--? ??与路径无关,其中()f x 有一阶连续偏导数,且(0)0f =,则()f x = B A . 1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1 ()2 x x e e -+ D .0 2.闭曲线C为1x y +=的正向,则 C ydx xdy x y -+=+? C A.0 B.2 C.4 D.6 3.闭曲线C 为2 2 41x y +=的正向,则 22 4C ydx xdy x y -+=+? D A .2π- B 。 2π C 。0 D. π 4。∑为YOZ 平面上2 2 1y z +≤,则 2 22()x y z ds ∑ ++=?? D A。0 B . π C . 14 π D. 12 π 5。设2 2 2 :C x y a +=,则 2 2()C x y ds +=? C A.22a π B. 2 a π C 。 3 2a π D. 3 4a π 6。 设∑为球面2 2 2 1x y z ++=,则曲面积分 ∑ [ B ] A.4π B .2π C.π D.12 π 7。 设L是从O(0,0)到B(1,1)的直线段,则曲线积分 ? =L yds [ C ] A 。 21 B . 2 1 - C. 22 D。 22- 8. 设I=? L ds y 其中L 是抛物线2x y =上点(0, 0)与点(1, 1)之间的一段弧, 则I=[D ] A 。 655 B.1255 C .6155- D。 12 1 55- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ,那么 σ 是( D ) A . ?-l ydy xdx 21; B 。 ?-l xdx ydy 2 1 ;
大学一年级上学期-微积分试题-第一学期期末试卷A
课程编号:A071001 北京理工大学2006-2007学年第一学期 2006级《微积分A 》期末试卷(A 卷) 班级 学号 姓名 成绩 一、 求解下列各题(每小题7分,共35分) 1 设,1arctan 122???=x x x x y 求.y ′ 2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x x x ∫++ 3 求极限.)(tan lim ln 110 x x x ++→ 4 计算定积分)(202322∫?=a x a dx I 其中 .0>a 5 求微分方程.142+=′?′′x y y 的通解. 二、 完成下列各题(每小题7分,共28分) 1 设当0→x 时,c bx ax e x ???2是比2 x 高阶的无穷小,求的值. c b a ,,2 求函数)4()(3?=x x x f 在),(+∞?∞内的单调区间和极值. 3 设)(x y y =是由方程组所确定的隐函数,求?????=??+=∫0 1cos sin )cos(20t t y du t u x t .dx dy 4 求证: .sin sin 42222∫∫ππππ=dx x x dx x x . 三、(8分)设)(x y 在内单调递增且可导,又知对任意的),0[+∞,0>x 曲线)(x y y =,上点到点)1,0(),(y x 之间的弧长为,12?= y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件,并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点作曲线)0,1(?x y =的切线,记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的 图形为D , (1) 求图形D 的面积;
(2) 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 五、(7分)求证:方程010cos 042 =++∫∫?x t x dt e dt t 有并且只有一个实根. 六、(8分)一圆柱形桶内有500升含盐溶液,其浓度为每升溶液中含盐10克。现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合),同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。假设桶内的溶液始终保持为500升,求任意t 时刻桶内溶液的含盐量. 七、(6分)设)(x f 在上可导,且满足]1,0[∫=21 )(2)1(dx x f e e f x ,求证:至少存在一点,使得)1,0(∈ξ.0)()(=ξ+ξ′f f
高等数学(下)期末复习题(附答案)
《高等数学(二)》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行,且满足18-=?b a ,则=b ( ) (A ) )4,2,4(-- (B )(24,4)--, (C ) (4,2,4)- (D )(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中,方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) (A )直线 (B) 抛物线 (C ) 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ,其中区域D 由222x y a +=所围成,则I =( ) (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=? ? (C) 2230 02 3 a d r dr a π θπ=? ? (D) 2240 01 2 a d r rdr a π θπ=? ? 4、 设的弧段为:2 3 0,1≤ ≤=y x L ,则=? L ds 6 ( ) (A )9 (B) 6 (C )3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 ) 1(n n n 的敛散性为 ( ) (A ) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是( ) (A )小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数,则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) (A )??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1010d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 1 010 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) (A )抛物面 (B )柱面 (C )圆锥面 (D ) 椭球面
大学高等数学上习题(附答案)
《高数》习题1(上) 一.选择题 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ( )g x =(C )()f x x = 和 ( )2 g x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? - + ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 10.设()f x 为连续函数,则()10 2f x dx '?等于( ). (A )()()20f f - (B )()()11102f f -????(C )()()1 202f f -??? ?(D )()()10f f - 二.填空题 1.设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续,则a = . 2.已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π,则()2f '=. 3. ()21ln dx x x = +?. 三.计算 1.求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2.求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3.求不定积分x xe dx -?
微积分(下)期末复习题完整版
期末复习题 一、填空题 1、=?→x t t x x 0 20 d cos lim . 2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=?b x x x f x 2d )(d d . 3、已知)(x F 是)(x f 的原函数,则?>+x x t a t f t )0( d )(1 等于 . 4、若2 e x -是)(x f 的一个原函数,则 ='? 10 d )(x x f . 5、 =++?-112d 1| |x x x x . 6、已知2 1)(x x x f +=,则)(x f 在]2,0[上的平均值为 . 7、设 ? =+π0 ),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续, 则=)(x f . 8、设曲线k x y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为3 1 ,则=k . 9、设y x y y x y x f arcsin )1()2(),(22---=,则 =??) 1,0(y f . 10、设y x z 2e =,则 =???y x z 2 . 11、交换积分次序 =? ?x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =? ? ---x x y y x f x 11 1 2 2d ),(d . 13、交换积分次序 ? ?-2 210 d ),(d y y x y x f y = . 二、选择题 1、极限x t t x x cos 1d )1ln(lim 2sin 0 -+?→等于( ) (A )1 (B )2 (C )4 (D )8 2、设x x t t f x e d )(d d e 0=?-,则=)(x f ( ) (A) 2 1x (B) 21x - (C) x 2e - (D) x 2e -- 3、设)(x f 是连续函数,且C x F x x f +=?)(d )(,则必有( )B (A ))(d )(x F t t f x a =? (B ))(]d )([x F t t F x a ='? (C ) )(d )(x f t t F x a ='? (D ))()(]d )([a f x f t t F x a -=''?
清华大学微积分习题(有答案版)
第十二周习题课 一.关于积分的不等式 1. 离散变量的不等式 (1) Jensen 不等式:设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数,则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ,有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ (2) 广义AG 不等式:记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数,由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ,有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时,就是AG 不等式。 (3) Young 不等式:由(2)可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ,q y p x y x q p +≤1 1 。 (4) Holder 不等式:设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ,则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在(3)中,令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 (5) Schwarz 不等式: 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 (6) Minkowski 不等式:设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ,则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明: ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1
大一微积分期末试卷及答案
大一微积分期末试卷及 答案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
微积分期末试卷 选择题(6×2) 1~6 DDBDBD 一、 填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解:原式=11(1)()1m lim lim 2(1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、 判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小( ) 2、若f(X)在0x 处取得极值,则必有f(x)在0x 处连续不可导( ) 3、设函数f(x)在[]0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令(),则必有 1~5 FFFFT 三、 计算题 1用洛必达法则求极限21 20 lim x x x e → 解:原式=22211 1 33 0002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解: 3 24 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求
5 3tan xdx ? 6arctan x xdx ?求 四、 证明题。 1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。 证明:设3()1f x x x =+- 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明() 五、 应用题 1、描绘下列函数的图形 3. 4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222 --- 50 lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示: 2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和 单调递增区间为(1,0)1-+∞和(,) 且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1
近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)
浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 一 、填空题(每小题5分,共25分,把答案填在题中横线上) 1.点M (1,-1, 2)到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微,(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0,1]上连续,且()f x >0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数,交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二 、选择题(每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的,把所选字母填入题后的括号内) 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为 (A ) 2π . (B )3π . (C )4π . (D )6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数,极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为 (A )100(,)dy f x y dx ?? (B )1 00(,)dy f x y dx ?? (C ) 10 (,)dx f x y dy ? ? (D )10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数,则5()2S -= (A ) 12. (B )12-. (C )34. (D )3 4 -. [ ] <
微积分二期末复习
期末复习指导 第五章 不定积分 1.积分的概念、性质 若()()F x f x ' =,则称()F x 是()f x 的一个原函数。 不定积分与导数或微分互为逆运算。 (1) 不定积分的导数(或微分)等于被积函数(或被积表达式): / ()()()()f x dx f x d f x dx f x dx ????==??????或 (2) 对一个函数的导数(或微分)求不定积分,其结果与这个函数仅相差 一个积分常数: / ()()()()F x dx F x C dF x F x C =+=+??或。 2.不定积分和定积分的第一类换元法 ()()()()f x x dx f x d x ????'=? ????????? ()()()()()x t f t dt F t C t x F x C ???==+=+????? ()()()() b b a a f x x dx f x d x ????'=????????? ? ()()()()() x t f t dt F t F F β β αα ?βα===-? 注:(1)第一换元法又称为“凑微分法”(即“凑”复合函数的中间变量的导数),可以不设代换完成; (2)不定积分与积分变量有关,故需要“回代”变量;而定积分与积 分变量无关,运算时不需要“回代”; 3.不定积分、定积分的第二类换元法 a 、根式代换
解题思路:“去根号”; 解题方法:令 t =m m b dt x ct a -=-,有m m b dt dx dt ct a '??-= ?-??; 特别地,t =,解出n t b x a -=,有1n n dx t dt a -=; 代换原则:由左至右、依次代换、一次完成; b 、代换 二次函数) 解题思路:“去根号”; 解题方法: (1) 令sin x a t =,有cos dx a tdt =; (2) 令tan x a t =,有2 sec dx a tdt =; (3) 令sec x a t =,有sec tan dx a t tdt =; 代换原则:由左至右、依次代换、一次完成; 例题: 注:不定积分与积分变量有关;而定积分与积分变量无关。 4.不定积分、定积分的分部积分法
微积分期末测试题及答案
微积分期末测试题及答 案 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.